Как найти число молей идеального газа - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравне́ние состоя́ния идеа́льного га́за (иногда уравнение Менделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

где

Уравнение состояния идеального газа можно записать в виде:

${displaystyle pcdot V={frac {m}{M}}Rcdot T}$

где — масса, — молярная масса, (так как количество вещества ${displaystyle nu ={frac {m}{M}}}$ ):

или в виде

где n=N/V — концентрация частиц (атомов или молекул) – количество частиц, $k={frac {R}{N_{A}}}$ — постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Клапейрона — Менделеева.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной.^{[источник не указан 1459 дней]}

Связь с другими законами состояния идеального газа[править | править код]

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

$frac{pcdot V}{T}=nucdot R,$

$frac{pcdot V}{T}=mathrm{const}.$

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

T=mathrm{const}Rightarrow pcdot V=mathrm{const}

— закон Бойля — Мариотта — Изотермический процесс.

$p=mathrm{const}Rightarrowfrac{V}{T}=mathrm{const}$

— Закон Гей-Люссака — Изобарный процесс.

$V=mathrm{const}Rightarrowfrac{p}{T}=mathrm{const}$

— закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.) — Изохорный процесс

В форме пропорции $frac{p_1cdot V_1}{T_1}= frac{p_2cdot V_2}{T_2}$ этот закон удобен для расчёта перевода газа из одного состояния в другое.

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

Закон Бойля — Мариотта

Закон Бойля — Мариотта

назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1677 году.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

где gamma — показатель адиабаты, — внутренняя энергия единицы массы вещества.

Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. Это обстоятельство может быть прояснено на основании молекулярных представлений.

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объём газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение увеличивается.

См. также[править | править код]

Совершенный газ
Реальный газ
Уравнение состояния реального газа

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Стромберг А. Г., Семченко Д. П. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / Под ред. А. Г. Стромберга. — 7-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2009. — 527 с. — ISBN 978-5-06-006161-1.

Источник

Газы
нередко бывают реагентами и продуктами
в химических реакциях. Не всегда удается
заставить их реагировать между собой
при нормальных условиях. Поэтому нужно
научиться определять число молей газов
в условиях, отличных от нормальных.

Для
этого используют уравнение
состояния идеального газа (его
также называют уравнением
Клапейрона-Менделеева):

PV
= nRT

где n –
число молей газа;

P
– давление газа (например, в атм;

V
– объем газа (в литрах);

T
– температура газа (в кельвинах);

R
– газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).

Например,
в колбе объемом 2,6 л находится кислород
при давлении 2,3 атм и
температуре 26 ^оС.
Вопрос: сколько молей O₂ содержится
в колбе?

Из
газового закона найдем искомое число
молей n:

Не
следует забывать преобразовывать
температуру из градусов Цельсия в
кельвины: (273 ^оС
+ 26 ^оС)
= 299 K. Вообще говоря, чтобы не ошибиться
в подобных вычислениях, нужно внимательно
следить за размерностью величин,
подставляемых в уравнение
Клапейрона-Менделеева. Если давление
дается в мм ртутного столба, то нужно
перевести его в атмосферы, исходя из
соотношения: 1 атм =
760 мм рт. ст. Давление, заданное в паскалях
(Па), также можно перевести в атмосферы,
исходя из того, что 101325 Па = 1 атм.

**
Можно проводить вычисления и в системе
СИ, где объем измеряется в м³,
а давление – в Па. Тогда используется
значение газовой постоянной для системы
СИ: R = 8,314 Дж/K·моль. В этом параграфе мы
будем использовать объем в литрах и
давление в атм.

Решим
такую задачу: некоторое количество газа
гелия при 78 ^оС
и давлении 45,6 атм занимает объем 16,5 л.
Каков объем этого газа при нормальных
условиях? Сколько это молей гелия? Можно,
конечно, просто подставить данные нам
значения в уравнение Клапейрона-Менделеева
и сразу вычислить число молей n.
Но что делать, если на экзамене вы забыли
точное значение газовой постоянной R?

Газовую
постоянную не нужно запоминать – ее
можно легко вычислить в любой момент.
Действительно, 1 моль газа при нормальных
условиях (1 атм и 273 К) занимает объем
22,4 л. Тогда:

Другой
способ заключается в том, чтобы заставить
газовую постоянную R сократиться. Снова
вспомним, что нормальные условия – это
давление 1 атм и температура 0 ^оС
(273 K). Запишем все, что нам известно про
исходные (в задаче) и конечные (при н.у.)
значения P, V и T для нашего газа:

Исходные
значения: P₁ =
45,6 атм, V₁ =
16,5 л, T₁ =
351 K;

Конечные
значения: P₂ =
1 атм, V₂ =
? T₂ =
273 K.

Очевидно,
что уравнение Клапейрона-Менделеева
одинаково справедливо как для начального
состояния газа, так и для конечного:

P₁V₁ = nRT₁

P₂V₂ = nRT₂

Если
теперь почленно разделить верхнее
уравнение на нижнее, то при неизменном
числе молей n мы
получаем:

После
подстановки всех известных нам значений
получим объем газа при н.у.

V₂ =
45,6·16,5·273 / 351 = 585 л

Итак,
объем гелия при н.у. составит 585 л. Поделив
это число на молярный объем газа при
н.у. (22,4 л/моль) найдем число молей гелия:
585/22,4 = 26,1 моль.

Некоторых
из вас, возможно, интересует вопрос,
каким образом удалось определить
постоянную Авогадро N_A =
6,02·10²³ ?
Действительно, ранее мы получили близкое
значение 6·10²³ исходя
из массы протона и нейтрона 1,67·10²⁴ г.
Но в 1811 году, когда Амедео Авогадро
высказал свою гипотезу, ничего не было
известно не только о массе протона или
нейтрона, но и о самом существовании
этих частиц!

Значение
числа Авогадро было экспериментально
установлено только в конце XIX – начале
XX века. Опишем один из таких экспериментов.

В
откачанный до глубокого вакуума сосуд
объемом V = 30 мл поместили навеску элемента
радия массой 0,5 г и выдержали там в
течение одного года. Было известно, что
за секунду 1 г радия испускает
3,7·10¹⁰ альфа-частиц.
Эти частицы представляют собой ядра
гелия, которые тут же принимают электроны
из стенок сосуда и превращаются в атомы
гелия. За год давление в сосуде выросло
до 7,95·10^-4 атм
(при температуре 27 ^оС).
Изменением массы радия за год можно
пренебречь. Итак, чему равна N_A?

Сначала
найдем, сколько альфа-частиц (то есть
атомов гелия) образовалось за один год.
Обозначим это число как N атомов:

N
= 3,7·10¹⁰ ·
0,5 г · 60 сек · 60 мин · 24 час · 365 дней =
5,83·10¹⁷ атомов.

Запишем
уравнение Клапейрона-Менделеева PV = nRT
и заметим, что число молей гелия n =
N/N_A.
Отсюда:

В
начале XX века этот способ определения
постоянной Авогадро был самым точным.
Но почему так долго (в течение года)
длился эксперимент? Дело в том, что радий
добывается очень трудно. При его малом
количестве (0,5 г) радиоактивный распад
этого элемента дает очень мало гелия.
А чем меньше газа в замкнутом сосуде,
тем меньшее он создаст давление и тем
большей будет ошибка измерения. Понятно,
что ощутимое количество гелия может
образоваться из радия только за достаточно
долгое время.

О
других подходах к экспериментальному
определению постоянной Авогадро можно
прочитать в задаче к этому параграфу.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Уравнение состояния идеального газа

теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы

Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:

Уравнение состояния идеального газа

Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.

Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м 3 под давлением 8,3∙10 5 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:

Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.

Подсказки к задачам

Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому:

Давление возросло на 15%	p₂ = 1,15p₁
Объем увеличился на 2%	V₂ = 1,02V₁
Масса увеличилась в 3 раза	m₂ = 3m₁
Газ нагрелся до 25 о С	T₂ = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 о С)	T₂ = T₁ – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20%	m₂ = 0,8m₁
Выпущено 0,7 начальной массы
Какую массу следует удалить из баллона?	Нужно найти разность начальной и конечной массы:
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ)	M (O₃) = 3A_r (O)∙10 –3 кг/моль M (O₂) = 2A_r (O)∙10 –3 кг/моль
Открытый сосуд	Объем V и атмосферное давление p_атм остаются постоянными
Закрытый сосуд	Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия	Температура T₀ = 273 К Давление p₀ = 10 5 Па
Единицы измерения давления	1 атм = 10 5 Па

Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.

2,8 МПа = 2,8∙10 6 Па

1,5 МПа = 1,5∙10 6 Па

Так как половина молекул была выпущена, m₂ = 0,5m₁. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:

Преобразим уравнения и получим:

Приравняем правые части и выразим искомую величину:

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

ν R = p 1 V 1 T 1 . . = p 2 V 2 T 2 . .

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10 –9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева

Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.

Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.

Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.

Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.

Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:

p V = c o n s t * T

В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.

Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.

p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.

Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.

Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:

p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:

N = m N A M , где

N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ; — это постоянная Авогадро.

Какое значение имеет универсальная газовая постоянная

Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.

Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .

Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.

Связь с другими законами состояния идеального газа

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.

Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.

В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:

изотермический процесс (T=const);
изохорный процесс (V=const);
изобарный процесс (p=const).

Изотермический процесс (T=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:

Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.

Рис.1. Изотерма в pV — координатах.

Изохорный процесс (V=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.

Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:

p 1 p 2 = T 1 T 2

Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда

p = p 0 T T 0 = p 0 γ T

Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.

Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).

Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.

Изобарный процесс (p=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.

V 1 V 2 = T 1 T 2

Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:

V = V 0 T T 0 = V 0 α T

Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.

Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).

Рис. 3. Изобара в VT-координатах.

Использование универсального уравнения для решения задачи

В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.

Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.

Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:

p V = n R T = m M R T

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K

Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 — 3 к г / м о л ь

Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:

p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 — 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а

Ответ: p = 78 кПа.

Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:

p = n R T V = m R T M V

Молярная масса кислорода предполагается равной:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K

Переводим давление: p = 15680000 Па

Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:

V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 — 3 = 3 . 1 * 10 — 2 м 3 = 31 л .

Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

p = n R T V = m R T M V

Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:

ρ = m V и л и V = m ρ

Тогда p m ρ = n R T = m R T M

Откуда выражаем плотность газа:

Для водорода эта формула запишется следующим образом:

ρ H 2 = p M H 2 R T

По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:

ρ H 2 M H 2 = p R T

Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:

ρ = M * ρ H 2 M H 2

Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.

ρ = M r * ρ H 2 2

Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.

При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?

По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.

p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.

Откуда можем найти начальный объем:

p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 ( p 1 — p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 — 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л

Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.

Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.

При изохорном процессе:

p 1 T 1 = p 2 T 2

T 2 = p 2 T 1 p 1

p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K

При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?

Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.

V 1 V 2 = T 1 T 2

V_2 – искомый объем

Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:

T 1 = 273 + 27 = 300 K

T 2 = 273 + 57 = 330 K

T 2 V 1 T 1 = V 2

V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л

Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:

V 1 V 2 = T 1 T 2

Перейдем к абсолютной температуре:

T 1 = 1150 + 273 = 1423 K

T 2 = 200 + 273 = 473 K

Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2

Использование этих формул приводит к следующему:

Прменение уравнения Менделеева — Клапейрона в рассчетах объма и количества газообразных веществ

Задача 36.
Рассчитайте, какой объем (в литрах) занимают:
а) 1,2 кг водяного пара при 100 °С и 1,013· 10 5 Па;
б) 1,2 кг метана при 25 °С и 1,013· 10 5 Па.
Решение:
M[Н₂О(пар)] = 18 кг/моль . 10 -3 ;
М(СН₄) = 16 кг/моль . 10 -3 ;
T₁ = 100 °С = (100 + 273) = 373 K;
T₂ = (25 + 273 = 298 K);
P₁ = P2 = 1,013· 10 5 Па.

Для решения задачи прменим уравнение Менделеева — Клапейрона:

PV = nRT = mRT/M, где

n – число молей газа;
P – давление газа (например, в атм или Па;
V – объем газа (в литрах);
T – температура газа (в кельвинах);
R – газовая постоянная [0,0821 л·атм/моль·K)] или [8,314 Дж/(моль . К)];
M — молярная масса вещества (в г/моль или кг/моль;
m — масса вещества (например, в г или кг).

Рассчитаем объемы газов:

а) объем 1,2 кг водяного пара:

PV = mRT/M, V(пар) = mRT1/MР = [1,2 . 8,314 Дж/(моль . К) . 373 К]/[(18 кг/моль . 10 -3 ) . 1,013· 10 5 Па] =
= 3721,3464/1823,4 = 2,04 м 3 = 2040 л.

б) объем 1,2 кг метана:

V(СН₄) = mRT1/MР = [1,2 . 8,314 Дж/(моль . К) . 298 К]/[(16 кг/моль . 10 -3 ) * 1,013· 10 5 Па] =
= 2973,0864/1620,8 = 1,834 м 3 = 1834 л.

Ответ: V(пар) = 2040 л; V(СН₄) = 1834 л.

Задача 37.
Некоторое количество газа гелия при 78 °С и давлении 15,6 атм занимает объем 26,5 л. Каков объем этого газа при нормальных условиях? Сколько это молей гелия?
Решение:
Для решения задачи прменим уравнение Менделеева — Клапейрона:

Уравнение Клапейрона-Менделеева одинаково справедливо как для начального состояния газа, так и для конечного:

Если почленно разделим верхнее уравнение на нижнее, то при неизменном числе молей n мы получаем:

Найдем число молей гелия:

n(Hе) = V/Vm = 321,5/22,4 = 14,35 моль.

Ответ: V2(He) = 321,5 л; n(Hе) = 14,35 моль.

Задача 38.
В стальном баллоне объемом 40 л находится водород под давлением 60 атм и температуре 25 °С. Сколько молей водорода в баллоне? Сколько граммов? Какой объем займет водород из баллона при н.у.?
Решение:
М(Н₂) — 2 г/моль;
V₁ = 40 л;
Р₁ — 60 атм;
Т₁ = Т0 = 25 °С = 298 К;
Р₀ = 1 атм.
n(H₂) = ?
m(H₂) = ?
V₀(Н₂) = ?

Для решения задачи прменим уравнение Менделеева — Клапейрона:

1. Расчитаем сколько молей водорода в баллоне, получим:

PV = nRT, n = PV/RT;

n(H₂) = P₁V₁/RT₁ = (60 . 40)/(0,0821 . 298) = 2400/24,4658 = 98,1 моль.

2. Находим массу водорода в баллоне:

m(H₂) = n(H₂) . М(Н₂) = 98,1 . 2 = 196,2 г.

3. Рассчитаем объем водорода из баллона (н.у.), получим:

PV = nRT, V = nRT/P;

V₀(Н₂) = n(H₂)RT₀/P₀ = (98,1 . 0,0821 . 298)/1 = 2400 л.

источники:

http://wika.tutoronline.ru/fizika/class/10/uravnenie-klapejronamendeleeva

http://buzani.ru/zadachi/obshchaya-khimiya/1622-raschet-kolichestva-i-ob-ema-gazov-zadachi-36-38

Источник

Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева, или уравнение состояния идеального газа. Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь — пара примеров задач:

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?
Некоторое количество гелия при 78 градусах Цельсия и давлении 45,6 атмосфер занимает объем 16,5 литров.
Вопрос: Каков объем этого газа при нормальных условиях? (Напомню, что нормальными условиями для газов считается давление в 1 атмосферу и температура 0 градусов Цельсия)

В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Теперь немного формул.

Уравнение Клапейрона-Менделеева
$PV=frac{m}{M}RT$
где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль

Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также
PV=nRT
где n — число молей газа

И как нетрудно заметить, соотношение
$frac{PV}{T}=nR$
есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.

И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы — законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.

Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.

Источник

Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа).

Уравнение Клапейрона-Менделеева (1834 г) устанавливает связь между объемом V, давлением P и абсолютной температурой Т для газа:

n – число молей газа ;

P – давление газа, Па;

V – объем газа, м 3 ;

T – абсолютная температура газа, К;

R – универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/моль×K.

Если объём газа выражен в литрах, то уравнение Клапейрона-Менделеева записывается в виде:

Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует три закона:

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?

Некоторое количество гелия при 78 градусах Цельсия и давлении 45,6 атмосфер занимает объем 16,5 литров.
Вопрос: Каков объем этого газа при нормальных условиях? (Напомню, что нормальными условиями для газов считается давление в 1 атмосферу и температура 0 градусов Цельсия)

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Теперь немного формул.

где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль

Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также

где n — число молей газа

И как нетрудно заметить, соотношение

есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева

Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.

Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.

p V = c o n s t * T

В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.

Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.

Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:

p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 – 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:

N = m N A M , где

N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь – 1 ; — это постоянная Авогадро.

Какое значение имеет универсальная газовая постоянная

Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 – 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь – 1 ) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .