Как найти число методом интерполяции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти число методом интерполяции???

Ученик

(240),
закрыт

8 лет назад

Дополнен 12 лет назад

допустим дано
7 – 2400
8,87 – ?
10 – 2600

как найти ???

Дополнен 12 лет назад

Желательно какая нибудь формула, по которой можно будет найти подобные выражения

Дополнен 12 лет назад

Ответ я знаю, мне нужна формула как вы его получили. Благодарю за ранее

Велон

Просветленный

(36271)

12 лет назад

число 2524,67 – ответ
как делается – на разницу 10-7 = 3 приходится 2600-2400 = 200
на одну единицу – 200/3 = 66,67
8.87 – 7 =1,87 Х 66,67 = 124,67
2400 +124,67 = 2524,67

Jurijus Zaksas

Искусственный Интеллект

(393058)

12 лет назад

Зависит от того, что за интерполяция.
В общем случае на основе неких известных точек строится некая стандартная непрерывная функция и из этой функции вычисляется нужная промежуточная точка.
Если известны только 2 точки, используется линейная интерполяция.
Уравнение прямой y=kx+b
Коеэфф. k=dy/dx
b вычисляется подстановкой в уравнение k и любой из известных точек.
Когда коэфф. посчитаны и уравнение известно, остается только подставить в него известную координату искомой точки.

Источник

Загрузить PDF

Линейная интерполяция (или просто интерполяция)^[1]
— процесс нахождения промежуточных значений величины по ее известным значениям. Многие люди могут провести интерполяцию, полагаясь исключительно на интуицию, но в этой статье описан формализованный математический подход к проведению интерполяции.

Шаги

1
Определите величину, для которой вы хотите найти соответствующее значение. Интерполяция может быть проведена для вычисления логарифмов или тригонометрических функций или для вычисления соответствующего объема или давления газа при данной температуре.^[2] Научные калькуляторы в значительной степени заменили логарифмические и тригонометрические таблицы; поэтому в качестве примера проведения интерполяции мы вычислим давление газа при температуре, значение которой не указано в справочных таблицах (или на графиках).
- В уравнении, которое мы выведем, «x» будет обозначать известную величину, а «у» — неизвестную величину (интерполированное значение). При построении графика эти значения откладываются соответственно их обозначениям — величина «x» — по оси X, величина «у» — по оси Y.
- В нашем примере под «x» будет подразумеваться температура газа, равная 37 °С.
2
В таблице или на графике найдите ближайшие значения, расположенные ниже и выше значения «x». В нашей справочной таблице не приведено давление газа при 37 °С, но приведены значения давления при 30 °С и при 40 °С. Давление газа при температуре 30 °С = 3 кПа, а давление газа при 40 °С = 5 кПа.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x₁, а температуру в 40 °С как x₂.
- Так как мы обозначили неизвестное (интерполированное) давление газа как «у», то теперь обозначим давление в 3 кПа (при 30 °С) как у₁, а давление в 5 кПа (при 40 °С) как у₂.
3
Найдем интерполированное значение. Уравнение для нахождения интерполированного значения можно записать в виде y = y₁ + ((x – x₁)/(x₂ – x₁) * (y₂ – y₁))^[3]
- Подставим значения x, x₁, x₂ и получим: (37 – 30)/(40 – 30) = 7/10 = 0,7.
- Подставим значения у₁, у₂ и получим: (5 – 3) = 2.
- Умножив 0,7 на 2, получим 1,4. Сложим 1,4 и у₁: 1,4 + 3 = 4,4 кПа. Проверим ответ: найденное значение 4,4 кПа лежит между 3 кПа (при 30 °С) и 5 кПа (при 40 °С), а так как 37 °С ближе к 40 °С, чем к 30 °С, то и окончательный результат (4,4 кПа) должен быть ближе к 5 кПа, чем к 3 кПа.
Реклама

Советы

Если вы умеете работать с графиками, вы можете сделать грубую интерполяцию, отложив известное значение по оси X и найдя соответствующее значение на оси Y.^[4] В приведенном выше примере можно построить график, на котором по оси X откладывается температура (в десятках градусов), а по оси Y — давление (в единицах кПа). На этом графике вы можете нанести точку 37 градусов, а затем найти точку на оси Y, соответствующую этой точке (она будет лежать между точками 4 и 5 кПа). Приведенное выше уравнение просто формализует процесс мышления и обеспечивает получение точного значения.
В отличие от интерполяции, экстраполяция позволяет вычислить приблизительные значения величины вне диапазона значений, приведенных в таблицах или отображенных на графиках.^[5]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 98 044 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 июля 2022 года; проверки требует 1 правка.

У этого термина существуют и другие значения, см. Интерполяция.

О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории^[1].

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича^[en], являющиеся основой для множества других работ.

Определения[править | править код]

Рассмотрим систему несовпадающих точек $x_{i}$ () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

$y_{i}=f(x_{i}),quad i=1,ldots ,N.$

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

$F(x_{i})=y_{i},quad i=1,ldots ,N.$

</math>A(x)

Пример[править | править код]

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15.5+{frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993$

Способы интерполяции[править | править код]

Интерполяция методом ближайшего соседа[править | править код]

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами[править | править код]

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Линейная интерполяция
Интерполяционная формула Ньютона
Метод конечных разностей
ИМН-1 и ИМН-2
Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
Схема Эйткена
Сплайн-функция
Кубический сплайн

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)[править | править код]

Полином Лагранжа
Обратное интерполирование по формуле Ньютона
Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции нескольких переменных[править | править код]

Билинейная интерполяция
Бикубическая интерполяция

Другие способы интерполяции[править | править код]

Рациональная интерполяция
Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции[править | править код]

Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. также[править | править код]

Интерполяционные формулы
Регрессия (математика)
Метод наименьших квадратов
Сглаживание данных эксперимента

Примечания[править | править код]

↑ Берг, 1980, с. 6—7.

Литература[править | править код]

Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
Уолш Дж. Л.^[en] Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.

Источник

Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Проще говоря: способ приближенного вычисления значения величины, находящегося между двумя известными значениями.

Примечание! Для удобства можно воспользоваться другими удобными формами для рассчета:

– Линейная интерполяция по графику

– Двойная интерполяция

Источник

Сервис интерполяции и экстраполяции онлайн (линейная интерполяция/экстраполяция) поможет вам вычислить значение линейной функции, имея в распоряжении f(x) в двух различных точках, а также рассчитает уравнение прямой.
Данный сервис автоматически определит нужный способ расчета – вам лишь надо ввести значения в двух произвольных точках, и указать необходимую точку, в которой нужно рассчитать значение.
Если установить “галку” внутри кнопки “Рассчитать”, калькулятор будет рассчитывать значение автоматически при любом изменении входных данных. Пример расчета интерполяции

Интерполяция – (от латинского interpolatio изменение, переделка), в математике и статике это способ вычислить промежуточное значение функции по нескольким уже известным ее значениям.
Например.: Имеется функция f(x), известны результаты значения
f(x) в точке x₀ и точке x₂,
интерполяця помогает найти значение f(x₁) при условии что x₁ принадлежит
интервалу от x₀ до x₂. Если x₁ лежит
вне интервала (x₀, x₂), интерполяция не поможет, для этого нужно использовать “экстраполяцию”.
Этот метод часто называют “линейная интерполяция“, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.
Для вычесления резултата функций с двумя переменными существует “Билинейная интерполяция (Двойная интерполяция)”.
Также для рассчета интерполяции можно воспользоваться сервисом Интерполяция – полином Ньютона и Интерполяция – полином Лагранжа

Экстраполяция – в математике и статике это способ вычислить значение функции по нескольким уже известным ее значениям. Например.: Имеется функция f(x),
известны результаты значения f(x) в точке x₁ и точке x₂, экстраполяция помогает найти
значение f(x₀) либо f(x₃) при условии что x₀ либо x₃ меньше либо
больше интервала x₁ до x₂. Если x_n лежит в
интервале (x₁, x₂), экстраполяция не поможет, для того вам нужно
использовать “интерполяцию” – для функций с одной переменной, и “двойная интерполяция” – для функций с двумя переменными.

Этот метод часто называют “линейная экстраполяция“, он дает 100% верный результат для уравнения прямой.

Как для интерполяции так и для экстраполяции в основе их
рассчета лежит пропорция (y1 – y0)/(y2 – y0) = (x1 – x0)/(x2 – x0), прирощение значения в первой точке к прирощению значения во второй точке относится также как прирощение переменной в первой точке к прирощению
переменной во второй точке (все относительно нулевой точки отсчета), из этой пропорции легко получить формулу рассчета любого значения

Источник