Как найти число молекул идеального газа

Молекулярная физика Основные формулы

1. Основы молекулярно-кинетической теории. Газовые законы

1.1 Количество вещества

m — масса;

μ — молярная масса вещества;

N — число молекул;

N_A = 6,02·10²³ моль^-1 — число Авогадро

1.2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

p — давление идеального газа;

m — масса одной молекулы;

n = N/V — концентрация молекул;

V — объем газа;

N — число молекул;

— среднее значение квадрата скорости молекул.

1.3 Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа

k = 1,38·10^-23 Дж/К — постоянная Больцмана;

R = kN_A = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная;

T = t+273 — абсолютная температура;

t — температура по шкале Цельсия.

1.4 Средняя кинетическая энергия молекулы одноатомного газа

1.5 Давление идеального газа

n — концентрация молекул;

k — постоянная Больцмана;

T — абсолютная температура.

1.6 Закон Бойля-Мариотта

p — давление;

V — объем газа.

1.7 Закон Шарля

p₀ — давление газа при 0 °С;

α = 1/273 °C^-1 — температурный коэффициент давления.

1.8 Закон Гей-Люссака

V₀ — объем газа при 0 °С.

1.9 Уравнение Менделеева-Клапейрона

1.10 Объединенный закон газового состояния (уравнение Клапейрона)

1.11 Закон Дальтона

p_i — парциальное давление i-й компоненты смеси газов.

2. Основы термодинамики

2.1 Внутренняя энергия идеального одноатомного газа

ν — количество вещества;

R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная;

T — абсолютная температура.

2.2 Элементарная работа, совершаемая газом,

при изменении объема на бесконечно малую величину dV

p — давление газа.

При изменении объема от V₁ до V₂

2.3 Первый закон термодинамики

ΔQ — количество подведенной теплоты;

ΔA — работа, совершаемая веществом;

ΔU — изменение внутренней энергии вещества.

2.4 Теплоемкость идеального газа

ΔQ — количество переданной системе теплоты на участке процесса;

ΔT — изменение температуры на этом участке процесса.

Как найти число молекул в газе

Молекула – это электрически нейтральная частица, обладающая всеми химическими свойствами, присущими данному конкретному веществу. В том числе и газам: кислороду, азоту, хлору и т.д. Как можно определить количество молекул газа?

Инструкция

Если вам необходимо подсчитать, сколько молекул кислорода содержится в 320 граммах этого газа при нормальных условиях, прежде всего, определите, какое количество молей кислорода заключено в этом количестве. По таблице Менделеева, можно увидеть, что округленная атомная масса кислорода – 16 атомных единиц. Поскольку молекула кислорода – двухатомная, масса молекулы составит 32 атомные единицы. Следовательно, количество молей 320/32 = 10.

Дальше вам поможет универсальное число Авогадро, названное в честь ученого, предположившего, что равные объемы идеальных газов при постоянных условиях содержат одинаковые количества молекул. Оно обозначается символом N(A) и очень велико – приблизительно составляет 6,022*10(23). Умножьте это число на вычисленное количество молей кислорода и вы узнаете, что искомое количество молекул в 320 граммах кислорода – 6,022*10(24).

А если вам известно давление кислорода, а также объем, занимаемый им, и температура? Как вычислить количество его молекул при таких данных? И тут нет ничего сложного. Надо лишь записать универсальное уравнение Менделеева-Клапейрона для идеальных газов:

PV = RTM/m

Где P – давление газа в паскалях, V – его объем в кубических метрах, R – универсальная газовая постоянная, M – масса газа, а m – его молярная масса.

Cлегка преобразуя это уравнение, вы получите:

M = PVm/RT

Поскольку у вас есть все необходимые данные (давление, объем, температура заданы изначально, R = 8,31, а молярная масса кислорода = 32 грамма/моль), вы элементарно найдете массу газа при данном объеме, давлении и температуре. А дальше задача решается точно так же, как и в вышеописанном примере: N(A)M/m. Произведя вычисления, вы узнаете, сколько молекул кислорода содержится при заданных условиях.

Можно еще более упростить решение, поскольку в полученной дроби N(A)PVm/RTm молярные массы сокращаются, и остается: N(A)PV/RT. Подставив в формулу известные вам величины, вы получите ответ.

Видео по теме

Полезный совет

Ни один реальный газ (включая кислород), конечно же, не является идеальным, поэтому уравнение Менделеева-Клапейрона можно использовать для расчетов лишь при условиях, не очень сильно отличающихся от нормальных.

1. Закон Авогадро

Из уравнения Клапейрона (см. предыдущий параграф) следует, что в процессах, происходящих с данной массой газа, произведение давления газа p на его объем V, деленное на абсолютную температуру T газа, постоянно: (pV)/T = const.

Однако если масса газа в процессе изменилось, то значение выражения (pV)/T тоже изменится! Это очень легко проверить.

Поставим опыт
Надуйте щеки (рис. 40.1). При этом одновременно увеличились и давление воздуха во рту, и его объем, а температура этого воздуха осталась практически неизменной (равной температуре тела). Следовательно, значение выражения (pV)/T увеличилось. Причина, конечно, в том, что при надувании щек увеличивается масса воздуха во рту.

От чего же зависит значение отношения (pV)/T? Может, только от массы газа?

Оказывается, что это не так: опыт показывает, что если для различных газов сделать одинаковым значение отношения (pV)/T, то массы газов могут сильно различаться. На рисунке 40.2 схематически изображены воздушные шарики одинакового объема, наполненные водородом, гелием, кислородом и радоном при одинаковых температуре и давлении. (Из дальнейшего вы догадаетесь, почему масса водорода взята равной 2 г.)

Ответ на вопрос, от чего зависит значение выражения (pV)/T, оказался на удивление простым. Его нашел в начале 19-го века итальянский ученый Амедео Авогадро.

Исследуя химические реакции между газами, он открыл закон, который называют сегодня законом Авогадро:

в равных объемах различных газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул.

Отсюда следует, что значение выражения (pV)/T для данной массы газа пропорционально только числу молекул:

(pV)/T = kN,

где k – коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех газов. Его назвали настоянной Больцмана в честь австрийского физика Людвига Больцмана.

Измерения показали, что

k = 1,38 * 10^-23 Дж/К.

Из закона Авогадро следует, что главной характеристикой газа является число молекул.

2. Единица количества вещества

Число молекул в образце вещества характеризуют физической величиной, которую называют количеством вещества и обозначают греческой буквой ν (произносится «ню»). (Это исторически сложившееся название может ввести в заблуждение, потому что его легко спутать с массой образца. Количество вещества надо понимать именно как характеристику числа молекул!)

Единицу количества вещества называют моль.

Один моль – это такое количество вещества, которое содержит столько же молекул, сколько атомов в 12 г углерода.

? 1. Во сколько раз число молекул в шести молях водорода больше, чем в двух молях кислорода?

? 2. Сколько молей водорода и кислорода нужно для того, чтобы в результате реакции между ними образовалось 2 моль воды?
Подсказка. Вспомните химическую формулу воды.

Скоро мы поймем, почему ученые выбрали «произвольное» на первый взгляд определение моля.

Атомная единица массы

Массы атомов и молекул можно выражать в граммах: например, масса самого легкого атома (водорода) равна 1,67 * 10^-24 г. Но это неудобно: получаются громоздкие числа.

В качестве атомной единицы массы (сокращенно а. е. м.) взяли величину, близкую к массе атома водорода, а именно 1/12 массы атома углерода:

Такой выбор атомной единицы массы был обусловлен соображениями удобства при расчетах: во-первых, углерод входит в очень большое число химических соединений, во-вторых, при таком выборе атомной единицы массы значения масс многих атомов оказываются близкими к целым числам.

Сколько молекул а одном моле?

По определению в одном моле любого вещества содержится столько же молекул, сколько атомов в 12 г углерода. Значит, чтобы найти число молекул в одном моле, надо разделить 12 г, то есть массу одного моля углерода, на массу одного атома углерода, равную 12 а. е. м. В результате получим:

Число молекул в одном моле называют постоянной Авогадро (обозначают N_A) и записывают в виде

N_A = 6 * 10²³ моль^-1.     (2)

Сколько молекул в образце вещества, содержащем ν молей? В каждом моле N_A молекул. Следовательно, число N молекул в образце, содержащем ν молей, выражается формулой

N = νN_A.     (3)

? 3. Сколько молекул содержится:
а) в 2 моль воды?
б) в 5 моль кислорода?
в) в 0,33 моль углекислого газа?
Есть ли в условии лишние данные?

? 4. Сколько молей в образце вещества, число молекул в котором равно: а) 6 * 10²⁴; б) 3 * 10²²; в) З,З * 10²²; г) 6 * 10²⁰?

Относительная атомная и молекулярная масса

Массу атома, выраженную в атомных единицах массы, называют относительной атомной массой.

Относительные массы всех атомов измерены. Вы можете найти их в Периодической системе химических элементов (таблице Менделеева, стр. 238-239). Приведенное в ней значение часто округляют до целого числа.

Например, относительная атомная масса водорода равна 1, гелия – 4, а кислорода – 16.

Аналогично относительной атомной массе определяют и относительную молекулярную массу: она равна массе молекулы, выраженной в атомных единицах массы.

Чтобы найти относительную молекулярную массу молекулы данного вещества, надо знать:
– химическую формулу этого вещества, то есть из каких атомов состоит молекула вещества,
– относительные атомные массы этих атомов.

Например, относительная молекулярная масса воды равна 18, потому что молекула воды состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода.

? 5. Чему равна относительная молекулярная масса:
а) водорода?
б) гелия?
в) кислорода?
г) углекислого газа?

3. Молярная масса

Массу одного моля вещества называют малярной массой и обозначают M.

Найдем молярную массу воды. Для этого массу m₀ молекулы воды (18 а. е. м.) умножим на число молекул в одном моле, то есть на постоянную Авогадро N_A. Согласно формуле (1) значение постоянной Авогадро равно отношению 1 г к 1 а. е. м., поэтому для молярной массы воды получаем:

Следовательно, полстакана воды (примерно 100 г) – это около 5,5 моль воды (рис. 40.3).

Обратите внимание: масса одного моля, выраженная в граммах, численно равна относительной молекулярной массе.

Это справедливо как для воды, так и для любого вещества, потому что для него можно провести точно такой же расчет молярной массы.

Равенство численного значения массы одного моля вещества (в граммах) и относительной молекулярной массы этого вещества не случайно: оно обусловлено тем, что в одном моле столько молекул, сколько атомных единиц массы в одном грамме. Это оказалось очень удобным для расчетов при проведении опытов, потому что массу образцов веществ измеряют часто в граммах.

В СИ молярную массу измеряют в кг/моль. Переводя граммы в килограммы, получаем для молярной массы воды:

M_H2O = 18 * 10^-3 кг * моль^-1.

? 6. Чему равна молярная масса:
а) водорода? б) кислорода? в) углекислого газа?

Воздух представляет собой смесь различных газов, главным образом – азота и кислорода. При решении задач воздух часто считают газом с молярной массой

M_возд = 29 * 10^-3 кг * моль^-1.

? 7. Объясните, почему масса образца вещества m, его молярная масса M и число молей ν в данном образце связаны соотношением

ν = m/M.     (4)

? 8. Сколько молей:
а) в одном литре воды? б) в 1 кг поваренной соли? в) в воздухе, занимающем объем классной комнаты шириной 5 м, длиной 10 м и высотой 4 м? Плотность воздуха при комнатной температуре и атмосферном давлении равна 1,2 кг/м³.

? 9. Объясните, почему массу m0 молекулы вещества можно выразить через его молярную массу M формулой

m₀ = M/NA.     (5)

? 10. Чему равна масса одной молекулы воды?

? 11. Объясните, почему число N молекул в образце вещества массой m можно найти с помощью соотношений

N = νN_A = (m/M)N_A.

? 12.Оцените число молекул в капельке воды радиусом 1 мм. Сравните найденное число молекул с числом звезд в галактике, содержащей сто миллиардов звезд (рис. 40.4).

? 13. Почему изображенные на рисунке 40.2 шарики имеют равные объемы при одинаковых температурах и давлениях?

4. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)

Вернемся теперь к соотношению (pV)/T = kN.

? 14. Объясните, почему справедлива формула

(pV)/T = (m/M)kN_A.     (6)

Произведение постоянной Больцмана k на постоянную Авогадро N_A называют универсальной газовой постоянной и обозначают R:

R = kN_A = 8,31 Дж/(моль * К).

Используя универсальную газовую постоянную, уравнение (6) можно переписать в виде

pV = (m/M)RT.     (7)

Это соотношение называют уравнением состояния идеального газа.

Дело в том, что модель идеального газа (которую мы рассмотрим в следующем параграфе) хорошо описывает уже известные нам свойства всех достаточно разреженных газов, например окружающего нас воздуха.

Уравнение идеального газа в виде формулы (7) предложил русский ученый Дмитрий Иванович Менделеев, поэтому его называют также уравнением Менделеева-Клапейрона.

Какие же задачи можно решать с помощью уравнения состояния идеального газа?

Плотность газа. Напомним, что плотность ρ = m/V.

? 15. Объясните, почему уравнение состояния идеального газа можно записать в виде

p = (ρ/M)RT.

Во многих задачах используют понятие нормальных условий для газа. По определению такими условиями называют давление 10⁵ Па и температуру 0 ºС = 273 К.

? 16. Чему равна плотность воздуха:
а) при нормальных условиях?
б) при давлении 10⁵ Па и комнатной температуре (20 ºС)?

Концентрация молекул газа. Концентрацией молекул и называют число молекул в единице объема. Ее можно выразить через число молекул N в данной массе газа и объем газа V:

n = N/V.

Концентрация молекул измеряется в 1/м³. Зная концентрацию молекул и объем газа, можно найти число молекул в нем.

? 17. Объясните, почему уравнение состояния идеального газ» можно записать в виде

p = nkT.

? 18. Рассмотрим газ при нормальных условиях.
а) Чему равна при этом концентрация молекул?
б) Различаются ли концентрации молекул различных газов при нормальных условиях? Обоснуйте свой ответ.
в) Сколько молекул воздуха вы вдыхаете при глубоком вдохе при 0 ºС, если объем легких увеличивается при этом на 2 л? Давление в легких считайте равным атмосферному.

Изменение массы газа. Из уравнения состояния идеального газа следует, что для одного и того же газа значение выражения (pV)/T пропорционально массе газа.

? 19. Гелий в баллоне с неплотно закрытым краном нагрели от 0 ºС до 20 ºС. При этом давление газа увеличилось от 2,2 * 10⁵ Па до 2,3 * 105 Па. Объем баллона 100 л.
а) Во сколько раз увеличилась абсолютная температура газа?
б) Во сколько раз увеличилось давление газа?
в) Осталось ли неизменным значение выражения (pV)/T?
г) На сколько уменьшилось число молей газа?
д) Насколько уменьшилась масса газа?

Изменение числа молекул вследствие изменения состава молекулы. Значение выражения (pV)/T пропорционально числу молекул, поэтому оно изменяется, если масса газа остается неизменной, но изменяется число молекул.

? 20. При нагревании водорода от 300 К до 1350 К все молекулы распались на атомы. Начальное давление равно атмосферному. Объем сосуда не изменился.
а) Во сколько раз увеличилась абсолютная температура газа?
б) Во сколько раз увеличилось число молекул газа?
в) Каким стало давление газа?

Дополнительные вопросы и задания

21. Сколько молей вещества:
а) в ванне воды (200 л)?
б) в баллоне, содержащем 100 г кислорода?
в) в кубическом кристалле поваренной соли с длиной ребра 3 см? Плотность поваренной соли 2,2 * 10² кг/м³.

22. Сколько молекул:
а) в литре воды?
б) в баллоне, содержащем 100 г углекислого газа (CO₂)?
в) в чайной ложке поваренной соли (6 г)?

23. Чему равна масса:
а) 6 * 10²³ молекул водорода?
б) 3 * 10²⁴ молекул воды?
в) 4,2 * 10²² атомов кислорода?

24. В 1 г некоторого двухатомного газа содержится 2,14 * 10²² молекул.
а) Чему равна молярная масса газа?
б) Какой это газ?

25. Какой высоты слой воды покрыл бы земной шар, если бы на него вылили столько же чайных ложек воды (по 5 мл), сколько молекул воды содержится в одной чайной ложке? Площадь поверхности земного шара примите равной 500 млн км².

26. Имеются алюминиевый и медный кубики. В каком из них больше атомов, и во сколько раз больше, если у них: а) равные массы? б) равные объемы? Примите, что плотность алюминия составляет 0,3 от плотности меди.

27. Полный стакан воды (200 мл) полностью испарился за 10 дней. Сколько молекул воды покидало стакан ежесекундно? Сравните это число с населением Земли.

28. В бассейн глубиной 2 м, длиной 50 м и шириной 10 м бросили один кристаллик поваренной соли массой 0,1 г. Спустя очень длительное время из бассейна зачерпнули стакан воды. Сколько ионов натрия окажется в атом стакане?

29. Одинакова ли концентрация молекул газов, содержащихся в шариках, изображенных на рисунке 40.2 (с. 22)? Чему она равна при нормальных условиях?

30. В цилиндре под постоянным давлением находился озон (трехатомный кислород O₃) при температуре 727 ºС. Когда температуру понизили до 127 ºС, весь озон превратился в кислород O₂. Как изменился объем газа?

31. В расположенном вертикально цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения 10 см² под поршнем с грузом общей массой 40 кг находится 0,05 молей газа. Температура газа 27 ºС, давление атмосферы 10⁵ Па.
а) Чему равно давление газа?
б) На какой высоте от дна сосуда находится поршень?

32. Цилиндрический сосуд разделен тонким подвижным поршнем на две части. В одной части сосуда находится 1 г водорода, а в другой – 1 г кислорода. Давление и температура газов одинаковы. Какую часть сосуда занимает водород?

При решении задачек по физике периодически встречается такая константа, как число Авогадро. Число это появилось не случайно, а является следствием закона Авогадро.

Давайте обсудим этот закон в режиме “для чайников”. Правда относится он больше к химии, нежели к физике, но и в физике мы встретим его ни раз, а уж инженеру этак вообще нужно знать всё :)…

Начнем, пожалуй, с самого Амедео Авогадро. Чуть выше приведен его портрет и я надеюсь, что выглядел он не так, как его изображают :)…Ибо статуя Авогадро гораздо более лицеприятная. Да и с именем парню “повезло”. Амедео звучит почти как A-media. Название какой-то фирмы по продаже болванок. Ну да ладно. Человек внёс огромный вклад в развитие химии и физической химии, открыв воистину фундаментальный закон. Поэтому, подшучивать над внешностью как-то неуместно.

Интересно отметить, что закон был открыт гораздо раньше, чем его удалось доказать экспериментально и существовал чисто в эмпирическом виде. Позже исследователи подтвердили, что Авогадро был совершенно прав и закон назвали его именем.

Формулировка закона Авогадро

В равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температурах и давлениях, содержится одно и то же количество молекул

Встречается и ещё одна формулировка, которая, собственно, следует из закона.

Один моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает один и тот же объём при нормальных условиях, равный 22,4 л

Напомню, что нормальные условия – это давление 1 атмосфера и температура 273,15 К.

Разбираем текст закона

Теперь разберем сам текст закона. Какие вопросы тут могут возникнуть?

Обратите внимание, что речь идёт про равные объемы. Если взять кислород и азот в разных объемах, одного кубический метр, а второго – два кубических метра, то соотношение Авогадро уже не выполняется.

Важно также отметить, что мы говорим про идеальные газы. Сравниваем именно их. Если же газ близок к идеальному, то чем он дальше от идеального, тем больше отклонение от закона Авогадро. Напомню, что идеальные газы – это такие газы, у которых нет взаимодействия между частицами, а размеры пренебрежимо малы. Правда про идеальные газы полезно знать побольше, но это тема отдельного материала.

Отдельно отмечается, что должны соответствовать давление и температура. Это тоже логично. Ведь это только в теории мы можем представить себе “кубик” газа, будь то водород или кислород, который обособлен. В реальности всё немного иначе и вытянуть такой кусок не получится. От того и множество влияний, который следовало бы учитывать при изменении давления и температуры. Если газы рассматривать при разных температурах и давлениях, то и та же плотность газов будет отличаться от тех, при которых мы проводим сравнение. Значит в глобальных масштабах частицы смогут перетекать из одного объема в другой, что уже некорректно.

Ну и интересная фраза “содержится одно и то же количество молекул“. А какое это количество молекул? :)…Про то, как его определяли и определяют до сих пор есть множество статей. Например, про это я писал на своем сайте.

6,02 ∙ 1023 молекул (1 моль) газа или смеси газов при н.у. занимает объём равный 22,4 л. Это количество молекул и есть число Авогадро Nа = 6,022 140 76⋅1023 моль−1.

Правда если уж мы заговорили про число Авогадро, то там употребляется формулировка “структурных единиц”, вместо “молекул”. Да и “сфера действия” распространяется на все тела. Тогда как закон Авогадро справедлив только для твердых тел.

Как появился закон Авогадро и почему стоит ему доверять

Пытливые умы, конечно же, начинают вникать в возможность существования закона Авогадро не только на бумаге. Давайте посмотрим, как всё начиналось и что является подтверждением обозначенного выше закона.

Гей-Люссак изучал реакцию, в которой из двух газов – хлористого водорода и аммиака получался твердых хлорид амония.

При многократных повторениях эксперимента обнаружилось, что для реакции требуются равные объемы обоих газов. Если одного газа было больше другого, то в результате реакции, тот газ которого больше, оставался неиспользованным. Причем именно в таком количестве, во сколько раз его было больше.

Гей-Люссак записал эти наблюдения в свой “живой журнал” и сам забыл об этом :)…Но эти записи ненароком попали к Амедео Авогадро.

Авогадро сделал вывод, что равные объемы любых газов содержат равное число молекул. Или же как ещё объяснить наблюдение, что в результате взаимодействия неравных объемов, в дело идут только равные их части!?

Объяснение было простым. Для того, чтобы наблюдалась описываемая картина, нужно чтобы каждая из частичек рассматриваемого газа провзаимодействовала с частичкой другого газа. “Один на один“, скажем так.

Впоследствии гипотеза подтвердилось в многочисленных экспериментах для множества газов. Воспроизводилось результата и дала понимание того, что мы имеем дело не со спецификой какого-то конкретного набора газов, которые оказались в паре, а со всеобъемлющим законом.

Очень советую ознакомиться со следующими нашими статьями: