Описанные четырехугольники
Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
-
Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
Квадрат
В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид
Трапеция
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.
Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.
Теорема.
В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.
Обратная теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.
Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.
[spoiler title=”источники:”]
http://www.calc.ru/Svoystva-Chetyrekhugolnikov-Opisannykh-Okolo-Okruzhnosti.html
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva/
[/spoiler]
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.
Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны
Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.
Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.
Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.
Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.
Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.
Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
Ответ: 122.
Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Решение:
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
Ответ: 12.
Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Решение:
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Ответ: 10.
Задача 4. Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна
Поэтому
Ответ: 148.
Задача 5. Углы четырехугольника относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть
Сумма всех углов четырехугольника равна
А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).
Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:
Подставляем второе уравнение в первое и получаем
Ответ: 90.
Задача 6. Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .
Поэтому
Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е.
Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е.
Ответ: 107.
Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и
Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.
Тогда или
Сумма дуг и составляет
Вписанный угол А равен половине дуги т.е.
Ответ: 15.
Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение:
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна
Выразим сторону квадрата через его диагональ:
Ответ: 32.
Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Решение:
Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.
Ответ: 6.
Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение:
Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.
Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями
Тогда боковые стороны
Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому
– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и
Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –
Ответ: 6.
Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.
Решение:
Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.
Ответ: 12.
Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований
Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:
Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
Ответ: 5.
Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и
Решение:
Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.
В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как
Радиус окружности равен половине диаметра:
Ответ: 9.
Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому
Ответ: 8.
Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
Решение:
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).
Боковая сторона тогда боковая сторона
Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.
Ответ: 2.
Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
Решение:
Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:
Ответ: 28.
Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
Ответ: 16.
Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.
Решение:
Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:
Ответ: 16.
Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.
Рассмотрим равнобедренную трапецию
Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),
Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .
Радиус вписанной окружности
Ответ: 6.
Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),
Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:
Ответ: 7.
Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.
Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а
Решение:
Обозначим Тогда
Обозначим также
Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.
Значит, Отсюда
Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника
При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это
Пусть
Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:
Из
Из
Из
Из
Мы получили систему уравнений.
Сложив первое и третье из них и выразив как получим:
Кроме того, Это мы нашли в самом начале.
Из системы уравнений
находим:
Значит,
Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.
Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.
Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.
По условию, , тогда
опирается на диаметр.
– прямоугольный, – его гипотенуза.
По теореме Пифагора для :
Отсюда
Ответ: 40.
Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим две темы, 5 и 6.
1. Центральные и вписанные углы.
2.Касательная, хорда, секущая.
3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)
4. Вписанная и описанная окружность (квадрат)
5. Вписанная и описанная окружность (трапеция)
6. Вписанная и описанная окружность (произвольный четырехугольник)
Объединение этих тем возможно из-за одинаковых свойств.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Поэтому при решении этих задач пойдем от частного случая к общему.
Задача №1
Решение:
Задачу решим двумя способами:
Способ №1
Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.
Запомните!!!
1) В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
2) Трапеция называется равнобедренной если боковые стороны равны.
3) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Способ №2
Запомните!!!! Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника в окружность равна 180 градусов.
Задача №2
Запомните!!!! Если четырехугольник описать около окружности, то суммы противоположных сторон равны.
Подставим значения из задачи, найдем AD
Задача №3
Для решение этой задачи, достаточно провести высоту в трапеции. Высота трапеции будет являться диаметром окружности.
Ответ 36
Задача №4
Эта задача может встретиться как в первой части экзамена, так и во второй части в 23 и 24 задании.
Задача на подобие треугольников.
1) Докажем, что треугольники AKD и ВКС подобны, для этого найдем две пары равных углов.
Чтобы найти пару равных углов, воспользуемся двумя свойствами:
1) Сумма противоположных углов в вписанном четырехугольнике равна 180 градусов.
2) Сумма смежных углов равна 180 градусов
Вторая пара равных углов, это будет общий угол треугольников AKD и ВКС. Угол К общий.
Теперь все отметив на чертеже:
Треугольники AKD и ВКС подобны. Теперь составим отношение сходственных сторон.
Чтобы всегда правильно составлять отношения сторон, записывайте названия подобных треугольников так, чтобы вершины равных углов находились на одинаковых позициях.
Теперь составим отношение сходственных сторон:
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Пример описанного четырёхугольника
В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.
Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.
Специальные случаи[править | править код]
Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными [1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным[en].
Свойства[править | править код]
или . Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности[2].
Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:
Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. [3][4][2]
Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда [2]
или
Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта[en]. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).
Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга[5].
Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда [6]
Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда
- ,
где Ra, Rb, Rc, Rd являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны [7].
Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.
Специальные отрезки[править | править код]
Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.
Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
Площадь[править | править код]
Нетригонометрические формулы[править | править код]
Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой
- ,
где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула[8]
- ,
дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.
Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь [1]
Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h[9]
Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, [10] получаем, что максимальная площадь может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.
Тригонометрические формулы[править | править код]
Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон [8][11][12][13]
Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае , поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ[14].
Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла[12]
- ,
где O является центром вписанной окружности.
Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов [8]
Есть ещё одна формула[8]
где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.
Неравенства[править | править код]
Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству
и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным[en].
Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству
- ,
где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. [15] Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство
с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.
Свойства частей четырёхугольника[править | править код]
Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.
Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.
Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр[2].
Радиус вписанной окружности[править | править код]
Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой [8]
- ,
где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.
В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности [16][17].
Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то
- ,
где [18].
Формулы для углов[править | править код]
Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам[1]
Угол между хордами KM и LN задаётся формулой[1](см. рисунок)
Диагонали[править | править код]
Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны[19]
Хорды точек касания[править | править код]
Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны[1]
где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению [1]
Две хорды
- перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан [20].
- имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом[21].
Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA[22].
Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных равно отношению отрезков диагонали BD.[23]
Коллинеарные точки[править | править код]
Прямая Нагеля QO и ортоцентры HM, HN, HK, HL
Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M3 — середина отрезка EF, тогда точки M3, M1, O, и M2 лежат на одной прямой[24] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.
Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой[25]
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если TM, TK, TN, TL являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТM = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых TNTM и TKTL. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, “центроид площади” G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника[26].
В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть HM, HK, HN, HL являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, HM, HK, HN и HL лежат на одной прямой.[12]
Конкурентные и перпендикулярные прямые[править | править код]
Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).[13] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.[12]
Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности[27].
Свойства вписанной окружности[править | править код]
Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин[12]
Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению[28]
Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то[12]
Центр вписанной окружности O совпадает с “центроидом вершин” четырёхугольника в том и только в том случае, когда[12]
Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то[12][29]
где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C
и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что “центроид вершин” описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.
Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым[30][31] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса , где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.
Свойства четырёх внутренних треугольников[править | править код]
Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников
Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.
Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда[32]
Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном[33][34].
В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда [6][34]
Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда [35]
Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда [36]
В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах[37]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник [38]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника[39].
Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности[40] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет [41]
Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда [6]
где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.
Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:[42]
или [38]
или[43]
Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника[править | править код]
Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны[44].
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда[20][25]
Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.
Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон[45].
Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:[46]
- Площадь равна половине произведения диагоналей
- Диагонали перпендикулярны
- Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
- Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
- Средние линии имеют одинаковые длины
- Произведения противоположных сторон равны
- Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.
См. также[править | править код]
- Описанная окружность
- Внекасательный четырёхугольник[en]
- Описанная трапеция[en]
- Вписанная в треугольник окружность
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Josefsson, 2010a, с. 119–130.
- ↑ 1 2 3 4 Andreescu, Enescu, 2006, с. 64–68.
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §146.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 65.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 66.
- ↑ 1 2 3 Minculete, 2009, с. 113–118.
- ↑ Josefsson, 2012, с. 72.
- ↑ 1 2 3 4 5 Durell, Robson, 2003, с. 28–30.
- ↑ Josefsson, 2010a, с. 128.
- ↑ Hajja, 2008, с. 103–106.
- ↑ Siddons, Hughes, 1929, с. 203.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008. Дата обращения: 1 апреля 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ 1 2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] (недоступная ссылка), 1998, pp. 156–157.
- ↑ Hoyt, 1986, с. 54–56.
- ↑ Post at Art of Problem Solving, 2012. Дата обращения: 1 апреля 2015. Архивировано 20 февраля 2014 года.
- ↑ Hajja, 2008, с. 103–106б Lemma2.
- ↑ Hoyt, 1984, с. 239, 242.
- ↑ Josefsson, 2010b, с. 27–34.
- ↑ Hajja, 2008, с. Lemma3.
- ↑ 1 2 Josefsson, 2010a, с. 124.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 166.
- ↑ Josefsson, 2011c, с. 162.
- ↑ Gutierrez, Antonio, “Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion”, [2] Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine, Accessed 2012-04-09.
- ↑ Andreescu, Enescu, 2006, с. 42.
- ↑ 1 2 Josefsson, 2010c, с. Cor.3.
- ↑ Myakishev, 2006, с. 289–295.
- ↑ Josefsson, 2010c, с. Cor.4.
- ↑ “Ineq-G126 – Geometry – very nice!!!!”, Post at Art of Problem Solving, 2011, [3]
- ↑ “Determine ratio OM/ON”, Post at Art of Problem Solving, 2011
- ↑ Barton, 1926, с. 462–465.
- ↑ Bogomolny.
- ↑ Chao, Simeonov, 2000, с. 657–658.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 169.
- ↑ 1 2 Вайнштейн, Васильев, Сендеров, 1995, с. 27–28.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 70.
- ↑ Josefsson, 2012b, с. 23–24.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 72-73.
- ↑ 1 2 Josefsson, 2011b, с. 74.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 73.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 79.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 80.
- ↑ Hoehn, 2011, с. 211–212.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 77.
- ↑ De Villiers, 2011, с. 102–107.
- ↑ Hess, 2014, с. 392-393.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 165–174.
Ссылки[править | править код]
- Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
- Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9. — JSTOR 2299611.
- Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
- C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
- Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
- Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
- Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — doi:10.2307/2589133.
- Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.
Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.
- John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
- John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — doi:10.2307/2322549.
- Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.
Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.
- Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
- Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
- Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
- Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
- Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
- Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
- Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
- Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
- A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
- И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
- Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.
Внешние ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Свойства вписанных и описанных четыехугольников
Содержание:
- Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
- Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
- Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
- Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
- Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула
Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Вписанный в окружность четырехугольник является таким четырехугольником, каждая из вершин которого принадлежит описанной около него окружности.
Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:
Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема 1
Какой-либо четырехугольник может быть вписан в некую окружность при условии, что его противолежащие углы в сумме дают 180°.
Теорема 2
В том случае, когда противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°, данный четырехугольник может быть вписан в окружность.
На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:
(left. begin{array}{l} angle A + angle C = {180^o}\ angle B + angle D = {180^o} end{array} right} Leftrightarrow ABCD) треугольник вписан в окружность.
Следствие 1
Не каждый параллелограмм допустимо вписывать в окружность, лишь прямоугольники — в том числе квадраты.
Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:
(R = frac{1}{2}BD)
Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:
(R = frac{1}{2}sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.)
Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:
(R = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}})
Следствие 2
Допустимо вписать в окружность лишь такую трапецию, которая является равнобедренной.
Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:
ABC, ABD, ACD или BCD.
Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Описанным четырехугольником называют такую геометрическую фигуру с четырьмя углами, каждая из сторон которой является касательной к окружности. Данная окружность считается вписанной в рассматриваемый четырехугольник.
Теорема 3
В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность при условии, что его противолежащие стороны в сумме равны.
Заметим, что в данном случае соблюдено условие:
AB+CD=BC+AD
На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.
Теорема 4
Центральная точка окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы данной геометрической фигуры.
Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:
- AO;
- BO;
- CO;
- DO.
В результате:
(angle BAO = angle DAO)
(angle ABO = angle CBO) и так далее.
Теорема 5
Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника, расположены на сторонах с началом, совпадающим с одной вершиной, и находятся на одинаковом удалении от данной вершины.
Рассмотрим рисунок. Заметим, что:
BM=BK;
CK=CF;
DF=DN.
Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.
Запишем следующие соотношения:
(OM bot AB);
(OK bot BC);
(OF bot CD);
(ON bot AD).
Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.
Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:
(S = p cdot r)
Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.
Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.
Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:
p=AD+BC
p=AB+CD.
Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:
({S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r;)
({S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.)
В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:
(r = frac{S}{p}.)
В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:
(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};)
(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.)
Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
Теорема 6
Если четырехугольник вписан в некую окружность, то его противолежащие углы в сумме дают .
Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:
(angle A+angle C=180^o;)
(angle B+angle D=180^o.)
Представим доказательства. По условию:
(angle A) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;
(angle C) — угол, который опирается на дугу DAB.
Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:
(angle A = frac{1}{2} cup BCD,)
(angle C = frac{1}{2} cup DAB.)
В результате:
(angle A + angle C = frac{1}{2} cup BCD + frac{1}{2} cup DAB = frac{1}{2}( cup BCD + cup DAB) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)
Аналогичным образом запишем, что:
(angle B + angle D = frac{1}{2}( cup CDA + cup ABC) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)
Теорема доказана.
Теорема 7
Если имеется такой четырехугольник, в котором противолежащие углы в сумме составляют (180^o), то около него можно описать окружность.
Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.
Сумма его противолежащих углов равна: (angle B+angle D=180^o).
Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.
В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».
Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.
В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют (180^o):
(angle B+angle E = 180^o.)
Согласно данным из условия задачи:
(angle B+angle D=180^o.)
Таким образом:
(angle D=angle E.)
С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:
(angle ADC=angle DEC+angle DCE.)
В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.
Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:
(angle B+angle E=180^o)
Согласно условию задачи:
(angle B+angle D=180^o.)
Тогда:
(angle D=angle E.)
Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.
Таким образом: (angle AEC=angle EDC+angle DCE.)
В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.
Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.
Теорема 7
Около четырехугольника допустимо описать окружность лишь в том случае, когда его противолежащие углы в сумме составляют 180 градусов.
Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула
Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:
(R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.)
Примечание
Формулу радиуса окружности, которая описана около четырехугольника, ввел индийский математик Ватассери Парамешвара в XV веке.
Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:
(S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.)
В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:
(p={tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).)
С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:
(4SR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.)
Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.