Как найти число в квадрате в скобках

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса “Алгебра” за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.

Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.

Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.

Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. – соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы – это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодиться – формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы – соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Где можно применять ФСУ на примерах

Цель использования формул сокращенного умнож-я – быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.

Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное – уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.

Еще один важный момент – выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов[править | править код]

• – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

• – куб суммы (разности) двух чисел
• – сумма (разность) кубов
• – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

• 
• (выводится из )
• 

Формулы для n-й степени[править | править код]

• 
• , где
• 
• , где

В комплексных числах[править | править код]

• 
• 
• 
• 

Для произвольной чётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

• , где
• , где

См. также[править | править код]

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: ((x+5)^2)
Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.

Решение:

((1+5x)^2-12x-1= )		Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…
(=1+10x+25x^2-12x-1=)		…и приведем подобные слагаемые.
(=25x^2-2x)		Готово.

Ответ: (25x^2-2x).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.

Решение:

((368)^2+2·368·132+(132)^2=)		Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)
(=(368+132)^2=)		Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
(=(500)^2=250 000.)		Готово.

Ответ: (250 000).

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):

В более краткой записи имеем:

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).

Решение:

((2a-3)^2-4(a^2-a)=)		Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.
(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=)		Теперь приведем подобные слагаемые.
(=-8a+9=)		Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
(=-8·frac{17}{8}+9=-17+9=8)		Пишем ответ.

Ответ: (8).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).

Решение:

(frac{x^2-9}{x-3})(=)		Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой.
(=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x+3)(x-3)}{x-3})(=)		Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
(=x+3)		Готов ответ.

Ответ: (x+3).

Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6).
Решение:

(25x^4-m^{10} t^6)		Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n).
(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=)		Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3).
(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 ))		Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}) .
Решение:

(frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3})(=)		На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
(frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3})(=)		Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: (4xy) запишем как (2·x·2y), а (4y^2) как ((2y)^2).
(frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3})(=)		Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате.
(frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3})(=)		Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
(frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3})(=)		И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
(x-2y-3)		Готов ответ.

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

( displaystyle {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}})

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно, потому что эти формулы позволяют сократить время на умножение. Вот смотри…

Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы ( {{left( a+b right)}^{2}}) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить ( left( a+b right)) само на себя:

Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.

Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?

Куб суммы означает, что необходимо ( left( a+b right)) само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Соберем формулу из вида ( {{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}}) в вид ( {{left( apm b right)}^{2}})

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

( {{left( apm b right)}^{2}}={{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}})

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида ( {{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}}) в вид ( {{left( apm b right)}^{2}}). Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

( 16+24b+9{{b}^{2}}).

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа ( +) квадрат другого числа и ( pm ) удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это ( 9{{b}^{2}}). Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку ( {{left( apm b right)}^{2}}) , — это квадратный корень из ( 9{{b}^{2}}), то есть

( {{left( 3b right)}^{2}}=9{{b}^{2}})

Так как во втором слагаемом есть ( b), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

( 24b=2cdot 3bcdot x), где ( displaystyle x) – второе число, входящее в нашу скобку.

( x=frac{24b}{6b}=4). Второе число, входящее в скобку, равно ( displaystyle 4).

Проверим. ( displaystyle 16) должно быть равно ( {{4}^{2}}). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: ( 4) и ( 3b). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

( 16+24b+9{{b}^{2}}={{left( 4+3b right)}^{2}})

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между ( a) и ( b)).

( 16+24b+9{{b}^{2}}={{left( 4+3b right)}^{2}}={{left( 3b+4 right)}^{2}})

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле.

Посмотри на это выражение: ( 12b+9+4{{b}^{2}}). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

( 12b+9+4{{b}^{2}}=2cdot 3cdot 2b+{{3}^{2}}+{{left( 2b right)}^{2}}={{left( 2b+3 right)}^{2}})

Доказательство формул сокращенного умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---