Как найти число обратное ему - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: ${frac {1}x}$ или $x^{{-1}}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными^[1].

Примеры.

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:

Обратное для числа 2 равно ${displaystyle {frac {1}{2}}.}$

Обратное для числа ${displaystyle {frac {11}{35}}}$

равно ${displaystyle {frac {35}{11}}.}$

Обратное для числа

равно

Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией.

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов^[⇨].

Обратное к действительному числу[править | править код]

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

То есть ${frac {1}{n}}=n^{{-1}}$ .

Примеры
Число		${frac {1}{10}}$	$-{frac {2}{7}}$						$e^{{{frac {pi }{4}}}}$	$10^{{23}}$
Обратное	${frac {1}{3}}$		$-{frac {7}{2}}$	${frac {1}{2pi }}$				$frac{sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{frac {pi }{4}}}}$	$10^{{-23}}$

Обратное для нуля[править | править код]

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

$lim _{{xto +0}}{frac {1}{x^{2}}}={+infty }$

Но $lim _{{xto +0}}{frac {{frac {1}{x}}}{{frac {1}{x^{2}}}}}=lim _{{xto +0}}{frac {x^{2}}{x}}=0$

Обратное к комплексному числу[править | править код]

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число	Обратное $left({frac {1}{z}}right)$ ^[2]
Алгебраическая		${frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
Тригонометрическая		${frac {1}{r}}(cos varphi -isin varphi )$
Показательная	$re^{{ivarphi }}$	${frac {1}{r}}e^{{-ivarphi }}$

Обозначение и доказательство

Алгебраическая форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{x+iy}}={frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Тригонометрическая форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{r(cos varphi +isin varphi )}}={frac {1}{r}}{frac {cos varphi -isin varphi }{(cos varphi +isin varphi )(cos varphi -isin varphi )}}={frac {1}{r}}{frac {cos varphi -isin varphi }{cos ^{2}varphi +sin ^{2}varphi }}={frac {1}{r}}(cos varphi -isin varphi )$

Показательная форма:

${frac {1}{z}}={frac {1}{re^{{ivarphi }}}}={frac {1}{r}}e^{{-ivarphi }}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число	Обратное $left({frac {1}{z}}right)$ ^[2]
Алгебраическая		${frac {1}{4}}-{frac {{sqrt {3}}}{4}}i$
Тригонометрическая	$2left(cos {frac {pi }{3}}+isin {frac {pi }{3}}right)$ или $2left({frac {1}{2}}+i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right)$ ^[3]	${frac {1}{2}}left(cos {frac {pi }{3}}-isin {frac {pi }{3}}right)$ или ${frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}-i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right)$ ^[3]
Показательная	$2e^{{i{frac {pi }{3}}}}$	${frac {1}{2}}e^{{-i{frac {pi }{3}}}}$

Обратное к мнимой единице[править | править код]

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это pm i .

Число	Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
	${frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
	$-{frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Доказательство

Продемонстрируем доказательство для (для аналогично).
Используем основное свойство дроби:

${frac {1}{i}}={frac {1cdot i}{icdot i}}={frac {i}{i^{2}}}={frac {i}{-1}}=-i$

Таким образом, получаем

${frac {1}{i}}=-i$ __или__ $i^{{-1}}=-i$

Аналогично для : __ $-{frac {1}{i}}=i$ __ или __ $-i^{{-1}}=i$

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие обратного элемента на произвольном множестве можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна, то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы кольца, имеющие обратный элемент, называются делителями единицы. Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.

Источник

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Определение. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.

Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32, 613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число 256789.

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.

Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.

Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18).

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

2,18=2+18·10-2+18·10-4+…=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411

После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.

Обратимся к практике.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

4-23·1+32=4-23+23-3=1

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Запишите число, обратное числу 53+1.

Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:

153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Найдем обратное число для 5-3+4.

Согласно написанному выше, искомое число равно 5–3+4=53-4

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a.

logab и logba – взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Найти число, обратное log35-23.

Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь

1x+iy. Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.

Пример. Число, обратное комплексному числу

Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.

Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.

Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:

14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z=r·cosφ+i·sinφ

z=r·ei·φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1rcos(-φ)+i·sin(-φ)

или

1rei(-φ)

Убедимся в этом:

r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.

Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число

32cos-π6+i·sin-π6

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.

Ответ: 12·ei2π5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a+b2≥a·b

Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:

a+1a2≥a·1aa+1a≥2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.

23+32=4+96=136=216

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

Источник

Загрузить PDF

Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.

1
Найдите обратное число для дробного числа, перевернув его. “Обратное число” определяется очень просто. Чтобы вычислить его, просто рассчитайте значение выражения “1 ÷ (исходное число).” Для дробного числа обратным числом является другое дробное число, которое можно вычислить просто “перевернув” дробь (поменяв местами числитель и знаменатель).^[1]
- Например, обратным числом дроби ³/₄ является ⁴/₃.
2
Запишите обратное число для целого числа в виде дроби. И в этом случае обратное число вычисляется, как 1 ÷ (исходное число). Для целого числа запишите обратное число в виде обычной дроби, не нужно производить вычисления и записывать его в виде десятичной дроби.
- Например, обратное число для 2 равно 1 ÷ 2 = ¹/₂.
Реклама

1

Что такое “смешанная дробь”. Смешанной дробью называется число, записанное в виде целого числа и простой дроби, например, 2⁴/₅. Находжение обратного числа для смешанной дроби осуществляется в два этапа, описанных ниже.
2
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби. Вы, конечно, помните, что единица может быть записана в виде (число)/(то же число), а дроби с одинаковым знаменателей (числом под чертой) можно сложить друг с другом. Вот как это можно сделать для дроби 2⁴/₅:
- 2⁴/₅
- = 1 + 1 + ⁴/₅
- = ⁵/₅ + ⁵/₅ + ⁴/₅
- = ^(5+5+4)/₅
- = ¹⁴/₅.
3
Переверните дробь. Когда смешанная дробь записана в виде неправильной дроби, мы можем легко найти обратное число, просто поменяв местами числитель и знаменатель.
- Для вышеприведенного примера обратное число будет равно ¹⁴/₅ – ⁵/₁₄.
Реклама

1
Если это возможно, выразите десятичную дробь в виде простой дроби. Вам нужно знать, что многие десятичные дроби можно легко превратить в простые дроби. Например, 0,5 = ¹/₂, а 0,25 = ¹/₄. Когда вы записали число в виде простой дроби, то сможете легко найти обратное число, просто перевернув дробь.
- Например, обратное число для 0,5 равно ²/₁ = 2.
2
Решите задачу с помощью деления. Если вы не можете записать десятичную дробь в виде простой дроби, рассчитайте обратное число, решив задачу делением: 1 ÷ (десятичная дробь). Для решения вы можете воспользоваться калькулятором или перейти к следующему шагу, если хотите рассчитать значение вручную.
- Например, обратное число для 0,4 рассчитывается как 1 ÷ 0,4.
3
Измените выражение, чтобы работать с целыми числами. Первый шаг в деление десятичной дроби – это перемещение позиционной запятой до тех пор, пока все числа в выражении не станут целыми числами. Поскольку вы перемещаете позиционную запятую на одинаковое количество знаков, как в делимом, так и в делителе, вы получаете правильный ответ.
- Например, вы берете выражение 1 ÷ 0,4 и записываете его как 10 ÷ 4. В этом случае вы переместили запятую на один знак вправо, что равносильно тому, если бы вы умножили каждое число на десять.
4

Решите задачу, разделив числа столбиком. С помощью деления столбиком вы сможете рассчитать обратное число. Если вы разделите 10 на 4, у вас должно получиться 2,5, что и будет обратным числом для 0,4.

Реклама

Советы

Значение отрицательного обратного числа будет равно обратному числу, умноженному на -1. ^[2] Например, отрициательное обратное число для ³/₄ равно –⁴/₃.
Обратное число иногда называют “обратным значением” или “обратной величиной”. ^[3]
Число 1 является своим собственным обратным числом, поскольку 1 ÷ 1 = 1.
Ноль не имеет обратного числа, поскольку выражение 1 ÷ 0 не имеет решений.^[4]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 62 240 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Найти обратное число

Правила ввода

Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)

Определение взаимно обратных чисел

Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.

Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.

Примеры взаимно обратных чисел

1/3 и 3
0.25 и 4
5 и 1/5
2/3 и 3/2
1 целая 2/5 и 5/7

При умножении этих чисел получится 1

Как найти число обратное обыкновенной дроби

Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1.

Например: 2/3 × 3/2 = 1

Как найти число обратное смешанному числу

Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами.

Например: 2 7/8 = 23/8
23/8 × 8/23 = 1

Источник

22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова

Петр Романов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Прочтем еще раз условие задачи.

Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?

По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.

То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.

Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.

Условия:

В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
За 4 дня он смог решить 23 задачи.

Начнём перебирать и проверять возможные варианты.

1 вариант

Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

1 · 4 = 4 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

18 − 3 = 15 задач.

15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.

Значит наше предположение не верно.

2 вариант

Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

2 · 4 = 8 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

13 − 7 = 6 задач.

6 задач — решено во 2 день.

Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач
2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.

Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.

3 вариант

Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

3 · 4 = 12 задач.

Значит, в 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.

7 — 4 = 3 задачи.

Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.

Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.

Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.

Ответ:

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач

Источник

Обратное к действительному числу[править | править код]

Обратное для нуля[править | править код]

Обратное к комплексному числу[править | править код]

Обратное к мнимой единице[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Взаимно обратные числа. Определение

Как найти число, обратное данному

Число, обратное обыкновенной дроби

Число, обратное натуральному числу

Число, обратное смешанному числу

Число, обратное десятичной дроби

Взаимно обратные числа с корнями

Взаимно обратные числа со степенями

Взаимно обратные числа с логарифмами

Число, обратное комплексному числу

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Найти обратное число

Определение взаимно обратных чисел

Примеры взаимно обратных чисел

Как найти число обратное обыкновенной дроби

Как найти число обратное смешанному числу

1 вариант

2 вариант

3 вариант

Вам также может понравиться

Как составить структуру глав

Асимметрия глаз как исправить у ребенка

Найти песню люди как птицы

Добавить комментарий Отменить ответ