Как найти число узлов в схеме

Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов в рассматриваемой электрической цепи.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Для отображение электрических компонентов (конденсаторов, резисторов, микросхем и т. д.) в электрических схемах используются их условно графические обозначения.

Для отображения электрических соединений (дорожек, проводов, соединения между радиоэлементами) применяют простую линию соединяющие два условно графических обозначения. Причём все ненужные изгибы дорожек удаляют.

В состав электрической схемы входят: ветвь и условно графические обозначение электрических элементов так же могут входить контур и узел.

Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям называется контуром. На верхнем рисунке, контурами можно считать ABD; BCD; ABC.

Узел – место соединения трёх и более ветвей.

Точки К и Е не являются узлами.

Источник

Методы расчета сложных электрических цепей

Методы расчета сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называют разветвленную цепь с несколькими источниками электрической энергии. Применение методов эквивалентных преобразований в таких цепях, как правило, не эффективно, так как не позволяют упростить ее до одноконтурной цепи или цепи с двумя узлами. Для расчета таких цепей используют более общие методы.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении системы уравнений с применением первого и второго законов Кирхгофа для заданной электрической цени, решение которой позволяет определить токи всех ветвей цепию.

Реализация этою метода, как и любого другого метода расчета сложной электрической цени, начинается с предварительного анализа ее схемы с целью определения числа узлов , числа ветвей , числа независимых контуров , числа ветвей с источниками токов, выяснения возможности упрощения схемы.

Прежде всего определяют число неизвестных токов, которое равно — . Для каждой ветви задают положительное направление тока.

Далее по первому закону Кирхгофа составляют — 1 независимых уравнений.

Затем по второму закону составляют уравнений. При этом выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.

Общее число составленных по первому и второму законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных токов.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.25. Пусть ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления . Требуется определить все токи схемы с помощью метода непосредственного применения законов Кирхгофа.

Схема содержит 6 ветвей с неизвестными токами и четыре узла. Па схеме узлы обозначены арабскими цифрами, показаны принятые направления токов и направления обхода контуров А, Б и В.

Составим систему из 6 уравнений. Уравнения по первому закону Кирхгофа запишем для узлов 1, 2, 3, уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров А, Б, В:

Решив эту систему уравнений, получим . Отрицательное значение тока , указывает на то, что выбранное при составлении уравнений направление этого тока не соответствует действительности. Правильное направление — от узла 3 к узлу 4.

Для проверки вычислений с помощью программы схемотехнического моделирования Micro Сар выполнен анализ по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.25. Изображенные на рис. 1.26,а значения токов ветвей (в мА) подтверждают правильность выполненных расчетов. Изображенные на рис. 1.26,б узловые потенциалы схемы (в В) позволяют определить направление токов ветвей.

Метод контурных токов

Метод контурных токов наиболее часто применяется на практике для расчета сложных цепей, так как он позволяет находить все неизвестные величины при числе уравнений, меньшем числа неизвестных величин.

По этому методу в каждом независимом контуре схемы вместо действительных токов в ветвях вводят условный контурный ток. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току. Действительный ток в любой ветви, принадлежащей нескольким контурам равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих через эту ветвь.

Уравнения для расчета контурных токов составляются по второму закону Кирхгофа. При этом учитываются напряжения на всех пассивных элементах контура от собственного контурного тока и в смежных элементах -от контурных токов соседних контуров. Направление контурного тока в независимом контуре выбирают произвольно. Направление обхода контура обычно выбирают совпадающим с направлением собственного контурного тока.

Падение напряжения при прохождении тока смежного контура в элементе принимают положительным, если направление тока в смежном контуре совпадает с направлением обхода, Если направление тока смежного контура не совпадает с направлением обхода, падение напряжения считают отрицательным. Значение ЭДС берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с положительным направлением ЭДС, и со знаком минус — если не совпадает.

Метод контурных токов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.27. Схема имеет три независимых контура: А, Б, В. Через сопротивления каждого контура проходит свой контурный ток . Направления обхода каждого контура совпадает с направлением контурного тока этого контура. ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, для контуров А, Б и В:

Подставив в эту систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим

Действительные токи ветвей схемы:

Полученные значения полностью совпадают с результатами ранее проделанного расчета этой же цени по методу непосредственного применения Законов Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов

Потенциал любой точки электрической цепи определяется напряжением между данной точкой и точкой цепи с потенциалом равным нулю.

Метод узловых потенциалов заключается в том, что вначале полагают равным нулю потенциал некоторого базисного узла и для оставшихся ( -1) узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа: алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу равна нулю. При этом токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью обобщенного закона Ома. Решив полученную систему уравнений, определяют потенциалы узлов.

Далее, применив обобщенный закон Ома для ветвей, определяют искомые токи.

Метод узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы электрической цепи, изображенной на рис. 1.28 (я). В этой схеме ЭДС идеальных источников напряжения , сопротивления и .

Схема имеет четыре узла. Примем потенциал узла 3 . Составляем уравнения по методу узловых потенциалов. Сумма токов узла 1 приравнивается нулю. Ток каждой ветви, подключенной к узлу 1, записывается в соответствии с обобщенным законом Ома

Подставив в полученную систему уравнений численные значения ЭДС источников и сопротивлений и решив ее, получим . Полученные результаты совпадают с данными (рис. 1.26,6^, полученными при выполнении с помощью программы Micro-Сар анализа по постоянному току схемы, изображенной на рис. 1.28,а.

Применив обобщенный закон Ома для каждой ветви схемы, получим искомые токи:

Полученные значения токов совпадают с результатами расчета этой цепи методом непосредственного применения законов Кирхофа и методом контурных токов.

Направления найденных токов указаны на графе цепи на рис. 1.28,6. Графом цепи называют такое изображение схемы электрической цепи, в котором все ветви заменены линиями, источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты. Все ветви и все узлы сохраняются.

Метод узловых потенциалов имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Метод двух узлов является частным вариантом метод узловых потенциалов. Он применяется в тех случаях, когда анализируемая схема содержит только два узла (для определенности узлы и ) и большое число параллельных ветвей, содержащих и не содержащих источники ЭДС. Согласно методу двух узлов межузловое напряжение

где — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу , и отрицательными, если от узла к узлу ) на проводимости этих ветвей; — сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы и .

Эта теория взята со страницы помощи с заданиями по электротехнике:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Выполнение домашнего задания № 1 (первая часть)

Тема «Расчёт сложной цепи постоянного тока »

Методические указания

Цель работы: освоение методов анализа линейных электрических цепей постоянного тока.

1. Задание:

1) Начертить схему согласно варианту.

2) Определить количество ветвей, узлов и контуров.

3) Составить уравнения по первому и второму законам Кирхгофа.

Рекомендуемые материалы

4) Определить токи всех ветвей методом узловых потенциалов и методом контурных токов.

5) Составить и рассчитать баланс мощностей.

6) Определить ток в ветви (номер ветви в таблице соответствует номеру резистора в схеме) методом эквивалентного генератора.

7) Определить показания приборов.

8) Построить потенциальную диаграмму.

9) Сделать выводы.

2. Указания по оформлению расчетно-графической работы

1) Начертить схему в соответствии с номером варианта (схема Приложение 1, таблица Приложение 2). Номер варианта соответствует номеру в учебном журнале.

2) Домашнее задание выполняется на листах формата А4 с одной стороны листа, желательно использовать компьютерные программы.

3) Выполнить чертеж  схемы и её элементов в соответствии с ГОСТом.

4) Образец оформления титульного листа представлен в Приложении 3.

5) Каждый пункт задания должен иметь заголовок. Формулы, расчёты, диаграммы должны сопровождаться необходимыми пояснениями и выводами. Полученные значения сопротивлений, токов, напряжений и мощностей должны заканчиваться единицами измерения в соответствии с системой СИ.

6) Графики (диаграммы) должны выполняться на мм бумаге  с обязательной градуировкой по осям и указанием масштабов по току и напряжению.

7) Если студент сделал ошибки при выполнении домашнего задания, то исправление проводится на отдельных листах с заголовком «Работа над ошибками».

8) Срок выполнения домашнего задания 5 неделя семестра.

3. Теоретическое введение

3.1 Топологические компоненты электрических схем

Количество ветвей – р

б) узел – q  место соединения трех и более ветвей, узлы  бывают потенциальные или геометрические рис. 1

            Рис. 1

Четыре узла геометрических (abcd) и три потенциальных (abc) так как потенциалы узлов с и d равны: φс = φd

в) Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов   разветвленной  электрической цепи – abcd , рис. 1. Независимый контур имеющий хотя бы одну новую ветвь.

3.2. Баланс мощностей

Составляем уравнения для определения мощности приемника:

                                               ΣР_пр = Σ I²·R

Составляем уравнения для определения мощности источника:

                                               ΣP_ист =Σ E·I

Баланс сходится при условии равенства уравнений мощностей источника и приемника, т.е.:                                                ΣР_пр = ΣP_ист

Баланс считается сошедшимся, если погрешность не сходимости составляет не более 2%.

3.3. Эквивалентные преобразования пассивных участков электрической цепи

Соединения бывают: последовательное, параллельное и смешанное, звезда, треугольник, мостовое.

1. Последовательное соединение, когда ток в каждом элементе один и тот же.

Свойства последовательного соединения:

а) Ток цепи  и напряжения зависит от сопротивления любого из элементов;

б) Напряжение на каждом из последовательно соединенных элементов меньше входного;

U_i < U

в) Последовательное соединение является делителем напряжения.

2. Параллельное соединение

Соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, находящихся под воздействием одного и того же напряжения.

Свойства параллельного соединения:

1) Эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сопротивлений ветвей;

2) Ток в каждой ветви всегда меньше тока источника. Параллельная цепь является делителем тока;

3) Каждая ветвь находится под одним и тем же напряжением источника.

3. Смешанное соединение

Это сочетание последовательных и параллельных соединений.

Метод эквивалентных преобразований

Решение любой задачи с одним источником питания с помощью законов Ома, Кирхгофа и умением сворачивания схемы.

3.4 Методы расчета электрических цепей с несколькими источниками питания

3.4.1 Метод с помощью законов Кирхгофа.

Самый точный метод, но с его помощью можно определять параметры схемы с небольшим количеством контуров (1-3).

            Алгоритм:

1. Определить количество узлов q, ветвей p и независимых контуров;

2. Задаться направлениями токов и обходов контуров произвольно;

3. Установить число независимых уравнений по 1-ому закону Кирхгофа (q – 1) и составить их, где q-количество узлов;

4.  Определить число уравнений по 2-ому закону Кирхгофа  (p – q + 1) и составить их;

5. Решая совместно уравнения, определяем недостающие параметры цепи;

6. По полученным данным производится проверка расчетов, подставляя значения в уравнения по 1-ому и 2-ому законам Кирхгофа или составив и рассчитав баланс мощностей.

Пример:

Запишем эти уравнения согласно правилам:

                        для узла «а»                          I₁ – I₂ – I₄ = 0

                        для узла «b»                       I₄ – I₅ – I₃ = 0

                        для контура 1                                   R₁·I₁+R₂·I₂ = E₁ – E₂

                        для контура 2                                   R₄·I₄+R₅·I₅ – R₂·I₂ = E₂

                        для контура 3                                   R₃·I₃ – R₅·I₅  =E₃

Правило: если ЭДС и ток имеют одинаковое направление с направлением обхода  контура, то они берутся с «+», если нет, то с «-».

                        Составим уравнения баланса мощностей:

P_пр= R₁·I₁² + R₂·I₂² + R₃·I₃² + R₄·I₄² + R₅·I₅²

P_ист= E₁·I₁ + E₃·I₃ – E₂·I₂

3.4.2 Метод контурных токов

Используя этот метод, сокращается число уравнений, а именно исключаются уравнения по 1-ому закону Кирхгофа. Вводится понятие контурный ток (таких токов в природе не бывает – это виртуальное понятие), составляются уравнения по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим наш пример рис. 2

Рис.2

Контурные токи обозначены I_м, I_н, I_л, заданы их направления, как показано на рис. 2

Алгоритм решения:

1. Запишем действительные токи через контурные:  по внешним ветвям   I₁ = I_м,

     I₃ = I_л, I₄ = I_н  и по смежным ветвям I₂ = I_м – I_н, I₅ = I_н – I_л

2. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа, так, как  контура три, следовательно будет и три уравнения:

для первого контура      I_м·(R₁ + R₂) – I_н·R₂ = E₁ – E₂, знак «–» перед I_н ставится потому, что этот ток направлен против I_м

для второго контура      – I_м·R₂ + (R₂ + R₄ + R₅) ·I_н – I_л·R₅ = E₂

для третьего контура    – I_н·R₅ + (R₃ + R₅) ·I_л = E₃

3. Решая полученную систему уравнений, находим контурные токи

4. Зная контурные токи, определяем действительные токи схемы (см. пункт 1.)

 3.4.3 Метод узловых потенциалов

Предлагаемый метод самый эффективный из предложенных методов.

            Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщённому закону Ома. Для этого необходимо определить потенциалы узлов схемы.

Если схема содержит n-узлов, то уравнений будет (n-1):

1. Заземлим любой узел схемы φ = 0;
2. Необходимо определить (n-1) потенциалов;
3. Составляются уравнения согласно первому закону Кирхгофа по типу:      

φ₁·G₁₁ + φ₂·G₁₂ +…+ φ_(n-1)·G_1,(n-1) =  I₁₁

φ₁·G₂₁ + φ₂·G₂₂ +…+ φ_(n-1)·G_2,(n-1)  = I₂₂

…………………………………………………

…………………………………………………

φ₁·G_(n-1),1 + φ₂ ·G_(n-1),2 +…+  φ_(n-1)·G_(n-1),(n-1) = I _{(n-1), (n-1)}

где I₁₁… I _{(n-1), (n-1)} узловые токи в ветвях с ЭДС подключенных к данному узлу, G_kk – собственная проводимость (сумма проводимостей ветвей в узле k), G_km – взаимная проводимость (сумма проводимостей ветвей соединяющие узлы   k и m), взятая со знаком «–».

1. Токи в схеме определяются по обобщенному закону Ома.

Пример:

φ_а ( +  + )  –  φ_b  = E₁ + E₂

φ_b (++) – φ_a = – E₃

определив потенциалы φа и φb, найдем токи схемы. Составление формул для расчета токов осуществляется в соответствии с правилами знаков ЭДС и напряжений, при расчете по обобщенному закону Ома (см. лекция 1).

      

        

Правильность расчета токов проверяется с помощью законов Кирхгофа и баланса мощностей.

3.4.4  Метод двух узлов

Метод двух узлов это частный случай метода узловых потенциалов. Применяется в случае, когда схема содержит только два узла (параллельное соединение).

Алгоритм:

1. Задаются положительные направления токов и напряжение между двумя узлами  произвольно;
2. Уравнение для определения межузлового напряжения 

,

где   G – проводимость ветви, J – источники тока;

1. Правило: G·E и J берутся со знаком «+», если Е и J направлены к узлу с большим потенциалом;
2. Токи схемы определяются по обобщенному закону Ома

Пример:

Составление формул для расчета токов осуществляется в соответствии с правилами знаков ЭДС и напряжений, при расчете по обобщенному закону Ома (см. лекция 1).

                                  

3.4.5 Метод активного двухполюсника

Данный метод применяется, когда необходимо рассчитать параметры одной ветви в сложной схеме. Метод основан на теореме об активном двухполюснике:  «Любой активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным двухполюсником с параметрами Е_экв и R_экв или J_экв  и G_экв , режим работы схемы при этом не изменится».

Алгоритм:

1. Разомкнуть ветвь, в которой необходимо определить параметры.

2. Определить напряжение на разомкнутых зажимах ветви, т.е. при режиме холостого хода Е_экв = U_хх любимым методом.

3. Заменить активный двухполюсник, т.е. схему без исследуемой ветви, пассивным (исключить все источники питания, оставив их внутренние сопротивления, не забывая, что у идеальной ЭДС R_вн = 0, а у идеального источника тока   R_вн = ∞). Определить эквивалентное сопротивление полученной схемы R_экв.

4. Найти ток в ветви по формуле I = E_экв/(R+R_экв) для пассивной ветви и

I = E ± E_экв/(R+R_экв) для активной ветви.

3.5 Построение потенциальной диаграммы

Распределение потенциалов в электрической цепи можно представить с помощью потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма представляет собой зависимость φ(R) в виде графика, на котором по вертикальной оси  отложены значения потенциалов последовательного ряда точек выбранного контура,  а по горизонтальной – сумма значений сопротивлений последовательно проходимых участков цепи этого контура. Построение потенциальной диаграммы начинается из произвольно выбранной точки контура, потенциал которой принят за нулевой  φ₁ = 0. Последовательно обходим выбранный контур. Если построение диаграммы начали в точке 1, то и закончиться она должна в этой же точке 1. Скачки потенциала на графике соответствуют включенным в цепь источникам напряжения.

1.1.  Определение показаний приборов

Вольтметр измеряет напряжение (разность потенциалов) между двумя точками в электрической цепи. Для определения показания вольтметра необходимо составить уравнение по второму закону Кирхгофа по контуру, в который входит измеряемое напряжение.

Ваттметр показывает мощность участка электрической цепи, которая определяется по закону Джоуля – Ленца.

4. Пример:

Дано: R₁ = R₅ =10 Ом, R₄ = R₆ = 5 Ом, R₃ = 25 Ом, R₂ = 20 Ом, Е₁ =100 В, Е₂ =80 В, Е₃ =50 В

Определить токи в ветвях разными методами, составить и рассчитать баланс мощностей.

Решение:

1) Метод контурных токов

Так как три контура, то будет три контурных тока I₁₁, I₂₂, I₃₃. Направления этих токов выбираем по часовой стрелке рис 3. Запишем настоящие токи через контурные:

 I₁ = I₁₁ – I₃₃,   I₂ = – I₂₂,   I₃ = – I₃₃,   I₄ = I₁₁,   I₅ = I₁₁– I₂₂

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных уравнений в соответствии с правилами.

Правило: если ЭДС и ток имеют одинаковое направление с направлением обхода  контура, то они берутся с «+», если нет, то с «–».

Решим систему уравнений математическим методом Гаусса или Крамера.

Решив систему, получаем значения контурных токов:

I₁₁ = 2,48 А, I₂₂ = – 1,84 А, I₃₃ = – 0,72 А

Определим настоящие токи: I₁ = 3,2 А, I₂ = 1,84 А, I₃ = 0,72 А, I₄ = 2,48 А, I₅ = 4,32 А

Проверим правильность расчёта токов, подставив их в уравнения по законам Кирхгофа.

Составим уравнения для расчёта баланса мощностей:

Из расчёта видно, что баланс мощностей сошёлся. Погрешность меньше 1%.

2) Метод узловых потенциалов

            Решаем туже задачу методом узловых потенциалов

Составим уравнения:

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщённому закону Ома. Для этого необходимо определить потенциалы узлов схемы. Заземлим любой узел схемы φ_с = 0.

Решая систему уравнений, определяем потенциалы узлов φ_a и φ_b

φ_a= 68 B       φ_b = 43,2 B

По обобщенному закону Ома определяем токи в ветвях. Правило: ЭДС и напряжение берутся со знаком «+», если их направления совпадают с направлением тока, и со знаком «–», если нет.

3)Построение потенциальной диаграммы внешнего контура

Определим значение потенциалов узлов и точек схемы.

Правило: обходим контур против часовой стрелки, если ЭДС совпадает с обходом тока, то ЭДС бреется с «+» (φ_е). Если ток по обходу, то падение напряжения на резисторе, т.е «-» (φ_b).

Потенциальная диаграмма:

1. Список рекомендуемой литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. В 2-х томах. М.: Высшая школа, 1978.
2. Электротехника и электроника. Учебник для вузов. / Под редакцией В.Г.Герасимова. – М.: Энергоатомиздат, 1997.
3. Сборник задач по электротехнике и основам электроники. / Под редакцией В.Г. Герасимова. Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 1987.
4. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника. Учебник для вузов – М.: Энергоатомиздат, 1985. 
5. Липатов Д.Н. Вопросы и задачи по электротехнике  для  программированного обучения. Учебное пособие для студентов вузов. – М.:  Энергоатомиздат, 1984.
6. Волынский Б.А., Зейн Е.Н., Шатерников В.Е. Электротехника, -М.: Энергоатомиздат, 1987.

1. Контрольные вопросы

1. Свойства последовательной цепи
2. Свойства параллельной цепи
3. Правила составления баланса мощностей
4. Правила составления уравнений по первому закону Кирхгофа
5. Как определяется мощность источника питания?
6. Независимый контур. Напишите уравнение по 2-ому закону Кирхгофа любого контура Вашей схемы.
7. Правила составления уравнений по 2-ому закону Кирхгофа
8. Как определяется мощность приемника?
9. Как определить количество уравнений по 1-ому закону Кирхгофа?
10. Алгоритм метода эквивалентного генератора
11. Как включается вольтметр в цепь?
12. Как включается амперметр в цепь?
13. Как определить количество уравнений по 2-ому закону Кирхгофа?
14. С помощью какого закона определяем ток в ветви, в методе эквивалентного генератора?
15. В чём смысл метода эквивалентных преобразований?

Приложение 1

Схема 1 и данные для группы СМ3 – 41

Схема 1 и данные для группы СМ3 – 42

Приложение 2.

Для группы СМ3 – 41

Для группы СМ3 – 42

Выполнение домашнего задания № 1 вторая часть

по курсу «Электротехника и электроника»

тема «Расчёт линейных цепей синусоидального тока»

Методические указания

Цель работы: освоение анализа электрических цепей однофазного синусоидального тока с использованием символического метода.

1. Задание

1) Изучить теоретическое введение и методические указания по выполнению домашнего задания.

2) Начертить схему с элементами согласно варианту.

3) Определить количество узлов, ветвей и независимых контуров.

4) Определить количество уравнений по первому и второму законов Кирхгофа.

5) Составить уравнения по первому и второму законов Кирхгофа.

6) Рассчитать эквивалентное сопротивление схемы и определить характер цепи.

7) Определить токи в ветвях методом эквивалентных преобразований.

Записать токи в алгебраической, показательной и во временной форме.

8) Составить и рассчитать баланс мощностей. Определить коэффициент мощности цепи.

9) Рассчитать напряжения на элементах и построить векторную диаграмму токов и напряжений всей цепи.

10) Определить показания приборов.

11) Начертить схему замещения исходя из характера цепи. Ввести в схему замещения дополнительный элемент, обеспечивающий в цепи   резонанс напряжений. Рассчитать напряжения и ток, построить векторную диаграмму.

12) Ввести в схему замещения дополнительный элемент, обеспечивающий в цепи   резонанс токов. Рассчитать напряжение и токи, построить векторную диаграмму.

13) Собрать исходную схему в среде MULTISIM. Поставить приборы и  измерить токи, напряжение и мощность.

1. Указания по оформлению расчетно-графической работы

9) Выписать параметры сопротивлений ветвей схемы в соответствии с номером варианта (таблица приложение1). Номер варианта соответствует номеру в учебном журнале.

10) Домашнее задание выполняется на листах формата А4 с одной стороны листа, желательно использовать компьютерные программы.

11) Выполнить чертеж  схемы и её элементов в соответствии с ГОСТом. Схема представлена в приложении 2.

12) Образец оформления титульного листа представлен в приложении 2.

13) Каждый пункт задания должен иметь заголовок. Формулы, расчёты, диаграммы должны сопровождаться необходимыми пояснениями и выводами. Полученные значения сопротивлений, токов, напряжений и мощностей должны заканчиваться единицами измерения в соответствии с системой СИ.

14) Графики (векторные диаграммы) должны выполняться на миллиметровой бумаге  с обязательной градуировкой по осям и указанием масштабов по току и напряжению.

15) При работе с программой MULTISIM необходимо в рабочем поле собрать схему, подключить в ветви амперметры. Перевести картинку с результатами в Word. Амперметры убрать из ветвей. Подключить вольтметр и ваттметр и измерить напряжение и мощность. Перевести картинку с результатами в Word. Результаты включить в отчет.

16) Если студент сделал ошибки при выполнении домашнего задания, то исправление проводится на отдельных листах с заголовком «Работа над ошибками».

17) Срок выполнения домашнего задания 10 неделя семестра.

1. Теоретическое введение

3.1       Временная форма представления электрических величин, при синусоидальных воздействиях

Аналитическое выражение мгновенных значений тока, ЭДС и напряжения определяется тригонометрической функцией:

                                   i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i)

                                   u(t) = U_m sin(ωt + ψ_u)

                                   e(t) = E_m sin(ωt + ψ_e),

где I_m, U_m, E_m– амплитудные значения тока, напряжения и ЭДС.

(ωt + ψ) – аргумент синуса, который определяют фазовый угол синусоидальной функции в данный момент времени t.

             ψ – начальная фаза синусоиды, при t = 0.

i(t), u(t) временные формы тока и напряжения.

По ГОСТу ƒ = 50 Гц, следовательно, ω = 2πƒ = 314  рад/сек.

Временную функцию можно представить в виде временной диаграммы, которая полностью описывает гармоническую функцию, т.е. дает представление о начальной фазе, амплитуде и периоде (частоте).

3.2 Основные параметры электрических величин

При рассмотрении нескольких функций электрических величин одной частоты интересуются фазовыми соотношениями, называемой углом сдвига фаз.

Угол сдвига фаз φ двух функций определяют как разность их начальных фаз. Если начальные фазы одинаковые, то φ = 0 , тогда функции совпадают по фазе, если φ = ± π, то функции противоположны по фазе.

Особый интерес представляет угол сдвига фаз между напряжением и током: φ = ψ_u – ψ_i

На практике используют не мгновенные значения электрических величин, а действующие значения. Действующим значением называют среднеквадратичное значение переменной электрической величины за период.

Для синусоидальных величин действующие значения меньше амплитудных в √2  раз, т.е.

                           

Электроизмерительные приборы градуируются в действующих значениях.

3.3 Применение комплексных чисел

Расчет электрических цепей с использованием тригонометрических функций весьма сложен и громоздок, поэтому при расчете электрических цепей синусоидального тока используют математический аппарат комплексных чисел. Комплексные действующие значения записываются в виде: 

                          

Синусоидальные электрические величины, представленные в комплексной форме, можно изображать графически. На комплексной плоскости в системе координат с осями +1 и +j, которыми обозначены положительные действительная и мнимая полуоси, строятся комплексные векторы. Длина каждого вектора пропорциональна модулю действующих значений. Угловое положение вектора определяется аргументом комплексного числа. При этом отсчет положительного угла ведется против часовой стрелки от положительной действительной полуоси.

Пример: построение вектора напряжения на комплексной плоскости рисунок 1.

Напряжение в алгебраической форме записывается:

Длина вектора напряжения:

Комплексное сопротивление выражается через комплексные действующие значения напряжения и тока в соответствии с законом Ома:

3.4 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме:

 

Комплексное сопротивление выражается через комплексные действующие значения напряжения и тока в соответствии с законом Ома:

• Анализ цепей синусоидального тока происходит при условии, что все элементы цепи R, L, C идеальны (таблица 1).

• Электрическое состояние цепей синусоидального тока описывается теми же законами и рассчитываются теми же методами, что и в цепях постоянного тока.

Первый закон Кирхгофа в комплексном виде: 

Второй закон Кирхгофа в комплексном виде:

Сводная таблица идеальных элементов и их свойств.

                                                                                                          Таблица 1

3.5 Баланс мощностей  в цепях синусоидального тока

Для приемников вычисляем раздельно активную мощность

                            

и реактивную мощность

                                   .

При выполнении реальных расчетов мощности источников и приемников могут несколько отличаться. Эти погрешности обусловлены погрешностями метода, округления результатов расчётов.

Точность выполненного расчета схемы оценивают с помощью относительной погрешности при вычислении баланса активных мощностей

                                    δ_Р% =  

и реактивных мощностей

                                  δ_Q% =   

    При выполнении расчетов погрешности не должны превышать  2%.

3.6 Определение коэффициента мощности

Электрооборудование энергетически выгодно эксплуатировать, если он совершает максимальную работу. Работа в электрической цепи определяется активной мощностью Р.

Коэффициент мощности показывает, насколько эффективно используется генератор или электрооборудование.

λ = P/S = cosφ ≤ 1

Мощность максимальна в случае, когда Р = S, т.е. в случае резистивной цепи.

3.7 Резонансы в цепях синусоидального тока

3.7.1 Резонанс напряжений

Режим работы RLC цепи рисунок 2 или LC–цепи, при условии равенства реактивных сопротивлений X_C  = X_L, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током , называется резонансом напряжения.

                      

X_C = X_L – условие резонанса

Признаки резонанса напряжения:

1. Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U    φ = 0, cos φ = 1

2. Ток в цепи будет наибольшим и как следствие P_max = I²_maxR мощность тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю.

3. Резонансная частота

4.  

Резонанс можно достигнуть, изменяя L, C или ω.

Векторные диаграммы при резонансе напряжений

LC цепь                                                                    RLC цепь

                   

3.7.2.  Резонанс токов

Режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивными и емкостными элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением (φ=0), называют резонансом токов.

Условие резонанса токов: разность реактивных проводимостей параллельных ветвей равна 0

В₁ – реактивная проводимость первой ветви,

В₂ – реактивная проводимость второй ветви

Признаки резонанса токов:

1. Реактивные составляющие токов ветвей равны I_PC  =  I_PL и находятся в противофазе в случае, когда напряжение на входе чисто активное;
2. Токи ветвей превышают общий ток цепи, который имеет минимальное значение;
3. и совпадают по фазе

RLC – цепь                                                                                      Векторная диаграмма

LC – цепь                                                                             Векторная диаграмма

                             

1. Методические указания

4.1  Начертить схему с элементами согласно варианту.

Схема рисунок 1 преобразуем согласно варианту ( Z₁ – RC, Z₂ – R, Z₃ – RL).

Рисунок 1 Исходная схема

4.2  Рассмотрим схему рисунок 2, и запишем уравнения по законам Кирхгофа.

Схема содержит два узла, два независимых контура и три ветви.

            Рисунок 2  Схема с элементами

Запишем первый закон Кирхгофа для узла а:

Запишем второй закон Кирхгофа для первого контура:

Запишем второй закон Кирхгофа для второго контура:

4.3  Определим эквивалентное сопротивление цепи.

Свернём схему рис 2.

                                    

По эквивалентному сопротивлению определяется характер цепи и чертится схема замещения.

Рисунок 3 свернутая схема

4.4 Определяем токи в ветвях схемы рисунок 2, методом эквивалентных преобразований: зная эквивалентное сопротивление, определяем ток первой ветви .

Рассчитываем ток в комплексной форме по закону Ома в соответствии со схемой рисунок 3:                

Чтобы определить токи в остальных ветвях, нужно найти напряжение между узлами  «ab» рисунок 2:           

Определяем токи:

4.5  Запишем уравнения баланса мощностей:

где I₁, I₂, I₃ – действующие значения токов.

Определение коэффициента мощности

Расчёт коэффициента мощности проводят, определив активную и полную мощности:     P/S = cosφ . Используем рассчитанные мощности, которые найдены при расчёте баланса.

 модуль полной мощности .

4.6  Рассчитаем напряжения на элементах, используя схему рисунок 2:

              

4.7 Построение векторной  диаграммы

Построение  векторной диаграммы ведется после полного расчета всей цепи, определения всех токов и напряжений. Построение начинаем с задания осей комплексной плоскости  [+1; +j]. Выбираются удобные для построения масштабы для токов и напряжений. Сначала строим  на комплексной плоскости вектора токов (рисунок 4), в соответствии с первым законом Кирхгофа для схемы 2. Сложения векторов осуществляется по правилу параллелограмма.

Рисунок 4 векторная диаграмма токов

Затем строим  на комплексной плоскости вектора рассчитанных напряжений проверка по таблице 1 рисунок 5.

Рисунок 5 Векторная диаграмма напряжений и токов

4.8 Определение показаний приборов

Амперметр измеряет ток, проходящий через его обмотку. Он  показывает действующее значение тока в ветви, в которую он включен. В схеме  (рис.1) амперметр показывает действующее значение (модуль) тока  . Вольтметр показывает действующее значение напряжения между двумя точками электрической цепи, к которым он подключен. В рассматриваемом примере (рис.1) вольтметр подключен к точкам  а  и  b.

Вычисляем напряжение    в комплексной форме:

Ваттметр измеряет активную мощность, которая расходуется на участке цепи, заключенном между точками, к которым подключена обмотка напряжения ваттметра, в нашем примере (рис.1) между точками   а  и  b.

Активную мощность, измеряемую ваттметром, можно вычислить по формуле

                   ,

где   – угол между векторами    и  .

В этом выражении    действующее значение напряжения, на которое подключена обмотка напряжения ваттметра, и    действующее значение тока, проходящего через токовую обмотку ваттметра.

Или рассчитываем полную комплексную мощность

 ваттметр покажет активную мощность Р.

4.9 Расчёт резонансных цепей

4.9.1 Добавить в схему замещения элемент для получения резонанса напряжений. Например, схема замещения представляет RL цепь. Тогда необходимо добавить последовательно включённый конденсатор С – элемент. Получается  последовательная RLC цепь.

Рассчитать ток и все напряжения цепи в комплексной форме, при выполнении условия резонанса,  построить векторную диаграмму, см.теоретическое введение пункт 3.7.1

4.9.2 Добавить в схему замещения элемент для получения резонанса токов. Например, схема замещения представляет RL цепь. Тогда необходимо добавить параллельно включённый конденсатор С – элемент.

 

Рассчитать проводимости ветвей, токи и напряжения, при выполнении условия резонанса. Построить векторную диаграмму, см.теоретическое введение пункт 3.7.2

5. Собрать схему в среде MULTISIM. Поставить приборы и  измерить токи, напряжение и мощность.

Сборка схемы в среде Multisim 10.1. На рисунке 6  рабочее окно в среде Multisim. Панель приборов располагается справа.  

Рисунок 6 рабочее окно в среде Multisim

Разместить на рабочем поле необходимые для схемы элементы. Для этого на верхней панели инструментов слева нажмём кнопку «Place Basic » (см. Рисунок 7 ). Выбор резистор: появится окно «Select a Component », где из списка «Family » выбрать «Resistor ». Под строкой «Component » появятся  номинальные значения сопротивлений, выбираем нужное нажатием левой кнопки мыши или же непосредственным введением в графу «Component » необходимого значения. В Multisim используются стандартные приставки системы СИ (см. Таблицу 1)

Таблица 1         

Рисунок 7

В поле «Symbol » выбираем элемент. После выбора, нажимаем кнопку «OK » и размещаем элемент на поле схемы нажатием левой кнопки мыши. Далее можно продолжать размещение необходимых элементов или нажать кнопку «Close », чтобы закрыть окно «Select a Component ». Все элементы можно поворачивать для более удобного и наглядного расположения на рабочем поле. Для этого необходимо навести курсор на элемент и нажать левую кнопку мыши. Появится меню, в котором надо выбрать опцию «90 Clockwise » для поворота на 90° по часовой стрелке или «90 CounterCW »  для поворота на 90° против часовой стрелки. Размещённые на поле элементы необходимо соединить проводами. Для этого наводим курсор на клемму одного из элементов, нажимаем левую кнопку мыши. Появляется провод, обозначенный пунктиром, подводим его к клемме второго элемента и снова нажимаем левую кнопку мыши. Проводу так же можно придавать промежуточные изгибы, обозначая их кликом мыши (см. Рисунок 8). Схему необходимо заземлить.

Подключаем к цепи приборы. Для того, чтобы подсоединить вольтметр, на панели инструментов выбираем «Place Indicator », в списке Family » открывшегося окна выбираем тип элемента «Voltmetr_V », приборы перевести в режим измерения переменного тока (АС).

Измерение токов

Соединив все размещённые элементы,  получаем разработанную схему рисунок .

На панели инструментов выбираем «Place Source ». В списке «Family » открывшегося окна выбираем тип элемента «Power Souces », в списке «Component » – элемент «DGND ».

Измерение напряжения

Измерение мощности

6.  Контрольные вопросы

1. Сформулируйте законы Кирхгофа и объясните правила составления системы уравнений по законам Кирхгофа.

2. Метод эквивалентных преобразований. Объясните последовательность расчета.

3. Уравнение баланса мощностей для цепи синусоидального тока. Объясните правила составления уравнения баланса мощностей.

4. Объясните порядок расчета и построения векторной диаграммы для Вашей схемы.

5. Резонанс напряжений: определение, условие, признаки, векторная диаграмма.

6. Резонанс токов: определение, условие, признаки, векторная диаграмма.

7. Объясните, как рассчитать показания приборов (амперметра, вольтметра, ваттметра).

8. Сформулируйте понятия мгновенного, амплитудного, среднего и действующего значений синусоидального тока.

9. Напишите выражение для мгновенного значения тока в цепи, состоящей  из соединенных последовательно элементов R и L, если к зажимам цепи приложено напряжение   .

10. От каких величин зависит значение угла сдвига фаз между напряжением и током на входе цепи с последовательным соединением  R , L , C ?

11.  Как определить по экспериментальным данным при последовательном соединении сопротивлений  R , X_L  и  X_C  значения величин   Z , R , X , Z_К , R_К , L , X_C , C ,cosφ , cosφ_К?

12.  В последовательной  RLC  цепи  установлен режим резонанса напряжений. Сохранится ли резонанс, если:

а) параллельно конденсатору подключить активное сопротивление;

б) параллельно катушке индуктивности подключить активное сопротивление;

в)  последовательно включить активное сопротивление?

13.  Как должен изменяться ток  I  в неразветвленной части цепи при параллельном соединении потребителя и батареи конденсаторов в случае увеличения емкости от С = 0  до  С = ∞ , если потребитель представляет собой:

а)  активную,

б) емкостную,

в) активно-индуктивную,

г) активно-емкостную нагрузку?

  6.  Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники- М.: Высшая школа, 2012г.

2. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Учебник для ВУЗов – М.,Физматлит, 2007г.

3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. Учебник для вузов- М.: В. ш, 2000г.

4. Электротехника и электроника. Учебник для вузов, книга 1. / Под редакцией

В.Г.Герасимова. – М.: Энергоатомиздат, 1996г.

4. Волынский Б.А., Зейн Е.Н., Шатерников В.Е. Электротехника, -М.: 

      Энергоатомиздат, 1987г.

Приложение 1

Схема  группа 1

Схема  группа 2                             

Приложение 2

Соседние файлы в папке ОТЦ

• #
• #
• #

Для расчета электрической цепи применяют два закона Кирхгофа. (Скорее их можно отнести не к законам, а к правилам. Но в большинстве учебников пишут именно о “законах” Кирхгофа. Поэтому и здесь будем обращаться к законам).

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяют к узлам электрической цепи и выражают баланс токов в них. Первый закон Кирхгофа гласит:

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле электрической цепи равна 0.

Под словом “алгебраическая” имеется в виду, что учитывается знак перед током: “плюс” или “минус”.

В общем виде первый закон Кирхгофа можно записать как:

Для примера возьмем узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (далее рассмотрим это все на конкретных схемах).

Токи, втекающие и вытекающие из узла, берутся с противоположными знаками. Втекающие в узел токи берутся со знаком, например, “+”, а вытекающие с “-“ (можно вытекающие брать с “+”, а втекающие с “-“). Главное, чтобы втекающие и вытекающие токи отличались по знаку.

Будем считать токи положительными, если они втекают в узел, а вытекающие из узла – отрицательными. Тогда первый закон Кирхгофа для узла, представленного на рисунке 2, запишется:

I1-I2+I3+I4=0

Это выражение можно записать и в следующем виде:

I2=I1+I3+I4;

Ток I2 мы перенесли за знак равенства, его знак поменялся на противоположный (был с “минусом”, стал с “плюсом”).

Остальные токи мы не переносим, поэтому их знаки не меняются.

Согласно последнему выражению, первый закон Кирхгофа можно сформулировать по-другому:

Сумма токов, втекающих (подходящих) в узел, равна сумме токов, вытекающих (отходящих) из узла.

Все это говорит о том, что в узле эти токи не остаются и заряд в узле не накапливается.

Для более полного понимания, представим электрическую цепь (схему электрической цепи), для которой запишем первый закон Кирхгофа.

Запишем для этой цепи первый закон Кирхгофа для узла “a” (о том, как определить количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, рассмотрим в конце ).

I1+I2-I3=0 или I3=I1+I2.

Второй закон Кирхгофа

Этот закон применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них. Второй закон Кирхгофа звучит так:

Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре (с учетом направления обхода контура) равна алгебраической (учитывается знак “+” или “-“) сумме падений напряжений на всех сопротивлениях (элементах) этого контура.

Для того, чтобы правильно составить уравнения по второму закону Кирхгофа, нужно пользоваться следующим правилом:

ЭДС берется со знаком “+”, если ее действие совпадает с направлением обхода контура. Напряжение на элементе контура берется со знаком “+”, если направление тока через данный элемент совпадает с направлением обхода контура. Если не совпадает направление обхода контура с направлением тока через элемент, то напряжение этого элемента берется со знаком “-“.

Запишем второй закон Кирхгофа для цепи, представленной ниже:

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. В данном случае направление тока и направление обхода контура совпадают, поэтому I·R1 и I·R2 взяли со знаком “+”. А также совпадает направление обхода контура и действие ЭДС, поэтому ЭДС также записали со знаком “+”.

Возьмем еще один пример.

Запишем для этой цепи второй закон Кирхгофа. Обход выбираем по часовой стрелке (указали обход контура на схеме круговой стрелкой внутри контура). Как видим, направление обхода контура и направление тока I1 совпадают, а ток I2 направлен напротив обхода контура.

Следовательно, падение напряжения на резисторе R1 запишется со знаком “+”, т. е. +I1·R1. А падение напряжения на R2 запишется со знаком “-“, т. е. –I2·R2.

Направление действия ЭДС совпадает с обходом контура, поэтому ЭДС E берем со знаком “+”.

Запишем второй закон Кирхгофа для этой цепи:

I1·R1-I2·R2=E

Ну и напоследок рассмотрим сложную электрическую цепь, состоящую из нескольких источников и резисторов.

Введем произвольно направление токов в ветвях, а также укажем на схеме в виде круговых стрелок направление обхода контуров.

Токи в ветвях направили произвольно, обход контура выбрали по часовой стрелке, а также узлы в этой схеме обозначили буквами a и b. Для того, чтобы понять, как и сколько уравнений по первому и второму законам Кирхгофа нужно составить для данной цепи, необходимо посчитать количество ветвей, узлов и независимых контуров.

Подробно вышесказанные понятия электрической цепи мы рассмотрим в следующих статьях. А пока вкратце.

Узел – это место соединения трех и более ветвей в электрической цепи (в данном случае таких узлов два. Это узлы “a” и “b”.

Ветвь – это участок электрической цепи, который образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами и через все эти элементы протекает один и тот же ток.

Контур – это любой замкнутый путь электрической цепи, проходящий по двум или нескольким ветвям.

Так же есть такое понятие как независимый контур.

Независимый контур должен включать в себя хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

На рисунке 9 будет три контура, два из которых независимые. Если контур 1 независимый, контур 2 независимый(таким образом все три ветви этой схемы цепи вошли в эти независимые контуры). Тогда контур 3 уже независимым не будет, поскольку все ветви “заняты” остальными двумя контурами.

Или если контур 1 независимый (он включает в себя ветви с элементами E и R1). Контур 3 независимый (он включает в себя ветви с элементом E и ветвь с элементом R3. Элемент R3 ранее не входил в первый независимый контур), поэтому контур 3 считается независимым.

Получается, что все ветви “заняты”. Тогда контур 2 независимым уже не будет, поскольку в него не входят ветви или ветвь ранее не входящую в другие контура. Все ветви вошли в ранее независимые контуры 1 и 3.

В цепи на рисунке 9, в общем случае, три ветви, два узла и два независимых контура. Общее количество уравнений по законам(правилам) Кирхгофа составляется столько, сколько ветвей в схеме цепи за вычетом количества ветвей, где есть источник тока (именно источник тока, а не ЭДС). В нашей схеме нет источников тока, следовательно, составляются три уравнения по законам Кирхгофа. Теперь осталось определить, сколько уравнений нужно составить по первому и второму законам Кирхгофа. Общее количество уравнений будет три. Формула для определения количества уравнений по первому закону Кирхгофа следующая:

N1з.к.=Ny-1, где Ny – количество узлов.

Ny=2, тогда

N1.з.к.=Ny-1=2-1=1

Т. е. по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение для данной цепи, а общее количество уравнений – три. Таким образом, мы получаем, что по второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Или для определения количества уравнений по второму закону Кирхгофа есть формула:

N2.з.к.=Nв-(Ny-1), где Nв – количество ветвей

Nв=3, тогда:

N2.з.к.=3-(2-1)=2

По второму закону Кирхгофа составляется два уравнения. Составим систему, состоящую из трех уравнений. Одно уравнение по первому закону Кирхгофа (это уравнение составляется для любого узла a или b) и двух уравнений по второму закону Кирхгофа для двух любых независимых контуров, например, составим для контуров 1 и 2.

Неизвестными в данной системе являются токи I1, I2 и I3. Решая данную систему, находят эти неизвестные.

О том, как решаются задачи с более сложными цепями, мы поговорим в следующих статьях.

Если понравилась статья, подписывайтесь на канал и не пропускайте новые публикации.

Читайте также:

1. Как электроэнергия передается от электростанций до наших домов;

2. Что такое электрический ток – простыми словами;