Как найти четырехугольник в прямоугольнике

Как найти периметр сторон четырехугольника, формула нахождения

Совсем недавно в России родители отправляли своих детей в первый класс и с нетерпением ждали их первых заданий. Они с удовольствием наблюдали за тем, как их дети знакомятся с буквами русского алфавита, учатся считать палочки и точечки, выводить различные кривые и прямые линии. Родители помогали знакомиться своим детям с тем, что тетрадь в клеточку предназначена для написания цифр, а тетрадь в линеечку — для письма.

Сегодня, будучи второклассниками, ученики России достигли больших успехов в сфере начального образования, а точнее, в математическом прогрессе. Учителя научили их складывать и вычитать, умножать, делить, измерять.

Кстати, по поводу измерения: с линейкой ребята вторых классов России уже знакомы, и применение ей, кроме как стрелять с задней парты в соседа бумажки, они тоже знают. Именно об измерениях мы и заведем сегодняшний разговор.

Как мы видим, прогресс обучения нынешних учеников проходит слегка в ускоренном режиме. С теми темами, например, такими как периметр, дети 90-х знакомились позже, а наши ребята узнают сегодня. Конечно, в этом нет ничего страшного. Время меняется, и программа обучения тоже должна не стоять на месте. Зато, как считают многие, наши дети будут умнее нас.

Школьное задание

Наверное, многих родителей сегодня удивляют нынешние задания для второклассников. В учебнике по математике для второго класса можно встретить такое задание, как, например: «Найди периметр четырехугольника, две стороны которого равны по 2 сантиметра, а другие две будут по 3 сантиметра». Как справиться с данным заданием?

Многие родители настоящего времени являются теми самыми детьми девяностых годов, и, естественно, в большинстве случаев, мало кто помнит, что такое периметр. Особенно, если учились не на отлично, да и не совсем на «хорошо».

Естественно, каждому родителю хотелось бы, чтоб его ребенку было проще в обучении, и они всеми силами стараются ему в этом помочь. Некоторым родителям сначала приходится справиться со своей душевной паникой, а уже потом продолжать объяснять своему ребенку. В этом случае многим помогает интернет, место, где можно найти ответы на все тревожные вопросы. Во времена девяностых, к сожалению, такой «роскоши» не было.

Вопросы:

  1. Что такое «периметр»?
  2. Как находить периметр четырехугольника?

Ответы на вопросы:

Для тех, кто знает, вспоминаем, а кто не знает — объясняем:

  1. Периметр — это сумма всех сторон четырехугольника. Всего лишь каждая грань по отдельности будет равна после сложения единому числу.
  2. Найти периметр, значит, что нужно взять линейку и измерить каждую границу четырехугольника. После выполнения данного действия необходимо сложить полученные числа между собой. Общая полученная сумма и будет являться периметром.

Решение:

В данном случае, по действиям нашей задачи, нам известны суммы сторон четырехугольника, а именно две из них по 2 сантиметра и две по 3 сантиметра. Поэтому нам остается всего лишь перечертить четырехугольник в тетрадь и сложить известные нам суммы каждой грани.

2+2+3+3=10

Как мы видим, периметр нашей четырехугольной фигуры равен 10.

В математике сумму всех сторон (периметр) мы обозначаем символом Р.

Теперь записываем правильное решение этой задачи:

Р=2+2+3+3;

Ответ: Р=10.

В математике существует формула, запомнив которую, вы никогда не будете забывать, как найти периметр (общую сумму всех сторон) четырехугольника и выглядит она так:

P = a + b + c + d (где a , b, c, d являются границами четырехугольника).

Кроме того, хотелось бы обратить внимание, что четырехугольник не обязательно будет являться прямоугольником. Это может быть и квадрат, у которого все стороны равны, и любая другая геометрическая фигура, у которой есть четыре стороны и такое же количество углов.

Грани произвольного четырехугольника могут совсем не совпадать ни с одной из сторон фигуры. Это могут быть совершенно разные числа. И, в итоге, получаются фигуры с четырьмя сторонами и теми же четырьмя углами. Фигура не будет похожа ни на квадрат, ни на прямоугольник, так как углы ее прямыми не будут. И периметр, соответственно мы вычисляем по той же самой единой формуле.

Или взять, например трапецию. Обычно у трапеции две стороны одинаковые, а другие две совсем не совпадают, но между собой параллельные.

На примере трапеция может выглядеть так: верхняя грань равна 2 сантиметра, левая и правая стороны по 3 сантиметра, соединяем их с нижней гранью и получаем трапецию. Высчитываем каждую ее сторону и снова получаем периметр четырехугольника.

Вычислить по формуле всегда будет проще, и не важно, каким числам равна каждая сторона.

Так как современные дети страны уже дошли до таблицы умножения, с периметром квадрата у них проблем не будет. Зная размер одной стороны квадрата, нужно умножить ее на все четыре равные стороны.

В общем, теперь стоит взять линейку с карандашом и лист бумаги. После этого следует начертить произвольные фигуры с четырьмя углами и высчитать общую сумму ее сторон.

Помогите пожалуйста с : в прямоугольник вписан четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон прямоугольника?

Геометрия | 5 – 9 классы

Помогите пожалуйста с : в прямоугольник вписан четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон прямоугольника.

Периметр вписанного четырёхугольника равен 40.

Найдите периметр прямоугольника, зная, что его смежные стороны относятся как 8 : 6.

Вписанный четырехугольник – ромб (стороны прямоугольных треугольников равны, а значит равны их гипотенузы), Гипотенузы – стороны ромба, Периметр сумма всех сторон, значит сторона равна 40 : 4 = 10.

Соотношение сторон 8 : 6.

Возьмем 1 часть за х.

Одна сторона 8х, вторая 6х, а их половины 4х и 3х соответственно.

Это катеты прямоугольного треугольника

16х ^ 2 + 9х ^ 2 = 100 (10 – гипотенуза)

Тогда стороны 16 и 12см, а периметр прямоугольника 2 * (16 + 12) = 56.

Площадь прямоугольника равна 36см ^ 2?

Площадь прямоугольника равна 36см ^ 2.

Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна 36 см в квадрате?

Площадь прямоугольника равна 36 см в квадрате.

Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого является середина сторон данного прямоугольника.

В прямоугольнике меньшая сторона равна 20см и образует с диагональю угол 60 градусов?

В прямоугольнике меньшая сторона равна 20см и образует с диагональю угол 60 градусов.

Середины сторон прямоугольника последовательно соединены.

Найдите периметр полученного четырёхугольника.

Площадь прямоугольника равна 36 см в квадрате?

Площадь прямоугольника равна 36 см в квадрате.

Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого является середина сторон данного прямоугольника.

Периметр прямоугольника 40 см, а длины смежных сторон прямоугольника относятся как 3 : 5?

Периметр прямоугольника 40 см, а длины смежных сторон прямоугольника относятся как 3 : 5.

Найдите длины сторон прямоугольника.

Стороны прямоугольника относятся относятся как 2 : 3 А его периметр равен 60см Найдите стороны прямоугольника?

Стороны прямоугольника относятся относятся как 2 : 3 А его периметр равен 60см Найдите стороны прямоугольника.

В прямоугольник со сторонами 3 и 4 м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 1 : 3?

В прямоугольник со сторонами 3 и 4 м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 1 : 3.

Найдите площадь вписанного прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна 36 см2?

Площадь прямоугольника равна 36 см2.

Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 16 соединены отрезками?

Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 16 соединены отрезками.

Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

ОТВЕТ С ПОЯСНЕНИЕМ.

Периметр прямоугольника равен 48 см?

Периметр прямоугольника равен 48 см.

Найдите стороны прямоугольника, если смежные стороны относятся как 1 : 2.

На этой странице сайта размещен вопрос Помогите пожалуйста с : в прямоугольник вписан четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон прямоугольника? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 – 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF AF = 2, SD = √17. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

TgB = AC / BC = 3 / 5 = 0, 6 Ответ : 0, 6.

Угол АСВ в 2 раза 173 : 2 = 86, 5°.

Решение смотри в файле.

Оби элементарные 1. По т. Пифагора x ^ 2 = 225 – 81 x = 12 Ответ : 12 ; 2. S = (BC + AD) / 2 * BH.

Ответ : 11 см, 11 см, 17 см, 17 см. Объяснение : противоположные стороны параллелограмма равны. Полупериметр параллелограмма (сумма двух смежных сторон) а + в = р = 56 : 2 = 28 см. А = в + 6Составим уравнение : в + в + 6 = 282в = 22в = 11 см, тогд..

∠XOZ = ∠ZOV + ∠VOY + ∠YOU + ∠UOX По условию задачи ∠ ZOV = ∠VOY, ∠YOU = ∠UOX, поэтому ∠XOZ = 2∠VOY + 2∠YOU = 2 * ∠UOV = 2 * 80 = 160°Ответ : ∠XOZ = 160°.

Во втором не знаю как доказать, извиняюсь.

Рассмотрим треугольник АDB и треугольник ACB : угол CA = углу ABD , угол АBD = углу DBA Сторона AB – общая . Значит треугольник ACB = треугольнику BDA по второму признаку равенства треугольников . Тогда AC = BD = 13см.

Так как∆АВС и∆АДС равнобедренные, то АД = ДС АВ = ВС Что бы получить АБД и СВД нужно провести от точки Д до точки Б прямую, она же будет общей стороной. Значит по третьему признаку равенства треугольников∆АВД = ∆СВД.

Как найти периметр четырехугольника вписанного в прямоугольник

Диагонали четырехугольника равны 6 и 2. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

Диагонали четырехугольника равны 57 и 8. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

Диагонали четырехугольника равны 72 и 35. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,

[spoiler title=”источники:”]

http://geometria.my-dict.ru/q/3240871_pomogite-pozalujsta-s-v-pramougolnik-vpisan/

http://math-ege.sdamgia.ru/test?likes=27845

[/spoiler]

Задача. Прямоугольник АВСД разбит на четырёхугольники, как показано на чертеже. Точки А1, В1, С1, Д1 – середины АВ, ВС, СД, И АД. Площади четырёхугольников равны 20см2, 65 см2, и 67 см2,

Найти площадь синего четырёхугольника.

Т_М
Т_М

Привожу несколько чертежей, которые в основном использованы в видео.

Т_М
Т_М
Найти площадь четырёхугольника в прямоугольнике. Удивительная задача и уже не китайская
Т+М
Т+М
Обложка
Обложка

Видео.

Спасибо за прочтение статьи и просмотр видео.

Подписывайтесь на канал Тесты_математика.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые  ( A B C D )  и невыпуклые  ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклый четырехугольник Невыпуклый четырехугольник

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон:  A B  и  A D ,   A B  и  B C ,   B C  и  C D ,   C D  и  A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон:  A B  и  C D ,   B C  и  A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин:  A  и  C ,   B  и  D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.  A C  и  B D  – диагонали четырехугольника  A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Выпуклый четырехугольник

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где  d 1  и  d 2  – диагонали четырехугольника,  φ  – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Параллелограмм: свойства

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна  180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту

S = a ⋅ h a = b ⋅ h b

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Параллелограмм: площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

S = a ⋅ b ⋅ sin α

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Параллелограмм: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб

Ромб

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Ромб: свойства

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Ромб: площадь ромба равна произведению основания на высоту

S = a ⋅ h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Ромб: площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними

S = a 2 ⋅ sin α

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Ромб: площадь ромба равна полупроизведению диагоналей

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны  90 ° .

Свойства прямоугольника:

Прямоугольник: свойства

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Прямоугольник: площадь прямоугольника равна произведению сторон

S = a ⋅ b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Прямоугольник: площадь равна полупроизведению диагоналей на синус угла между дими

S = 1 2 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Квадрат: свойства

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Квадрат: площадь квадрата равна квадрату стороны

S = a 2

Как квадрат стороны.

Квадрат: площадь квадрата равна половине квадрата диагонали

S = d 2 2

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Трапеция

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

B C  и  A D  – основания,  A B  и  C D  – боковые стороны трапеции  A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180 ° .

∠ A + ∠ B = 180 °

∠ C + ∠ D = 180 °

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Трапеция: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

S = a + b 2 ⋅ h = m ⋅ h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Трапеция: площадь трапеции равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

S = 1 2 d 1 ⋅ d 2 ⋅ sin φ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Прямоугольная трапеция

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Содержание:

Четырёхугольник – это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырёхугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне – противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин – противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области – внутреннюю и внешнюю.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения углы Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения являются внешними.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то параллелограмм Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является ромбом.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство теоремы 1.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения ромб.

Докажите, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство (словестное): По определению ромба Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения равнобедренный. Медиана Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (так как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Так как Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является прямым углом, то Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Аналогичным образом можно доказать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

План доказательства теоремы 2

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения равнобедренная трапеция. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажите: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения проведем параллельную прямую к прямой Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения – середину стороны Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения проведите прямую параллельную Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Какая фигура получилась? Является ли Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Можно ли утверждать, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Пусть дан треугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и его средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Проведём через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения прямую параллельную стороне Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения т.е. совпадает со средней линией Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Т.е. средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения параллельна стороне Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теперь проведём среднюю линию Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Т.к. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то четырёхугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является параллелограммом. По свойству параллелограмма Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения По теореме Фалеса Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство: Через точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и точку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения середину Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения через Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения которая является серединой отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения а отсюда следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

2) По теореме Фалеса, если точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является серединой отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то на оси абсцисс точка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

3) Координаты середины отрезка Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения с концами Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения находятся так:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения то, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения – прямоугольный.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25,… также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения являются Пифагоровыми тройками, то и числа Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (рис. 1).

Точки А, В, С, D – вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA – его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA – это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой –Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA – неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ – соседние, а вершины А и С, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, стороны AD и ВС – противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD – диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б – невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Аналогично АВ< ВС+ CD + AD, BC

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Может ли четырёхугольник иметь стороны: 1 см, 2 см, 3 см, 6 см? Не может, так как наибольшая сторона равна сумме трёх других.

Для того чтобы определить, можно ли из четырёх отрезков а, Ь, с, d построить четырёхугольник, проверьте, является ли наибольший из четырёх отрезков меньше, чем сумма трёх других.

Начертите произвольный четырёхугольник и измерьте транспортиром его углы. Чему равна их сумма?

Теорема (о сумме углов четырёхугольника).

Сумма углов четырёхугольника равна 360е.

Дано: четырёхугольник ABCD (рис. 8).

Доказать; Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Диагональ АС четырёхугольника ABCD разделяет его на два треугольника ABC и ACD. Сумма углов четырёхугольника равна сумме всех углов этих треугольников, то есть Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Могут ли в четырёхугольнике все углы быть острыми? Нет, поскольку тогда сумма этих углов будет меньше 360°.

Угол, смежный с углом четырёхугольника, называют внешним углом четырёхугольника.

На рисунке 9 Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения – внешний угол четырёхугольника при вершине D.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

1. У вас может возникнуть вопрос: Чем отличаются выпуклые и невыпуклые четырёхугольники?

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 10) пересекаются, и каждая из них разделяет его на два треугольника. А диагонали невыпуклого четырёхугольника MNKP (рис. 11) не пересекаются, и только одна из них разбивает его на два треугольника.

Каждый угол выпуклого четырёхугольника меньше 180°. Если четырёхугольник невыпуклый, то один из его углов больше 180°.

Понятие «внешний угол» относится только к выпуклым четырёхугольникам. Посмотрите на рисунок 11. В невыпуклом четырёхугольнике MNKP угол N больше 180°. А понятие внешнего угла на углы, которые больше 180е, не распространяется, ведь согласно определению – это угол, смежный с углом четырёхугольника.

2. В отличие от треугольника четырёхугольник – фигура нежёсткая. Если взять четыре планки и соединить их шарнирами, то форму полученного четырёхугольника можно изменять (рис. 12).

3. Термин «диагональ» происходит от греческого слова diagonios, что означает «идущий от угла к углу». Этот термин стал общепринятым лишь в XVIII веке. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллелограмм и его свойства

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольнике ABCD (рис. 28) AD || ВС и АВ || DC.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одной стороны к параллельной ей стороне (либо её продолжению).

На рисунке 29 отрезки ВМ и BN – высоты параллелограмма ABCD. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (свойство сторон и углов параллелограмма).

В параллелограмме: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 30).

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Проведём диагональ AC. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по стороне и прилежащим к ней углам. При этом АС — общая сторона, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения– внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения также, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых >45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Решение:

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (АВ CD, ВС-секущая), Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (ВС || AD, CD – секущая), Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник – параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие – параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD – не параллелограмм. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник – параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник – параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и –у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник – один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник – частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству углов четырёхугольника, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, – это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма – ромб.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Дано: ABCD – ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по двум сторонами и углу между ними.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Так как ромб – это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм – ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник – это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Таблица 1 1

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения При помощи циркуля сравните длины отрезков Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Проведём через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения прямые Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения параллельные ВС. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по стороне и прилежащим к ней углам. У них Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как противоположные стороны параллелограммов Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияПроведём прямую Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Через точки Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения проведём прямые, параллельные прямой Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN – средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, так как точки М и N – середины сторон АВ и ВС.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами – параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие – АВ и CD – непараллельны. Такой четырёхугольник – трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие – непараллельны.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС – основания трапеции, АВ и CD – боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP – равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) – прямоугольная, поскольку Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения = 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF – средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F – середины боковых сторон АВ и CD.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как вертикальные, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Четырехугольник - виды и свойства с примерами решенияравнобедренный. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству внешнего угла треугольника, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения– равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Из доказанного в первом случае следует, чтоЧетырехугольник - виды и свойства с примерами решения измеряется половиной дуги AD, a Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— половиной дуги DC. Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения (рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность – описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник – вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Докажем, что Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения. По свойству равнобокой трапеции, Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Тогда Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ےM + ےK = 180°, либо ےN + ےP= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения вписанного в окружность. Действительно,

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Следовательно, четырёхугольник Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD – вписанный, так как ےABC + ےADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Четырехугольник - виды и свойства с примерами решения

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ےMAD= ےMCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ےACM+ ےADM= 180°.

Тогда ےMAD= ےMCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
Прочитайте внимательно текст и выполните задания №1-5.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.


Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты яблони теплица сарай жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж – 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты яблони теплица сарай жилой дом
Цифры 3 5 1 7

Записываем ответ: 3517


Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

C:UsersУчительDesktopплан 1.jpg

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Ответ: 11


Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

C:UsersУчительDesktopплан 3.jpg

Ответ: 4


Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина – 6 м (3 клетки).

C:UsersУчительDesktopгараж.jpg

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Ответ: 48


Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер

магазина

Расход

краски

Масса краски

в одной банке

Стоимость одной банки краски Стоимость доставки заказа
1 0,25 кг/кв.м 6 кг 3000 руб. 500 руб.
2 0,4 кг/кв.м 5 кг 1900 руб. 800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: 30500

Ответ: см. решение

Добавить комментарий