Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя – как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.
Возвести число в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0,5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Вычислите значение 3272
Как будем решать
Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Выполните возведение в квадрат числа π.
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
a1=a
Это понятно из записи 
.
От основания степени это не зависит.
Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.
Примеры:
50=1, (-2,56)0=1230=1
00- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.
Выполните возведение 2 в степень -3.
Решение
Используя определение выше, запишем: 2-3=123
Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.
Тогда ответ таков: 2-3=123=18
Возведите 1,43 в степень -2.
Решение
Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2
Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: 
В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1,43)-2=1000020449
Отдельный случай – возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Пример: 3−1=1/3
913-1=13964-1=164 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.
У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.
Проиллюстрируем на примере.
Вычислите 8-23.
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.
Возведите 44,89 в степень 2,5.
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107
Ответ: 13 501,25107.
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную – значения не имеет: 0-43.
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….
Решение
Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.
Возведение степени в степень
Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.
Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.
Здесь а – это любое число, а n и m – натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.
Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.
Степень числа
- Возведение в степень
- Выражения со степенями. Порядок действий
- Калькулятор возведения в степень
Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.
Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:
5 · 5 · 5 = 125.
Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 53 (пять в третьей степени). Выражение 53 — это степень. Следовательно,
5 · 5 · 5 = 53 = 125.
Рассмотрим выражение 53 . В этом выражении число 5 — основание степени, а число 3 — показатель степени.
Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.
Читаются степени так:
- 72 —
семь во второй степени
.Вторую степень числа также называют квадратом этого числа. Следовательно, выражение 72 можно прочесть так:
семь в квадрате
иликвадрат числа семь
. - 23 —
два в третьей степени
.Третью степень числа также называют кубом этого числа. Следовательно, выражение 23 можно прочесть так:
два в кубе
илидва куб
. - 64 —
шесть в четвёртой степени
. - 1015 —
десять в пятнадцатой степени
. - an —
a в энной степени
илиa в степени эн
.
Пример. Записать в виде степени:
a) 5 · 5;
б) 10 · 10 · 10 · 10;
в) 8 · 8 · 8.
Решение:
a) 5 · 5 = 52;
б) 10 · 10 · 10 · 10 = 104;
в) 8 · 8 · 8 = 83.
Возведение в степень
Возведение числа в степень — это вычисление произведения одинаковых множителей. Например, возвести число 2 в третью степень (23) — это значит найти произведение 2 · 2 · 2 , то есть
23 = 2 · 2 · 2 = 8.
Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:
23 = 8,
2 — это основание степени, 3 — показатель степени, 8 — степень.
Пример. Вычислите:
a) 112;
б) 25;
в) 104.
Решение:
a) 112 = 11 · 11 = 121;
б) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;
в) 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.
Выражения со степенями. Порядок действий
Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.
Рассмотрим два выражения:
52 + 22
и
(5 + 2)2
В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.
52 + 22 = 25 + 4 = 29,
(5 + 2)2 = 72 = 49.
Пример 1. Найти значение выражения:
5 · (10 – 8)3.
Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:
1) 10 – 8 = 2.
Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:
2) 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
И последним действием вычисляется произведение:
3) 5 · 8 = 40.
Ответ: 5 · (10 – 8)3 = 40.
Пример 2. Вычислить:
a) (4 + 2) · 32;
б) 3 · 52 – 50;
в) 3 · 4 + 62.
Решение:
a) (4 + 2) · 32 = 54
- 4 + 2 = 6
- 32 = 9
- 6 · 9 = 54
б) 3 · 52 – 50 = 25
- 52 = 25
- 3 · 25 = 75
- 75 – 50 = 25
в) 3 · 4 + 62 = 48
- 62 = 36
- 3 · 4 = 12
- 12 + 36 = 48
Калькулятор возведения в степень
Данный калькулятор поможет вам выполнить возведение в степень. Просто введите основание с показателем степени и нажмите кнопку Вычислить
.
Степень числа, говоря простым языком – это то, сколько раз число последовательно умножили само на себя. Например, если мы хотим вычислить, чему будет равно число 2, возведенное в степень 4, то нам нужно число 2 перемножить само на себя 4 раза (2х2х2х2). В результате мы получи 16.
Число 2 здесь будет называться основание степени, а число 4, стоящее над двойкой – показателем. Правильно читается, как «два в степени четыре».
В степень можно возводить и положительные и отрицательные числа, с одной лишь разницей – положительное число, после возведения в степень, всегда останется положительным. Результат возведения в степень отрицательного числа, в свою очередь, будет зависеть от того, четной или нечетной была степень. Так (-2) в четвертой степени будет равняться 16, а (-2) в пятой степени будет равно (-32).
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽. Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
Каждый раз высчитывать, чему равно число в некой степени, перемножая его вручную, крайне муторно. Куда проще воспользоваться таблицей степеней.
Это таблица степеней, показывающая результат возведения чисел от 1 до 10 в степени от 1 до 10. Пользоваться ей очень удобно. Нужно найти пересечение нужного числа и степени, и в этой точке будет написан результат возведения.
Ускоренное возведение в степень
Но что делать, если под рукой нет таблицы, и воспользоваться калькулятором тоже нет возможности? Существует достаточно простой алгоритм, который упростит вычисления. Предположим, что нам надо узнать, сколько будет 3 в степени 15. Для этого мы:
- Показатель степени раскладываем на сумму степеней с основанием 2. 15 – это 1+2^1+2^2+2^3, то есть 1+2+4+8.
- Затем последовательно возводим основание 3 в степени, получившиеся при разложении показателя степени. Это (3^1)x(3^2)x(3^4)x(3^8).
- Наконец, считаем результат. 3^1=3, 3^2=9, с этим все просто. Зная что, 3 в степени 2 равняется 9, легко вычислить, чему будет равно 3 в степени 4. Это (3^2)x(3^2), то есть 9х9, получается 81. Так же поступаем и с вычислением 3^8. Зная, что 3^4=81, для вычисления 3^8 перемножаем 81 и 81, получаем 6561. Теперь нужно вычислить результат 3х9х81х6561. Получаем 14 348 907.
Так или иначе, все равно придется производить сложные вычисления, но так вы сократите количество производимых умножений. В данном случае 6 операций умножения, взамен 15-кратного перемножения тройки саму на себя.
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф!
Как посчитать степень
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Как посчитать степень
Для того чтобы возвести любое число в любую степень воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Просто введите число и степень, в которую хотите его возвести, и получите ответ.
Теория
Возведение в степень – это математическая операция, при которой число умножается само на себя энное количество раз в зависимости от значения степени.
Формула
an=a⋅a⋅a…и так n-раз
Пример
К примеру, возведём число 2 в 3-ю степень:
23 = 2⋅2⋅2 = 4⋅2 = 8
Как посчитать отрицательную степень
Возведение в отрицательную (минусовую) степень происходит по следующей формуле:
Формула
a-n = 1/an
Пример
К примеру, возведём число 2 в −3-ю степень:
2-3 = 1/(2⋅2⋅2) = 1/(4⋅2) = 1/8 = 0,125
Как посчитать дробную степень
Возведение числа в дробную степень происходит по следующей формуле:
Формула
an/m = m√an
Пример
К примеру, возведём число 4 в степень 0.5:
40.5 = 4½ = 2√41 = 2
Теперь пример посложней: возведём число 2 в степень ¾:
2¾ = 4√23 ≈ 1.6817
См. также
Действия, обратные возведению в степень
7. В виду последней особенности действий возведения в степень для него можно составить 2 обратных задачи. Напр.:
1) Я задумал число, возвел его в третью степень (или: в куб), получилось 64; какое число я задумал?
Эту задачу можно записать в виде
(?)3 = 64
2) Я взял число 3, возвел его в некоторую степень, – получилось 81. В какую степень было возведено число 3.
Эту задачу можно записать в виде:
3? = 81
Теперь уже, так как возведение в степень не обладает переместительным законом, эти две задачи следует считать совершенно различными.
Сначала решать их можно подбором: попробуем число 1, 13 = 1, а не 64, след., 1 не годится; 23 = 8, а не 64, след., 2 не годится, 33 = 27, а не 64, след., 3 не годится; 43 = 64, след., в 1 задаче было задумано число 4. Также выясним, что во второй задаче число 3 было возведено в 4-ую степень.
Так как таких задач можно составить очень много, то для их решения необходимо изобрести новые действия. Эти действия обратны возведению в степень. Итак, для возведения в степень существуют два обратных действия: первое из них называется извлечением корня и служит для решения вопросов, подобных первой из наших задач; второе называется нахождением логарифма и служит для решения вопросов, подобных второй задаче.
Если мы обратим внимание на то, что в первой задаче нам даны степень 64 и показатель степени 3, то мы установим определение:
Извлечением корня называется действие, обратное возведению в степень, при помощи которого по данной степени и по данному показателю находят основание степени.
Также точно: во второй задаче даны степень (81) и основание степени (3), а надо найти показателя степени. Поэтому
нахождением логарифма называется действие, обратное возведению в степень, при помощи которого по данной степени и по данному основанию находится показатель степени.
