Как найти число по его процентной части

Этот калькулятор онлайн решает задачу на нахождение числа, зная его процент.

Онлайн калькулятор для нахождения числа по его процентам не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Проценты – одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно
прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%,
промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка
и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.

Одним процентом от любой величины – денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. – называется одна сотая ее часть. Обозначается
процент знаком %, Таким образом,
1% – это 0,01, или ( frac{1}{100} ) часть величины

Приведем примеры:
– 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) – это 2300/100 = 23 рубля;
– 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), – это 1,45 млн. человек;
– 3%-я концентрация раствора соли – это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора – это часть, которую
составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке
“хлопок 100%” означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих
учеников.

Слово “процент” происходит от латинского pro centum, означающего “от сотни” или “на 100”. Это словосочетание можно встретить и в
современной речи. Например, говорят: “Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы”. Если понимать это выражение
буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших
призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое
понимание соответствует происхождению слова “процент”: 7% – это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

Знак “%” получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга “Руководство по коммерческой
арифметике” Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали “cto” (сокращенно от cento). Однако
наборщик принял это “с/о” за дробь и напечатал “%”. Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:

( 58% = frac{58}{100} = 0,58; ;;; 4,5% = frac{4,5}{100} = 0,045; ;;; 200% = frac{200}{100} = 2 )

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить
на 100:

( 0,58 = (0,58 cdot 100)% = 58% )

( 0,045 = (0,045 cdot 100)% = 4,5% )

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина – 50%,
четверть – 25%, три четверти – 75%, пятая часть – 20%, три пятых – 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью
процентов. Например, в сообщениях “Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%” и “Минимальная заработная плата повышена
с февраля в 1,5 раз” говорится об одном и том же.
Точно так же увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза – это значит увеличить на 200%, уменьшить
в 2 раза – это значит уменьшить на 50%.

Аналогично
– увеличить на 300% – это значит увеличить в 4 раза,
– уменьшить на 80% – это значит уменьшить в 5 раз.

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби.
В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% (“целое”), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно — а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и
соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти ( frac{p}{100} ) от a, надо a умножить на ( frac{p}{100} ):

( b = a cdot frac{p}{100} )

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь ( frac{p}{100} ). Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг,
а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью ( frac{p}{100} , ; (p neq 0) ), надо b разделить на ( frac{p}{100} ):
( a = b : frac{p}{100} )

Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р% этого числа, надо эту часть разделить на ( frac{p}{100} ).
Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а ( (a neq 0) ), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а
затем эту часть выразить в процентах:

( p = frac{b}{a} cdot 100% )

Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат
умножить на 100.
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют ( frac{9 cdot 100}{180} = 5% ) раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило
называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

( b = a cdot frac{p}{100}, ;; a = b : frac{p}{100}, ;; p = frac{b}{a} cdot 100% ;; (a,b,p neq 0 ) )

взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу
считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании,
можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется “пеня” (от латинского роеnа
– наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма
составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 • 0,019 = 19 р.,
а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую
формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S – ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n – число просроченных дней. Сумму,
которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S_n.

Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или ( frac{pn}{100}S ), а всего придется заплатить
( S + frac{pn}{100}S = left( 1+ frac{pn}{100} right) S )
Таким образом:
( S_n = left( 1+ frac{pn}{100} right) S )

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.
Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
( S_n = left( 1- frac{pn}{100} right) S )

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает.
Рост в этом случае “отрицательный”.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный
договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете
доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход –
“проценты”, как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего
года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются “проценты на проценты”,
или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех
лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 • 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 • 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 • 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы
вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1
раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма
увеличится в 1,1 • 1,1 = 1,1² раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,1² = 1,1³
раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое:
1,1³ • 1000 = 1,331 • 1000 – 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма,
которая будет на счете через n лет, равна S_n р.

Величина p% от S составляет ( frac{p}{100}S ) р., и через год на счете окажется сумма
( S_1 = S+ frac{p}{100}S = left( 1+ frac{p}{100} right)S )
то есть начальная сумма увеличится в ( 1+ frac{p}{100} ) раз.

За следующий год сумма S₁ увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
( S_2 = left( 1+ frac{p}{100} right)S_1 = left( 1+ frac{p}{100} right) left( 1+ frac{p}{100} right)S = left( 1+ frac{p}{100} right)^2 S )

Аналогично ( S_3 = left( 1+ frac{p}{100} right)^3 S ) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
( S_n = left( 1+ frac{p}{100} right)^n S )

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.