Количество возможных шестизначных чисел зависит от того, можно ли включать в них ведущие нули (нули в начале числа). Если ведущие нули не допускаются, то количество шестизначных чисел равно 900 000 (от 100 000 до 999 999). Если ведущие нули допускаются, то количество шестизначных чисел равно 1 000 000 (от 000 000 до 999 999).
Обратите внимание, что при подсчете чисел без учета ведущих нулей мы исключаем все числа от 000 000 до 099 999 (всего 100 000 таких чисел), а при учете ведущих нулей мы включаем их в количество возможных чисел.
Если же речь идет о шестизначных числах с уникальными цифрами (каждая цифра в числе встречается только один раз), то количество таких чисел можно посчитать следующим образом: для первой цифры можно выбрать любую из 9 цифр (нуль не подходит, так как это не шестизначное число), для второй цифры – любую из оставшихся 9 цифр (нельзя выбрать ту же, что и в первой позиции), для третьей – любую из оставшихся 8 цифр, и так далее. Таким образом, общее количество шестизначных чисел с уникальными цифрами равно 99876*5 = 136080.
Эту задачу можно решить, применив готовую формулу $%bar{C}_4^6$% для числа сочетаний с повторениями из 4 по 6. Здесь у нас имеется 4 вида предметов (цифры), которые могут повторяться, и мы берём 6 таких предметов для формирования числа (по взятым цифрам число формируется однозначно: мы располагаем их в порядке невозрастания).
Согласно формуле из комбинаторики, число сочетаний с повторениями из $%n$% по $%m$% равно
$%C_{m+n-1}^m$%. В данном случае получается
$%C_9^6=
C_9^3=9cdot8cdot7/3!=84$%.
Возможно и решение, не опирающееся в явном виде на формулы, приведённые выше. Рассмотрим 6-значное число из условия задачи, и напишем перед ним наибольшую из цифр, то есть 8, а после него — наименьшую из цифр, то есть 5. Будем переходить от первой из выписанных цифр к восьмой, следя за тем, на сколько уменьшается следующая цифра. Получится 7 целых неотрицательных чисел, в сумме дающих 3 (так как итоговое уменьшение произошло на 3). Например, если 6-значное число было равно 776665, то мы записали сначала 87766655, и числа уменьшений равны 1010010.
Теперь можно напрямую подсчитать, сколько имеется таких последовательностей из 7 членов с суммой 3. Там могла быть одна тройка и остальные нули. Тройка может стоять на любом из 7 мест, то есть получается 7 случаев. Если в последовательности имеется 2 и 1, то двойку ставим куда-то 7 способами на одно из мест, а единицу — 6 способами на одно из оставшихся мест. По правилу произведения получается $%7cdot6=42$%. Наконец, если у нас складываются три единицы, то их на семи местах можно расположить $%C_7^3=35$% способами. Итого получаем $%7+42+35=84$%, как и выше.
You counted all the cases except the case in which there are three digits that each appear twice.
There are $9$ ways to select the leading digit, $5$ ways to choose the other position for the leading digit, $binom{9}{2}$ ways to select the other two digits, and $binom{4}{2}$ ways to choose the positions of the smaller of those digits. Therefore, the number of six-digit positive integers in which there are three digits that each appear twice is
$$binom{9}{1}binom{5}{1}binom{9}{2}binom{4}{2} = 9720$$
You counted each such case twice. For instance, take the number $837783$. You counted it in two ways:
- You selected $8$ as the leading digit, then chose to place it in the fifth position. You selected $3$ as the second digit, then chose to place it in the second and sixth positions. You chose $7$ as the third digit and placed it in the third and fourth positions.
- You selected $8$ as the leading digit, then chose to place it in the fifth position. You selected $7$ as the second digit, then chose to place it in the third and fourth positions. You chose $3$ as the third digit and placed it in the second and sixth positions.
Формулировка задачи: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами A и B и делится на N. В ответе укажите ровно (какое-нибудь) одно такое число.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19 (Задачи на цифровую запись числа).
Для решения таких задач нужно знать основные признаки делимости чисел, а также уметь раскладывать составной делитель на взаимно простые множители. Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.
Пример задачи 1:
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
Решение:
Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 1 и 0, делилось на 24, нужно чтобы оно делилось на 8 и на 3. Поскольку 8 и 3 – взаимно простые числа.
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3
Чтобы шестизначное число делилось на 8, нужно чтобы оно заканчивалось на 000 или на трехзначное число, которое делится на 8. Чтобы шестизначное число делилось на 3, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Для составления шестизначного числа есть только 2 цифры: 1 и 0. Сначала попробуем подобрать 3 последние цифры нового числа, чтобы оно делилось на 8:
000 – подходит, поскольку это 000
001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – на 8 не делятся, поэтому не подходят
Получается, что новое число должно оканчиваться на 000. Осталось подобрать такие остальные цифры числа, чтобы итоговое число делилось на 3.
Возможен только 1 вариант: число начинается на 111
1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 3
3 / 3 = 1
Никакое другое сочетание цифр не подойдет. Таким образом, шестизначное число равно 111000.
Ответ: 111000
Пример задачи 2:
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 3 и делится на 90. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение:
Чтобы шестизначное число, составленное из цифр 3 и 0, делилось на 90, нужно чтобы оно делилось на 9 и на 10. Поскольку 9 и 10 – взаимно простые числа (у них нет общих делителей).
90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 9 ⋅ 10
Чтобы шестизначное число делилось на 10, нужно чтобы оно заканчивалось на 0. Таким образом, последняя цифра числа определена и она равна 0.
Чтобы шестизначное число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9 (то есть сумма цифр должна быть равна 9, так как сумму 18 можно получить лишь в 1 случае – если в числе будут только тройки, а это невозможно). Такой набор существует только один: 3 + 3 + 3 + 0 + 0 + 0 = 9.
Осталось определить порядок определенных цифр. Он может быть любым, главное чтобы число начиналось с 3 (чтобы оно было шестизначным) и заканчивалось 0:
300330, 303030, 303300, 330030, 330300, 333000
В ответе можно указать любое из приведенных выше чисел.
Ответ: 300330 или 303030 или 303300 или 330030 или 330300 или 333000
Кто не видел белого медведя? В зоопарках он – обычный гость. Нет нужды описывать, каков он на вид. Напомним лишь, что у него только нос черный, сам медведь белый и зимой, и летом (а не как, скажем, песец или заяц-беляк – те лишь зимой белые). Подошвы лап у белого медведя густой шерстью поросли, а пальцы примерно на половину своей длины соединены плавательными перепонками.
Плавают и ныряют белые медведи отлично. Две минуты могут пробыть под водой, но погружаются в нее редко глубже двух метров. Далеко в открытом море не раз видели белых медведей, даже медведиц с медвежатами. Плывут со скоростью 5 километров в час, не беспокоясь, что ни земли, ни льдов нигде вблизи не видно.
Белый медведь и тюленей ловит не только на льду, украдкой к ним подползая. Обычный его прием, так сказать, атаки с моря такой: поблизости от лежбищ тюленей медведь осторожно, без плеска и шума, сползает в воду, плывет туда, где заметил тюленей. Затем он бесшумно ныряет и выныривает уже у самого лежбища, быстро карабкается на лед, отрезая тем самым тюленям путь к спасительной воде. По отвесным ледяным стенам медведь может прямо из воды выпрыгнуть на льдину, даже если высота ее над водой два метра.
Тюлени – главная охотничья добыча белого медведя весной. За год ловит и съедает он примерно 50 тюленей. Летом меню его более разнообразно. Ловит он рыбу на мелкой воде, на берегу – леммингов, песцов, лакомится яйцами птиц. Когда голоден, ест ягоды, водоросли, мхи, лишайник, грибы.
Белый медведь – самый могучий из сухопутных хищных зверей. Лев и тигр в сравнении с ним легковесы: средний вес медведиц 310 килограммов, медведей-самцов – 420 килограммов. Если медведь матерый и хорошо упитанный, то он может весить целую тонну!
Акимушкин И.И. Мир животных: Млекопитающие, или звери. – М., 1988 г
IV. Тест по русскому языку
1. В тексте про белых медведей больше всего предложений:
а) повествовательных; б) вопросительных
2. Восклицательное предложение находится:
а) в начале текста; б) в конце текста
3. Вопросительное предложение находится
а) в начале текста; б) в конце текста
4. Выпиши из второй части текста (из второго абзаца) первое предложение. Разбери его по членам предложения. Что ты можешь сказать о сказуемых? Они являются
а) родственными словами; б) однородными членами предложения
5. Что можно сказать о глаголах, которыми выражены сказуемые? Эти глаголы:
а) I спряжения; б) II спряжения
6. Эти глаголы стоят в форме:
а) настоящего времени; б) будущего времени; в) прошедшего времени
7. Эти глаголы стоят в форме:
а) единственного числа; б) множественного числа
8. Эти глаголы стоят в форме:
а) 1-го лица; б) 2-го лица; в) 3-го лица; г)нельзя определить лицо
9. Эти глаголы стоят в форме:
а) ж.р.; б) м.р.; в) ср.р.; г) нельзя определить род
10. Найди во второй части текста (во втором абзаце) все слова, которые являются родственными существительному, являющемуся подлежащим в первом предложении. Запиши их столбиком, поставив в начальную форму. У тебя получилось:
а) два слова; б) три слова
11. Найди во второй части текста (во втором абзаце) другую форму слова, которое является подлежащим в первом предложении. Выпиши такое словосочетание с формой этого слова, из которого можно определить его падеж. Этот падеж:
а) Р.п.; б) В.п.
