Как найти число магического квадрата

История

Археологи нашли свидетельства того, что волшебные таблицы были известны еще древним грекам и китайцам. «Магическими» эти фигуры назвали арабы, которые наделяли их сверхъестественными защитными свойствами.

В середине XVI в. европейские математики занялись исследованиями загадочных таблиц, положив начало их новой жизни. Они искали общий метод построения магических квадратов и пытались описать все возможные их варианты.

На уроках математики в школе

Решение магических квадратов на уроках математики и внеклассных занятиях вызывает интерес, способствует развитию мышления. Дети учатся планировать и контролировать свою работу. В клетки магических квадратов можно записывать не только числа, но и выражения. Все зависит от изучаемой темы. Задания с магическими квадратами часто дают как дополнительные или олимпиадные уже в начальной школе.

Один из способов решения магического квадрата

Нетрудно решить магический квадрат третьего порядка (у которого по три столбца и строки). Можно воспользоваться тем фактом, что число (выражение), стоящее на пересечении его диагоналей, всегда равно ⅓ волшебной суммы. Отсюда следует алгоритм построения:

1. Вписываем  в первую строку или столбец 3 любых числа.

1. Вычисляем магическую сумму (0 + 2 + 4 = 6).
2. Ищем ее третью часть (6/3 = 2).
3. Полученное число записываем на пересечении диагоналей.

1. Подбираем остальные числа и заполняем ими пустые клеточки квадрата.

Как рассчитать магический квадрат Пифагора самому?

Пифагор — математик, заложивший основы нумерологии. Ученый верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения не что иное, как число.

Магический квадрат Пифагора — фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на 3 уровня: материальный, души и разума.

Цифры даты рождения вписываются в определенном порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.

Материал может быть использован на занятии математического кружка, на внеклассном мероприятии. Цель — развить и расширить познавательный кругозор и логическое мышление.

Решаем магический квадрат Пифагора: пример

Дата рождения: 17.09.2005 г. Складываем эти цифры, не учитывая нули: 1 + 7 + 9 + 2 + 5 = 24. Аналогично поступаем с цифрами результата: 2 + 4 = 6.

Из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 24 -2 = 22. Снова складываем: 2 + 2 = 4. Полученные числа: 17; 9; 25; 24; 6; 22; 4.

Цифры вписываем в магический квадрат так, чтобы все единицы оказались в первой клеточке, двойки — во второй и так далее. Нули не учитываем.

Результат:

Значение:

Клетка 1 – волевые качества, эгоизм.
1	Очень эгоистичные люди.
11	Эгоизм — яркая, но не преобладающая черта характера.
111	Спокойные, покладистые люди.
1111	Сильный, волевой человек.
11111	Люди с замашками диктатора.
111111	Жестокость.
Клетка 2 — биоэнергетика.
—	Воспитанность, природное благородство.
2	Люди с повышенной чувствительностью к атмосферным изменениям.
22	Человек с хорошим запасом биоэнергетики.
222	Экстрасенсы.
Клетка 3 — организованность, любовь к точности, конкретности, скрупулезность, скупость.
Чем больше троек, тем сильнее выражены вышеперечисленные качества.
Клетка 4 — здоровье.
4	Среднее, требуется закаливание.
44	Все в норме.
444 и более	Очень крепкое здоровье.
Клетка 5 — интуиция, экстрасенсорные способности
Чем больше пятерок, тем более выражена связь с космосом.
Клетка 6 — материализм.
—	Люди с неординарным воображением, которым необходим физический труд.
6	Могут посвятить время и творчеству, и точным наукам. Физические нагрузки обязательны.
66	Заземленные личности, тянущиеся к физическому труду.
666	Повышенная темпераментность.
6666	Очень много заземленности.
Клетка 7 — талант.
Чем больше семерок, тем талантливее человек.
Клетка 8 — судьба, отношение к обязанностям.
—	Чувства долга нет.
8	Добросовестные личности.
88	Люди, которые всегда спешат помочь другим.
888	Признак служения народу.
8888	Парапсихологические способности.
Клетка 9 — умственные способности
Полное отсутствие девяток означает очень низкий уровень умственной деятельности. Чем больше количество девяток, тем умнее человек.

Задачи на составление магических квадратов часто включаются в сборники нестандартных заданий. Они встречаются на олимпиадах. Увлеченным математикой школьникам будет полезно узнать об этом классе задач. 

Об авторе: Филиппова Оксана, учитель математики, физики и информатики.

---

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна .

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):

Порядок	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

Исторически значимые магические квадраты[править | править код]

Квадрат Ло Шу[править | править код]

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

В Западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).^[1]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)[править | править код]

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов^[2].

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)[править | править код]

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)^[3]:

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Сумма всех 36 чисел равна 666

666 : 6 = 111

Квадрат Альбрехта Дюрера[править | править код]

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве^[4]. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).^[1]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магические квадраты Афанасия Кирхера^[1][править | править код]

Квадрат Марса[править | править код]

Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325).

12	25	8	21	4
5	13	26	9	17
18	6	14	22	10
11	19	2	15	23
24	7	20	3	16

325 : 5 = 65

Квадрат Солнца[править | править код]

Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666).

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

666 : 6 = 111

Квадрат Венеры[править | править код]

Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225).

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

Квадрат Меркурия[править | править код]

Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080).

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Квадрат Луны[править | править код]

Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры: 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

3321 : 9 = 369

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.[править | править код]

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4×4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия^[5]:

4 62 20 40 44 32 4 42 8 12 74 30 68 18 24 15

Есть еще несколько подобных примеров:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами[править | править код]

Пандиагональный магический квадрат[править | править код]

Пандиагональный или дьявольский квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям^[en] (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в стандартной форме Френикля^[fr] — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при параллельном переносе строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже:

1 8 10 15 14 11 5 4 7 2 16 9 12 13 3 6

1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4

1 12 7 14 15 6 9 4 10 3 16 5 8 13 2 11

1 14 7 12 15 4 9 6 10 5 16 3 8 11 2 13

1 8 13 12 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7

1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6

1 12 13 8 14 7 2 11 4 9 16 5 15 6 3 10

1 12 13 8 15 6 3 10 4 9 16 5 14 7 2 11

1 8 11 14 15 10 5 4 6 3 16 9 12 13 2 7

1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4

1 14 11 8 15 4 5 10 6 9 16 3 12 7 2 13

1 12 6 15 14 7 9 4 11 2 16 5 8 13 3 10

На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности ().

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные^[6].

С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Если пандиагональный квадрат ещё и ассоциативный, то он носит название идеальный^[7]. Пример идеального магического квадрата:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время существуют идеальные квадраты порядка n = 8.
Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Построение магических квадратов[править | править код]

Метод террас[править | править код]

Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со
всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до .

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.

Прочие способы[править | править код]

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.^[8][9]
Найти все магические квадраты порядка удается только для , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (где и меняются от 1 до ) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида .

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов^[10][11]
и идеальных магических квадратов 9×9.^[12]
[13] Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков для .^[7][14] Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка .^[15]
[16]
Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3…^[17] и совершенных магических квадратов.^[18]
Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.^{[19][20]
[21]} Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты^[22] Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных)^[23].

Примеры более сложных квадратов[править | править код]

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности.^[24] Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12 22 3 9 15 16 1 7 13 19 25 10 11 17 23 4 14 20 21 2 8

64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1

100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход[править | править код]

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому не случайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

См. также[править | править код]

• Математическая магия
• Латинский квадрат
• Магический граф
• Магический куб
• Магический шестиугольник
• Чисугвимундо
• Палиндром
• Рамочный магический квадрат
• Судоку
• Супермагический квадрат
• Супермагический куб

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения. — Сеятель, 1924.
• Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.
• М. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.
• Н. М. Рудин. От магического квадрата к шахматам. — М.: Физкультура и спорт, 1969.
• Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969.
• М. Гарднер. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.
• Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1989. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7.
• Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. — СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995.
• Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. — СПб., 2008.
• М. Гарднер. Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990. (недоступная ссылка)
• Чирказов Д. Буквенные магические квадраты как симметричные текстовые массивы. // Современные научные исследования и инновации. — № 11 Ноябрь 2012

Ссылки[править | править код]

• Магические квадраты (недоступная ссылка) (англ.)
• последовательность A164843 в OEIS
• М. Гарднер »Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри”
• H. Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns (англ.)
• Н. Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты
• Шахматный подход
• Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел
• Наименьшие магические квадраты из простых чисел
• «Общие формулы магических квадратов.»
• Магические квадраты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Была ли эта статья полезной?

Магический квадрат

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Минимальный размер магического квадрата – 3×3. Задачи на магический квадрат часто встречаются на математических олимпиадах для 4 -6 классов.

Магическая константа M – сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях.

Для квадрата любой размерности n∙n минимальная магическая константа вычисляется по следующей формуле:

M = n(n² + 1)/2

I. Магический квадрат 3×3

Для квадрата размера 3×3 минимально возможная магическая константа будет равна:

3(3² + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = 15

Подчеркнём, что 15 – это не единственно возможная магическая константа для квадрата 3×3, а константа, меньше которой других констант для этого квадрата быть не может.

Важное правило, которое вам пригодится при построении магического квадрата 3×3:

Число в центре квадрата 3×3 всегда в три раза меньше магической константы.

То есть, если у нас магическая константа M = 15, то в центре квадрата 3×3 будет стоять
15:3 = 5.

Для дальнейшего составления магического квадрата с магической константой M=15 расставьте по углам чётные числа 2,4,8,6.

Как видим, по сумма чисел на диагоналях квадрата равна 15, то есть магической константе.

Зная магическую константу и по два числа в ряду и столбце, мы можем вписать третье число в ряд и столбец. Определить это число очень просто – надо из магической константы вычесть два числа из ряда или столбца.

Применив этот метод, мы получим полностью заполненный магический квадрат:

Ещё одно важное правило построения магических квадратов:

Если у нас есть один магический квадрат, и мы все числа этого квадрата увеличим на одно и то же число или умножим на одно и то же число, то у нас опять получится квадрат. Это правило достаточно очевидно.

Пример 1. К числам в нашем магическом квадрате с M=15 прибавим 3 и 5

Как видим, у первого квадрата сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали одинакова и составляет 24 (это и есть его магическая константа), а у второго квадрата магическая константа равна 30.

У этих двух квадратов число в центре по прежнему в три раза меньше, чем магическая константа (8 у первого квадрата и 10 у второго).

Пример 2. Числа нашего магического квадрата с M=15 умножим на 2 и на 3

Как видим, в первом случае, после умножения чисел на два, мы получили квадрат с магической константой 30 – та же самая константа, что и после того, как в первом примере мы увеличили все числа на 5. Но при этом, несмотря на то, что у этих двух магических квадратах одинаковые магические константы, числа при этом в клетках разные – а вот число в центральном квадрате одно и то же – это 10.

Так и должно быть, ведь, как было сказано выше, в магическом квадрате 3×3 число в центральной клетке должно быть в три раза меньше магической константы. Т.к. магическая константа у обеих магических квадратов одинаковая, то и центральное число одно и то же.

Задача 1.

Постройте магический квадрат с магической константой 39.

Зная магическую константу, мы легко найдём число, которое должно быть в центральной клетке – нужно магическую константу разделить на 3. 39:3 = 13.

Далее можно или подбирать числа (помня о том, что сумма чисел по диагонали, по горизонтали и по вертикали должна быть равна магической константе) или, для ускорения процесса, воспользоваться знанием чисел магического квадрата с минимальной магической константой M = 15.

Напомним этот квадрат:

В центре этого квадрата – число 5. В центре того квадрата, который мы должны построить – число 13.

Разница между этими числами составляет 8. И, как следует из правила, которое мы написали выше, если все числа одного магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получится другой магический квадрат.

Достаточно запомнить, что в центре минимального магического квадрата – 5, а по углам – чётные числа 2, 4, 6, 8. Таким образом, нам надо увеличить эти числа на 8. Далее будет легко заполнить оставшиеся клетки (числа в них вычисляются как магическая константа минус числа в ряду или столбце).

В итоге получится вот такой квадрат:

Задача 2.

Достройте магический квадрат

В этом квадрате мы знаем число в центральной клетке (9), а, значит, мы знаем магическую константу, которая в 3 раза больше и равна 27. Ну а зная магическую константу и три первоначальных числа, вписать оставшиеся числа в клетки не составит труда.

Решение:

II. Магический квадрат 4×4

Мы не будем подробно останавливаться на магических квадратах 4×4 – они почти не встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в физматшколы, но общее представление о них дадим.

Минимально возможная магическая константа вычисляется всё по той же формуле:

M = n(n² + 1)/2

M = 4(4² + 1)/2 = 34.

У квадрата 4×4 обе стороны чётные, а это значит, что центральной клетки, в отличие от квадрата 3×3, у него нет, и нет соответствующей закономерности, с ним связанной.
Однако, у этого квадрата есть другие закономерности:

Помимо того, что у магического квадрата 4×4 равна сумма числе по диагонали, вертикали и горизонтали, у него сумма чисел в угловых квадратах 2×2 равна магической константе M, сумма чисел в центральном квадрате 2×2 также равна M, и сумма чисел в углах квадрата тоже равна M.

Сумма чисел в левом верхнем квадрате 2×2: 16+3+5+10 = 34. В трёх других угловых квадратах 2×2 сумма также равна магической константе, о чём и сказано выше.
Сумма чисел в центральном квадрате 2×2 также равна магической константе 34: 10+11+6+7 = 34.

Сумма чисел в углах магического квадрата тоже равна магической константе: 16+13+4+1 = 34