Слово факториал произошло от латинского factor (делающий, производящий).
Запомните!
Факториал числа — это произведение натуральных чисел от
1 до самого числа (включая
данное число).
Обозначается факториал восклицательным знаком
«!».
Примеры:
- 3! = 1 · 2 · 3 = 6
- 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.
Запомните!
Факториал нуля и единицы это 1.
- 0! = 1
- 1! = 1
Термин факториал ввел в 1800 году францзузский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан.
Обозначение «n!» придумал чуть позже немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году.
Интересные факториалы проверьте сами:
- 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
- 40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5!
На нашем ресурсе вы также можете посчитать факториал онлайн.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
11 марта 2016 в 10:55
Феодосий Кузнецов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Феодосий Кузнецов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(х+1)!/(х–1)!
0
Спасибо
Ответить
11 марта 2016 в 14:23
Ответ для Феодосий Кузнецов
Юрий Резник
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 6
Юрий Резник
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 6
Убедительная просьба — описывайте задание!
Факториал числа — это произведения натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Выражение в задаче состоит из разделенных знаком деления двух частей: (х + 1)! и (х ? 1)!
Факториал выражения (х + 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х + 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х и, вдобавок, это произведение нужно еще умножить на число (х + 1), то есть нужно сделать еще один шаг в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой.
Для упрощения понимания задачи допустим, что х больше 3, хотя он может быть любым натуральным числом.
Итак, имеем равенство:
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 ·… · х · (х + 1) .
Рассмотрим выражение 1 · 2 · 3 · … · х · (х + 1) подробнее.
Часть выражения до скобок — это ни что иное, как факториал х, так как эта часть есть произведения от 1 до х включительно, то есть:
1 · 2 · 3 · … · х = х!
Заменим эту часть выражения в равенстве
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · х · (х + 1),
получим:
(х + 1)! = х! · (х + 1)
Мы видоизменили «первую» часть выражения в задаче.
Рассмотрим теперь «вторую» часть.
Факториал выражения (х ? 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х ? 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х, НО это произведение, вдобавок, нужно разделить на число х, то есть нужно сделать шаг назад в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой:
(х ? 1)! =
А теперь подставим наши видоизмененные выражения в исходное выражение задачи:
= х! · (х + 1) / =
= = =
= (х +1) · х = х2 + х.
Итак, = х2 + х.
Проверим. Предположим, что х = 5, тогда:
= 52 + 5;
= 25 + 5;
| 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 |
| 1 · 2 · 3 · 4 |
= 30;
= 30;
30 = 30.
0
Спасибо
Ответить
Математика с восклицательным знаком!
В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468
59296389521759999322991560894146397615651828625369792082
7223758251185210916864000000000000000000000000
В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).
Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,
n! = n ? (n – 1) ? (n – 2) ?… ? 3 ? 2 ? 1
Например,
5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120
Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.
Отступление
Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ? 2 n! = n ? (n – 1)! а значит
Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится
Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:
Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10??. А количество всех-всех атомов во Вселенной – 1080. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.
Отступление
В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.
Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:
|
Стоящий рядом с числом восклицательный знак называется факториалом этого числа. Например n! – это n-факториал, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. Эта функция часто используется в комбинаторике. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
владсандрович 3 года назад Да восклицательный знак, в математике есть, и он носит название “факториал”, но само это название, в русский язык пришло из английского и если его переводить на русский язык более точно, то переводится оно как “сомножитель”. Ну и вообще такое название отображает собой процесс перемножения ряда чисел перед этим самым восклицательным знаком, а потому придумали его люди совершенно резонно.
алена22891 8 лет назад Восклицательный знак в математике означает фактариал, насколько мне не изменяет память. Факториал-это сумма ряда чисел. Тоесть факториал пяти(5!) равен 1*2*3*4*5=120, факториал шести(6!) равен 1*2*3*4*5*6, ну и тд и тп
Юлия Синельник 8 лет назад В математике восклицательный знак-это знак факториала.
Эл Лепсоид 3 года назад В математике, чаще всего, используются специальные символы для обозначения тех или иных математических функций или операций. Но встречаются и символы, заимствованные, скажем так, из письменной речи. К таким символам относится знак, обозначающий в математике факториал (это такая функция, которая подразумевает произведение всей последовательности чисел от единицы до того числа, что указано перед знаком факториала). И для обозначения этой функции математики не нашли ничего более подходящего, чем обыкновенный восклицательный знак – “!”. Дёшево, как говорится, и сердито. То есть всем понятно. Примеры: 5! или 125! – пять и сто двадцать пять факториал, соответственно.
Функция, которая обозначается восклицательным знаком, называется факториалом. Чтобы рассчитать факториал числа, необходимо перемножить все числа, которые идут до него, начиная с единицы, и на само число включительно. Например, 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040. Но самостоятельно проводить вычисления не нужно, данная функция обычно встроена в инженерный калькулятор и обозначается на нем как n!. Чтобы можно было рассчитать факториал числа, оно должно быть целым, то есть не иметь остатка после запятой, и не быть отрицательным. Факториал нуля же принимают за единицу. Если же после цифры стоят два восклицательных знака, то речь о двойном факториале.
Evaina 4 года назад В математике восклицательный знак имеет своё значение, он обозначает факториал, например если мы видим значение “n!”, то его следует читать, как “эн факториал”, это означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Бывает и два восклицательных знака (!!), что означает двойной факториал. Три же восклицательных знака (!!!) в математике означают “противоречие”. Так же если мы видим значение ?!, то оно означает “требуется доказать”.
Восклицательный знак есть не только в русском языке, но и в математике. Здесь он называется факториал числа, это кода всю числа находящиеся в порядке до этого числа включительно, перемножаются между собой в порядке с лева на право, каждое следующее умножение на результат предыдущего.
КорнетОболенский 4 года назад Восклицательный знак в качестве обособленного действия применяется в комбинаторике, одном из ответвлений математики. Это краткое обозначение функции “Факториал”.
При этом по умолчанию 0! = 1 Произносится как “один-факториал”, “два-факториал” и т.д.
storus 4 года назад Восклицательный знак в математике – это функция факториал. Её название образовалось от английского термина factor, который переводится на русский как «сомножитель». Обозначается данная функция так n!. Вот пара примеров факториала: 5!=1*2*3*4*5=120 8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320
Красное облако 3 года назад Называется восклицательный знак “факториал”, в математике. Или же “факториал числа”, что в принципе одно и тоже. Само слово “факториал” заимствованное с английского языка. Дословно переводится (с английского на русский) как “сомножитель”. Знаете ответ? |
У нас есть такая запись:
9!
Что это? Число девять с восклицательным знаком.
А что оно обозначает? Факториал!
Но что называется факториалом?
Факториал натурального числа n (обозначается n! и читается эн-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Формула для расчёта факториала:
n! = 1 · 2 · … · (n – 1) · n
Познакомившись с определением и имея перед глазами формулу, рассчитаем факториал числа 9. Для этого поочерёдно находим произведения множителей:
9! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 =
2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 =
6 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 =
24 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 =
120 * 6 * 7 * 8 * 9 =
720 * 7 * 8 * 9 =
5040 * 8 * 9 =
40320 * 9 = 362880
9! = 362880
И ещё один важный момент!
0! = 1
Потренируйтесь вычислять факториал следующих чисел:
3! =
4! =
5! =
7! =
8! =
А мы рассмотрим ещё одну разновидность факториала – двойной факториал.
Он обозначается как n!! и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n той же чётности, что и число n.
Например, 4!!
4 – чётное число. Следовательно, мы с Вами будем находить произведение всех чётных чисел до 4 включительно. Таким образом,
4!! = 2 * 4;
4!! = 8
Или 5!!
5 – нечётное число. Значит, перемножаем все нечётные числа от 1 до 5:
5!! = 1 * 3 * 5 =
3 * 5 = 15
5!! = 15
А чему будет равен двойной факториал 0?
Запомните:
0!! = 1
Найдите двойной факториал следующих чисел:
9!! =
12!! =
15!! =
16!! =
21!! =
Ещё подробнее изучить тему “Факториал числа” Ваш ребёнок может на первом бесплатном уроке в World of Math.
Международная онлайн-школа World of Math – это уроки математики, которые проходят под руководством психолога. Для нас важно, чтобы учёба приносила удовольствие, и потому мы выстраиваем процесс индивидуально для каждого ученика – в соответствии с его способностями и потребностями. Благодаря этому, кроме качественных знаний, в нашей школе Ваш ребенок получает только позитивные эмоции и уверенность в себе.
Математика в радость – это World of Math. Убедиться в этом Вы сможете, попробовав первый бесплатный урок. Записаться на него можно здесь.
Что означает восклицательный знак перед числом?
МатематикаДомашние задания
Андрей Асафов
17 мая 2021 · 994
Кандидат физико-математических наук, выпускник ШАД · 21 мая 2021
Есть известная задача о беспорядках: есть n писем и n надписанных конвертов для них, сколькими способами можно вложить письма в конверты так, чтобы ни одно не попало в свой конверт? Ответом к этой задаче как раз и будет число с восклицательным знаком перед ним: !n.
В математике !n носит страшноватое название субфакториал. Так в комбинаторике называют общее количество беспорядков длины n. Беспорядок – это перестановка, у которой все элементы стоят не на своём месте. Например, все письма разложены по чужим конвертам.
Если число n невелико, его субфакториал несложно найти, перебрав все перестановки:
- для n = 1 есть лишь одна перестановка 1, в ней единица стоит на своём первом месте, так что беспорядков тут нет вообще: !1 = 0;
- в случае n = 2 есть две перестановки: 12 и 21; в первой из них оба элемента стоят на своих местах, а во второй – на чужих, так что !2 = 1;
- при n = 3 перестановок всего получается 6 штук: 123, 132, 213, 231, 312, 321; из них беспорядки – это 231 и 312, у остальных хотя бы один элемент стоит на своей же позиции, поэтому !3 = 2.
Похожим способом можно проверить, что !4 = 9. При n > 4 перестановок становится уже очень много, и для вычисления субфакториала лучше использовать формулу !n = (n – 1)·(!(n-1) + !(n-2)). Например, !5 = 4·(!4 + !3) = 4·(9 + 2) = 44.
1,4 K
Комментировать ответ…Комментировать…
