Как найти число которое в квадрате дает

Если известен квадрат числа, как быстро найти квадрат следующего …? Wale [58.6K] 9 лет назад  и предыдущего числа? Как быстро найти квадраты чисел которые отличаются от известно на 2 и в “+” и в “-“. например есть число 10 квадрат соответственно 100, найти квадрат чисел 9 и 11, а также 8 и 12 tranq­uilli­ty [21.4K] 9 лет назад  Это можно легко сделать по формуле квадрата суммы. (x^2 читать как “x квадрат”) (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, в нашем частном случае — (a+1)^2=a^2+2a+1 (a-1)^2=a^2-2a+1 (a+2)^2=a^2+4a+4 (a-2)^2=a^2-4a+4 Например, 11^2=10^2+2*10+1=121. система выбрала этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить Да ответ tranquillity правильный, но по-моему мнению есть возможность упростить следующим образом: для отыскания квадрата следующего числа надо прибавить само число и следующее, а для отыскания предыдущего или отнять само и следующее для 11 это будет 11=100+10+11=121 для 9=100-10-9=81 а для 8 и 12 надо отнять, или, соответственно прибавить учетверенное предыдущее число т.е. для 8 это будет 8=100-4*9=64 для 12=100+4*11=144 Мне так кажется мои способом в уме несколько проще будет посчитать комментировать в избранное ссылка отблагодарить Ушако­ва Полин­а [0] 6 месяцев назад  Если нужно найти квадрат следующего/предыдуще­го, то формула такова: x±2?x+1. Следовательно нужно два раза провернуть её, подставив на место х сначала данный квадрат, затем получившийся. Можно ли упростить? Ну… x±2(2?x+1)? Пусть х=1, тогда: 1+2(2?1+1)=1+2(2+1)=­3?3=9 ?9=3, 1 от трёх отличается на 2 => да, если нужно найти квадрат числа, отличающегося на ±n от данного, то формула х±n(2?х+1). комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Как быстро извлекать квадратные корни

14 декабря 2012

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.

Итак, алгоритм:

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10² = 100;
20² = 400;
30² = 900;
40² = 1600;
…
90² = 8100;
100² = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2² = 4;
8² = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52² = (50 +2)² = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58² = (60 − 2)² = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 🙂

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 < 576 < 900
20² < 576 < 30²

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

24; 26.

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24² = (20 + 4)² = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:

900 < 1369 < 1600;
30² < 1369 < 40^2;

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33² = (30 + 3)² = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37² = (40 − 3)² = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Ограничиваем число:

2500 < 2704 < 3600;
50² < 2704 < 60^2;

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52² = (50 + 2)² = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Ограничиваем число:

3600 < 4225 < 4900;
60² < 4225 < 70^2;

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65² = (60 + 5)² = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

• На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
• Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

В общем, учитесь считать. И все будет хорошо. Удачи!

Смотрите также:

1. Выделение полного квадрата
2. Преобразование выражений с корнем — часть 1
3. Знаки тригонометрических функций
4. Задача B1 — время, числа и проценты
5. Как решать задачу 18: графический подход
6. Задача B2 про комиссию в терминале

Как вычислить квадрат числа

«Квадратом» числа обычно называют результат математической операции возведения этого числа во вторую степень, то есть однократного умножения его на само себя. С точки зрения геометрии результат этой операции можно представить как площадь квадрата (геометрической фигуры) со стороной, длина которой равна исходному числу. Очевидно, именно это обстоятельство лежало в основе возникновения такого названия операции возведения во вторую степень.

Инструкция

Вспомните таблицу умножения, если под рукой нет никаких вспомогательных вычислительных инструментов, но есть необходимость вычислить квадрат какого-либо числа. Если сделать это удастся, то умножьте в уме или на бумаге (в столбик) интересующее вас число на само себя. Этот способ вычисления в наше время уже, пожалуй, можно причислить к разряду интеллектуальных развлечений или гимнастики для ума, так как его нельзя назвать ни самым быстрым, ни самым простым.

Воспользуйтесь поисковой системой Google или Nigma, если вычислительных средств в вашем распоряжении нет, но есть доступ в интернет. Нет необходимости что-либо разыскивать в этих поисковиках – они сами являются калькуляторами. Просто введите соответствующий запрос и получите уже посчитанный результат. Например, чтобы узнать значение возведенного в квадрат числа 5,47 отправьте на сервер поисковой системы запрос 5,47*5,47, или 5,47^2, или «5,47 в квадрате» – в каждом случае поисковик покажет вам правильный ответ (29,9209).

Запустите программу, имитирующую обычный калькулятор, если описанные в предыдущих двух шагах способы почему-либо недоступны. Эта программа является частью стандартного набора приложений, устанавливаемых вместе с операционной системой. В ОС Windows любой версии открыть ее можно с помощью стандартного диалога запуска программ, вызываемого на экран одновременным нажатием клавиш Win и R. В единственном поле этого диалога наберите calc и нажмите клавишу Enter.

Введите число, квадрат которого надо вычислить – просто наберите его на клавиатуре или пощелкайте по соответствующим кнопкам интерфейса калькулятора. Затем введите команду умножения – нажмите на клавиатуре клавишу со звездочкой или щелкните по такой же кнопке в интерфейсе. Вводить второй раз число не требуется, просто нажмите клавишу Enter и калькулятор покажет результат умножения числа на само себя.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Когда надо найти квадрат какого-то двузначного числа, то в приницпе не так уж и сложно умножить его само на себя столбиком. Но что если надо найти много квадратов? Например, все квадраты чисел от 70 до 80? В этом случае умножать столбиком 11 раз будет не очень удобно. А если нужно найти квадраты чисел от 20 до 99, например?

В общем, показываю алгоритм, по которому все это находится буквально за секунды.

1. Нужно найти квадраты круглых чисел. В нашем случае квадраты 70 и 80 соответственно равны 4900 и 6400 — это легко. Плюс желательно вспомнить квадрат 75. У меня есть отдельная статья о том, как возводить в квадрат числа, заканчивающиеся на 5, но если коротко, то в конце надо написать 25, а в начале записать произведение 7•(7+1)=56. То есть 75²=5625. На картинке ниже изобразил схематично.

2. Дальше действуем по алгоритму. Числа 71 и 72 находятся ближе к 70, 73, 74, 76 и 77 ближе к 75, а 78 и 79 — к 80. На это мы будем опираться при вычислениях. Сейчас всё поймете. Чтобы считать быстрее, рекомендую прочитать мою статью о способах быстрого сложения и вычитания больших числе в уме.

71²=70²+70+71=4900+70+71=5041.

По такому же алгоритму считаем 76, но опираться будет не на 70, а на 75:

76²=75²+75+76=5625+75+76=5776.

С 74 и 79 почти точно так же, только мы не складываем, а отнимаем, так эти числа стоят слева от опорных 75 и 80.

74²=75²-75-74=5625-75-74=5550-74=5476.

79²=80²-80-79=6900-80-79=6320-79=6241.

3. Числа, которые стоят через одно от опорного, считаются чуть-чуть по-другому.

72²=70²+4•71=4900+284=5184

77²=75²+4•76=5625+304=5929

В числах, которые левее опорных, делаем вычитание вместо сложения:

73²=75²-4•74=5625-280-16=5329

78²=80²-4•79=640-320+4=6084.

На первый взгляд кажется сложно и громоздко, но стоит один раз понять, освоить и попробовать, как все сразу становится на свои места, и вы буквально за секунды сможете находить квадраты двухзначных чисел, немного потренировавшись и запомнив алгоритм.

Для простоты, постарался записать для вас алгоритм действий на одном листе. Сохраните картинку или лайкните этот пост. Можно будет поражать всех своим умением быстро считать в уме.

Напоминаю, тем кто ещё не подписался, что у меня появился одноименный канал на Ютубе, где я делюсь решениями интересных задач и всякими математическими и физическими хитростями.

Ещё интересно: Два простых способа быстрого сложения и вычитания в уме

90% европейских выпускников не смогли решить задачу, которую решили российские восьмиклассники

Простой и очень быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5