Как найти число вершин многогранника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

В математике существует ряд задач, в которых требуется найти вершину. Например, вершину многогранника, вершину или несколько вершин области системы неравенств, вершину параболы или квадратного уравнения. Эта статья расскажет вам, как найти вершину в разных задачах.

1
Теорема Эйлера. Теорема утверждает, что в любом многограннике число его вершин плюс число его граней минус число его ребер всегда равно двум.^[1]
- Формула, описывающая теорему Эйлера: F + V – E = 2
  - F – число граней.
  - V – число вершин.
  - E – число ребер.
2
Перепишите формулу, чтобы найти число вершин. Если вам дано число граней и число ребер многогранника, вы можете быстро найти число его вершин с помощью формулы Эйлера.
- V = 2 – F + E
3
Подставьте данные вам значения в эту формулу. В результате вы получите число вершин многогранника.
- Пример: найдите число вершин многогранника, у которого 6 граней и 12 ребер.
  - V = 2 – F + E
  - V = 2 – 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8
Реклама

1
Постройте график решения (области) системы линейных неравенств. В определенных случаях на графике можно увидеть некоторые или все вершины области системы линейных неравенств. В противном случае вам придется найти вершину алгебраически.
- При использовании графического калькулятора вы можете посмотреть весь график и найти координаты вершин.
2
Преобразуйте неравенства в уравнения. Для того, чтобы решить систему неравенств (то есть найти «х» и «у»), вам необходимо вместо знаков неравенства поставить знак «равно».
- Пример: дана система неравенств:
  - у < х
  - у> – х + 4
- Преобразуйте неравенства в уравнения:
  - у = х
  - у = – х + 4
3
Теперь выразите любую переменную в одном уравнении и подставьте ее в другое уравнение. В нашем примере подставьте значение «у» из первого уравнения во второе уравнение.
- Пример:
  - у = х
  - у = – х + 4
- Подставляем у = х в у = – х + 4:
  - х = – х + 4
4
Найдите одну из переменных. Сейчас у вас есть уравнение только с одной переменной «х», которую легко найти.
- Пример: х = – х + 4
  - х + х = 4
  - 2x = 4
  - 2x/2 = 4/2
  - х = 2
5
Найдите другую переменную. Подставьте найденное значение «х» в любое из уравнений и найдите значение «у».
- Пример: у = х
  - у = 2
6
Найдите вершину. Вершина имеет координаты, равные найденным значениям «х» и «у».
- Пример: вершина области данной системы неравенств есть точка О(2,2).
Реклама

1
Разложите уравнение на множители. Есть несколько способов разложения квадратного уравнения на множители. В результате разложения вы получаете два двучлена, которые при перемножении приведут к исходному уравнению.
- Пример: дано квадратное уравнение
  - 3×2 – 6x – 45
  - Сначала вынесите за скобку общий множитель: 3(x2 – 2x – 15)
  - Перемножьте коэффициенты «а» и «с»: 1 * (-15) = -15.
  - Найдите два числа, результат умножения которых равен -15, а их сумма равна коэффициенту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15; 3 – 5 = -2.
  - Подставьте найденные значения в уравнение ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x – 5x – 15).
  - Разложите исходное уравнение: f(x) = 3 * (x + 3) * (x – 5)
2
Найдите точку (точки), в которой график функции (в данном случае парабола) пересекает ось абсцисс.^[3] График пересекает ось Х при f(x) = 0.
- Пример: 3 * (x + 3) * (x – 5) = 0
  - х +3 = 0
  - х – 5 = 0
  - х = -3; х = 5
  - Таким образом, корни уравнения (или точки пересечения с осью Х): А(-3, 0 ) и В(5, 0)
3
Найдите ось симметрии. Ось симметрии функции проходит через точку, лежащую посередине между двумя корнями. При этом вершина лежит на оси симметрии.
- Пример: х = 1; это значение лежит посередине между -3 и +5.
4
Подставьте значение «х» в исходное уравнение и найдите значение «у». Эти значения «х» и «у» – координаты вершины параболы.
- Пример: у = 3×2 – 6x – 45 = 3(1)2 – 6(1) – 45 = -48
5
Запишите ответ.
- Пример: вершина данного квадратного уравнения есть точка О(1,-48)
Реклама

1
Перепишите исходное уравнение в виде^[4]: y = a(x – h)^2 + k, при этом вершина лежит в точке с координатами (h,k). Для этого нужно дополнить исходное квадратное уравнение до полного квадрата.
- Пример: дана квадратичная функция у = – х^2 – 8x – 15.
2
Рассмотрите первые два члена. Вынесите за скобку коэффициент первого члена (при этом свободный член игнорируется).
- Пример: -1(х^2 + 8x) – 15.
3
Разложите свободный член (-15) на два числа так, чтобы одно из них дополнило выражение в скобках до полного квадрата. Одно из чисел должно быть равно квадрату половины коэффициента второго члена (из выражения в скобках).
- Пример: 8/2 = 4; 4*4 = 16; поэтому
  - -1(х^2 + 8x + 16)
  - -15 = -16 + 1
  - у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1
4
Упростите уравнение. Так как выражение в скобках есть полный квадрат, можно переписать это уравнение в следующем виде (если необходимо, проведите операции сложения или вычитания за скобками):
- Пример: у = -1(х + 4)^2 + 1
5
Найдите координаты вершины. Напомним, что координаты вершины функции вида y = a(x – h)^2 + k равны (h,k).
- k = 1
- h = -4
- Таким образом, вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
Реклама

1
Найдите координату «х» по формуле: x = -b/2a (для функции вида y = ax^2 + bx + c). Подставьте значения «a» и «b» в формулу и найдите координату «х».
- Пример: дана квадратичная функция у = – х^2 – 8x – 15.
- х = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- х = -4
2
Подставьте найденное значение «х» в исходное уравнение. Таким образом вы найдете «у». Эти значения «х» и «у» – координаты вершины параболы.
- Пример: у = – х^2 – 8x – 15 = -(-4 )^2 – 8(-4) – 15 = -(16) -(-32) – 15 = -16 + 32 – 15 = 1
  - у = 1
3
Запишите ответ.
- Пример: вершина исходной функции есть точка О(-4,1).
Реклама

Что вам понадобится

Калькулятор
Карандаш
Бумага

Об этой статье

Эту страницу просматривали 11 659 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

There are multiple mathematical functions that use vertices. Polyhedrons have vertices, systems of inequalities can have one vertex or multiple vertices, and parabolas or quadratic equations can have a vertex, as well. Finding the vertex^[1] varies depending on the situation, but here’s what you need to know about finding vertices for each scenario.

1
Learn Euler’s Formula. Euler’s Formula, as it is used in reference to geometry and graphs, states that for any polyhedron that does not intersect itself, the number of faces plus the number of vertices, minus the number of edges, will always equal two.^[2]
- Written out as an equation, the formula looks like: F + V – E = 2
  - F refers to the number of faces
  - V refers to the number of vertices, or corner points
  - E refers to the number of edges
2
Rearrange the formula to find the number of vertices. If you know how many faces and edges the polyhedron has, you can quickly count the number of vertices by using Euler’s Formula. Subtract F from both sides of the equation and add E to both sides, isolating V on one side.^[3]
- V = 2 – F + E
Advertisement
3
Plug the numbers in and solve. All you need to do at this point is to plug the number of sides and edges into the equation before adding and subtracting like normal. The answer you get should tell you the number of vertices and complete the problem.^[4]
- Example: For a polyhedron that has 6 faces and 12 edges…
  - V = 2 – F + E
  - V = 2 – 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8

1
Graph the solutions of the system of linear inequalities. In some instances, graphing the solutions for all inequalities in the system can visually show you where some, if not all, of the vertices lie. When it does not, however, you will need to find the vertex algebraically.^[5]
- If using a graphing calculator to graph the inequalities, you can usually scroll over to the vertices and find the coordinates that way.
2
Change the inequalities to equations. In order to solve for the system of inequalities, you will need to temporarily change the inequalities to equations, allowing you the ability to find values for x and y.^[6]
- Example: For the system of inequalities:
  - y < x
  - y > -x + 4
- Change the inequalities to:
  - y = x
  - y = -x + 4
3
Substitute one variable for the other. While there are a couple of different ways you can solve for x and y, substitution is often the easiest to use. Plug the value of y from one equation into the other equation, effectively “substituting” y in the other equation with additional x values.
- Example: If:
  - y = x
  - y = -x + 4
- Then y = -x + 4 can be written as:
  - x = -x + 4
4
Solve for the first variable. Now that you only have one variable in the equation, you can easily solve for that variable, x, as you would in any other equation: by adding, subtracting, dividing, and multiplying.
- Example: x = -x + 4
  - x + x = -x + x + 4
  - 2x = 4
  - 2x / 2 = 4 / 2
  - x = 2
5
Solve for the remaining variable. Plug your new value for x into one of the original equations to find the value of y.
- Example: y = x
  - y = 2
6
Determine the vertex. The vertex is simply the coordinate consisting of your new x and y values.^[7]
- Example: (2, 2)

1
Factor the equation. Rewrite the quadratic equation in its factored form. There are several ways to factor out a quadratic equation, but when done, you should be left with two sets of parentheses that, when multiplied together, equal your original equation.
- Example: (using decomposition)
  - 3×2 – 6x – 45
  - Factor out the common factor: 3 (x2 – 2x – 15)
  - Multiply the a and c terms: 1 * -15 = -15
  - Find two numbers with a product that equals -15 and a sum that equals the b value, -2: 3 * -5 = -15; 3 – 5 = -2
  - Substitute the two values into the equation ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x – 5x – 15)
  - Factor the polynomial by grouping: f(x) = 3 * (x + 3) * (x – 5)
2
Find the point at which the equation crosses the x-axis.^[8] Whenever the function of x, f(x), equals 0, the parabola will cross the x-axis. This will occur when either set of factors equals 0.
- Example: 3 * (x + 3) * (x – 5) = 0
  - х +3 = 0
  - х – 5 = 0
  - х = -3 ; х = 5
  - Therefore, the roots are: (-3, 0) and (5, 0)
3
Calculate the midway point. The axis of symmetry for the equation^[9] will lie directly in between the two roots of the equation. You need to know the axis of symmetry since the vertex lies on it.
- Example: x = 1; this value lies directly between -3 and 5
4
Plug the x value into the original equation. Plug the x value for your axis of symmetry into either equation for your parabola. The y value will be the y value for your vertex.^[10]
- Example: y = 3×2 – 6x – 45 = 3(1)2 – 6(1) – 45 = -48
5
Write down the vertex point. At this point, your last calculated x and y values should give you the coordinates of your vertex.
- Example: (1, -48)

1
Rewrite the original equation in its vertex form. The “vertex” form of an equation is written as y = a(x – h)^2 + k, and the vertex point will be (h, k). Your current quadratic equation will need to be rewritten into this form, and in order to do that, you’ll need to complete the square.^[11]
- Example: y = -x^2 – 8x – 15
2
Isolate the a value. Factor out the coefficient of the first term, a from the first two terms in the equation. Leave the final term, c, alone for now.^[12]
- Example: -1 (x^2 + 8x) – 15
3
Find a third term for the parentheses. The third term must complete the set in the parentheses so that the values in parentheses form a perfect square. This new term is the squared value of half the coefficient of the middle term.
- Example: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; therefore,
  - -1(x^2 + 8x + 16)
  - Also keep in mind that what you do to the inside must also be done to the outside:
  - y = -1(x^2 + 8x + 16) – 15 + 16
4
Simplify the equation. Since your parentheses now form a perfect square, you can simplify the parenthetical portion to its factored form. Simultaneously, you can do any addition or subtraction needed to the values outside of the parentheses.^[13]
- Example: y = -1(x + 4)^2 + 1
5
Figure out what the coordinates are based on the vertex equation. Recall that the vertex form of an equation is y = a(x – h)^2 + k, with (h, k) representing the coordinates of the vertex. You now have enough information to plug values into the h and k slots and complete the problem.
- k = 1
- h = -4
- Therefore, the vertex of this equation can be found at: (-4, 1)

1
Find the x coordinate of the vertex directly. When the equation of your parabola can be written as y = ax^2 + bx + c, the x of the vertex can be found using the formula x = -b / 2a. Simply plug the a and b values from your equation into this formula to find x.
- Example: y = -x^2 – 8x – 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
2
Plug this value into the original equation. By plugging a value for x into the equation, you can solve for y. This y value will be the y coordinate of your vertex.
- Example: y = -x^2 – 8x – 15 = -(-4)^2 – 8(-4) – 15 = -(16) – (-32) – 15 = -16 + 32 – 15 = 1
  - y = 1
3
Write down your vertex coordinates. The x and y values you have are the coordinates of your vertex point.
- Example: (-4, 1)

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Calculator
Pencil
Paper

References

About This Article

Article SummaryX

To find the vertex of a parabola with axis of symmetry, factor the quadratic equation and find the point at which the equation crosses the x-axis. Next, calculate the midway point, which will lie directly in between the two roots of the equation. Then, plug the x value into either equation for your parabola. Your calculated x and y values are the coordinates of the vertex. For tips on finding a vertex in other mathematical scenarios, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 62,534 times.

Reader Success Stories

“So helpful.”

Did this article help you?

Источник

«Вершины,
ребра, грани многогранника»

Теоретическая
часть:

Многогранник
(многогранная поверхность) – это поверхность,
составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Примером многогранника является куб, параллелепипед, призма и т.д.

Грани многогранника –
это многоугольники, из которых составлен многогранник. Например, гранями
параллелепипеда являются параллелограммы.

Стороны граней называются
ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две
вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю
многогранника.

Плоскость, по обе стороны
от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а
общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

Многогранники бывают выпуклые
и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани
выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

В выпуклом многограннике
сумма всех плоских углов при каждой его меньше 360⁰.

Теорема Эйлера: в любом
выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на
2.

f
+ e – k
= 2, где f
– число граней, e – число вершин, k – число ребер.

Леонардо Эйлер (1707 –
1783) – швейцарец по происхождению, выдающийся математик. Большую часть жизни
работал в России.

Практическая часть:

Домашнее
задание

№
1

Составить
конспект

№
2

№
3

Решить задачу: Начертите
произвольный прямоугольный параллелепипед, укажите все его вершины, ребра и
грани. Проверьте выполнимость формулы Эйлера.

Эталоны
ответов:

№
2

Выпуклые
многогранники: а, б, д

Невыпуклые
многогранники: в, г

№3

8
вершин, 12 ребер, 6 граней

Формула
Эйлера: 6 + 8 – 12 = 2

Источник

Возьмите модель многогранника и определите число его вершин. Сколько у этого многогранника ребер? Измерьте и запишите длину каждого ребра. Сколько у многогранника граней? Какую форму они имеют?

reshalka.com

Математика 5 класс Дорофеев. 10. Чему вы научились. Обязательные умения. Номер №1

Решение

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Посмотреть калькулятор Дроби

6 вершин: A, B, E, C, D, K.
9 ребер: AB, BE, AE, DC, CK, DK, AD, BC, EK.
5 граней всего, из них:
треугольники: ABE, CDK;
четырехугольники: ABCD, BCKE, AEKD.

Источник

***

Статья

***

Правильные многогранники

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников (упорядочены по числу граней):

упорядочены по числу граней):

Правильный многогранник	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Тип пространственной симметрии
тетраэдр	4	6	4	3	3	Td
гексаэдр	8	12	6	4	3	Oh
октаэдр	6	12	8	3	4	Oh
додэкаэдр	20	30	12	5	3	Ih
икосаэдр	12	30	20	3	5	Ih

Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
p — число рёбер в каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Много-гранник	Рёб-ра	Гра-ни	символ Шлефли
тетраэдр	4	6	4	{3, 3}
гексаэдр (куб)	8	12	6	{4, 3}
октаэдр	6	12	8	{3, 4}
додэкаэдр	20	30	12	{5, 3}
икосаэдр	12	30	20	{3, 5}

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику.

Огню соответствовал тетраэдр,

земле — гексаэдр,

воздуху — октаэдр,

воде — икосаэдр.

Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер.

Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

***

Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Малый звездчатый додекаэдр

Малый звездчатый октаэдр

***

Некоторые примеры более сложных форм

***

P.S. В статье использованы материалы с сайтов Wiki

* * *

P.P.S. Ссылка на первую книгу на сайте “Author Today”:

https://author.today/work/158738

* * *

Ссылка на вторую книгу на сайте “Author Today”:

https://author.today/work/160692

* * *

Ссылка на третью книгу на сайте “Author Today”:

https://author.today/work/160794

* * *

Ссылка на четвертую книгу на сайте “Author Today”:

https://author.today/work/160793

* * *

Источник

Что вам понадобится

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Things You’ll Need

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Математика 5 класс Дорофеев. 10. Чему вы научились. Обязательные умения. Номер №1

Решение

Вам также может понравиться

Если зеркало напротив кровати как исправить

Как найти тангенс 600 градусов

Как найти своего сына казахстан

Добавить комментарий Отменить ответ