Как найти число противоположное данному

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Что такое противоположные числа

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M, то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N. Например, от M до нуля ­– расстояние в 2,4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно −(−a)=a. Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число 5. С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число -5, и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное -5 как –(-5). Получается, что –(-5)=5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Если некоторое число a является противоположным числу b, тогда и b является противоположным числу a.

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0.

В буквенном виде это утверждение выглядит как a+(−a)=0.

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Тема «Противоположные числа» изучается в курсе 6 класса математики. У противоположных чисел есть ряд интересных свойств, которые выделяют их из множества действительных чисел. Рассмотрим основные понятия этой темы.

Определение противоположных чисел

Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.

Примеры

Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:

7 и -7,

2 и -2,

1,5 и -1,5,

5/7 и -5/7.

Противоположные числа на координатной оси

Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.

Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.

Рис. 1. Изображение противоположных чисел на координатной оси.

Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.

Как найти число, противоположное данному

Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.

Пусть дано число a. Чтобы найти противоположное ему число, нужно к числу a приписать знак « – ».

Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).

В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.

Рис. 2. Памятник нулю в Будапеште.

В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.

Рис. 3. Памятный знак нулевого километра в Москве.

Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.

Основные свойства противоположных чисел

Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.

• Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.

Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.

• Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.

Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.

Исключение: число 0.

Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.

• Сумма противоположных чисел всегда равна 0.

Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.

Пример

Рассмотрим число 4.

Припишем ему знак « – ». Получим противоположное число -4.

Найдем сумму этих чисел:

-4 + 4 = 0.

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.

Предыдущая

МатематикаСтолбчатая диаграмма – примеры (6 класс, математика)

Следующая

МатематикаСложение чисел с разными знаками – правило (6 класс, математика)

Содержание:

• § 1  Понятие положительного числа
• § 2  Свойства противоположных чисел