Как найти число полос интерференции

В нашей традиционной рубрике «Физика для чайников» сегодня решение задач. Тема – интерференция света. Разберем несколько типовых задач и ответим на вопросы.

Хотите читать не только о скучных задачах, но и получать актуальные студенческие новости? Подпишитесь на наш телеграм! А за скидками на услуги и акциями для клиентов добро пожаловать на наш второй канал.

Интерференция света: решение задач

Чтобы решать задачи, сначала нужно изучить теорию. Также мы собрали вместе формулы, которые пригодятся для решения задач по интерференции света, и не только. А тем, кто еще не знает, как вообще подступиться к физическим задачам, рекомендуем почитать общую памятку. А теперь, примеры решения задач по интерференции.

Задача №1 на интерференцию света

Условие

Высота радиомаяка над уровнем моря H = 200 м, расстояние до корабля d = 5,5 км. Определить оптимальную высоту мачты корабля для приема сигналов с длиной волны равной 1,5 м.

Решение

В данном случае волна, исходящая от радиомаяка, интерферирует с волной, отражённой от поверхности воды. Условие m-го максимума:

ym=2m-1dλ4H

Для нахождения оптимальной высоты мачты примем m=1:

y=dλ4H=5500·1,54·200=10,3м

Ответ: 10,3 м.

Задача №2 на интерференцию света

Условие

Источник света S с длиной волны 400 нм создает в схеме Юнга два когерентных источника, помещенных в бензол (n = 1,5). В точку А на экране луч от первого источника дошел за t1 =2,0000*10-10 c, а от второго за t2 =2,0002*10-10 c. Определить разность фаз колебаний в точке А и порядок интерференции k.

Решение

Найдем расстояния l1, пройденное лучом:

l1=v·t1=cn·t1l1=3·1081,5·2,0000·10-10=4 см

Найдем расстояние l2:

l2=v·t2=cn·t2l2=3·1081.5·2,0002·10-10=4,0004 см

Таким образом, разность хода составляет:

 ∆х=0,0004 см=4·10-6 м

Найдем разность фаз:

∆φ=2π∆хλ∆φ=2π·4·10-64·10-7=62,8

Условие максимума для интерференции:

∆φ=±2πk2πk=62,8

В данной точке порядок интерференции k=10.

Ответ: ∆φ=62,8 ; k=10.

Задача №3 на интерференцию света

Условие

Найти расстояние от точки 0 на экране P в установке бипризмы Френеля до m-ой светлой полосы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, длина волны 500 нм, преломляющий угол  альфа = 3 мин.26сек. (m = 6, а = 0,2 м, в = 1 м).

Решение

Условие максимума в данном случае:

∆=mλ

Из рисунка можно получить, что:

h=∆a+b2l=mλa+b2l

где 2l – расстояние между источниками, m-порядковый номер максимума.

Из рисунка:

2l=2a·sinφ=2aφ

Последнее предполоежение сделано вследстиве малости угла.

Тогда получаем:

h=mλa+b2aφ

Связь между преломляющим углом бипризмы Θ и φ определяется известной формулой: 

n-1θ=φ

В итоге:

h=mλa+b2an-1θ

Подставляя численные значения получаем:

h=6·5·10-7·0,2+12·0,21,5-1·9,99·10-4=1,8·10-2 м

Ответ: 1,8 см.

Задача №4 на интерференцию света

Условие

На стеклянный клин нормально к поверхности падает пучок света (λ = 582 нм). Угол клина равен 20″. Какое число интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла равен 1,5.

Решение

Ширина интерференционных полос при интерференции на прозрачном клине равна:

B=λ2nα=585·10-9·3600·1802·1,5·20·3,14=2·10-3 м

Найдем число интерференционных полос, приходящихся на один сантиметр клина:

N=10-22·10-3=5 см-1

Ответ: 5 полос на сантиметр

Задача №5 на интерференцию света

Условие 

Найти радиус кривизны стеклянной плоско-выпуклой линзы, примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего светлого кольца равен 1,4 мм; длина волны 589 нм. Кольца наблюдаются в отраженном свете.

Решение

В отраженном монохроматическом свете радиусы светлых колец равны:

r=2m+1Rλ2

Радиус кривизны линзы R найдем из этой формулы:

R=4r22m+1λ=4·1,4·10-322·3+1·589·10-9=1,9 м
 

Ответ: 1,9 м. 

Нужно больше задач по оптике? У нас есть!

Вопросы на интерференцию света

Вопрос 1. Что такое интерференция?

Ответ. Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного ослабления и усиления колебаний в разных точках среды в следствии наложения когерентных волн.

Вопрос 2. Когда можно наблюдать интерференцию?

Ответ. Это явление наблюдается при наложении двух или нескольких световых пучков. Интенсивность света в области перекрытия пучков имеет характер чередующихся темных и светлых полос, причем в максимумах интенсивность больше, а в минимумах меньше суммы интенсивностей пучков.

Вопрос 3. Приведите примеры интерференции, с которыми мы часто сталкиваемся в жизни.

Ответ. Проявление интерференции света:

• цвета  масляных пятен и мыльных пузырей на асфальте;
• окраска замерзающих оконных стекол; 
• цветные рисунки на крыльях некоторых жуков и бабочек.

Вопрос 4. Что влияет на интенсивность света в конкретной точке интерференционной картины?

Ответ. Интенсивность света в данной точке пространства определяется разностью фаз колебаний световых волн.

Вопрос 5. Проявлением какой природы света является интерференция: волновой или корпускулярной?

Ответ. Интерференция – проявление исключительно волновой природы.

Проблемы с решением задач? Обращайтесь в профессиональный сервис помощи учащимся в любое время суток!

Ширина полос интерференции

В

ведем
еще два параметра интерференционной
картины. Ширина
интерференционной полосы

– это расстояние между двумя соседними
минимумами, а расстояние между
двумя интерференционными полосами
– это расстояние между двумя соседними
максимумами интенсивности. Ясно, что
эти оба параметра имеют одинаковое
значение. Из геометрических соображений
получим это.

Рассмотрим две
световые волны, исходящие из точечных
источников S₁
и
S₂.
n
– показатель преломления среды. Экран
параллелен прямой соединяющей источники.
Область, в которой эти волны перекрываются,
называется полем
интерференции.
Во всей этой области наблюдается
чередование мест с максимумом и минимумом
интенсивности света. Вычислим ширину
полос интерференции x
(тёмных и светлых полос). Положение точки
на экране будет характеризоваться
точкой x,
отстоящей от центрального максимума
(расположен на перпендикуляре, опущенном
из середины расстояния между источниками).
Установим, что источники колеблются в
одинаковой фазе.

Из рисунка видно.

(1)

(2)

Т.к. d
<< l
и x
<< l,
то можно считать.

(3)

Тогда из (2) и (3)
получаем.

– это геометрическая
разность хода. (5)

Умножим левую и
правую части (5) на показатель преломления
среды n.

– это оптическая
разность хода.

(6)

Подставим это
значение в условие максимума интенсивности.

Для среды.

(7)

m =
0, 1, 2 …

Для условия минимума
имеем.

Получим.

(8)

Из формул (7) и (8)
видно, что расстояние между полосами и
ширина полосы имеют одинаковое значение,
равное:

,
где

– расстояние от источников до экрана.

Из перечисленных
формул видно, что при d

l,
x

,
т.е. ширина полосы была бы сравнима с
длиной волны, т.е. x
< 1 мкм.
Ничего нельзя было бы увидеть. Поэтому
необходимо выполнение условия d
<< l
.

Из приведённых
формул видно, что ширина интерференционной
полосы и расстояние между полосами
зависит от длины волны .
Только в центре интерференционной
картины при x
= 0 совпадают
максимумы всех длин волн. По мере удаления
от центра максимумы разных цветов
смещаются друг относительно друга всё
больше и больше. Это приводит к тому,
что при наблюдении в белом свете,
происходит размытие интерференционных
полос. Интерференционная картина будет
окрашенной, но не чёткой, смазанной.

Измерив x,
зная l
и d
можно вычислить длину волны света .
Именно так впервые вычислили длины волн
разных цветов.

Когерентность

Необходимым
условием интерференции волн является
их когерентность. Условию когерентности
удовлетворяют монохроматические волны.
Однако монохроматическая волна,
описываемая выражением

представляет собой
абстракцию. Следовательно, рассмотренный
нами процесс интерференции является
идеализированным. Волны, излучаемые
любыми независимыми источниками света,
не могут быть монохроматическими и
когерентными. Причина немонохроматичности,
следовательно, некогерентности световых
волн лежит в самой природе происхождения
этих волн. Излучение светящегося тела
слагается из волн, испускаемых атомами.
Излучение каждого атома длится очень
короткое время (порядка 10^-8
с). За это время возбужденный атом
переходит в нормальное состояние и
перестает излучать. Возбудившись вновь,
атом начинает испускать световые волны
уже с новой начальной фазой. Разность
фаз между излучением двух независимых
атомов не остается постоянной, поскольку
процесс излучения является случайным.
Таким образом, волны испускаемые атомами,
лишь короткий промежуток времени
(порядка 10^-8
с) имеют приблизительно постоянные
амплитуду и фазы колебаний.

Проведенные
рассуждения наталкивают на вывод о
принципиальной невозможности получения
интерференционной картины от естественного
источника световой волны. Однако
интерференционные картины все-таки
наблюдаются. Для их существования
необходимо выполнение ряда условий.
Рассмотрим их.

Введем несколько
понятий и определений. Прерывистое
излучение света атомами в виде отдельных
коротких импульсов называется волновым
цугом.
Любой немонохроматический свет можно
представить в виде совокупности сменяющих
друг друга независимых гармонических
цугов. Средняя продолжительность одного
цуга называется временем
когерентности

.
Когерентность существует только в
пределах одного цуга и время когерентности
не может превышать продолжительности
излучения

одного цуга, т.е.

.
Обнаружить четкую интерференционную
картину можно только тогда, когда время
разрешения прибора меньше времени
когерентности накладываемых световых
волн.

За время когерентности
волна распространяется в вакууме на
расстояние

,
равное

.
Расстояние

называется длиной
когерентности
(длиной цуга). Таким образом, длина
когерентности есть расстояние, при
прохождении которого одна или несколько
световых волн утрачивают когерентность.
Следовательно, для получения
интерференционной картины разность
хода световых волн должна быть меньше
длины когерентности для используемого
источника света:

.

Длина когерентности
световой волны непосредственно связана
со степенью
монохроматичности
света, равной отношению

,
где

– конечный интервал длин волн,
интерференция которых наблюдается. Эта
связь выражается соотношением:

.

Таким образом, для
получения интерференционной картины
от реального источника излучения
необходимо иметь излучение с малым
значением

.
Это условие представляет собой способ
увеличения длины когерентности. Для
солнечного света

.
Лазеры позволили получить

порядка сотен метров.

Рассмотрим для
пояснения длины когерентности опыт
Юнга.

В

опыте Юнга интерференционная картина
по мере удаления от её середины
размывается. Несколько полос видны, но
далее постепенно они исчезают. Почему?

Ответ ясен: потому,
что степень когерентности складываемых
в этих точках экрана колебаний (волн)
постепенно уменьшается, и, наконец,
колебания становятся полностью
некогерентными.

Исходя из этого
факта, попытаемся объяснить наблюдаемое
с помощью следующей модели. Пусть мы
видим, например, первые четыре порядка
интерференции (m
= 4), а затем полосы исчезают. Этот переход
наблюдается довольно плавным, но мы не
будем останавливаться на деталях.
Исчезновение полос с m
> 4 означает, что колебания, пришедшие
в соответствующие точки экрана от обеих
волн, оказываются уже некогерентными
между собой. Т.е. пока их разность хода
не превышает m
= 4 длин волн, колебания в какой-то степени
когерентны. Значит, вдоль распространения
волны когерентными между собой будут
только участки волны в этом интервале
длины. Данный интервал и называется
длиной когерентности

.
В рассмотренном случае

.
Заметим, что в данных условиях это
простейший способ оценки длины
когерентности:

,
где m
– м

аксимальный
порядок интерференции, соответствующей
ещё видимой полосе.

Всё это можно
схематически представить с помощью
рисунка.

В опыте Юнга, в
падающие на обе щели волне длина
когерентности равна

.
Щели создают две волны с той же длиной
когерентности, но поскольку они достигают
разных точек экрана с различными
разностями хода, то участки когерентности
обеих волн постепенно сдвигаются
относительно друг друга. Начиная с m
= 5, они перестают перекрывать друг друга,
т.е. складываемые колебания становятся
некогерентными и интерференционные
полосы исчезают.

Всё сказанное, как
мы увидим далее, справедливо при условии,
что “первичная” щель S
достаточно узкая. При расширении этой
щели вступает в действие другой эффект.
Рассмотрим его.

Вероятность
возбуждения интерференционных колебаний,
кроме временных параметров волн
характеризуется также пространственной
когерентностью.
Эта характеристика связана с геометрическими
размерами конкретной системы разделения
световой волны и описывается так
называемой шириной
когерентности

.
Под шириной когерентности понимается
расстояние между точками перпендикулярной
к направлению распространения волны
поверхности, в пределах которого волны
когерентны.

Как уже говорилось,
цель в опыте Юнга предполагалась весьма
узкой. Часто говорят о бесконечно узкой
щели. Расширение же щели, как и уменьшение
степени монохроматичности света приводит
к ухудшению (размытию) интерференционных
полос и даже к полному их исчезновению.
Чтобы выяснить роль ширины щели S,
рассмотрим теперь на примере опыта Юнга
другой крайний случай: излучение
монохроматическое, но щель не узкая.

И
нтерференционную
картину на экране Э
можно представить как наложение
интерференционных картин от бесконечно
узких щелей, на которые мысленно разобьем
щель S.
Пусть положение максимумов на экране
Э
от узкой щели, взятой около верхнего
края щели S
– точки 1 – таково, как отмечено сплошными
отрезками на рисунке. А максимумы от
узкой щели, взятой около нижнего края
щели S
– точки 2 – будут смещены вверх, они
отмечены пунктирными отрезками на этом
же рисунке. Интервалы между этими
максимумами заполнены максимумами от
промежуточных узких щелей, расположенных
между краями 1 и 2.

При расширении
щели S
расстояния между максимумами от её
крайних элементов будут увеличиваться,
т.е. интервалы между соседними максимумами
от одного края щели будут постепенно
заполняться максимумами от остальных
элементов щели.

Для простоты будем
считать, что в приведённом рисунке
расстояния a
= c.
Тогда при ширине щели b,
равной ширине интерференционной полосы
x,
интервал между соседними максимумами
от края 1 будет полностью заполнен
максимумами от остальных элементов
щели, и интерференционные полосы
исчезнут.

Итак, при расширении
щели S
интерференционная картина постепенно
размывается и при некоторой ширине щели
практически исчезает.

Это наблюдаемое
явление можно объяснить иначе, а именно,
интерференционная картина исчезает
вследствие того, что вторичные источники
– щели S₁
и S₂
становятся некогерентными. Сказанное
позволяет говорить о ширине
когерентности
падающей на щели S₁
и S₂
световой волны – ширине

,
на которой отдельные участки волны в
достаточной степени когерентны между
собой. Во избежание недоразумений
уточним: под шириной

имеется в виду характерное для данной
установки расстояние между точками
поверхности, перпендикулярной направлению
распространения волны.

Ширина когерентности
связана с длиной волны соотношением

,

где

–
угловая ширина источника относительно
интересующего нас места (например, места
разделения световой волны, экрана со
щелями S₁
и S₂).

Это значит, что
ширина когерентности пропорциональна
длине волны и обратно пропорциональна
угловой ширине источника.

Понятно, что для
обеспечения пространственной когерентности
освещения щелей S₁
и S₂
ширина b
входной щели S
должна быть достаточно малой.

a

– расстояние между экранами со щелями;

= b/a
– угловой размер источника света –
щели S.

Интерференционная
картина в монохроматическом свете с
длиной волны 
получается отчётливой, если выполняется
следующее приближённое условие.

b
– ширина щели S,
а 2
– апертура интерференции.

Если в качестве
источника использовать непосредственно
Солнце (его угловой размер 

0,01 рад и _ср

0,5 мкм), то ширина когерентности h_ког

0,05 мм. Поэтому для получения интерференционной
картины от двух щелей с помощью такого
излучения расстояние между двумя щелями
должно быть меньше 0,05 мм, что сделать
практически невозможно.

Общие выводы.
Для получения устойчивой интерференционной
картины с использованием обычных
источников света необходимо исходную
световую волну разделить на две части,
которые дадут интерференционную картину
при соблюдении двух условий:

1. Разность хода
световых волн должна быть меньше длины
когерентности:

.
Поскольку длина когерентности
непосредственно зависит от монохроматичности
волн и времени когерентности, это условие
называется временной
когерентностью
волн.

2. Ширина когерентности

должна превышать расстояние между
некоторыми характерными световыми
лучами в месте расщепления исходной
волны (на рисунках это расстояние

между источниками излучения

и

).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Рассмотрим несколько интерференционных схем, отличающихся от схемы Юнга большей светосильностью.

Бипризма Френеля.

В этой схеме для разделения исходной световой волны используют двойную призму Б (бипризму) с малым преломляющим углом  (рис. 1). Источником света служит ярко освещенная узкая щель S, параллельная преломляющему ребру бипризмы.

Поскольку преломляющий угол бипризмы очень мал (порядка десятка угловых минут), то, как можно показать, все лучи отклоняются бипризмой на практически одинаковый угол n – 1. В результате образуются две когерентные волны, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S2 , лежащих в одной плоскости со щелью S.

Рис. 1

Ширину x интерференционных полос находим (1), учитывая, что в данном случае l = a + b и расстояние между изображениями S1 и S2 щели S равно d = a2. Таким образом,

(1)

Видно, что ширина полос тем больше, чем больше расстояние b от бипризмы до экрана.

Если же на бипризму падает плоская волна, т. е. a  , то

(2)

Откуда следует, что ширина полосы в этом случае не зависит от положения экрана (расстояния b).

При наблюдении в белом свете центральный максимум (нулевого порядка, M = 0) получается белым, остальные окрашенными, поскольку x  .

Максимальное число N Возможных полос интерференции на экране, где ширина зоны интерференции X = B2 (см. рис. 1), определяется условием Nmax = x/x. Отсюда следует с учетом (1), что

(3)

Как было показано условия, подобные рассмотренным нами сейчас для случая бипризмы Френеля, являются необходимыми, но еще не достаточными для получения интерференционной картины. Следует обязательно учесть роль ширины s щели (Она связана с шириной когерентности) и степень монохроматичности / используемого света(которая связана с длиной когерентности). Оказывается для получения интерференционной картины с – достаточно хорошей видностью нужно, чтобы ширина s щели удовлетворяла условию

(4)

А степень монохроматичности — условию

(5)

Где  = (n – 1).

Следует обратить внимание на то, что для увеличения ширины x интерференционных полос нужно, согласно (1), увеличивать отношение b/a. А чтобы использовать более широкую щель S, т.Е. добиться большей светосильности установки, надо, как видно из (4), наоборот — увеличивать обратное отношение А/b. Компромисс между этими двумя противоположными требованиями решается обычно экспериментально.

Бизеркала Френеля.

Здесь две когерентные световые волны получают при отражении от двух зеркал, плоскости которых образуют между собой небольшой угол  (рис. 2). Источник — узкая ярко освещенная щель S, параллельная линии пересечения зеркал. Отраженные от зеркал пучки падают на экран Э и там, где они перекрываются (зона интерференции), возникает интерференционная картина в виде полос, параллельных щели S. Отраженные от зеркал волны распространяются так, как если бы они исходили из мнимых источников S1 и S2, являющихся изображениями щели S.

Рис. 2

Найдем ширину x интерференционных полос на экране Э. Воспользуемся формулой X = L/. В нашем случае L = A + B и D = 2A, поэтому

(6)

Видно, что ширина полос растет с увеличением расстояния b. Если же на бизеркала падает плоская волна, т. е. a  ¥, то

, (7)

Значит ширина полос в этом случае не зависит от расстояния B — положения экрана.

Число возможных полос на экране N = Х/x, где Х — ширина зоны интерференции на экране, Х = B2. Следовательно,

. (8)

Но чтобы все эти полосы были действительно видны (и достаточно хорошо), нужно удовлетворить определенным требованиям. Не вдаваясь в детали вывода, получим, что ширина S Щели S должна быть

, (9)

А степень монохроматичности используемого света

. (10)

Обращает на себя внимание то, что полученные формулы полностью идентичны с формулами для бипризмы Френеля.

Билинза Бийе.

Обычную собирательную линзу разрезают пополам по диаметру, удаляя слой небольшой толщины, и обе половинки ее сдвигают (или немного раздвигают)» Такую систему и называют Билинзой. Рассмотрим билинзу, у которой толщина удаленного слоя равна 8, а источник — ярко освещенная щель S расположен в плоскости, соединяющей обе половинки бипризмы, и находится в ее фокальной плоскости на расстоянии F от бипризмы (рис. 3). В этом случае оптический центр О1 верхней половинки 1 бипризмы и оптический центр О2 нижней половинки 2 расположены как показано на рисунке, и расстояние между этими оптическими центрами равно толщине удаленного слоя, т. е. . Изобразив пунктиром побочные оптические оси, проходящие через щель S И оптические центры обеих половинок бипризмы, можно построить и ход лучей через эти половинки.

Таким образом, мы видим, что бипризма расщепляет падающую на нее световую волну на две части, которые затем частично перекрываются (зона интерференции). На экране Э в области перекрывания волн должна возникнуть при определенных дополнительных условиях интерференционная картина.

Рис. 3

Ширину x интерференционной полосы можно найти с помощью формулы x = L/a, для этой цели она более удобна. Имея в виду, что угол между направлениями распространения двух плоских волн, как видно из рис. 3, равен a = d/F, получим:

(11)

Отсюда следует, что ширина полосы в данном случае не зависит от расстояния между экраном и билинзой.

Для подсчета числа полос на экране надо учесть, что зона интерференции здесь имеет вид вытянутого ромба, максимальная ширина ХMax Которого равна половине диаметра D Билинзы: XMax = D/2. Поэтому важно знать, в каком месте этого “ромба” находится экран. Бели он расположен ближе места, где Х = XМакс (обычно так и бывает), то ширина зоны интерференции на экране будет Х = BA = BD/F. И число N Возможных полос интерференции окажется N = Х/DХ, т. е.

(12)

Остается выяснить дополнительные условия, которым должны удовлетворять ширина s щели S и степень монохроматичности l/Dl Используемого света, чтобы интерференционную картину можно было получить, причем с достаточно хорошей видностью. Эти условия мы найдем с помощью соотношений Hког ³ 2D И M » L/Dl. Предоставив желающим в этом убедиться самостоятельно, выпишем их для нашего случая, когда щель находится в фокальной плоскости билинзы:

(13)

(14)

Где MMax — максимальный порядок интерференции на экране, отстоящем на расстояние B От билинзы (он равен отношению полуширины зоны интерференции к ширине интерференционной полосы).

В заключение следует заметить, что обзор интерференционных схем на этом, разумеется, не ограничивается. На трех рассмотренных схемах мы продемонстрировали общность подхода к расчету интерференционных картин, получаемых подобными схемами. Из существующих в настоящее время интерференционных схем можно назвать еще и такие: зеркало Ллойда интерферометр Рэлея, звездный интерферометр Майкельсона, интерферометр Маха-Цендера и др. Некоторые из них нашли широкое применение при проведении очень тонких и высокочувствительных измерений.

Дифракция Фраунгофера

Фраунгофер предложил иной способ наблюдения дифракции, получивший значительно большее практическое применение в оптике, поскольку приводит к более простым закономерностям (формулам). В этом способе на дифракционный объект (отверстие, щель и др.) направляют параллельный пучок света (плоскую волну) и дифракционную картину наблюдают на достаточно большом расстоянии, т. е. практически в параллельных лучах. Это и есть Дифракция Фраунгофера Или Дифракция в параллельных лучах.

Есть критерий, позволяющий судить, с каким видом дифракции — френелевой или фраунгоферовой — мы имеем дело в каждом конкретном случае. Чтобы его получить, воспользуемся формулой. . Напомним, эта формула относится к случаю, когда на отверстие радиуса RТ Падает нормально плоская световая волна, причем Т Означает число зон Френеля, которые укладываются в данном отверстии для точки наблюдения Р, отстоящей от отверстия на расстояние B. Из этой формулы следует, что Т = Rm2/lB. Там же было отмечено, что характер дифракционной картины определяется только числом Т Открытых зон Френеля, и ничем другим. Значит, последнее выражение для Т И можно взять в качестве интересующего нас параметра Р, заменив в этом выражении rM на некоторый характерный размер h отверстия в преграде и B На l.

Таким образом, безразмерный параметр Р Определяется следующим выражением:

(1)

Где H — некоторый характерный размер: радиус или диаметр (это не существенно) круглого отверстия, или, например, ширина щели и т. п.

Значение именно этого безразмерного параметра и определяет характер дифракции:

Р < < 1 — дифракция Фраунгофера,

Р ~ 1 — дифракция Френеля, ()

Р > > 1 — приближение геометрической оптики.

Примеры решения расчетных задач:

Задача 1.В опыте Юнга два когерентных источника S₁ и S₂ расположены на расстоянии d = 1 мм друг от друга. На расстоянии L = 1 м от источника помещается экран. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами вблизи середины экрана (точка А), если источники посылают свет длины волны λ = 600 нм.

Решение:

Интерференционная картина на экране состоит из чередующихся темных и светлых полос, параллельных щелям S₁ и S₂. Интерференционная картина симметрична относительно центральной полосы, проходящей через точку А (рис. 1). Центральная полоса светлая, она соответствует разности хода Δ = 0.

В точках интерференционных максимумов оптическая разность хода

Δ=λ , где =0, 1, 2,… ; (1)

Условие интерференционных минимумов имеет вид:

; (2)

Предположим, что в точке В находится k-й максимум на расстоянии y_kот центральной полосы. Ему соответствует разность хода Δ= r₂ — r₁= k λ .

Из треугольника S₁BC видно, что , а из треугольника S₂BD видно, что .

Из двух последних уравнений получим:

.

Учтём , что ; . Тогда , откуда:

; (3)

Используя для максимумов условие (1), получим:

;

где k = 1, 2, 3, … соответствуют интерференционным максимумам, расположенным выше точки А, а максимумам, расположенным ниже точки А, соответствуют k = -1, -2, -3, … Точке А соответствует центральный максимум (k = 0).

Используя условие интерференционных минимумов (2), можно найти их расстояния от центральной полосы по формуле (3):

;

Расстояние между соседними интерференционными максимумами (минимумами) называется шириной полосы и соответствует изменению k на единицу, то есть :

;

Ширина темных и светлых полос одинакова.

Ответ:

;

Задача 2. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления от середины размывается, и при k = 4 полосы исчезают. Почему?

Решение:

В опыте Юнга интерференционная картина представляет чередование интерференционных максимумов и минимумов в виде полос, параллельных щелям S₁ и S₂. В центре интерференционной картины расположена светлая полоса (k = 0). По обе стороны от центральной полосы расположены максимумы ±1, ±2, ±3, ±4 порядков интерференции. Разность хода между интерферирующими волнами по мере удаления от центральной полосы увеличивается. При этом по мере удаления от центра ухудшается видность и четкость интерференционной картины, полосы размываются и исчезают, по условию последний максимум наблюдается при k = 4. Исчезновение полос означает, что колебания, пришедшие от двух источников S₁ и S₂, некогерентны. Пока их разность хода не превышала 4 λ, они были когерентны. Следовательно, максимальная разность хода, при которой наблюдается интерференция, будет равна:

;

Величина называется длиной когерентности. Если оптическая разность хода превышает длину когерентности, интерференционная картина не наблюдается.

Задача 3.Покажите, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом α и показателем преломления n луч отклоняется на угол δ ≈(n — 1)α независимо от угла падения, если угол падения также мал. Призма находится в воздухе, n₀ = 1.

Решение:

По построению δ-внешний угол треугольника DCB (рис. 2), он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

δ= φ- β+ β₁— φ₁;

Согласно закону преломления,

.

По условию угол φ, а значит и β малы, то есть Sinφ≈φ, Sinβ≈β, (выраженному в радианах), тогда nβ=φ, nφ₁=β₁. Подставив значения φ и β₁ в формулу для δ, получим :

.

Из треугольника СВК: β+φ₁=α (α- внешний угол, равный преломляющему углу призмы по построению). Таким образом,

.

Задача 4. Найдите число полос интерференции N, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, преломляющий угол рад, длина волны источника λ=600 нм. Расстояние от источника до бипризмы равно а = 1 м, расстояние от бипризмы до экрана равно b = 4 м.

Решение:

Лучи от источника S, падающие на бипризму, после преломления отклоняются от первоначального направления на угол δ≈α(n-1) (см. Задача 3). Продолжение этих лучей до точки пересечения дает изображение двух мнимых источников S₁ и S₂ (рис. 3). Они являются когерентными источниками, поэтому в области перекрытия АВ когерентных волн, распространяющихся от этих источников, на экране наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых полос, как и в опыте Юнга. Центральный максимум интерференционной картины (k = 0) проходит через точку О экрана. Максимумы более высоких порядков находятся на расстоянии y_k от центра (см. Задача 1).

Ширина полосы :

.

Здесь L=a+b расстояние от источников до экрана, d — расстояние между мнимыми источниками. Из треугольника SS₁K:

.

Тогда ширина интерференционной полосы:

.

Число интерференционных полос в области интерференции АВ равно:

.

Величину области перекрытия АВ найдем из подобных треугольников CS₁S и СОВ:

.

Число наблюдаемых полос интерференции будет равно:

.

Ответ: .

Задача 5. В опыте Ллойда (рис. 4) световая волна, исходящая непосредственно из источника S (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3. В результате на экране Э образуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана L = 100 см. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране Δу = 0,25 мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на h = 0,6 мм, ширина полос уменьшилась в η= 1,5 раза. Найдите длину λ световой волны.

Решение: В точке М интерферируют две когерентные волны 1 и 2, исходящие из источника S. По построению волну 2 можно считать исходящей из источника , , являющегося мнимым изображением источника S в зеркале 3. Они симметрично расположены относительно плоскости зеркала, обозначим расстояние между ними . Если зеркало S отодвинуть на h, то новое расстояние между равно (рис. 5). Для определения длины волны λ используем выражение для ширины полосы из опыта Юнга, применив его для двух расстояний между источниками.

Δ y = λL / d; (4).

; (5).

По условию Δ y = η Δ y₁, тогда . Выразим от сюда

; (6)

Подстановка (6) в (4) дает:

;

Ответ:.

Задача 6.На рис. 6 показана схема интерферометра для измерения показателей преломления прозрачных веществ. Здесь S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом λ = 589 нм, К — коллиматор, дающий параллельный пучок лучей, 1 и 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых см, Д — диафрагма с двумя щелями S₁ и S₂ . Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N = 17 полос. Показатель преломления воздуха n = 1,000277. Определите показатель преломления аммиака.

Решение: Волны, распространяющиеся от щелей S₁ и S₂, являются когерентными. На экране Э наблюдается интерференционная картина чередующихся темных и светлых полос. Центральная светлая полоса проходит через точку О и соответствует оптической разности хода Δ = 0, если трубки 1 и 2 заполнены воздухом. Если в трубке 1 воздух заменить аммиаком, показатель преломления n₁ которого больше n, то центр интерференционной картины сместится вверх на N полос в точку, соответствующую разности хода, равной нулю, то есть

.

Отсюда

.

Заметим, что интерференционный метод определения показателя преломления является высокоточным методом.

Ответ:.

Задача 7.Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 10 см разрезана пополам и половинки раздвинуты на расстояние d = 0,5 мм (билинза Бийе). Оцените число интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии D = 60 см, если перед линзой имеется точечный источник монохроматического света с длиной волны λ= 500 нм, удаленный от нее на расстояние а = 15 см.

Решение:

Каждая из половинок билинзы Бийе дает изображение источника S. Верхняя половина дает изображение S₁, нижняя дает изображение S₂ (рис. 7). Чтобы получить изображение S₁, выберем два луча: первый луч SC после преломления в линзе пересечет фокальную плоскость РР в точке К, получившейся от пересечения с фокальной плоскостью побочной оптической оси О₁О₁, параллельной лучу SC. Второй луч SA проходит, не преломляясь, через точку А до пересечения с первым лучом в точке S₁, являющейся изображением S в верхней половине билинзы Бийе. Аналогично построим изображение S₂.

Источники S₁ и S₂ когерентны, поэтому в области пересечения световых волн от этих источников на экране получим интерференционную картину как в опыте Юнга.

Число полос на экране будет равно :

.

Ширина полосы (см. Задача 1) ,), где L = D — b. Величину b найдем из формулы линзы , откуда , где а — расстояние от источника S до линзы, b — расстояние от линзы до изображения S₁, F — фокусное расстояние линзы.

Из подобия треугольников SAB и SS₁S₂ получим:

откуда .

Подставляя d₁ и L в формулу для Δy, получим:

.

Треугольники SAB и SMK подобны, отсюда величина области перекрытия волн

.

Тогда число наблюдаемых полос

.

Ответ:.

Задачи для самостоятельной работы

1. В опыте Юнга отверстия S₁ и S₂ освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. Расстояние d между отверстиями равно 1 мм. Найдите положение трех первых светлых полос на экране, расположенном на расстоянии L = 3 м от отверстий.

Ответ: 1,8 мм; 3,6 мм; 5,4 мм.

2. В опыте Юнга отверстия S₁ и S₂ освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. На пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки, показатель преломления которой n = 1,5. Какова толщина l пластинки?

Ответ: l = 6 10^-3 мм.

3. На пути одного из двух параллельных лучей, распространяющихся в вакууме, поставили плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной 6 см. Чему будет равно время запаздывания τ этого луча?

Ответ: τ = 0,1 нс.

4. Во сколько раз изменится расстояние между соседними светлыми (темными) полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый светофильтр (λ₁=650нм).

Ответ: в 1,3 раза увеличится.