Как найти чему ровна хорда

Формула длины хорды окружности

У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда.

Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорд окружности[править | править код]

Хорда и расстояние до центра окружности[править | править код]

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
• Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
• Наибольшая возможная хорда является диаметром.
• Наименьшая возможная хорда является точкой.
• Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
• Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Хорда и диаметр[править | править код]

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
• Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.

Хорда и радиус[править | править код]

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и вписанный угол[править | править код]

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
• Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
• Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
• Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Хорда и центральный угол[править | править код]

• Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга[править | править код]

• Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
• Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая хорда стягивает бóльшую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
• Из дуг, бóльших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, бóльшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, бóльших полуокружности, бóльшая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает бóльшую дугу.
• Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
• Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства[править | править код]

• При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): .
• Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

Свойства хорд эллипса[править | править код]

Основные формулы[править | править код]

• Длина хорды равна , где — радиус окружности, – диаметр окружности, — центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
• Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3): , где — длина хорды, — радиус окружности, — расстояние от центра окружности до хорды.
• Если известны все четыре длины отрезков двух пересекающихся хорд, например, (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:

при ограничениях: .

Здесь — угол между отрезками и (или между отрезками и ) .

В случае, когда хорды взаимно перпендикулярны,

Связанные понятия[править | править код]

• Касательная
• Секущая
• Диаметр
• Дуга окружности

Ссылки[править | править код]

• Справочник. Окружности.

Как посчитать хорду окружности

Чтобы посчитать хорду круга (окружности) просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Как посчитать длину хорды (градусы)

Как посчитать длину хорды (радианы)

Теория

См. также

Определение хорды

Хорда – это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой – с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности – самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное – если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
• Наибольшая возможная хорда является диаметром
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное – если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l – длина хорды
α – величина центрального угла
R – радиус окружности
d – длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/circle-chord-l

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson318/

[/spoiler]

Окружность – это фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от центра окружности. Окружность
– самая простая фигура, которую можно провести на местности, для этого достаточно колышка для
обозначения центра окружности и веревки с чертилкой. Чтобы вычертить окружность на листе бумаги,
достаточно циркуля.

Хорда – это отрезок, соединяющий 2 любые точки окружности. Самой длинной хордой является диаметр, или
согласно другому определению, диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Нередко
появляется практическая необходимость рассчитать длину хорды по известному радиусу окружности и
одному из 2 углов, определяющих положение хорды (центральному или вписанному). В окружности
центральный угол – это угол, вершина которого располагается в центре окружности, а вписанный угол –
это угол, вершина которого лежит на окружности. Или же, вписанный угол — это угол,
образованный двумя пересекающимися на окружности хордами.

Через радиус и угол между радиусами

Если известен радиус и угол между радиусами, то формула будет следующая:

L = 2R * sin α/2

где R – радиус окружности, α – центральный угол между радиусами, опирающийся на хорду.

Пример. Решим практическую задачу: на местности строится из кирпича сооружение, в
плане имеющее форму неполной окружности с радиусом 3 м, со стороны входа стянутой хордой, на которую
опирается центральный угол в 36°. Найти длину хорды, что требуется для построения на местности без
откладывания угла, а также проверки, достаточно ли в прямой стенке места для входа и устройства
двери. L = 2R * sin α/2 = 2 * 3 * sin 36°/2 = 6 * 0,309 = 1,854 (м).

Через вписанный угол и радиус

Если известен вписанный угол и радиус, то формула по нахождению длины хорды следующая:

L = 2R * sin α

где R — радиус, sin α — вписанный угол

Удивительно простой вид этой формулы основан на теореме о вписанном угле, согласно которой вписанный
угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу (а соответственно на ту же хорду),
тем самым данная формула выводится из предыдущей.

Пример. В качестве примера, рассчитаем длину хорды в окружности радиусом 10 м, на
которую опирается вписанный угол 30°. L = 2R * sin α = 2 * 10 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10 (м).
Длина хорды оказалась равной радиусу, т.е. представляет собой одну сторону вписанного в окружность
шестиугольника.

Таким образом, расчет длины хорды позволяет построить на местности или бумаге любой правильный
многоугольник без необходимости откладывания углов, центральных или вписанных. Уже в эпоху
первобытного строя люди знали о свойствах окружности, и пользовались ими для своих целей. Одно из
самых известных сооружений той поры – Стоунхендж в Англии, предположительно являвшийся
астрономической обсерваторией. Следовательно, уже тогда появилась необходимость выдерживать строго
центральные и вписанные углы.