Как найти число суток

Формула подсчёта количества дней в месяце

Примечание: данный пост является переводом статьи cmcenroe.me/2014/12/05/days-in-month-formula.html (Часть I), а также авторским к нему дополнением (Часть II). Не следует относиться к материалу серьёзно, а скорее как к разминке для ума, требующей не более чем школьных знаний арифметики и не имеющей практического применения. Всем приятного чтения!

Часть I

Вступление

Недавно, после очередной бессонной ночи, я размышлял о методах запоминания количества дней в каждом месяце года. Для этого есть считалочка, а также способ считать на костяшках пальцев, но ни то, ни другое меня не устроило. Я задумался, а не существует ли какой-нибудь математической формулы для решения такой задачи, и — не обнаружив при беглом изучении таковую — бросил себе вызов её создать.

Формализуя

Другими словами, необходимо найти функцию f, такую, что значение f(x) для каждого месяца x, представленного числом от 1 до 12, равняется количеству дней в этом месяце. Таблица значений аргумента и функции¹:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Если у вас возникло желание попробовать самому до прочтения моего решения, то сейчас самое время. Если же вы предпочитаете немедленно увидеть готовый ответ, то посмотрите под спойлер.

Ниже следуют мои шаги по нахождению решения.

Математический аппарат

Сначала бегло освежим в памяти два жизненно необходимых в решении этой задачи оператора: целочисленное деление и остаток от деления.

Целочисленное деление это оператор, применяемый во многих языках программирования при делении двух целых чисел и отбрасывающий от частного дробную часть. Я буду изображать его как . Например:

Остаток от деления это оператор, находящий остаток от деления. Во многих языках программирования применяется символ %, я же буду использовать конструкции вида , например:

Замечу, что остаток от деления имеет равный с делением приоритет.

Основы

Итак, применим наш математический аппарат для получения базовой формулы.² В обычном месяце 30 или 31 день, так что мы можем использовать для получения поочерёдно 1 или 0, а затем просто прибавить к этому числу константу:

Получаем таблицу, полужирным выделены корректные значения:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	31	30	31	30	31	30	31	30	31	30	31	30

Неплохое начало! Уже есть правильные значения для января и для месяцев с марта по июль включительно. Февраль — особый случай, и с ним мы разберёмся чуть позже. После июля для оставшихся месяцев порядок получения 0 и 1 должен быть изменён на обратный.
Для этого мы может прибавить к делимому 1:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	30	31	30	31	30	31	30	31	30	31	30	31

Теперь правильные значения с августа по декабрь, но, как и предполагалось, значения для прочих месяцев неверны. Давайте посмотрим как мы можем объединить эти формулы.

Наложение маски

Для этого необходима кусочно-заданная функция, но — так как мне это показалось скучным — я задумался о другом пути решения, использующем одну часть функции на одном интервале, другую — на другом.
Полагаю, что проще всего будет найти выражение, равное 1 в одной области применения и 0 — в остальной. Метод, в котором умножая аргумент на выражение мы исключаем его из формулы вне области его применения, я назвал «наложением маски», потому такое поведение подобно некой битовой маске.
Для применения этого метода в последней части нашей функции необходимо найти выражение, равное 1 при , и — так как значения аргумента всегда меньше 16 — для этого прекрасно подходит целочисленное деление на 8.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
⌊x⁄8⌋	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1

Теперь с помощью этой маски, используя в делимом выражение вместо 1, мы можем заменить порядок получения 0 и 1 формуле на обратный:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	31	30	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Эврика! Всё правильно, кроме февраля. Сюрприз-сюрприз.

Февраль

В любом месяце 30 или 31 день, кроме февраля с его 28 (високосный год выходит за рамки этой задачи).³ На текущий момент по нашей формуле в нём 30 дней, поэтому неплохо бы вычесть выражение, равное 2 при .
Лучшее что мне удалось придумать это , что накладывает маску на все месяцы после февраля:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2 mod x	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2

Изменив базовую константу на 28 с добавлением 2 к остальным месяцам получим формулу:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	29	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

К сожалению, январь теперь короче на 2 дня. Но, к счастью, получить выражение, которое будет применяться только для первого месяца очень легко: это округлённое вниз обратное к число. Умножив его на 2 получаем окончательную формулу:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Послесловие

Вот она — формула для получения количества дней в любом месяце года, использующая простейшую арифметику. В следующий раз когда вы будете вспоминать сколько же дней в сентябре, просто выполните с помощью этой однострочной функции на JavaScript:

function f(x) { return 28 + (x + Math.floor(x/8)) % 2 + 2 % x + 2 * Math.floor(1/x); }

Часть II

Вступление

В первой части была получена короткая и даже немного изящная формула, основными достоинствами которой являются простота математического аппарата, отсутствие ветвлений и условных выражений, лаконичность. К недостаткам — кроме того, что вы не будете применять её в вашем проекте — можно отнести отсутствие проверки на вискокосный и не високосный год.
Поэтому я поставил перед собой задачу создать функцию f, такую, что значение f(x, y) для каждого месяца x, представленного числом от 1 до 12 и года y, большего 0, равняется количеству дней в месяце x в году y.
Для нетерпеливых под спойлером находится готовый ответ, остальных же прошу следовать за мной.

Остаток от деления: mod и ⌊⌋

Для визуальной наглядности договоримся, что в некоторых формулах оператор деления с остатком заменён нижними скобками, там где это показалось мне необходимым:

Високосный год

В високосный год вводится дополнительный день календаря: 29 февраля. Как известно, високосным является год, кратный 4 и не кратный 100, либо кратный 400. Запишем тождественное этому высказыванию выражение:

Для приведения этого выражения в алгебраическое, необходимо применить к результату выражения инъекцию вида:

Что позволит получить 1 при делении без остатка и 0 при делении с остатком, чтобы использовать её в формуле определения количества дней в месяце.

В качестве функции g’ можно использовать 1 минус остаток от деления для :

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
g'(x)	Infinity	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Легко заметить, что увеличив делимое и делитель на 1 мы получим правильную формулу при :

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
g'(x)	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таким образом выражение запишем как:

А выражение запишем как:

Применяя этот подход получим следующую функцию g(y), значением которой будет 1, если год високосный, или 0 в обратном случае:

y	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
g(y)	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1
y	2000	2100	2200	2300	2400	2500	2600	2700	2800	2900	3000
g(y)	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0

Полужирным выделены високосные года.

Напоминаю, что в рамках принятой договорённости оператор получения остатка от деления может быть изображен как mod, так и ⌊⌋.

Наложение маски

В формуле часть является поправкой, прибавляющей 2 дня к январю. Если убрать множитель 2 и в числителе заменить 1 на 2, тогда эта формула будет прибавлять 2 дня к январю и 1 день к февралю, что даёт нам ключ к добавлению дня в високосном году. Для наглядности используем в формуле промежуточное значение g(y) и в качестве y используем 2000 (високосный) и 2001 (не високосный) годы:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x, 2000)	31	29	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31
f(x, 2001)	30	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	30

Значения для всех месяцев, кроме января не високосного года верны.

Для исправления этого досадного недоразумения добавим к январю 1 день уже известной нам формулой :

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x, 2000)	32	29	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31
f(x, 2001)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	30

Теперь необходимо вычесть 1 день из января в случае високосного года, для чего нам поможет знание того, что для любого x , а .

Тогда формула примет вид:

Или:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x, 2000)	31	29	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31
f(x, 2001)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	30

Заключение

В результате получена уже значительно более громоздкая, но более универсальная формула, которую также можно использовать для получения количества дней в месяце определённого года:

function f(x, y) { return 28 + ((x + Math.floor(x / 8)) % 2) + 2 % x + Math.floor((1 + (1 - (y % 4 + 2) % (y % 4 + 1)) * ((y % 100 + 2) % (y % 100 + 1)) + (1 - (y % 400 + 2) % (y % 400 + 1))) / x) + Math.floor(1/x) - Math.floor(((1 - (y % 4 + 2) % (y % 4 + 1)) * ((y % 100 + 2) % (y % 100 + 1)) + (1 - (y % 400 + 2) % (y % 400 + 1)))/x); }

Пример на C# ideone.com/fANutz.

---

1. Я не умею пользоваться подобной мнемоникой, поэтому подсмотрел табличку в интернете.
2. «Основы», или «Правило С Многими Исключениями», как и большинство правил.
3. Изначально в римском календаре февраль был последним месяцем года, поэтому есть логика в том, что он короче всех остальных. Также есть логика в добавлении или удалении дня именно в конце года, поэтому его длина является переменной.

Upd. 1:
Альтернативный перевод первой части в сообществе вконтакте.
Upd. 2: Благодаря комментарию keksmen исправлена ошибка в формуле определения високосного года (g(y)) и исправлена итоговая формула.

Рассказывает Куртис МакЭнроэ 

---

Недавно после длительного времени, проведенного без сна, я задумался над тем, как можно узнать количество дней в месяце, зная его номер. Существуют детские стишки на эту тему, есть способ подсчета по костяшкам, но эти методы не устраивают меня — я погрузился в поиск математической формулы, которую и вывел спустя некоторое время.

Итак, задача

Формально Другими словами, нам нужно получить функцию f(x), которая бы давала следующий список значений (который я, кстати говоря, нашел где-то в интернете, а не вывел с помощью мнемонических правил):

Стоит учесть, что в качестве аргумента мы получаем только номер месяца, т.е. мы не учитываем високосные года, и f(2) = 28.

Если вы хотите узнать полученный мною результат, пролистните до конца этой страницы. То, что будет описано далее — это вывод искомой формулы.

Чем мы будем пользоваться

Кроме сложения, вычитания и умножения, я воспользуюсь двумя операциями: целочисленным делением и операцией взятия остатка. Напомню, что это такое:

• Целочисленное деление, или «деление с округлением вниз». У меня оно будет представлено, как обычное деление: a / b — имея в виду ⌊a / b⌋. Например, 5 / 3 = 1.
• Взятие остатка по модулю. Обозначу традиционно деление с остатком: a % b = a — (a / b) * b. Например, 5 % 3 = 2.

Они имеют одинаковый приоритет и являются левоассоциативными.

Основы, или Правило со множеством исключений

Давайте попробуем найти такую закономерность, которая удовлетворила бы как можно большему количеству значений аргумента. Обычно количество дней в месяце колеблется между 30 и 31. При этом, можно заметить зависимость этого числа от четности месяца — значит, воспользуемся операцией взятия остатка по модулю 2. Кажется, это должно быть нечто, вроде:

f₁(x) = 30 + x%2

Неплохой старт! Не обращая внимания на февраль, для которого явно придется пойти на какие-то уловки, порадуемся тому, что мы смогли подогнать функцию под первую половину года. А далее, начиная с августа, четность надо сменить на противоположную. Сделать это можно, заменив x%2 в первом варианте формулы на (x+1)%2:

f₂(x) = 30 + (x + 1) % 2

Как и ожидалось, теперь первая половина года уже вне области правильных значений, зато месяцы с августа по декабрь дали то, что надо. Найдем способ объединить две эти части.

Маска

Нам нужно, чтобы +1 в делимом «активировалось» только при достижении аргументом значений, больших 8, т.е. нам необходимо применить некоторую маску. При этом значения аргумента не могут превосходить 12. Значит, нам идеально подойдет целочисленное деление аргумента на 8:

Ровно как нам и нужно. Воспользуемся этим выводом:

f₃(x) = 30 + (x + x / 8) % 2

Уху! Все правильно, кроме февраля. Как неожиданно.

Февраль

Во всех месяцах 30 или 31 день, в феврале же — 28 (напомню, мы не рассматриваем високосные года).

Историческая справка: в романском календаре февраль был последним месяцем года — согласитесь, добавление одного дня в високосные годы в конец календаря интуитивно понятнее. Однако мы пользуемся григорианским календарем, в котором самый короткий месяц перенесен ближе к началу по воле одного из мудрых правителей.

В самой последней версии нашей формулы февралю достались целых 30 дней. А потому нам нужно отсечь у него пару дней. Естественно, от этого пострадают и еще какие-то месяцы: или слева от февраля, или справа от него в нашем списке — однако, справа месяцев гораздо меньше, поэтому нам придется пожертвовать именно январем, затем подправив формулу и для него. Отсечь дни для первого и второго месяцев можно с помощью выражения 2%x:

Тогда наша формула принимает уже следующий вид:

f₄(x) = 28 + (x + x / 8) % 2 + 2 % x

Остался последний шаг — подлатать январь. Это сделать не так сложно: просто добавим 2 дня только к нему, т.е. к такому месяцу, чей номер меньше либо равен единице. Как вам идея использовать для этой цели 1/x? Проверяем:

f₅(x) = 28 + (x + x / 8) % 2 + 2 % x + 1 / x * 2

Бинго! 12 из 12!

Заключение

Итак, мы вывели искомую формулу, вот она, записанная на языке JavaScript:

function f(x) { return 28 + (x + Math.floor(x/8)) % 2 + 2 % x + 2 * Math.floor(1/x); }

Спросите меня, сколько дней в сентябре? Я скажу вам: f(9).

Перевод статьи «A Formula for the Number of Days in Each Month»

Сколько суток в часе (ч), минуте (мин)

Одни сутки составляют 24 часа. Один час равен 60 минутам.

ч
⇄
суток

Перевод: 1 / 24часов = 0.041666666666666664

мин
⇄
суток

Как перевести: 1 / (24часов × 60мин) = 0.0006944444444444445

Сколько дней в сутках

За одни сутки Земля делает оборот вокруг своей оси.

Сутки состоят из утра, дня, вечера, ночи. В тоже время нельзя сказать, что «день» — это 1/4 суток или 6 часов, так как «день» — это промежуток времени от восхода до заката Солнца. Этот промежуток времени зависит от географической широты пункта наблюдения и времени года. Зимой темнеет быстрее и день короче чем летом.

Но часто «день» и «сутки» используются как слова синонимы. То есть они обозначают одно и то же. Согласитесь, что в неделе 7 суток и в тоже время 7 дней.

Сколько дней в неделе

С очень давнего времени, неделей принято называть эти семь дней:

1	2	3	4	5	6	7
понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье

неделя
⇄
сутки

Вычисление: 1 × 7дней = 7

Сколько дней в месяце

За месяц Луна делает оборот вокруг Земли. Поэтому неполную Луну, вот такую ☾, ещё называют «месяц».

Число дней в месяцах из года в год неизменно. Кроме февраля. Обычно в нём 28 суток, а в високосный год 29.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	итого
январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь	год
31	28 (29)	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31	365 (366)
Сумма выбранных полей:

Сколько дней в году, в т.ч.

За год наша планета Земля делает оборот вокруг Солнца. За это время происходит смена четырёх времён года: весна, лето, осень и зима. Земля делает оборот вокруг Солнца не за полные 365 дней, а за чуть большее время. Чтобы компенсировать это «чуть большее время», почти раз в четыре года к февралю прибавляют ещё один день. Такой год называют «високосным».

название года	количество дней
невисокосный	365
високосный (полный список)	366

количество лет: с по 2002 гг включительно ⇄ дней

Как рассчитать: 365дней × 1лет + 0високосных дней = 365

Или наоборот: 365 – 0високосных дней / 365дней = 1

Среднее значение: 365,2425суток (см. формула)

Сколько дней в веку веке

В веке насчитывается 100 лет, поэтому его ещё называют «столетие». Сейчас идёт 21 век (римскими цифрами XXI)

	век	с какого по какое число	как перевести	количество суток
	Ⅰ	1.01.1-31.12.100 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅱ	1.01.101-31.12.200 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅲ	1.01.201-31.12.300 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅳ	1.01.301-31.12.400 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅴ	1.01.401-31.12.500 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅵ	1.01.501-31.12.600 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅶ	1.01.601-31.12.700 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅷ	1.01.701-31.12.800 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅸ	1.01.801-31.12.900 гг.	365 × 100 + 25	36525
	Ⅹ	1.01.901-31.12.1000 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅠ	1.01.1001-31.12.1100 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅡ	1.01.1101-31.12.1200 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅢ	1.01.1201-31.12.1300 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅣ	1.01.1301-31.12.1400 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅤ	1.01.1401-31.12.1500 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅥ	1.01.1501-31.12.1600 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅦ	1.01.1601-31.12.1700 гг.	365 × 100 + 24	36524
	ⅩⅧ	1.01.1701-31.12.1800 гг.	365 × 100 + 24	36524
	ⅩⅨ	1.01.1801-31.12.1900 гг.	365 × 100 + 24	36524
	ⅩⅩⅠ	1.01.1901-31.12.2000 гг.	365 × 100 + 25	36525
	ⅩⅩⅠ	1.01.2001-31.12.2100 гг.	365 × 100 + 24	36524
Сумма выбранных полей:	36524 дня

Онлайн калькулятор (конвертер) суток «Перевод времени в дни»

год

день

ч

мин

с

⇄

дней

Как перевести: 365,2425 × 0год + 0день + 0час / 24 + 0мин / (24 × 60) + 0сек / (24 × 60 × 60) = 0

Или наоборот (из числа берётся его целая положительная часть, остальное отбрасывается):

0 / 365,2425 = 0

0 – 365,2425 × 0 = 0

(0 – 365,2425 × 0 – 0) × 24 = 0

(0 – 365,2425 × 0 – 0 – 0/24) × 24 × 60 = 0

(0 – 365,2425 × 0 – 0 – 0/24 – 0 / (24 × 60)) × 24 × 60 × 60 = 0