Как найти число которое образует квадрат

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Примеры[править | править код]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Таблица квадратов

	_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
0_	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Представления и свойства[править | править код]

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:

1:

2:

…

7:

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

1:

2:

…

4:

…

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле^[1]:

Ряд обратных квадратов сходится^[2]:

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.^[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

• Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
• Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей.
• Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
• Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2
1, 4, 9	чётная
6	нечётная

Геометрическое представление[править | править код]

1

4

9

16

25

См. также[править | править код]

• Многоугольное число
• Автоморфное число
• Квадратное пирамидальное число

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки[править | править код]

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)

Когда надо найти квадрат какого-то двузначного числа, то в приницпе не так уж и сложно умножить его само на себя столбиком. Но что если надо найти много квадратов? Например, все квадраты чисел от 70 до 80? В этом случае умножать столбиком 11 раз будет не очень удобно. А если нужно найти квадраты чисел от 20 до 99, например?

В общем, показываю алгоритм, по которому все это находится буквально за секунды.

1. Нужно найти квадраты круглых чисел. В нашем случае квадраты 70 и 80 соответственно равны 4900 и 6400 — это легко. Плюс желательно вспомнить квадрат 75. У меня есть отдельная статья о том, как возводить в квадрат числа, заканчивающиеся на 5, но если коротко, то в конце надо написать 25, а в начале записать произведение 7•(7+1)=56. То есть 75²=5625. На картинке ниже изобразил схематично.

2. Дальше действуем по алгоритму. Числа 71 и 72 находятся ближе к 70, 73, 74, 76 и 77 ближе к 75, а 78 и 79 — к 80. На это мы будем опираться при вычислениях. Сейчас всё поймете. Чтобы считать быстрее, рекомендую прочитать мою статью о способах быстрого сложения и вычитания больших числе в уме.

71²=70²+70+71=4900+70+71=5041.

По такому же алгоритму считаем 76, но опираться будет не на 70, а на 75:

76²=75²+75+76=5625+75+76=5776.

С 74 и 79 почти точно так же, только мы не складываем, а отнимаем, так эти числа стоят слева от опорных 75 и 80.

74²=75²-75-74=5625-75-74=5550-74=5476.

79²=80²-80-79=6900-80-79=6320-79=6241.

3. Числа, которые стоят через одно от опорного, считаются чуть-чуть по-другому.

72²=70²+4•71=4900+284=5184

77²=75²+4•76=5625+304=5929

В числах, которые левее опорных, делаем вычитание вместо сложения:

73²=75²-4•74=5625-280-16=5329

78²=80²-4•79=640-320+4=6084.

На первый взгляд кажется сложно и громоздко, но стоит один раз понять, освоить и попробовать, как все сразу становится на свои места, и вы буквально за секунды сможете находить квадраты двухзначных чисел, немного потренировавшись и запомнив алгоритм.

Для простоты, постарался записать для вас алгоритм действий на одном листе. Сохраните картинку или лайкните этот пост. Можно будет поражать всех своим умением быстро считать в уме.

Напоминаю, тем кто ещё не подписался, что у меня появился одноименный канал на Ютубе, где я делюсь решениями интересных задач и всякими математическими и физическими хитростями.

Ещё интересно: Два простых способа быстрого сложения и вычитания в уме

90% европейских выпускников не смогли решить задачу, которую решили российские восьмиклассники

Простой и очень быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Берём для примера число “1”. Соответственно, берём одну монетку. Кладём её на лист бумаги и мысленно описываем вокруг неё квадрат. Получилось? Значит, число “1” квадратное. Если взять две или три монетки, можно описать прямоугольники или треугольник для тройки, но не квадраты. Следующее квадратное число только “4”, а за ним потом “9” и так далее. Геометрическая фигура квадрат отличается от прочих тем, что имеет прямые углы и четыре стороны, длины которых равны. Поэтому для определения площади квадрата достаточно знать только одно число, которое умножается само на себя или иначе возводится во вторую степень – в тот самый квадрат. Если три возвести в квадрат, мы получим “9” – третье квадратное число. Четвёртым станет “16”, пятым “25” и дальше в том же духе: При этом каждое квадратное число можно считать и прямоугольным, но далеко не каждое прямоугольное окажется квадратным. Что касается треугольных чисел, то тут пересечений и того меньше. Например, треугольными и квадратными одновременно являются 1, 36, 1225, 41616. Можно предположить, что существуют и другие, но их не много. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Galin­a7v7 [120K] 3 года назад  “Квадратное число” – это какой-то слэнг, но многие поймут, что это выражение касается числа, которое является “квадратом Целого натурального числа”. Но как часто мы делаем – ищем подтверждение своим ответам на просторах интернета. И вот определение, которое мне больше всего понравилось. Кроме того, что написала в определении этого числа сама, добавлю: “квадратное число” – это целое число, из которого извлекается корень квадратный, и причём, результатом является тоже целое число. Запишем это схематически: √(квадратное число) = целое число, знак √- корень квадратный. Существует огромная таблица таких квадратных чисел: Евген­ий трохо­в [56.5K] 5 лет назад  Квадратное число-это целое число,которое может быть представлено как квадрат другого целого числа.Пример 1=1х1,4=2х2,9=3х3 и тд..1,4,9,16..-это квадратные числа.Только вот не знаю определение квадратного числа действительно принято в математике,как науке или это просто интернетовское определение. Mefod­y66 [35.1K] 5 лет назад  Евгений Трохов, да, принято. Квадрат, он же вторая степень. 1, 4, 9, 16,… Квадрат это число, умноженное на само себя. Например, 169=13*13=13^2 Куб, он же третья степень. 1, 8, 27, 64,… Куб это число, умноженное на себя три раза. 512=8*8*8 Более высокие степени не имеют своих названий, они просто называются – 4 степень, 5 степень и т.д. 4^4=4*4*4*4=256 3^5=3*3*3*3*3=243. Знаете ответ?

Произведение целого числа с самим собой

В математике, квадратное число или полный квадрат – это целое число, которое представляет собой квадрат целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа на себя. Например, 9 – это квадратное число, поскольку его можно записать как 3 × 3.

Обычное обозначение квадрата числа n – это не произведение n × n, а эквивалентное возведение в степень. n, обычно произносится как «n в квадрате». Число именного квадрата происходит от имени формы. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата (1 × 1). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n. Другими словами, если квадратное число представлено n точками, точки могут быть расположены рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n; таким образом, квадратные числа являются типом фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).

Квадратные числа являются неотрицательными. Другой способ сказать, что (неотрицательное) целое число является квадратным числом, состоит в том, что его квадратный корень снова является целым числом. Например, √9 = 3, поэтому 9 – квадратное число.

Положительное целое число, которое не имеет совершенных квадратов делителей, кроме 1, называется бесквадратным.

Для неотрицательного целого числа n, n-е квадратное число равно n, с 0 = 0 является нулевым. Понятие квадрата можно распространить на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат представляет собой отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел представляет собой квадрат, например, 4 9 = (2 3) 2 { displaystyle textstyle { frac {4} {9}} = left ({ frac {2} {3}} right) ^ {2}}.

Начиная с 1, есть ⌊√m⌋ квадратные числа до m включительно, где выражение ⌊x⌋ представляет этаж числа x.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 Четные и нечетные квадратные числа
• 4 Особые случаи
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Дополнительная литература

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 = 3600:

0 = 0

1 = 1

2 = 4

3 = 9

4 = 16

5 = 25

6 = 36

7 = 49

8 = 64

9 = 81

10 = 100

11 = 121

12 = 144

13 = 169

14 = 196

15 = 225

16 = 256

17 = 289

18 = 324

19 = 361

20 = 400

21 = 441

22 = 484

23 = 529

24 = 576

25 = 625

26 = 676

27 = 729

28 = 784

29 = 841

30 = 900

31 = 961

32 = 1024

33 = 1089

34 = 1156

35 = 1225

36 = 1296

37 = 1369

38 = 1444

39 = 1521

40 = 1600

41 = 1681

42 = 1764

43 = 1849

44 = 1936

45 = 2025

46 = 2116

47 = 2209

48 = 2304

49 = 2401

50 = 2500

51 = 2601

52 = 2704

53 = 2809

54 = 2916

55 = 3025

56 = 3136

57 = 3249

58 = 3364

59 = 3481

Разница между любым полным квадратом и его предшественником дается тождеством n – (n – 1) = 2n – 1. Эквивалентно, можно подсчитать квадратные числа, сложив вместе последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень., то есть n = (n – 1) + (n – 1) + n.

Свойства

Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:

Выражением для n-го квадратного числа является n. Это также равно сумме первых n нечетных чисел, как можно видеть на приведенных выше рисунках, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного числа точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:

n 2 = ∑ k = 1 n (2 k – 1). { displaystyle n ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} (2k-1).}

Например, 5 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Сумма первых n нечетных чисел равна n. 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n. Анимированная трехмерная визуализация на тетраэдре.

Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, n-е квадратное число может быть вычислено из предыдущего квадрата по формуле n = (n – 1) + (n – 1) + n = (n – 1) + (2n – 1). В качестве альтернативы, n-е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив (n – 1) -й квадрат, вычтя (n – 2) -ое квадратное число и прибавив 2, потому что n = 2 (n – 1) – ( n – 2) + 2. Например,

2 × 5 – 4 + 2 = 2 × 25 – 16 + 2 = 50 – 16 + 2 = 36 = 6.

На одно число меньше квадрата (m – 1) всегда является произведением √m – 1 и √m + 1 (например, 8 × 6 равно 48, а 7 равно 49). Таким образом, 3 – единственное простое число, на единицу меньше квадрата.

Квадратное число также является суммой двух следующих друг за другом треугольных чисел. Сумма двух последовательных квадратных чисел является центрированным квадратным числом. Каждый нечетный квадрат также является восьмиугольным числом с центром.

Другое свойство квадратного числа состоит в том, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное число положительных делителей. Целочисленный корень – это единственный делитель, который соединяется сам с собой, чтобы получить квадратное число, в то время как другие делители попадают в пары.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число может быть записано как сумма четырех или менее полных квадратов. Для чисел вида 4 (8m + 7) трех квадратов недостаточно. Положительное целое число может быть представлено как сумма двух квадратов, если его разложение на простые множители не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4k + 3. Это обобщается с помощью проблемы Варинга.

In основание 10, квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9, как показано ниже:

• если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 0 ( фактически, последние две цифры должны быть 00);
• , если последняя цифра числа равна 1 или 9, его квадрат заканчивается на 1;
• , если последняя цифра числа равна 2 или 8, его квадрат заканчивается на 4;
• , если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается на 9;
• , если последняя цифра числа равна 4 или 6, его квадрат заканчивается на 6; и
• , если последняя цифра числа равна 5, его квадрат заканчивается на 5 (фактически, последние две цифры должны быть 25).

В с основанием 12 квадрат число может заканчиваться только квадратными цифрами (например, в базе 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, как показано ниже:

• если число делится как на 2, так и на 3 (т.е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0;
• если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат заканчивается на 1;
• если число делится на 2, но не на 3, его квадрат заканчивается на 4; и
• , если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9.

Подобные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (десятки вместо цифры единиц, например). Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное количество случаев и используя модульную арифметику.

В общем, если простое число p делит квадратное число m, то квадрат p также должен делить m ; если p не может делить m / p, то m определенно не квадрат. Повторяя деления из предыдущего предложения, можно сделать вывод, что каждое простое число должно делить данный идеальный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели четны.

Тестирование квадратов может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость, проверьте на квадратность: для данного m и некоторого числа k, если k – m является квадратом целого числа n, тогда k – n делит m. (Это приложение факторизации разности двух квадратов.) Например, 100–9991 – это квадрат 3, следовательно, 100–3 делит 9991. Этот тест детерминирован для нечетных делителей в диапазон от k – n до k + n, где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел k ≥ √m.

Квадратное число не может быть совершенным числом.

Сумма первых n квадратных чисел равна

∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 знак равно N (N + 1) (2 N + 1) 6. { displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} n ^ {2} = 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + cdots + N ^ {2} = { frac {N (N + 1) (2N + 1)} {6}}.}

Первые значения этих сумм, квадратно-пирамидальные числа, являются: (последовательность A000330 в OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 и т. Д.

Сумма n первых кубиков является квадратом суммы n первых положительные целые числа; это теорема Никомаха.

Все четвертые, шестые, восьмые и т. д. являются точными квадратами.

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел четны (и на самом деле делятся на 4), поскольку (2n) = 4n.

Квадраты нечетных чисел нечетные, поскольку (2n + 1) = 4 (n + n) + 1.

Отсюда следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четные, а квадрат r сотни нечетных квадратных чисел нечетны.

Поскольку все четные квадратные числа делятся на 4, четные числа в форме 4n + 2 не являются квадратными числами.

Поскольку все нечетные квадратные числа имеют форму 4n + 1, нечетные числа формы 4n + 3 не являются квадратными числами.

Квадраты нечетных чисел имеют форму 8n + 1, поскольку (2n + 1) = 4n (n + 1) + 1 и n (n + 1) является четным числом.

Каждый нечетный совершенный квадрат – это восьмиугольное число с центром. Разница между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым большим нечетным совершенным квадратом всегда в восемь раз больше треугольного числа, в то время как разница между 9 и любым большим нечетным полным квадратом в восемь раз больше треугольного числа минус 8. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2 не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат формы 2-1 равен 1, а единственный полный квадрат формы 2 + 1 равен 9..

Особые случаи

• Если число имеет форму m5, где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n25, где n = m (m + 1) и представляет цифры перед 25. Например, квадрат 65 можно вычислить как n = 6 × (6 + 1) = 42, что делает квадрат равным 4225.
• Если число имеет форму m0, где m представляет предыдущие цифры, его квадрат n00, где n = m. Например, квадрат 70 равен 4900.
• Если число состоит из двух цифр и имеет форму 5m, где m представляет собой цифру единиц, его квадрат будет aabb, где aa = 25 + m и bb = m. Пример: Чтобы вычислить квадрат 57, 25 + 7 = 32 и 7 = 49, что означает 57 = 3249.
• Если число заканчивается на 5, его квадрат заканчивается на 5; аналогично для оканчивающихся на 25, 625, 0625, 90625,… 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат будет заканчиваться на 6, аналогично для оканчивающихся на 76, 376, 9376, 09376,… 1787109376. Например, квадрат 55376 равен 3066501376, оба оканчиваются на 376. (Числа 5, 6, 25, 76 и т. Д. Называются автоморфными числами. Они представляют собой последовательность A003226 в OEIS.)

См. Также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи – Выражение произведения сумм квадратов как суммы квадратов
• Кубическое число – Число в третьей степени
• Четырехквадратный квадрат Эйлера тождество – произведение сумм четырех квадратов является суммой четырех квадратов
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов – Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов
• Некоторые тождества, включающие несколько квадратов
• Целочисленный квадратный корень – большее целое число, которое меньше квадратного корня
• Методы вычисления квадратных корней – Алгоритмы вычисления квадратных корней
• Степень двойки – Два возведенных в целую мощность r
• тройка Пифагора – Три положительных целых числа, квадраты двух из которых суммируются с квадратом третьего
• Квадратичный остаток – Целое число, которое представляет собой полный квадрат по модулю некоторого целого
• Квадратичная функция – Полиномиальная функция второй степени
• Квадратное треугольное число – Целое число, которое одновременно является полным квадратом и треугольным числом

Примечания

Дополнительная литература

• Conway, JH и Гай, РК Книга Чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Удивительные свойства квадратов и их расчеты. Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexECsource=gbs_navlinks_s