Десятичные дроби и действия с ними
Десятичная дробь – это дробь, имеющая в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д.
Такие дроби принято записывать в строчку, а не как обыкновенную дробь.
ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:
-
Сначала выделяют целую часть, ставят запятую, а потом записывают числитель дробной части.
Например:
(7frac{38}{100} = 7,38)
-
Если дробь правильная, то целая часть равна 0:
Например:
(frac{6}{10} = 0,6)
-
После запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей стоит после единицы в знаменателе дроби. Например, если в знаменателе 10, то после запятой будет одна цифра.
-
Если в знаменателе 1000, то после запятой должно быть три цифры. Если в числителе дроби цифр меньше, чем нулей в знаменателе, тогда после запятой ставят нужное количество нулей, а уже потом записывают числитель:
Например:
(frac{56}{1000})
в знаменателе три нуля, а в числителе только две цифры. Чтобы уравнять количество цифр и нулей, представим дробь как
(frac{056}{1000})
Ноль в начале числителя никак на него не влияет, но помогает нам записать дробь в виде десятичной. Получается, что:
(frac{56}{1000} = frac{056}{1000} = 0,056)
ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:
-
Читают десятичные дроби в соответствии с количеством цифр после запятой. Если цифра одна, то знаменатель соответствует числу 10. Тогда мы говорим, что доля десятичная. Если цифры две, то знаменатель соответствует числу 100, доля такой дроби – сотая. Так же называют тысячную долю, десятитысячную, миллионную и так далее.
Например:
(19frac{32}{100} = 19,32) – девятнадцать целых, 32 сотых;
(2frac{9}{1000} = 2frac{009}{1000} = 2,009) – две целых, 9 тысячных;
(frac{3}{10} = 0,3) – три десятых.
-
Если приписать или убрать ноль в конце дроби, то она не изменится.
Например:
(0,80 = 0,8) (80 сотых = 8 десятых);
(0,0780 = 0,078) (780 десятитысячных = 78 тысячных).
СРАВНЕНИЕ ДСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Чтобы сравнить дроби, их нужно привести к одинаковому количеству знаков после запятой.
Например:
Сравним 0,07 и 0,5.
У первой дроби после запятой две цифры, у второй только одна. Значит второй дроби нужно ее добавить так, чтобы дробь не изменилась. Мы можем приписать ноль в конце дроби.
Получим 0,07 и 0,50. Теперь мы сравниваем две дроби со знаменателем 100. Становится понятно, что 7<50, значит 0,07<0,50, значит 0,07<0,5.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Сложим две десятичные дроби:
(1,8 + 3,062)
СПОСОБ 1:
-
Чтобы найти сумму или разность десятичных дробей, можно представить их как обыкновенные.
(1frac{8}{10} + 3frac{62}{1000})
-
Если дроби имеют разные знаменатели, приведем их к одному. Проще всего приписать к одной дроби (и к числителю, и к знаменателю) одинаковое количество недостающих нулей:
(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000})
-
Теперь сложим дроби как смешанные:
(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000} = 4frac{800 + 62}{1000} = 4frac{862}{1000})
-
Переведем дробь обратно в десятичную:
(4frac{862}{1000} = 4,862)
СПОСОБ 2:
-
Сумму или разность десятичных дробей можно найти столбиком. Запишем одно число под другим так, чтобы запятая одной дроби находилась по запятой другой:
-
Уравняем количество знаков (чисел) после запятой:
-
Сложим числа в столбик не обращая внимание на запятую.
-
Поставим запятую суммы под запятыми слагаемых:
СПОСОБ 3:
Можно воспользоваться тем фактом, что число состоит из целой и дробной частей и сложить сначала одно, потом другое.
-
Представим дроби в ином виде:
(1,8 = 1 + 0,8)
(3,062 = 3 + 0,062)
-
Сложим целые части:
(1 + 3 = 4)
-
Сложим дробные части:
(0,8 + 0,062 = 0,862)
-
Сложим полученные значения:
(4 + 0,862 = 4,862)
УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Умножение десятичной дроби на натуральное число:
Например:
(1,81 bullet 3)
1. Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:
2. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько отделено у дроби:
Умножение десятичной дроби на десятичную дробь:
Например:
(1,81 bullet 0,03)
-
Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:
-
В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько в сумме отделено у множителей:
Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:
Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Например:
(2,34 bullet 10 = 23,4)
(0,687 bullet 1000 = 687)
(7,095 bullet 100 = 709,5)
Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:
Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе:
(183,7 bullet 0,01 = 1,837)
(0,22 bullet 0,1 = 0,022)
(619 bullet 0,001 = 0,619)
ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:
Деление десятичной дроби на число:
Например:
(2,52 : 4)
-
Найдем частное в столбик, не обращая внимание на запятую:
-
В полученном частном отделим запятой столько знаков справа, сколько отделяется в делимом:
Деление десятичной дроби на десятичную дробь:
Например:
(0,252 : 0,4)
-
В делителе и делимом перенести вправо запятую на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
(0,252 : 0,4 = 2,52 : 4)
-
Выполнить деление на натуральное число.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:
Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе.
-
Разделить на 10 = умножить на 0,1
-
Разделить на 100 = умножить на 0,01
-
Разделить на 1000 = умножить на 0,001
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:
Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
-
Разделить на (0,1 =) умножить на 10
-
Разделить на( 0,01 =) умножить 100
-
Разделить на (0,001 = )умножить на 1000
Десятичные дроби — для чайников
Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.
Все это здесь.
Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.
Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))
3. Свойства десятичных дробей
- Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
- Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
- Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
- Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Деление десятичных дробей друг на друга
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
( displaystyle frac{8}{10}=0,8)
( displaystyle frac{13}{100}=0,13)
( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)
Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
- Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
- Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».
А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:
- ( 0,05;)
- ( 0,4;)
- ( 0,27;)
- ( 0,245)
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.
Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.
В общем, смотри:
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Попробуй перевести:
- ( 0,136)
- ( 0,2436)
- ( 0,0456)
- ( 0,21)
Сравним ответы:
- ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
- ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
- ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
- ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
- ( displaystyle frac{2}{10})
- ( displaystyle frac{3}{100})
- ( displaystyle frac{4}{1000})
- ( displaystyle frac{4562}{100})
А вот и ответы:
- ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
- ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
- ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
- Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
- После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
- Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
- ( displaystyle frac{26}{10})
- ( displaystyle frac{43}{100})
- ( displaystyle frac{99}{1000})
- ( displaystyle frac{3562}{100})
А теперь ответы:
- ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
- ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
- ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
- ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)
Виды десятичных дробей
Десятичная дробь может быть:
- конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
- бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
- периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).
Поговорим сначала о конечных дробях.
Конечная десятичная дробь
Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:
( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)
То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
- ( displaystyle frac{1}{5})
- ( displaystyle frac{1}{8})
- ( displaystyle frac{3}{5})
- ( displaystyle frac{1}{16})
Сравним наши ответы:
- ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
- ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
- ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
- ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)
Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.
Бесконечная десятичная дробь
Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).
Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )
Таким образом:
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?
( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)
Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))
( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).
Свойства десятичных дробей
Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули
( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
( 0,014330000=0,01433)
ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!
( 0,014330000ne 0,1433)
3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)
4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)
Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.
Действия с десятичными дробями
Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.
Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.
Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.
Как складывать десятичные дроби
При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Разберемся на примере:
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.
Решим наш пример, учтя все правила:
Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:
- ( 0,0125+0,141)
- ( 2,4225+0,34)
- ( 122,4355+1,34)
- ( 2,435+12,3)
Сравним ответы:
- ( 0,0125+0,141=0,1535)
- ( 2,4225+0,34=2,7625)
- ( 122,4355+1,34=123,7755)
- ( 2,435+12,3=14,735)
Как вычитать десятичные дроби
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.
Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.
Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.
Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.
Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.
Посмотрим подробно на примере:
Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:
- ( 0,0125-0,141)
- ( 2,4225-0,34)
- ( 122,4355-1,34)
- ( 12,435-12,3)
Сравним полученные ответы:
- ( 0,0125-0,141=-0,1285)
- ( 2,4225-0,34=2,0825)
- ( 122,4355-1,34=121,0955)
- ( 12,435-12,3=0,135)
Как умножать десятичные дроби
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.
Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.
Непонятно? Смотри:
Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.
Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.
Не веришь? Смотри:
Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.
Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).
Проиллюстрируем данное правило:
Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.
Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).
А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.
Как делить десятичные дроби
Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.
Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.
Итак. Мы рассмотрим два вида деления:
- деление десятичной дроби на натуральное число;
- деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Важно!!!
Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?
Рассмотрим на конкретном примере:
Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:
- ( 135,2:5)
- ( 16,4:2)
- ( 158,14:4)
- ( 2,456:2)
- ( 0,626:2)
Сравним наши ответы:
- ( 135,2:5=27,04)
- ( 16,4:2=8,2)
- ( 158,14:4=39,535)
- ( 2,456:2=1,228)
- ( 0,626:2=0,313)
Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.
Например: ( 135,2:10=13,52).
А теперь попробуй самостоятельно:
- ( 135,2:100)
- ( 16,4:10)
- ( 158,14:1000)
- ( 2,456:10)
Перенес? Смотри, что у меня получилось:
- ( 135,2:100=1,352)
- ( 16,4:10=1,64)
- ( 158,14:1000=0,15814)
- ( 2,456:10=0,2456)
Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.
Деление десятичных дробей друг на друга
Итак, для того чтобы это делать существует три правила:
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
- Делим числа как натуральные.
ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.
Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)
В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!
Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).
Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)
Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).
А теперь делим в столбик:
Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.
Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!
Как сравнивать десятичные дроби
Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.
Способ первый – поразрядно.
Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)
1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)
Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)
2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.
Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:
( 5,365 > 5,360)
Способ второй – с помощью умножения.
Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:
( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)
( 5365 V 5360)
Эти числа ты сравнишь без проблем:
( 5365 > 5360)
Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:
- ( 21,34 V 20,34)
- ( 0,34 V 0,341)
- ( 120,15 V 1210,16)
- ( 10,565 V 10,465)
Справился? Смотри что вышло:
- ( 21,34 > 20,34)
- ( 0,34 < 0,341)
- ( 120,15 < 1210,16)
- ( 10,565 > 10,465)
Вот теперь ты усвоил дроби полностью!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными. Также мы узнали что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.
Мы ещё не полностью изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться работать с обоими видов дробей.
Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.
Выражение величин в дробном виде
Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:
Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:
Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.
Итак, 6 целых сантиметров у нас уже есть:
Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах?
На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как 
см
Выражение см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.
В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:
Цифра 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра».
Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут цéлую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.
Например, запишем 
без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6
6
Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:
6,
И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:
6,3
Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью.
Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:
6,3 см
На рисунке выглядеть это будет так:
На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части содержатся числа 10, 100, 1 000 или 10 000.
Как и смешанное число, десятичная дробь имеет цéлую часть и дробную.
Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .
В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.
Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь 
дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Так, дробь без знаменателя будет записана так:
0,5
Читается как «ноль целых, пять десятых».
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым перевóдим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.
После того как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит?
Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число 
в десятичную дробь.
Сначала записываем цéлую часть и ставим запятую:
3,
И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать сколько нулей содержится в знаменателе дробной части.
Итак, посчитаем количество нулей в дробной части смешанного числа . Видим, что в знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2
3,2
Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2. Эта десятичная дробь читается так:
«Три целых, две десятых»
«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа содержится число 10.
Пример 2. Перевести смешанное число 
в десятичную дробь.
Записываем цéлую часть и ставим запятую:
5,
И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.
В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3
Теперь можно довести дело до конца. Записываем после запятой числитель дробной части:
5,03
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.
Десятичная дробь 5,03 читается так:
«Пять целых, три сотых»
«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа содержится число 100.
Пример 3. Перевести смешанное число 
в десятичную дробь.
Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.
Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.
В первую очередь смóтрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:
Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это цифра 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед цифрой 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:
Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала цéлую часть и ставим запятую:
3,
и сразу записываем числитель дробной части
3,002
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 
одинаково.
Десятичная дробь 3,002 читается так:
«Три целых, две тысячных»
«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа содержится число 1000.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.
Пример 1. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:
0,
Теперь смóтрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой цифру 5
0,5
В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,5 читается так:
«Ноль целых, пять десятых»
Пример 2. Перевести обыкновенную дробь 
в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и стáвим запятую:
0,
Теперь смóтрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед цифрой 2 один ноль. Тогда дробь примет вид 
. Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:
0,02
В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,02 читается так:
«Ноль целых, две сотых».
Пример 3. Перевести обыкновенную дробь 
в десятичную дробь.
Записываем 0 и стáвим запятую:
0,
Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед цифрой 5 дописать четыре нуля:
Теперь можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби
0,00005
В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,00005 читается так:
«Ноль целых, пять стотысячных».
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя.
Бывают неправильные дроби, у которых в знаменателе содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять цéлую часть.
Пример 1. Перевести неправильную дробь 
в десятичную.
Дробь является неправильной. Чтобы перевести такую дробь в десятичную, нужно в первую очередь выделить у нее цéлую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к этой теме и хорошенько изучить её.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10. Деление нужно выполнить с остатком:
Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Частное 11 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, делитель 10 — знаменателем дробной части:
Мы получили смешанное число 
. Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
11,
Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать после запятой числитель дробной части:
11,2
Значит, неправильная дробь при переводе в десятичную обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь 
в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе содержится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим уголком 450 на 100:
Соберём новое смешанное число — получим 
. Теперь переведём его в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
4,
Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
4,50
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны и между ними можно поставить знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос «а почему так происходит?» Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби.
Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:
6
и рядом три десятых:
Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число
3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых
3
и рядом записываем две тысячных:
3 
Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число
4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых
4
и рядом пятьдесят сотых:
Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Докажем, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.
После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в 
Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь имеем две дроби 
и 
. Теперь вспоминаем основное свойство дроби, которое говорит о том, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не меняется.
Давайте разделим числитель и знаменатель первой дроби на число 10
Получили , а это есть вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:
=
Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:
0
и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .
Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.
0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем две сотых
Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь
0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных
Пример 4. Перевести 3,5 в обыкновенную дробь
Сначала переведём данную десятичную дробь в смешанное число:
Теперь смешанное число 
переведём в неправильную (обыкновенную) дробь:
Пример 5. Перевести 1,25 в обыкновенную дробь
Сначала переведём данную десятичную дробь в смешанное число:
Теперь смешанное число 
переведём в неправильную (обыкновенную) дробь:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Десятичная дробь – это форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен (10), (100), (1000) и т.д.
Пример:
Запятая в десятичной дроби отделяет:
1) целую часть от дробной;
2) столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Десятичную дробь можно представить как обыкновенную: для этого «прочитайте» десятичную дробь и запишите прочитанное в виде смешанной дроби.
Например, (0,35) читается как «ноль целых, тридцать пять сотых». Так и пишем: (0 frac{35}{100}). Целая часть равна нулю, то есть ее можно просто не писать, а дробную часть – сократить на (5).
Получим: (0,35=0frac{35}{100}=frac{35}{100}=frac{7}{20}).
Еще примеры: (2,14=2frac{14}{100}=frac{214}{100}=frac{107}{50});
(7,026=7frac{26}{1000}=frac{7026}{1000}).
Этот переход можно делать и быстрее:
Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой.
Звучит сложно, поэтому смотрите картинку:
Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?
Для этого надо домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось (10), (100), (1000) и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.
Примеры: (frac{3}{5})(=)(frac{3cdot 2}{5cdot 2})(=)(frac{6}{10})(=0,6); (frac{63}{25})(=frac{63 cdot 4}{25cdot 4})(=)(frac{252}{100})(=2,52); (frac{7}{200})(=)(frac{7 cdot 5}{200cdot 5})(=)(frac{35}{1000})(=0,035).
Этот способ хорошо работает, когда в знаменателе дроби: (2), (5), (20), (25)… и т.д., то есть когда сразу понятно, на что надо домножать. Однако в остальных случаях:
Для превращения обыкновенной дроби в десятичную нужно поделить числитель дроби на ее знаменатель.
Например, дробь (frac{7}{8}) проще преобразовать делением (7) на (8), чем догадываться, что (8) можно домножить на (125) и получить (1000).
Далеко не все обыкновенные дроби без проблем превращаются в десятичные. Точнее, превращаются-то все, но вот записать результат такого превращения бывает весьма трудно. Например, дробь (frac{9}{17}) в десятичном виде будет выглядеть как (0,52941…) – и так далее, бесконечный ряд неповторяющихся цифр. Такие дроби обычно оставляют в виде обыкновенных.
Однако некоторые дроби, дающие бесконечный ряд цифр в десятичном виде записаны быть могут. Так происходит в случае, если цифры в этом ряду повторяются. Например, дробь (frac{2}{3}) в десятичном виде выглядит так (0,66666…) – бесконечный ряд шестерок. Ее записывают вот так: (0,(6)). Содержимое скобки – это как раз и есть бесконечно повторяющаяся часть (так называемый период дроби).
Еще примеры: (frac{100}{27})(=)(3,7037037037…=3,(703)).
(frac{579}{110})(=5,2636363636…=5,2(63)).
Виды десятичных дробей:
Сложение и вычитание десятичных дробей
Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) натуральных чисел: главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом.
Умножение десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом числе и во втором, а затем отделить полученное количество знаков в итоговом числе, считая справа налево.
Лучше (1) раз посмотреть на картинку, чем (10) раз прочитать, поэтому наслаждайтесь:
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую во втором числе (делителе) до тех пор, пока оно не станет целым. Потом на столько же перенести запятую в первом числе (делимом). Затем нужно разделить получившиеся числа как обычно. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом.
Снова картинка объяснит принцип лучше любого текста.
На практике бывает легче представлять деление как обыкновенную дробь, потом домножением числителя и знаменателя убирать запятые (или просто сразу передвигать запятые, как делали выше), а затем сокращать получившиеся числа.
(13,12:1,6=)(frac{13,12}{1,6})(=)(frac{13,12·100}{1,6·100})(=)(frac{1312}{160})(=)(frac{328}{40})(=)(frac{82}{10})(=8,2).
Пример. Вычислите (0,0625:()(frac{1}{8})(+)(frac{5}{16})()cdot 2,8).
Решение:
|
(0,0625:()(frac{1}{8})(+)(frac{5}{16})()cdot 2,8=) |
Приведем дроби в скобке к общему знаменателю и сложим: (frac{1}{8})(+)(frac{5}{16})(=)(frac{2}{16})(+)(frac{5}{16})(=)(frac{7}{16}). |
|
|
(=0,0625:()(frac{7}{16})()cdot 2,8=) |
Поделим (7) на (16), то есть запишем полученную дробь в десятичном виде. |
|
|
(=0,0625:0,4375cdot 2,8=) |
Представим знак деления как дробную черту и перенесем запятые на (4) знака вправо. |
|
|
(=)(frac{625}{4375})(cdot 2,8=) |
Сократим дробь на (625). |
|
|
(=)(frac{1}{7})(cdot 2,8=) |
Представим десятичную дробь (2,8) как обыкновенную и перемножим две дроби. |
|
|
(=)(frac{1}{7})(cdot)(frac{28}{10})(=)(frac{28}{70})(=)(frac{4}{10})(=0,4). |
Ответ: (0,4).
Пример.Вычислите (frac{0,4 – 0,9}{0,5 + frac{1}{3}}).
Решение:
|
(frac{0,4 – 0,9}{0,5 + frac{1}{3}})(=) |
В числителе сделаем вычитание. В знаменателе переведем (0,5) в обыкновенную дробь. |
|
|
(=) (frac{- 0,5}{frac{1}{2} + frac{1}{3}})(=) |
С трехэтажными дробями работать неудобно, поэтому большую дробную черту представим как деление. |
|
|
(=)(- 0,5:)(({frac{1}{2} + frac{1}{3})})(=) |
Приведем дроби в скобке к общему знаменателю… |
|
|
(=) (- 0,5:)(({frac{3}{6} + frac{2}{6})})(=) |
…и сложим их. |
|
|
(=)(- 0,5:)(frac{5}{6})(=) |
Представим десятичную дробь в обыкновенном виде и заменим знак деления умножением, перевернув вторую дробь. |
|
|
(=-)(frac{1}{2})∙(frac{6}{5})(=-)(frac{6}{10})(=) |
Получим ответ, переведя дробь в десятичную. |
|
|
(=-0,6). |
Ответ: (-0,6).
ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ
Ключевые слова конспекта: десятичная дробь, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части, представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.
Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.
Сравнение десятичных дробей
- Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше: 7,99 > 6,399.
- Если целые части дробей равны, то больше та дробь, у которой десятых больше. Если и десятые равны, то больше та дробь, у которой больше сотых, и т. д.: 85,7 > 85,679; 35,87 > 35,8695; 5,09 < 5,1.
Арифметические действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
- уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
- записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
- выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
- поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
- разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
- поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
- если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:
- в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
- выполнить деление на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).
Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
и обыкновенной в виде десятичной
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители.
Это конспект по теме «Десятичная дробь». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
