Как найти число обратное числу с примерами - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова

Петр Романов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Прочтем еще раз условие задачи.

Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?

По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.

То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.

Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.

Условия:

В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
За 4 дня он смог решить 23 задачи.

Начнём перебирать и проверять возможные варианты.

1 вариант

Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

1 · 4 = 4 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

18 − 3 = 15 задач.

15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.

Значит наше предположение не верно.

2 вариант

Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

2 · 4 = 8 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

13 − 7 = 6 задач.

6 задач — решено во 2 день.

Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач
2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.

Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.

3 вариант

Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

3 · 4 = 12 задач.

Значит, в 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.

7 — 4 = 3 задачи.

Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.

Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.

Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.

Ответ:

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач

Источник

Загрузить PDF

Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.

1
Найдите обратное число для дробного числа, перевернув его. “Обратное число” определяется очень просто. Чтобы вычислить его, просто рассчитайте значение выражения “1 ÷ (исходное число).” Для дробного числа обратным числом является другое дробное число, которое можно вычислить просто “перевернув” дробь (поменяв местами числитель и знаменатель).^[1]
- Например, обратным числом дроби ³/₄ является ⁴/₃.
2
Запишите обратное число для целого числа в виде дроби. И в этом случае обратное число вычисляется, как 1 ÷ (исходное число). Для целого числа запишите обратное число в виде обычной дроби, не нужно производить вычисления и записывать его в виде десятичной дроби.
- Например, обратное число для 2 равно 1 ÷ 2 = ¹/₂.
Реклама

1

Что такое “смешанная дробь”. Смешанной дробью называется число, записанное в виде целого числа и простой дроби, например, 2⁴/₅. Находжение обратного числа для смешанной дроби осуществляется в два этапа, описанных ниже.
2
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби. Вы, конечно, помните, что единица может быть записана в виде (число)/(то же число), а дроби с одинаковым знаменателей (числом под чертой) можно сложить друг с другом. Вот как это можно сделать для дроби 2⁴/₅:
- 2⁴/₅
- = 1 + 1 + ⁴/₅
- = ⁵/₅ + ⁵/₅ + ⁴/₅
- = ^(5+5+4)/₅
- = ¹⁴/₅.
3
Переверните дробь. Когда смешанная дробь записана в виде неправильной дроби, мы можем легко найти обратное число, просто поменяв местами числитель и знаменатель.
- Для вышеприведенного примера обратное число будет равно ¹⁴/₅ – ⁵/₁₄.
Реклама

1
Если это возможно, выразите десятичную дробь в виде простой дроби. Вам нужно знать, что многие десятичные дроби можно легко превратить в простые дроби. Например, 0,5 = ¹/₂, а 0,25 = ¹/₄. Когда вы записали число в виде простой дроби, то сможете легко найти обратное число, просто перевернув дробь.
- Например, обратное число для 0,5 равно ²/₁ = 2.
2
Решите задачу с помощью деления. Если вы не можете записать десятичную дробь в виде простой дроби, рассчитайте обратное число, решив задачу делением: 1 ÷ (десятичная дробь). Для решения вы можете воспользоваться калькулятором или перейти к следующему шагу, если хотите рассчитать значение вручную.
- Например, обратное число для 0,4 рассчитывается как 1 ÷ 0,4.
3
Измените выражение, чтобы работать с целыми числами. Первый шаг в деление десятичной дроби – это перемещение позиционной запятой до тех пор, пока все числа в выражении не станут целыми числами. Поскольку вы перемещаете позиционную запятую на одинаковое количество знаков, как в делимом, так и в делителе, вы получаете правильный ответ.
- Например, вы берете выражение 1 ÷ 0,4 и записываете его как 10 ÷ 4. В этом случае вы переместили запятую на один знак вправо, что равносильно тому, если бы вы умножили каждое число на десять.
4

Решите задачу, разделив числа столбиком. С помощью деления столбиком вы сможете рассчитать обратное число. Если вы разделите 10 на 4, у вас должно получиться 2,5, что и будет обратным числом для 0,4.

Реклама

Советы

Значение отрицательного обратного числа будет равно обратному числу, умноженному на -1. ^[2] Например, отрициательное обратное число для ³/₄ равно –⁴/₃.
Обратное число иногда называют “обратным значением” или “обратной величиной”. ^[3]
Число 1 является своим собственным обратным числом, поскольку 1 ÷ 1 = 1.
Ноль не имеет обратного числа, поскольку выражение 1 ÷ 0 не имеет решений.^[4]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 62 355 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Возьмём дробь

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.

Дробь

называют обратной дроби.

Если теперь дробь

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.

Поэтому такие дроби как

называют взаимно обратными.

Запомните!

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

записать его в виде неправильной дроби;

полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.

Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Запомните!

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Запомните!

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Примеры с дробями

И так мы помним правило

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Исходя из правила

Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:

Пример другой

Правило помним

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

1) 10 и 0,1

10∙0,1=1;

2) 0,125 и 8

0,125∙8=1;

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

натуральное число a и обратное ему число — как

Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.

Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.

В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.

Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.

Исследуй дальше: Действия с обыкновенными дробями

Источник

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: ${frac {1}x}$ или $x^{{-1}}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными^[1].

Примеры.

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:

Обратное для числа 2 равно ${displaystyle {frac {1}{2}}.}$

Обратное для числа ${displaystyle {frac {11}{35}}}$

равно ${displaystyle {frac {35}{11}}.}$

Обратное для числа

равно

Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией.

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов^[⇨].

Обратное к действительному числу[править | править код]

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

То есть ${frac {1}{n}}=n^{{-1}}$ .

Примеры
Число		${frac {1}{10}}$	$-{frac {2}{7}}$						$e^{{{frac {pi }{4}}}}$	$10^{{23}}$
Обратное	${frac {1}{3}}$		$-{frac {7}{2}}$	${frac {1}{2pi }}$				$frac{sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{frac {pi }{4}}}}$	$10^{{-23}}$

Обратное для нуля[править | править код]

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

$lim _{{xto +0}}{frac {1}{x^{2}}}={+infty }$

Но $lim _{{xto +0}}{frac {{frac {1}{x}}}{{frac {1}{x^{2}}}}}=lim _{{xto +0}}{frac {x^{2}}{x}}=0$

Обратное к комплексному числу[править | править код]

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число	Обратное $left({frac {1}{z}}right)$ ^[2]
Алгебраическая		${frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
Тригонометрическая		${frac {1}{r}}(cos varphi -isin varphi )$
Показательная	$re^{{ivarphi }}$	${frac {1}{r}}e^{{-ivarphi }}$

Обозначение и доказательство

Алгебраическая форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{x+iy}}={frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Тригонометрическая форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{r(cos varphi +isin varphi )}}={frac {1}{r}}{frac {cos varphi -isin varphi }{(cos varphi +isin varphi )(cos varphi -isin varphi )}}={frac {1}{r}}{frac {cos varphi -isin varphi }{cos ^{2}varphi +sin ^{2}varphi }}={frac {1}{r}}(cos varphi -isin varphi )$

Показательная форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{re^{{ivarphi }}}}={frac {1}{r}}e^{{-ivarphi }}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число	Обратное $left({frac {1}{z}}right)$ ^[2]
Алгебраическая		${frac {1}{4}}-{frac {{sqrt {3}}}{4}}i$
Тригонометрическая	$2left(cos {frac {pi }{3}}+isin {frac {pi }{3}}right)$ или $2left({frac {1}{2}}+i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right)$ ^[3]	${frac {1}{2}}left(cos {frac {pi }{3}}-isin {frac {pi }{3}}right)$ или ${frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}-i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right)$ ^[3]
Показательная	$2e^{{i{frac {pi }{3}}}}$	${frac {1}{2}}e^{{-i{frac {pi }{3}}}}$

Обратное к мнимой единице[править | править код]

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это pm i .

Число	Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
	${frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
	$-{frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Доказательство

Продемонстрируем доказательство для (для аналогично).
Используем основное свойство дроби:

${frac {1}{i}}={frac {1cdot i}{icdot i}}={frac {i}{i^{2}}}={frac {i}{-1}}=-i$

Таким образом, получаем

${frac {1}{i}}=-i$ __или__ $i^{{-1}}=-i$

Аналогично для : __ $-{frac {1}{i}}=i$ __ или __ $-i^{{-1}}=i$

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие обратного элемента на произвольном множестве можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна, то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы кольца, имеющие обратный элемент, называются делителями единицы. Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.

Источник

В данной публикации рассмотрено, что такое обратные и взаимно обратные числа. Также приведем правило, по которому их можно найти, и разобран практический пример для лучшего понимания теоретического материала.

Определение обратных чисел
Правило нахождения обратного числа

Определение обратных чисел

Допустим, у нас есть обыкновенная дробь

3/7

Если мы поменяем числитель и знаменатель местами (т.е. “перевернем” дробь), то получится

7/3

Дробь

7/3

называется обратной дроби

3/7

Также, если мы перевернем

7/3

, то получится первоначальная дробь

3/7

Следовательно,

3/7

7/3

являются взаимно обратными числами.

Примечание: произведение взаимно обратных чисел равняется единице.

Например:

Правило нахождения обратного числа

Представляем исходное число (целое или смешанное) в виде обыкновенной дроби.
Переворачиваем полученную дробь.

Пример

Найдем число, обратное смешанной дроби 3

4/5

Решение:

Сперва переведем дробь в обыкновенную:

4/5

3 · 5 + 4/5

19/5

Меняем местами числитель и знаменатель, получаем обратное число, равное

5/19

Источник

1 вариант

2 вариант

3 вариант

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://mentalar.ru/wp-content/uploads/2019/03/6-%E2%80%94-%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F.jpg" alt width="596" height="201" />

Обратное к действительному числу[править | править код]

Обратное для нуля[править | править код]

Обратное к комплексному числу[править | править код]

Обратное к мнимой единице[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Определение обратных чисел

Правило нахождения обратного числа

Вам также может понравиться

Как правильно составить справку в прокуратуру

Как найти реплей по ссылке в танках

Постирала белое с черным как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ