Как найти число если известен остаток

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Узнать остаток от деления степени на число в форуме Алгебра	Djwiccdeqd	10	686	30 дек 2018, 20:42
Является ли число остатком от деления при тесте Люка—Лемера в форуме Теория чисел	xsx	3	479	24 ноя 2016, 08:37
Можно ли по известному остатку подобрать показатель степени? в форуме Теория чисел	testuser7	20	551	29 дек 2019, 20:24
Найти остаток от деления в форуме Теория чисел	kicultanya	6	790	04 апр 2018, 18:27
Найти остаток от деления в форуме Алгебра	afraumar	4	3321	12 авг 2013, 15:20
Найти остаток от деления в форуме Теория чисел	xxl1	7	1242	25 июн 2017, 02:16
Найти остаток от деления в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад	Nadzor_26	2	1611	04 июн 2014, 21:24
Найти остаток от деления в форуме Теория чисел	Trek	2	777	16 янв 2015, 20:46
Найти остаток от деления в форуме Теория чисел	Sec	4	875	20 янв 2015, 22:15
Найти остаток от деления в форуме Алгебра	afraumar	3	894	15 авг 2013, 13:05

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Число возводится в степень 5 и делится на 1089671048441. После этого становится известен остаток от деления. Вопрос, как найти число? Т.е. x^5 mod 1089671048441 = y; Найти x при известном y. Пример: Остаток от деления = 252260378, число 956044873207; Остаток от деления = 604222124, число 876582861739; Остаток от деления = 622543887, число 251172385378; Остаток от деления = 2418908791, число 196922307772;

Как найти целое, если известна его часть? Например, 3/8 торта весит 300 грамм. Как узнать, сколько весит весь торт? Нахождение целого по его части Если у нас известна какая-либо часть (доля) от целого, то можно всегда “восстановить” целое. При этом нужно помнить, что часть от целого числа может быть выражена либо в виде дроби (обычно обыкновенной), либо в виде процента. Рассмотрим оба случая. 1) Часть числа – это обыкновенная дробь. В этом случае для нахождения целого нужно число, соответствующее данной части, разделить на дробь. Для того, чтобы число разделить на обыкновенную дробь, нужно умножить его на знаменатель дроби и разделить на числитель. _ Пример 1: Специалист отдела кадров получил премию 2000 рублей, что составляет 1/15 часть от его месячной зарплаты. Требуется узнать, сколько составляет зарплата у данного сотрудника. Решение: Зарплата = 2000 / (1/15) = 2000 * 15 = 30000 рублей. Значит, сотрудник получает зарплату 30000 рублей в месяц. _ Пример 2: Было засеяно пшеницей 12 гектаров поля, что составляет 3/5 от его общей площади. Нужно посчитать, чему равна площадь поля. Решение: Площадь поля = 12 / (3/5) = 12 * (5/3) = 20 гектаров. 2) Часть числа представлена в процентах. Если доля от целого является процентом, а не обыкновенной дробью, то подобные задачи можно решать с помощью составления пропорции. _ Пример: Цена апельсинов со скидкой равна 120 рублей, величина скидки равна 20%. Нужно узнать, сколько стоили апельсины изначально. Решение: Так как скидка = 20%, то от исходной цены апельсинов осталось 100% – 20% = 80%. 80% – 120 рублей. 100% – x рублей. 0,8x = 120 рублей. x = 120 / 0,8 = 150 рублей. Таким образом, до скидки апельсины стоили 150 рублей. модератор выбрал этот ответ лучшим Алиса в Стран­е [363K] 3 года назад  Часть числа может быть выражена в виде десятичной или простой дроби, в виде процентов, что по сути то же самое, что десятичная дробь, всем понятно, что 0,1 это 10%, например. Если известна часть числа в абсолютном выражении и то, какую часть она составляет от целого, то нет ничего проще, чем определить это целое. Допустим, 20 яблок это 25 % от всех яблок, надо 20 поделить на 0,25, чтобы определить общее количество яблок, 20/0,25 = 80, вот так мы нашли целое по его части. Еще один пример разберем, 12 мест в автобусе это 1/3 от всех мест в автобусе, как найти общее число всех мест в автобусе, делим 12 на 1/3, то есть по правилам деления на дробь умножаем 12 на 3, получается 36. Ну и в итоге решим задачку автора из его вопроса: 300 граммов делим на 3/8 получаем 800 граммов. smile­6008 [28.5K] 3 года назад  В математике и жизни бывают случаи, когда необходимо найти число, зная только его часть. Для этого можно использовать различные способы расчётов, использовать дроби , но удобнее всего рассчитать в процентном соотношении. Итак мы знаем, что 300 грамм составляют 3/8 торта. Нужно узнать сколько же весит торт целиком. Переводим в процентное соотношение, поделим 8 на 3, получим 0,26666 в процентах – это 26,6%. Теперь найдём 100 %, для этого посчитаем пропорцию. 26,6% = 300 ;100 % = x. X = 26,6*300/100.Получае­м 799,8 округляем по закону округление в большую сторону, получаем 800 гр весит весь торт. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [3.3K] 5 лет назад  Для лучшего понимания процесса можно делать так (хотя математически это нерационально). Узнайте чему равна ОДНА часть. Для этого заданное число разделите на количество заданных частей в дроби, их 3. 300 делим на 3, получаем 300/3=100 Это одна восьмая часть. Целое – это восемь восьмых, потому предыдущий результат умножаем на 8, получаем 100*8=800 Если же дробь задана, как десятичная, т.е. 0.375, то представляем её, как натуральную (это 375/1000) и поступаем точно так же. Узнаём, чему равна одна тысячная часть 300/375=0.8 Ну, а далее узнаём чему равно само целое 0.8*1000=800 Эл Лепсо­ид [139K] 5 лет назад  В общем случае, конечно, следует прибегнуть к составлению пропорции, поставив в соответствие к имеющейся части ее вес, а к целому (т.е. единице) – неизвестную “х”. Но, поскольку, у нас во второй части пропорции стоит “1”, то решить задачу можно значительно проще: просто разделить на величину известной части. В нашем случае получается: 300/(3/8) = 300*8/3 = 800. Таким образом, весь торт будет весить 800 грамм. СТА 1106 [295K] 3 года назад  3/8- означает, что на три части из восьми приходится 300 грамм. Требуется узнать вес целого, в данном случае, торта. Для этого нужно узнать, что приходится на одну часть. Можно решить методом пропорции, мой любимый метод. Итак: 3 части – 300 грамм. 8 частей – Х грамм. Решаем пропорцию. 8 × 300 ÷ 3 = 800 грамм. Общий алгоритм решения следующий. Зная, сколько приходится на долю от целого, нужно определить, сколько приходится на единицу измерения ( грамм, килограмм, метр, час и т.д). Затем зная это, просто умножает на все количество долей, на которое поделён данный предмет. В данном случае- это восемь частей. Второй вариант решения задачи. 300 : 3 × 8 = 800 грамм. Ответ. 800 грамм , в обоих вариантах таз решения задачи. Проще не бывает. Надо число означающее часть разделить на количество этих частей и полученный результат умножить на целое. Получим число выражающее целую часть. Пример: Дано 4/15 равняется 40. Делим сорок на четыре и умножаем на 15. Получаем сумму в 150 – это и будет целое. Или 2/10 равняется 40. Делим сорок на два, получаем двадцать. Умножаем двадцать на десять, получаем двести. Целое число двести. Maste­r-Marga­rita [135K] 5 лет назад  Чтобы узнать, сколько весит торт в данном случае, надо провести следующие арифметический действия: (300*8)/3=800 грамм. То есть, чтобы найти целое нужно часть умножить на знаменатель дроби и разделить на числитель дроби. В данном случае числитель – 3, а знаменатель – 8. Рина1­9 [31.1K] 5 лет назад  Сначала найдём чем у равна 1 часть из всех имеющихся. А затем умножим её на общее число всех частей. На данном примере. Известно, что 3/8 торта весит 300 г, т.е. 3 части из 8 на которые был нарезан торт или, по другому, 3 куска торта из 8 нарезанных кусочков весят 300 г. Тогда 1 кусочек будет весить: 300/3=100 г. Теперь находим чему будет весить все 8 кусков, т.е. весь торт. 100*8=800 г Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Если 3/8 торта весит 300 грамм, то сначала узнаем сколько весит одна часть. 300/3=100 грамм. Теперь умножаем на 8 и получаем, что весь торт весит 800 грамм. Приведем еще пример как найти целое число, если известна часть. В классе присутствует 27 человек и это 3/4 общего количества. Сколько человек в классе? Решить задачу можно так: 27 : 3/4 = 36 человек. Знаете ответ?

П

Пример [1]. Найти натуральное число, которое при делении на $ 3_{} $ дает в остатке $ 2_{} $,
при делении на $ 7_{} $ дает в остатке $ 3_{} $, а при делении на $ 10_{} $ — в остатке $ 9_{} $.

Решение. Пусть $ u,v,w $ — частные от деления неизвестного числа на $ 3, 7 $ и $ 10_{} $ соответственно. Имеем:
$$ 3,u+2=7,v+3, 3,u+2=10, w+9, 7,v+3=10, w+9 . $$
Решаем последнее уравнение в целых числах, применяя рассуждения, приведенные

☞

ЗДЕСЬ:
$$ w=7,t_1-2, v=10,t_1-2 quad npu quad forall t_1 in mathbb Z . $$
Подставим найденное выражение для $ v_{} $ в первое уравнение $ 3,u+2=7,v+3 $:
$$ 3,u-70, t_1=-13 , $$
которое также можно решить: $ u=19+70, t_2 $ при $ forall t_2 in mathbb Z $. Следовательно,
общий вид искомых чисел:
$$ 3,u+2=3 (19+70, t_2)+2=59+210, t_2 quad npu quad forall t_2 in mathbb Z . $$
Наименьшее положительное число получается при $ t_2=0 $.

Ответ. $ 59 $.

Т

Теорема [Китайская теорема об остатках (КТО)].
Пусть числа $ M_1 , M_2, dots, M_k $ — попарно взаимно простые, и
$$ M= M_1 M_2 times dots times M_k .$$
Тогда система

$$
x equiv B_1 pmod{M_1}, x equiv B_2 pmod{M_2}, dots,
x equiv B_k pmod{M_k}
$$
имеет единственное решение среди чисел $ {0,1,dots,M-1 } $, и это решение
может быть представлено в одном из следующих видов:

1.

либо $ x = x_1 pmod{M} $ при
$$
x_1= frac{M}{M_1} B_1 y_1 +frac{M}{M_2} B_2 y_2+ dots + frac{M}{M_k} B_k y_k
$$
и $ y_j $ обозначающем число, обратное числу $ Mbig/ M_j $
относительно умножения по модулю $ M_j $:
$$frac{M}{M_j} y_j equiv 1 pmod{M_j} ;$$

2.

либо $ x = x_2 pmod{M} $ при
$$
x_2= B_1 +z_1M_1+z_2M_1M_2 +dots + z_{k-1}M_1M_2times dots times M_{k-1}
,
$$
и числах $ z_1,dots,z_{k-1} $ последовательно определяемых из сравнений
$$
begin{array}{lcl}
B_1+z_1M_1 &equiv B_2 pmod{M_2} , , & \
B_1 +z_1M_1+z_2M_1M_2 &equiv B_3 pmod{M_3} , ,& \
dots & dots & \
B_1 +z_1M_1+z_2M_1M_2 +dots + z_{k-1}M_1M_2times dots times M_{k-1} & equiv B_k pmod{M_k} , . &
end{array}
$$

Доказательство.

1.

При любых целых числах $ y_2,dots,y_k $ число $ x_{1} $, определяемое формулой

1

, удовлетворяет сравнению
$$x_1equiv frac{M}{M_1} B_1 y_1 pmod{M_1}$$
(поскольку числа $ M/M_2,dots,M/M_k $ делятся на $ M_{1} $).
Пусть число $ y_1in { 1, dots ,M_1-1 } $ удовлетворяет сравнению
$$frac{M}{M_1} y_1 equiv 1 pmod{M_1}$$
(на основании теоремы существования и предположений доказываемой теоремы
такое число существует и оно единственно).
Тогда $ x_1equiv B_1 pmod{M_1} $, т.е. удовлетворяет первому из сравнений системы. Аналогично показывается справедливость остальных сравнений.

2.

Фактически, этот алгоритм заключается в последовательном решении сравнений
системы. Решение первого имеет вид $ B_1+M_1t_1 $
при $ t_1in mathbb Z $;
оно подставляется во второе, из которого находим представление для $ t_1 $
в виде $ t_1=z_1+M_2t_2 $ при $ t_2in mathbb Z $, и т.д. Формально:
число $ x_2 $, определяемое формулой

2

, очевидно
удовлетворяет первому из сравнений системы: $ x_2 equiv B_1 pmod{M_1} $.
Далее, $ x_2equiv B_1+ z_1M_1 pmod{M_2} $ и сравнение
$ x_2 equiv B_2 pmod{M_2} $ будет выполнено, если $ z_1 $ удовлетворяет
сравнению $ B_1+ z_1M_1 equiv B_2 pmod{M_2} $. Поскольку $ operatorname{HOD} (M_1,M_2)=1 $, то
на основании теоремы существования,
такое число существует и оно единственно при условии
$ z_1in { 1, dots ,M_2-1 } $.
Установив его, продолжаем далее по индукции.

В заключение покажем, что любые два решения
$ tilde{x} $ и $ tilde{tilde{x}} $
системы сравнимы между собой по модулю $ M_{} $. В самом деле:
$$ tilde{x} equiv B_j pmod{M_j},
tilde{tilde{x}} equiv B_j pmod{M_j} Rightarrow
tilde{x} – tilde{tilde{x}} equiv 0 pmod{M_j}
$$
для $ forall j in {1,dots, k } $.
Поскольку числа $ M_1,dots,M_{k} $ попарно взаимно просты, то
на основании теоремы 4, приведенной

☞

ЗДЕСЬ, имеем:
$ tilde{x} – tilde{tilde{x}} equiv 0 pmod{M_1times dots
times M_k} $.

♦

Однако некоторые соображения, основанные на знании реалий армейской жизни, позволяют усомниться в практической пользе подобных — математически абсолютно безупречных —
рассчетов… — см. упражнение ниже.

П

Пример 1. Решить систему сравнений

$$x equiv 7 pmod{8}, x equiv -1 pmod{11}, x equiv 3 pmod{15}
.$$

Решение. Проиллюстрируем оба способа из теоремы. Для представления

1

сначала решаем сравнения
$$165 cdot y_1 equiv 1 pmod{8} ,quad
120 cdot y_2 equiv 1 pmod{11} ,quad
88 cdot y_3 equiv 1 pmod{15} , $$
которые, очевидно, эквивалентны следующим:
$$ 5 cdot y_1 equiv 1 pmod{8} ,quad
10 cdot y_2 equiv 1 pmod{11} ,quad
13 cdot y_3 equiv 1 pmod{15} . $$
Алгоритм решения линейного сравнения даст решения в виде
$$y_1=5, quad y_2=10 , quad y_3=7 . $$
По формуле

1

получаем
$$x_1= underbrace{7cdot 5 cdot 165 + (-1)cdot 10 cdot 120 +
3 cdot 7 cdot 88}_{6423} = 1143+1320times 4 equiv 1143
pmod{1320} .$$

Для

2

решением сравнения $ 7+ 8, z_1 equiv -1 pmod{11} $
очевидно является $ z_1 equiv_{_{11}} -1 equiv_{_{11}} 10 $. Сравнение
$ 7+8 cdot 10 + 8cdot 11 , z_2 equiv 3 pmod{15} $ эквивалентно
$ 13, z_2 equiv 6 pmod{15} $ и имеет решение $ z_2=12 $.
Окончательно
$$x_2= 87 + 8cdot 11 cdot 12 =1143 .$$

Ответ. $ x equiv 1143 pmod{1320} $.

При вычислениях по формуле

1

один из коэффициентов $ y_jM/{M_j} $ можно легко установить, если все остальные уже вычислены:

?

Доказать, что при условиях (и в обозначениях) теоремы имеет место сравнение

$$ frac{M}{M_1} y_1 +frac{M}{M_2} y_2+ dots + frac{M}{M_k} y_k equiv 1 pmod{M} . $$

Какой из алгоритмов теоремы —

1

или

2

— предпочтителен при расчетах

?

Для фиксированной системе сравнений эти
алгоритмы равноэффективны. Однако если идет речь о решении
серии однотипных систем с изменением входящих в них параметров,
то проявляются преимущества каждого из алгоритмов. Рассмотрим сначала
серию систем сравнений
$$
x equiv B_1 pmod{M_1}, x equiv B_2 pmod{M_2}, dots,
x equiv B_k pmod{M_k}
$$
при фиксированном их числе $ k_{} $
и фиксированных же модулях $ M_1,dots,M_{k} $, но варьируемых $ B_1,dots,B_{k} $.
В этом случае имеет смысл использовать представление решения в форме

1

, поскольку для получения решения каждой новой системы серии
нужно будет произвести лишь пересчет суммы при уже вычисленных ранее
величинах $ y_1,dots,y_k $. С другой стороны, если решается серия систем
сравнений, в которой каждая следующая система получается из предыдущей
добавлением одного нового сравнения — т.е., например, система
дополняется сравнением $ xequiv B_{k+1} pmod{M_{k+1}} $ —
то более удобным для вычисления решения становится вариант

2

, так как
при его использовании приходится дополнительно решать лишь одно новое сравнение относительно
$ z_{k} $ и
добавить соответствующее слагаемое в сумму —
т.е. просто прибавить его к решению стартовой системы.

П

Пример 2. Решить системы сравнений

а) $ x equiv 3 pmod{8}, x equiv 1 pmod{11}, x equiv 12 pmod{15} $;

б) $ x equiv 7 pmod{8}, x equiv -1 pmod{11}, x equiv 3 pmod{15},
x equiv 4 pmod{7} $.

Решение. Обе системы могут рассматриваться как
вариации одной и той же системы примера 1, и решение каждой
из этих систем может быть получено модифицированием соответствующего
варианта решения того примера. Так, для системы а) получить решение
не представляет труда, если были заранее вычислены величины $ y_1,y_2 $ и $ y_3 $:
$$x_1= underbrace{3cdot 5 cdot 165 + 1cdot 10 cdot 120 +
12 cdot 7 cdot 88}_{11,067} equiv 507 pmod{1320} .$$
А для системы б) удобнее использовать алгоритм

2

теоремы, тем
более, что решение системы из первых трех сравнений у нас уже имеется.
$$ 1320, z_4 equiv 4 pmod{7} quad Rightarrow quad z_4 =4
quad Rightarrow quad x_2 =1143+1320, z_4 =6423
. $$

Ответ. а) $ x equiv 507 pmod{1320} $; б) $ x equiv 6423 pmod{9240} $.

?

Определить число $ x_{} $ солдат китайской армии, если

а) $ x equiv 3 pmod{7}, x equiv 1 pmod{11}, x equiv 12 pmod{13}, x equiv 10 pmod{17}
$;

б) $ x equiv 3 pmod{7}, x equiv 1 pmod{11}, x equiv 12 pmod{13}, x equiv 11 pmod{17} $.

?

Доказать, что если
$ p_1,p_2,p_3 $ — различные простые числа, то а) решение системы

$$
x equiv B_1 pmod{p_1}, x equiv B_2 pmod{p_2},
$$
можно представить в виде
$$
x equiv p_2^{p_1-1}B_1 + p_1^{p_2-1}B_2 pmod{p_1p_2} ,
$$
а б) решение системы
$$
x equiv B_1 pmod{p_1}, x equiv B_2 pmod{p_2},
x equiv B_3 pmod{p_3}
$$
— в виде
$$
x equiv p_2^{p_1-1}p_3^{p_1-1} B_1 + p_1^{p_2-1} p_3^{p_2-1} B_2 +
p_1^{p_3-1}p_2^{p_3-1} B_3 pmod{p_1p_2p_3} .
$$
Решить эти системы при $ B_1=1,B_2=2,B_3=3 $ и $ p_1=7,p_2=11,p_3=17 $.

Cистема сравнений может иметь решения и при нарушении условий КТО.

?

[Фибоначчи]. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный
всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая
возместить ущерб, всадник спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине.
Женщина ответила, что числа яиц не знает, но когда она раскладывала их по
два, по три, по четыре, по пять и по шесть, то каждый раз одно яйцо оставалось
лишним, а когда она разложила по семь, лишних яиц не осталось. Сколько яиц
несла крестьянка на базар?

Т

Теорема. Система

$$
x equiv B_1 pmod{M_1}, x equiv B_2 pmod{M_2}, dots,
x equiv B_k pmod{M_k}
$$
разрешима тогда и только тогда, когда числа
$$
B_j-B_{ell} qquad mbox{ делятся на } qquad operatorname{HOD}(M_j,M_{ell}) quad mbox{ при } quad {j,{ell}} subset {1,dots,k} quad .
$$
Если это условие выполнено, то решение единственно по модулю
$ operatorname{HOK}(M_1,M_2,dots,M_k) $.

§

По поводу КТО см. оригинальный результат

☞

ЗДЕСЬ.

?

Решить систему сравнений

$$
x equiv M_1-1 pmod{M_1}, x equiv M_2-1 pmod{M_2}, dots,
x equiv M_k-1 pmod{M_k} .
$$

П

Пример. Верно ли равенство
$$
left| begin{array}{rrrr}
51239 & 79922 & 55538 & 29177 \
46152 & 16596 & 37189 & 82561 \
71489 & 23165 & 26563 & 61372 \
44350 & 42391 & 91185 & 64809
end{array}
right|=0
?
$$

Решение. Фактическое вычисление подобного определителя —
каким бы методом мы не воспользовались —
задача довольно трудоемкая. Однако
вопрос ставится не о фактическом значении, а о равенстве его нулю.
Это обстоятельство может упростить вычисления. Обозначим неизвестное
значение определителя через $ x_{} $; очевидно это число целое. Если $ x=0_{} $,
то и его остаток при делении на любое число $ Min mathbb Z $ тоже должен
быть равным нулю. Если же хоть для
одного $ Min mathbb Z $ выполнится условие $ xnotequiv 0 pmod M $, то и $ xne 0 $.
Вычисление определителя фактически сводится к
умножению элементов определителя. Если же мы ставим задачу определения остатка
от деления этого выражения на $ M_{} $, то имеет смысл
сразу же «сократить» каждый элемент определителя до его остатка от деления
на $ M_{} $.

Возьмем сначала $ M=10 $, т.е. от каждого элемента определителя оставляем
только последнюю цифру:
$$
left| begin{array}{rrrr}
9 & 2 & 8 & 7 \
2 & 6 & 9 & 1 \
9 & 5 & 3 & 2 \
0 & 1 & 5 & 9
end{array}
right| equiv_{_{10}}
left| begin{array}{rrrr}
-1 & 2 & -2 & -3 \
2 & -4 & -1 & 1 \
-1 & 5 & 3 & 2 \
0 & 1 & 5 & -1
end{array}
right| =
left| begin{array}{rrrr}
-1 & 2 & -2 & -3 \
0 & 0 & -5 & -5 \
0 & 3 & 5 & -5 \
0 & 1 & 5 & -1
end{array}
right|=
$$
$$
=-
left| begin{array}{rrr}
0 & -5 & -5 \
3 & 5 & -5 \
1 & 5 & -1
end{array}
right| equiv_{_{10}} 0 .
$$
Итак, полученный ответ является необходимым, но не достаточным условием
равенства определителя нулю. Сделаем еще одну проверку: возьмем $ M=7 $.
$$
left| begin{array}{rrrr}
6 & 3 & 0 & 1 \
1 & 6 & 5 & 3 \
5 & 2 & 5 & 3 \
5 & 6 & 3 & 3
end{array}
right|equiv_{_{7}} 3 ne 0
.
$$

Ответ. Равенство неверно.

Понятно, что если бы определитель был равен нулю, то каждое вычисление
по модулю только «увеличивало бы достоверность» этого события.

Можно ли на основе серии модулярных вычислений установить истинное значение
определителя?

Попробуем это сделать для определителя из примера. Прежде всего,
оценим сверху абсолютную величину определителя. Каждое слагаемое в разложении
определителя по формуле из его определения представляет собой произведение
четырех пятизначных чисел; очевидно, это произведение не превосходит $ 10^{24} $.
Всего таких слагаемых $ 24_{} $, из них половина — с отрицательным знаком.
Поэтому $ |x|<1.2cdot 10^{25} $. Берем теперь все последовательные простые
числа²⁾ $ p_j $, так чтобы их произведение превысило эту оценку:
$$L = underbrace{2cdot 3 cdot 5 times dots times 67 cdot 71}_{20} > 1.2cdot 10^{25}
$$
и вычисляем остатки $ B_{p_j }= x pmod{p_j} $:
$$B_2=0, B_3=0, B_5=0, B_7=3, B_{11}=7,dots, B_{67}=64, B_{71}=39 .$$
Китайская теорема об остатках позволяет однозначно определить
величину $ x_{} $ если она находится в пределах $ 0<x< L $:
$$x=+557940821520864633874788300 . $$
Однако, поскольку мы не знаем знака определителя, то должны предложить
еще один вариант ответа
— из полученного положительного значения следует вычесть величину $ L_{} $:
$$x=-8605834327092627090 . $$
Из двух получившихся вариантов только один — именно последний —
удовлетворяет оценке $ |x|<1.2cdot 10^{25} $. Это и есть величина нашего
определителя.

На самом деле, в только что решенном примере эффективность применения КТО в сравнении с методом вычисления определителя $ 4_{} $-го порядка, основанном на формуле из его определения, не очень очевидна: первый способ из КТО содержит сумму в $ 20 $ слагаемых — по сравнению с $ 24 $ из определения определителя, но каждое из этих слагаемых более громоздко! Можно, однако, слегка уменьшить количество этих слагаемых — скажем, до $ 17 $, если воспользоваться оценкой величины определителя по неравенству Адамара: $ |x|<1.6times 10^{21} $.

Вычислительные эксперименты с определителями порядка $ 16 $ с ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ элементами

☞

ЗДЕСЬ.

?

Остатки от деления числа $ x_{} $ на последовательность целых чисел

$$ x equiv 1 pmod{7}, x equiv 4 pmod{8}, x equiv 4 pmod{9},
$$
$$
x equiv 2 pmod{10}, x equiv 2 pmod{11}, x equiv 5 pmod{13}
$$
вычислены с ошибками; известно, однако, что не более двух остатков ложные. Установите число $ x_{} $.

[1]. Малининъ А., Буренинъ К. Руководство алгебры и собранiе алгебраическихъ задачъ для гимназiй, реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Изданiе седьмое. М. Издание книжнаго магазина наследников бр. Салаевыхъ. 1884.

[2]. Бухштаб А.А. Теория чисел. М. Просвещение. 1966

[3]. LeVeque W.J. Topics in Number Theory. V.1. Addison-Wesley. Mass. 1956.

[4]. Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре. Часть I.
Учеб. пособие. СПб. «СОЛО». 2007. 246 c.