Как найти число решений системы уравнений

Предположим, требуется найти все пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют уравнение
ху – 6 = 0 и уравнение у – х – 1 = 0, то есть необходимо найти пересечение множеств решений этих уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений ху – 6 = 0 и у – х – 1 = 0.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему уравнений можно записать так:

{ху – 6 = 0,
{у – х – 1 = 0.

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в которых в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Графическое решение систем такого вида сводится к отысканию координат общих точек двух прямых.

Как известно, две прямые на плоскости могут быть пересекающимися или параллельными. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

{2х + у = -11,
{х – 2у = 8.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = -3х – 11,
{у  = 0,5х – 4.

Угловые коэффициенты прямых – графиков уравнений системы различны (-3 и 0,5), значит, прямые пересекаются.

Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, единственным решением.

Пример 2.

Решим систему уравнений:

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = 1,5х – 6,
{у = 1,5х – 2,75.

Прямые  у = 1,5х – 6 и у = 1,5х – 2,75 имеют равные угловые коэффициенты, значит эти прямые параллельны, причём прямая  у = 1,5х – 6 пересекает ось у в точке (0; -6), а прямая у = 1,5х – 2,75 – в точке (0; -2,75), следовательно, прямые не имеют общих точек. Поэтому система уравнений не имеет решений.

В том, что данная система не имеет решений можно убедиться рассуждая следующим образом. Умножив все члены первого уравнения на 2, получим уравнение 6х – 4у = 24.

Сравнивая это уравнение со втором уравнением системы, видим, что левые части уравнений одинаковы, поэтому при тех же значениях х и у они не могут принимать различных значений (24 и 11). Следовательно, система

{6х – 4у = 24,
{6х – 4у = 11.

не имеет решений, значит, не имеет решений и система

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Пример 3.

Решим систему уравнений:

{5х – 7у = 16,
{20х – 28у = 64.

Решение.

Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим систему:

{5х – 7у = 16,
{5х – 7у = 16,

состоящую из двух одинаковых уравнений. Графики этих уравнений совпадают, поэтому координаты любой точки графика будут удовлетворять каждому из уравнений системы, то есть являться решением системы. Значит, данная система имеет бесконечное множество решений.

Если в каждом уравнении системы двух линейных уравнений с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменной не равен нулю, то система либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно много решений.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Количество решений системы линейных уравнений.

Теорема:

Всякая
система линейных уравнений или не имеет
решений, или имеет единственное решение,
или имеет бесконечное число решений.

Доказательство:

Клюбой системе линейных уравнений
применим метод Гаусса, т.е. расширенная
матрица системы приводится к ступенчатому
виду. Если ступенька матрицы содержит
строку (0 0 … 0не
ноль), т.е.
имеющую только один последний ненулевой
элемент, то система будет иметь следствием
уравнение 0х1
+ … + 0хn
= не ноль,
которое не имеет решений, а значит и вся
система не имеет решений.

Если
ступенчатая матрица содержит длинную
ступеньку (длину > 1) и не выполнен
предыдущий рассмотренный случай

1

1

0
1

0
0 0 0 0

то,
очевидно, система будет иметь бесконечное
число решений, т.к. не начальным позициям
длинной ступени будут соответствовать
свободные переменные (одна или несколько),
которым можно придать любые значения.
И, наконец, если в ступенчатой матрице
все ступени, кроме последней, длины 1, а
последняя длины 2,

1

1

1

1

Система
будет очевидно иметь единственное
решение.

Теорема:

Если
в системе линейных уравнений число
уравнений меньше числа неизвестных, то
система не может иметь единственного
решения, и возможна только одна из 2-х
ситуаций: нет решений или бесконечное
число решений.

Доказательство:

В
ступенчатой форме расширенной матрицы
в случае единственного решения все
ступени до черты имеют длину 1, а значит
число строк расширенной матрицы (т.е.
число уравнений) не меньше числа столбцов
до черты (т.е. числа неизвестных).

Замечание:

Если
уравнений больше чем неизвестных, то
возможны все три указанные выше ситуации.
Приведем простые примеры:

x
+ y
= 2 х + y
= 2

x
+ y
= 3 – нет решений, x
– y
= 1 – одно решение,

x
+ y = 1 2x + 2y = 4

x
+ y
= 2

2x
+ 2y
= 4 – бесконечное число решений.

3x
+ 3y = 6

Выясним,
когда система n
уравнений с n
неизвестными будет иметь единственное
решение.

Теорема:

Система
n
линейных уравнений с n
неизвестными имеет единственное решение
тогда и только тогда, когда определитель
матрицы системы не
равен нулю.

Доказательство:

Рассмотрим
систему

а11
х1
+ … +
а1n
xn
= b1

…

an1
x1
+…
+ ann xn
= bn

Если = 0, то для
решения системы можно применить метод
Крамера (или обратной матрицы) и, значит,
система имеет единственное решение.

а11
… аn1
b1

Её
расширенная матрица: А = … …

an1
… annbn

Если
система имеет единственное решение, то
её расширенная матрица может элементарными
преобразованиями быть приведена к
такому ступенчатому виду:

1
0 0 … 0 b1

0
1 0 … 0 b2

А= …

0
0 … 1 bn

Часть
А до черты будет единичной матрицей.
Её определитель = 1.

Заметим,
что получен из элементарными
преобразованиями строк.

Нетрудно
проверить, что элементарные преобразования
не меняют свойства определителей быть
равными или не равными нулю.

Определитель
= 1 = 0, а, следовательно, = 0.

Соседние файлы в папке ВЕЧЕРНЕЕ 1 семестр 2012

• #
• #
• #

Метод подсчёта количества решений

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений

Разделы: Математика

Цель урока: сформировать умение по виду системы двух линейных уравнений с двумя переменными определять количество решений системы.

Задачи:

• Образовательные:
  • повторить способы решения систем линейных уравнений;
  • связать графическую модель системы с количеством решений системы;
  • найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений.
• Развивающие:
  • формировать способности к самостоятельным исследованиям;
  • развивать познавательный интерес учащихся;
  • развивать умение выделять главное, существенное.
• Воспитательные:
  • воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя. закреплять навыки работы в группе;
  • формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

– На предыдущих уроках мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами. Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос: «Как, не решая систему уравнений определить, сколько же решений она имеет?», поэтому тема урока называется «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений ». Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2-3 раза.

II. Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Показать решение системы разными способами:

А) методом подстановки;
Б) Методом сложения;
В) по формулам Крамера;
Г) Графически.

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

III. Этап подготовки к усвоению нового материала (актуализация опорных знаний)

– Если вы знаете ответы на вопросы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедить себя, что вы всё знаете и у вас всё получится. Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев. Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

– Что называют системой двух уравнений?

– Что значит решить систему линейных уравнений?
– Что является решением системы линейных уравнений?
– Будет ли пара чисел (– 3; 3) решением системы уравнений:

– Расскажите, в чём суть каждого известного вам способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными. (Рекомендуется общение в парах)

Ответы учеников сопровождаются показом слайдов 1-14 (Презентация) учителем. (можно одним из учеников). Проверяем домашнее задание (слушаем ответы учеников у доски).

Учитель: Для решения специфических систем уравнений существует ещё один способ, называется он методом подбора решения. Попробуйте, не решая подобрать решение системы уравнений: . Объясните суть метода.

– Найдите решение системы уравнений:

а) б) в)

– Дано уравнение a + b =15, добавьте такое уравнение, чтобы решением полученной системы была пара чисел (– 12; 27)
Перечислите ещё раз все способы решения систем линейных уравнений, с которыми вы познакомились.

IV. Этап усвоения новых знаний (исследовательская работа)

– Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём.
Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,
«Постреляйте» глазами в соседей. А затем вспомним про «царственную осанку»: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное, соберёмся с мыслями, для чего сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и приступим к дальнейшей работе.

Учитель: Мы научились решать системы линейных уравнений с двумя переменными разными способами и знаем, что система таких уравнений может иметь:

А) одно решение;
Б) не иметь решений;
В) много решений.

А нельзя ли, не прибегая к решению, ответить на вопрос: сколько же решений имеет система уравнений? Сейчас мы с вами проведём небольшое исследование.
Для начала разобьемся на три исследовательские группы. Составим план нашего исследования, ответив на вопросы:

1) Что представляет собой графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными?
2) Как могут располагаться две прямые на плоскости?
3) Как зависит количество решений системы от расположения прямых?

(После ответов учащихся используем слайды 6-10 Презентации.)

Учитель: Значит основа нашего исследования состоит в том, чтобы по виду системы понять, как располагаются прямые.
Каждая исследовательская группа решает эту задачу на конкретной системе уравнений по плану (Приложение 1).
Система для группы №1.

Система для группы №2.

Система для группы №3.

На выполнение работы даётся 5 минут, затем делимся своими выводами с одноклассниками. (Приложение 2), а также обращаемся к слайдам 15-17 Презентации.

V. Релаксация

Предлагаю отдохнуть, расслабиться: физкультминутка или психологический тренинг. (Приложение 3)

VI. Закрепление нового материала

А) Первичное закрепление

Используя полученные выводы, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений

а) б) в)

Итак, прежде чем решать систему, можно узнать, сколько она имеет решений.

Б) решение более сложных задач по новой теме

1) Дана система уравнений

– При каких значениях параметра a данная система имеет единственное решение?

(Работа выполняется в группах по 4 человека: пары поворачиваются друг к другу)

– При каких значениях параметра a данная система не имеет решений?
– При каких значениях параметра данная система уравнений имеет много решений?

2) Дано уравнение – 2x + 3y = 12

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

А) одно решение;
Б) бесконечно много решений.

3) Провести полное исследование системы уравнений на наличие её решений:

VII. Рефлексия. Методика «Мухомор»

На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:

• ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
• в середину сектора, если сомнения есть;
• ближе к окружности, если вопрос остался не понятым; (Приложение 4)

VIII. Домашнее задание

Алгебра-7, под редакцией Теляковского. Параграфы 40-44, №1089,1095а), решать любым способом.
Выяснить, при каком значении a система имеет одно решение, много решений, не имеет решений

– Итак: наш урок подошёл к концу. Приготовим себя к перемене: сцепите руки замком, положите их на затылок. Положите голову на парту, резко сядьте прямо, примите «царственную» позу. Повторите это ещё раз.

– Урок окончен. Всем спасибо. Подойдите к доске и сделайте отметку на предложенном рисунке. До свидания.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Графический метод решения системы линейных уравнений

1. Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений
2. Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений
3. Примеры

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ {left{ begin{array}{c} 3x-y = 5 \ 3x+2y = 8end{array} right.}$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ {left{ begin{array}{c}3 cdot 2-1 ≡ 5\ 3cdot2+2cdot1 ≡ 8end{array} right.} Rightarrow$ (2;1) – решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

$ frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2} $

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Одно решение

Нет решений

Бесконечное множество решений

Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений

1. Построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости.

2а. Если $ frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2} $ найти точку пересечения – единственное решение системы.

2б. Если $ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2} $ прямые параллельны и решений нет.

2в. Если $ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2} $ прямые совпадают, решений бесконечное множество.

Примеры

Пример 1. Решите графически систему уравнений. Сколько решений вы получили в зависимости от соотношения коэффициентов?

а)$ {left{ begin{array}{c} 5x+2y = 3 \ x-y = 4end{array} right.}$

Точка пересечения (1;-1)

Одно решение: $ frac{5}{1} neq frac{2}{-1}$

б) $ {left{ begin{array}{c}2x+y = 3 \ 4x+2y = 1end{array} right.}$

Прямые параллельны, решений нет:

$ frac{2}{4} = frac{1}{2} neq frac{3}{1}$

в) $ {left{ begin{array}{c}4x-y = 2 \ x+y = 3end{array} right.}$

Точка пересечения (1;2)

Одно решение: $ frac{4}{1} neq frac{-1}{1}$

г) $ {left{ begin{array}{c}2x-3y = 5 \ 4x-6y = 10end{array} right.}$

Прямые совпадают, бесконечное множество решений:

$ frac{2}{4} = frac{-3}{-6} = frac{5}{10} $

Пример 2*. Решите графически систему уравнений:

а)$ {left{ begin{array}{c} |x|-y = 0 \ x+3y = 4end{array} right.}$

В первом уравнении y всегда положительный: $y ge 0,∀x$

$ {left{ begin{array}{c}y(x) = |x| = {left{ begin{array}{c} x, x ge 0 \ -x, x lt 0 end{array} right.} \ x+3y = 4 end{array} right.} $

Два решения: (-2;2) и (1;1)

б)$ {left{ begin{array}{c} x-|y| = 0 \ 3x+y = 4end{array} right.}$

В первом уравнении x всегда положительный: $x ge 0,∀x$

$ {left{ begin{array}{c}y(x) = |y| = {left{ begin{array}{c} y, y ge 0 \ -y, y lt 0 end{array} right.} \ 3x+y = 4 end{array} right.} $

Два решения: (2;-2) и (1;1)

в)$ {left{ begin{array}{c} x^2-4y^2 = 0 \ 3|x|-2y = 8end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} (x-2y)(x+2y) = 0 \ y = 1,5|x|-4end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y = frac{1}{2} x \ y = -frac{1}{2} x end{array} right. \ y = {left{ begin{array}{c} 1,5x-4,x ge 0 \ -1,5x-4,x lt 0 end{array} right.} end{array} right.} $

Из первого уравнения получаем две прямых, из второго – ломаную.

Четыре решения:

(-4;2);(-2;-1);(2;-1);(4;2)

г)$ {left{ begin{array}{c}|y-x| = 4 \ |x+y| = 2end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y-x = 4 \ y-x = -4 end{array} right. \ left[ begin{array}{cc} x+y = 2 \ x+y = -2 end{array} right. end{array} right.}$

$ {left{ begin{array}{c} left[ begin{array}{cc} y = x+4 \ y = x-4 end{array} right. \ left[ begin{array}{cc} y = -x+2 \ y = -x-2 end{array} right. end{array} right.}$

Из первого уравнения получаем одну пару параллельных прямых, из второго уравнения – вторую пару параллельных прямых.

Четыре решения:

(-3;1);(-1;3);(3;-1);(1;-3)

Рейтинг пользователей

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k не равно нулю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r(А)≤min (m; n) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r(A)=0 .

Ранг матрицы А1 вычислен на основании свойства определителя, который содержит строки с пропорциональными элементами, поскольку любой минор второго или третьего порядка матрицы А1 равняется нулю.
Ранги матриц В1, А2 вычислены при помощи вычеркивания нулевых строк, поскольку в матрице А2 минор отличается от нуля на пересечении 2-х первых строк и 2-х первых столбцов.
Матрица А3 — невырожденная, поскольку ее ранг равняется 3. (Можно проверить условие ∆=А3 не равно нулю).

Теперь вычислим ранг матрицы В2 при помощи элементарных преобразований:

• элементы 1-ой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки;
• элементы 1-ой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам 3-ей строки;
• элементы 1-ой строки умножим на (-5) и прибавим к соответствующим элементам 4-ой строки:

В2=11312143125054136 (-2)(-1)(-5)+++⇒11310-1-21012-10-1-21⇒

3-ю строку прибавим ко 2-ой и 4-ой строкам:

⇒11310000012-10000⇒1131012-1

Таким образом, число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы:

М(2)=1101=10 не равно нулю⇒r(B2)=2

ч.т.д.

Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Теорема Кронеккера-Капелли — теорема, которая доказывает: чтобы СЛАУ была совместной, необходимым и достаточным условием является равенство ранга r матрицы рангу расширенной матрицы.
Для совместных СЛАУ справедливой считается следующая теорема.

Пусть ранг матрицы, которая составлена из коэффициентов СЛАУ, равен рангу расширенной матрицы. В таком случае, если r=n (где n — число неизвестных системы), то система имеет единственное решение, если r<n, то система имеет бесконечное множество решений.
Если система определена, то для ее решения подходят методы Крамера, Гаусса и матричный метод.
Если система не определена, то некоторым (n-r) неизвестным (свободным) можно давать произвольные значения, а r неизвестных (базисных) определяются через свободные единственным способом.
При этом базисными становятся те, чей определитель, который составлен из коэффициентов при них и отличен от нуля. Выражения главных переменных, которые получены через свободные, объявляются решением системы.

Решаем систему методом Гаусса: преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида:

x1-3×2+4×3-x4=116×2-22×3+8×4=2; ∆=1-3016=16 не равно нулю.

Главные переменные — x1 и x2. Свободные переменные — неизвестные x3 и x4. Записываем систему уравнений в виде:

x1-3×2=1-4×3+x48x2=1+11×3-4×4

С помощью обратного хода находим:

x=118x-12x+18.

Из 1-го уравнения:

x1=3×2-4×3+x4+1=338×3-32×4+38-4×3+x4+1=18×3-12×4+118

Ответ: система неопределенная.