Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Взаимно обратные числа. Определение
Взаимно обратные числа – такие числа, произведение которых дает единицу.
Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.
Самый простой пример взаимно обратных чисел – две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 – взаимно обратные числа. Другой пример – числа 3 и 13, -23 и -32, 613 и 136, log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.
Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел – натуральных, целых, действительных и комплексных.
Как найти число, обратное данному
Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Число, обратное обыкновенной дроби
Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab – это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.
Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 – число 256789.
Число, обратное натуральному числу
Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Число, обратное смешанному числу
Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.
Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.
Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.
Число, обратное десятичной дроби
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.
Рассмотрим еще один пример.
Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18).
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2,18=2+18·10-2+18·10-4+…=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411
После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.
Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789… обратное число будет иметь вид 13,6025635789….
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.
Взаимно обратные числа с корнями
Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.
Обратимся к практике.
Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
4-23·1+32=4-23+23-3=1
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Запишите число, обратное числу 53+1.
Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:
153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.
Найдем обратное число для 5-3+4.
Согласно написанному выше, искомое число равно 5–3+4=53-4
Взаимно обратные числа с логарифмами
Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a.
logab и logba – взаимно обратные числа.
Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.
Найти число, обратное log35-23.
Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.
Число, обратное комплексному числу
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь
1x+iy. Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.
Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.
Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.
Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:
14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z=r·cosφ+i·sinφ
z=r·ei·φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
1rcos(-φ)+i·sin(-φ)
или
1rei(-φ)
Убедимся в этом:
r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.
Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число
32cos-π6+i·sin-π6
Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.
Ответ: 12·ei2π5
Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
a+b2≥a·b
Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:
a+1a2≥a·1aa+1a≥2
Что и требовалось доказать.
Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.
Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.
23+32=4+96=136=216
Как и говорит теорема, полученное число больше двух.
Взаимно обратные числа
- Как находить обратные числа
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:
Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:
p · q = 1.
Как находить обратные числа
Если взять обыкновенную дробь и перевернуть
её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.
Возьмём дробь 
и перевернём
её, получится дробь 
:
Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:
Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби 
, затем “перевернём” эту дробь, получится дробь 
.
Из сказанного следует, что:
Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
- Представить его в виде неправильной дроби.
Перевернуть
полученную дробь.
Найдём обратное число для 
:
Проверяем:
Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:
Проверяем:
Для единицы обратным числом является сама единица, так как:
1 · 1 = 1.
Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.
Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.
Найти обратное число
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)
Определение взаимно обратных чисел
Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.
Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.
Примеры взаимно обратных чисел
- 1/3 и 3
- 0.25 и 4
- 5 и 1/5
- 2/3 и 3/2
- 1 целая 2/5 и 5/7
При умножении этих чисел получится 1
Как найти число обратное обыкновенной дроби
Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1.
Например: 2/3 × 3/2 = 1
Как найти число обратное смешанному числу
Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами.
Например: 2 7/8 = 23/8
23/8 × 8/23 = 1
Возьмём дробь
и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.
Дробь
называют обратной дроби.
Если теперь дробь
опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.
Поэтому такие дроби как
и
называют взаимно обратными.
Запомните!
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
записать его в виде неправильной дроби;
полученную дробь «перевернуть».
Пример. Найти число обратное смешанному числу:
- Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
-
Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:
Взаимно обратные числа обладают важным свойством.
Запомните!
Произведение взаимно обратных чисел равно единице.
Пример произведения обратных дробей.
Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.
Запомните!
Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.
Примеры с дробями
И так мы помним правило
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Исходя из правила
Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:
Пример другой
Правило помним
Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.
Примеры обратных чисел.
1) 10 и 0,1
10∙0,1=1;
2) 0,125 и 8
0,125∙8=1;
Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.
Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.
В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как
натуральное число a и обратное ему число — как
Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.
Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.
На практике обычно поступают проще.
Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).
Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.
Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.
В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.
Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.
Исследуй дальше: Действия с обыкновенными дробями
Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: 
или 
. Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными[1].
Примеры.
- Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:
и - Обратное для числа 2 равно
- Обратное для числа равно
- Обратное для числа равно
Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией.
Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов[⇨].
Обратное к действительному числу[править | править код]
Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.
То есть 
.
| Примеры | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Число |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
| Обратное |  |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
|
Обратное для нуля[править | править код]
В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.
Используя предельный переход, получаем:
Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.
Но 
Обратное к комплексному числу[править | править код]
Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.
| Формы комплексного числа | Число  |
Обратное  [2]
|
| Алгебраическая |  |
|
| Тригонометрическая |  |
|
| Показательная |  |
|
Обозначение и доказательство
- Алгебраическая форма:
- Тригонометрическая форма:
- Показательная форма:
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.
Пример:
| Формы комплексного числа | Число |
Обратное [2]
|
| Алгебраическая |  |
|
| Тригонометрическая | 
или |
или |
| Показательная |  |
|
Обратное к мнимой единице[править | править код]
Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это 
.
| Число | Равенство обратного и противоположного | |
| Запись обратного через дробь | Запись обратного через степень | |
 |
 |
|
 |
 |
|
Доказательство
Продемонстрируем доказательство для (для аналогично).
Используем основное свойство дроби:
Таким образом, получаем
__или__
Аналогично для : __ __ или __
Вариации и обобщения[править | править код]
Понятие обратного элемента на произвольном множестве 
можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна, то приходится различать левый и правый обратный элементы.
Элементы кольца, имеющие обратный элемент, называются делителями единицы. Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.
