Как найти числовое множество - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление.

Наиболее распространенные числовые множества:

N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных или дробных чисел;
R – множество действительных чисел.

Основные понятия о числовых множествах

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.

Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом.

Некоторое непустое подмножество А множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Непустое подмножество А множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

В противоположность этому определению, множество А называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число К мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества А, всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) К.

Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.

Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup А. Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf А. Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).

Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Граница множества – совокупность граничных точек множества:

N (множество натуральных чисел) ограниченно снизу (например, числом -2) и не ограничено сверху;
R (множество действительных чисел) неограничено;
множество отрицательных чисел неограничено снизу и ограничено сверху.

Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность n различных элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из п элементов поназывают их соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из n элементов по m.

Будем строить произвольное соединениепоследовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности n элементов его можно выбрать n различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается n -1 способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для m элементов формула приобретает вид:

Соединения из n элементов, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из n элементов по называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из n элементов по m:

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства сочетаний:

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что а = 1 и b = 1, а для свойства 4 что a = 1 и b = -1. Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты С”‘ с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия – сложение и умножение – безусловно, выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел – также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо – для возможности образования разности двух натуральных чисел множество N нужно дополнить до множества целых чисел Z, введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества Q за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чисел R за счет введения иррациональных чисел.

Этот процесс можно схематически изобразить цепочкой , где N, Z, Q, R обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Причем каждая последующая числовая система сохраняет все основные свойства предыдущей и обладает рядом новых полезных свойств. Так, в N можно только складывать и умножать, в Z можно уже вычитать, в Q – делить. Во множестве R действительных чисел можно извлекать корни любой степени из положительных чисел, хотя в Q даже число не имеет смысла. Но и в множестве действительных чисел R такое простое уравнение не имеет решений. Так как многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям, требуется построить новое множество, содержащее множество действительных чисел и решение любого алгебраического уравнения. Символом i, который называется мнимой единицей, обозначим корень уравнения, или . Множество, которое представляет собой множество всех двучленов вида , называется множеством комплексных чисел.

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа – мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю . Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием: .

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве С можно задать следующим образом:

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е. и коммутативно, т.е. . Сумма чисел (a + bi)+(—a—bi) = 0, поэтому число -a-bi является противоположным числу a + bi, тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через i обозначен корень уравнения т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , при возведении i в любую натуральную степень n, надо найти остаток от деления n на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число а можно записать в виде .

Число а-b называется сопряженным числу z = a + bi и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа a + bi. Очевидно, что

Свойства сопряжения:

Каждому комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие точку Z плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа а и b.

Тогда каждой точке Z(a,b) плоскости будет соответствовать единственное комплексное число a + bi. В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел С и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число a + bi с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты (a,b). При этом точки горизонтальной координатной оси Re изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси Im откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось Im называется мнимой осью.

Расстояние от точки Z до начала координат есть действительное неотрицательное число р, которое называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается z = p. Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом z и обозначается arg z. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть z = a + bi. Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа z находится

по формуле Аргумент числа z определяется из равенств

Отсюда:

(3.1)

Запись числа z в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

Пусть z и – сопряженные числа. Если z = а + bi, то = a- bi. Геометрически z и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей. Аналогично,

(3 4)

При вsполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число

называется корнем n-й степени из z, если

, т.е.:

или

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

. Следовательно,

Таким образом, комплексное число , которое является корнем n -й степени из , имеет вид:

Придавая А- различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, k можно записать в виде k = nq + t, где . Тогда:

Т.е. значение аргумента при данном к отличается от значения аргумента при k = t на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях к получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа z существует ровно n корней n -й степени из z.

Пример:

Вычислить

Решение:

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

Отсюда полагая, что k = 0,1,2, получим:

Числовые множества и форма их представления

Множество, элементы которого являются действительными числами называется числовым множеством. В основном, числовые множества задаются в виде неравенств или в виде промежутков. Множество всех действительных чисел обозначается как

Пример:

Изобразите на координатой прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству. Запишите в виде промежутков.

Свойства объединения и пересечения числовых множеств

Некоторые свойства пересечения и объединения множеств подобны переместительным, сочетательным и распределительным свойствам сложения и умножения чисел.

Верные для множеств равенства, соответствующие свойствам для чисел не всегда верны.

Пример:

Графиком функции называется кубическая парабола.

Если , то (куб положительного числа – положительное число), если , то (куб отрицательного числа – отрицательное число), если , то .

Поэтому график функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях. Если значение заменить его противоположным значением , тогда функция будет принимать противоположное значение: т.к. , то . Значит, каждой точке графика функции соответствует точка , симметричная относительно начала координат на данном графике. Таким образом, график функции симметричен относительно начало координат. По графику видно, что число , куб которого равен данному числу – единственное.

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

Определение 1.26. Пусть X — непустое числовое множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число a, что x a (x a) для любого элемента x ∈ X . При этом число a называется верхней (нижней) границей множества X . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

∃ a ∈ : x a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение граниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множество X называют ограниченным, если существует такое положительное число M, что

|x| M, ∀x ∈ X.

Определение 1.28. Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x a (соответственно, x > a) для любого x из X, и пишут: a = max X (соответственно, a = min X).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = [0, 1) не имеет максимального элемента.
Заметим, что множество X ограничено сверху и 1 — одна из его верхних границ. Пусть x₀— любой элемент из X . Тогда 0 x0 1 и

Следовательно, и . Последнее означает, что x₀ не является максимальным элементом множества X. Но x₀ — произвольный элемент X , поэтому множество X не имеет максимального элемента.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

Пусть X ⊂, X и ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних границ множества X, то есть Y = {y ∈ | x y, ∀x ∈ X}. По условию Y и 6 y, ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y . По аксиоме полноты

∃ c ∈ : x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Поскольку x c, ∀x ∈ X , то c ∈ Y . Но c y, ∀y ∈ Y , значит c — наименьшая верхняя граница множества X , то есть минимальный элемент множества Y. Поэтому он единственен.

Определение 1.29. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают “супремум X”) или sup x.

x∈X

Итак, sup X = min{c ∈ | x c, ∀x ∈ X} и потому определение 1.29 равносильно следующему.

Определение 1.30. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Число a называют точной верхней границей множества X , если выполнены два условия:

1. x a, ∀x ∈ X ;

2. ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε > a – ε.

Условия 1-2 являются характеристическими свойствами sup X. Первое означает, что a — верхняя граница множества X , а второе — что любое число b, меньшее чем a, уже не является верхней границей множества X .

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Определение 1.31. Пусть X ⊂ , X , ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают “инфимум X”) или .

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈ , являются:

1) a x, ∀x ∈ X ; 2) ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε a + ε.

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Пусть a = max X . Тогда a ∈ X и x a, ∀x ∈ X . Поэтому a — верхняя граница множества X и ∀ε > 0, если положить xε = a ∈ X , имеем:

∃ xε = a ∈ X : xε > a – ε.

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Пример 1.6. Найти sup X, если X = [0, 1).

Так как x 1, ∀x ∈ X , то 1 — верхняя граница множества X . Пусть ε — произвольное положительное число, меньшее 1. Число 1 – принадлежит множеству X. Поскольку 1- > 1 — ε, то можно положить xε = 1- . Поэтому 1=supX.

Заказать решение задач по высшей математике

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32. Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу).В символьной форме это определение принимает вид:

X ⊂ , X не ограничено сверху ⇒ ∀a ∈ ∃ x ∈ X : x>a.

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Если же X не ограничено снизу, то считают, что inf X = -∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.4 (существования точных границ). Каждое непустое множество X из имеет в точные верхнюю и нижнюю границы; sup X — число, если X ограничено сверху, sup X = +∞, если X не ограничено сверху; inf X — число, если X ограничено снизу и inf X = -∞, если X не ограничено снизу.

Теорема 1.5. Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пусть X ⊂ Z, X 6, X — ограниченное сверху множество. По теореме 1.2 о существовании точных границ числового множество имеется число C такое, что C = sup X. Поэтому для любого ε > 0 и, в частности, ε = 1 найдется такой элемент xε = n₀ ∈ X, что n₀ > C- 1, то есть n₀ C n₀+1. Поскольку между n₀ и n₀ + 1 нет целых чисел, то ∀m ∈ X m n₀ и, следовательно, n₀= max X .

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Пусть X — бесконечное подмножество множества . Предположим, что оно ограничено сверху. Так как X ⊂ Z, то по теореме 1.5 множество X имеет максимальный элемент n₀ . Тогда X имеет не более n₀ элементов, что противоречит условию.

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n₀ такое, что (n₀-1)b a n₀b.

Так как ⊂ , то множество не ограничено сверху, поэтому существует число n ∈ такое, что n > a/b. Пусть Y = {n ∈ Z : n > a/b}. Множество Y является непустым ограниченным снизу. По теореме 1.5 оно имеет минимальный элемент. Пусть n₀ = min Y . Тогда n₀ – 1 ∈/ Y и n₀ –.

Следовательно, Поскольку число n₀ — минимальный элемент Y , то оно единственно.

Следствие 1. Для любого числа x ∈ существует единственное число k ∈ такое, что (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают через [x] или E (x).

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0 1/n ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈ , что n > 1∕ε. Поскольку ε > 0, то n ∈ и 0 1/n ε.

Теорема 1.8 (о плотности в ). Для любых чисел a, b ∈ , a b, найдется рациональное число r такое, что a r b.

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n₀такое, что 0 1∕n₀ b—a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1∕n₀ > 0 найдется m0 ∈ :

Докажем, что рациональное число m₀∕n₀ — искомое. Действительно,

Отсюда, a m_o∕n_o b.

Счетные и несчетные множества

При изучении множеств приходится по некоторым правилам сравнивать их между собой по запасу элементов. Изложим одно такое правило.

Пусть n — натуральное число, а N_n = {k ∈ : k n}. Множество X называют конечным, если существует такое n ∈ , что между множествами X и N_n можно установить биективное отображение, в противном случае множество X называют бесконечным.

Определение 1.33. Бесконечное множество X называют счетным, если существует биективное отображение f : → X . Если бесконечное множество X не является счетным, его называют несчетным.

Иными словами, счетное множество — это такое бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать: a₁, a₂, . . . , a_n, . . . , n ∈ .

Пример 1.7. Множество X натуральных четных чисел счетно, поскольку функция f : → X, f(n) = 2n, является биекцией.

Пример 1.8. Множество целых чисел счетно. В этом случае биективное отображение f : N → , f(n) = (-1)n-1 [n/2], позволяет пронумеровать элементы множества следующим образом:

0, -1, 1, -2, 2, -3, . . . , -n, n, . . . , n ∈ .

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Пусть X — бесконечное множество, а x₁ — произвольный элемент из X . Заметим, что множество бесконечно. Зафиксируем любой элемент этого множества и обозначим его x₂. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге выделим элемент x_n∈ X такой, что

В результате получим множество Y = {xn ∈ X : n ∈ }, которое является счетным, так как при

Теорема 1.10. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Пусть множество A является объединением счетной совокупности счетных множеств A₁ , A₂, Поскольку множества A_k, k ∈ , являются счетными, то их можно представить в виде:

A₁ = {a₁₁, a₁₂, a₁₃, . . . },

A₂ = {a₂₁, a₂₂, a₂₃, . . . },

A₃ = {a₃₁, a₃₂, a₃₃, . . . },

Пронумеруем элементы множества A следующим образом:

a₁ := a₁₁, a₂ := a₁₂, a₃ := a₂₁, a₄ := a₃₁, a₅ := a₂₂, a₆ := a₁₃, . . .

Если у множеств A_i и A_j , , окажутся одинаковые элементы, то их посчитаем один раз. Поскольку A = {a_k : k ∈ } и a_i a_j , если i j, то множество A — счетно.

Следствие. Множество рациональных чисел счетно.

Множество рациональных чисел определяется следующим образом:

Расположим рациональные числа в таблицу. Сначала в первую строку поместим все целые числа в порядке не убывания их абсолютных величин и так, что за каждым натуральным числом следует ему противоположное:

0, 1, -1, 2, -2, . . . , n, -n,

Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:

1/2,-1/2,3/2,-3/2,5/2,-5/2,

Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество счетно.

Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.

Вектор – определение и основные понятия
Прямая – понятие, виды и её свойства
Плоскость – определение, виды и правила
Кривые второго порядка
Степень с действительным показателем
Логарифм – формулы, свойства и примеры
Корень из числа – нахождение и вычисление
Теория множеств – виды, операции и примеры

Источник

Множества чисел бывают конечными или бесконечными и их принято обозначать большими буквами A, B, …, а их элементы – маленькими буквами, например, x, y, z,….

Что такое множество чисел

Термин множества чисел можно описать, как совокупность, объединение, набор некоторых объектов произвольной природы – элементы множества. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов факультета, множество парных чисел, множество точек заданного отрезка и т. п.

Если элемент принадлежит множеству , тогда пишут , если же элемент не принадлежит множеству , тогда пишут, что или .

Множества, в которых нет ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Рассмотрим несколько важных операций:

1. Два множества и называются равными (обозначают ), если они состоят из одинаковых элементов.

2. Множество называется подмножным множеством , если каждый элемент множества есть элементом множества .

Это обозначается так: и читается содержится в или в находится . Очевидно, что пустое множество входит в любое множество .

Например, если множество состоит из элементов обозначают:

= {}), а в = {} тогда .

3. Множества элементов , которые принадлежат множеству или множеству , или и , называется объединением этих множеств и обозначается .

4. Множества элементов , которые принадлежат двум множествам и называется пересечением множеств и и обозначается

Если, например, и – это множества точек, что принадлежат двум фигурам соответственно, тогда схематически на рис. 1 изображены их объединения в случаях а) и б). На рис. 2 изображено пересечение множеств и .

Рис. 1

Рис. 2

5. Разницей множеств A и называется множество , что содержит те элементы , которые не есть элементами множества (см. рис. 3).

Рис. 3

Виды чисел

Существует 7 видов чисел:

1. Натуральные – ;

2. натуральные числа, в которые включается нуль – $N_{0}$ ;

3. целые числа – ;

а) целые положительные числа – $Z^{+}$ ;

б) целые отрицательные числа – $Z^{-}$ ;

4. рациональные числа – ;

5. иррациональные числа

6. Действительные числа – ;

7. Комплексные числа – .

Рассмотрим каждый вид числа более подробно:

1. Натуральные числа всегда используются при естественном счёте или перечислении предметов, вернее при их нумерации, то есть “первый”, “второй”, “третий”. Описывается множество натуральных чисел так:

= {1, 2, 3, …, }.

2. Натуральные числа, в которые включён нуль используются для обозначения количества предметов:

= {0, 1, 2, 3, …}

3. Целые числа – это числа, в которые входят натуральные числа с положительным и отрицательным знаками:

а) целые положительные числа (обозначаются $Z^{+}$ ) и пишутся: $Z^{+} = N =$ {1, 2, 3, …};

б) целые отрицательные числа (обозначаются $Z^{-}$ ) и пишутся: $Z^{-} = N$ {…, -3, -2, -1};

$Z = Z^{-}cup {0}cup{Z^{+}}$ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

4. Рациональные числа – числа, которые представляются в виде обыкновенной дроби , где и – целые числа, а . Рациональные числа обозначаются латинской большой буквой :

= {}. Если переводить в десятичную дробь, тогда рациональное число может представляться конечной и бесконечной дробью.

5. Иррациональные числа – вещественное число, которое не рациональное и не может представляться в виде десятичной дроби.

6 Действительные числа или вещественные – это числа, в которых объединяются рациональные и иррациональные числа ().

7. Комплексные числа – это числа, в которых содержится – мнимая единица:

= { и }.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения задач

Задача

Записать множество , если , причём = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, = {3, 6, 9, 12}.

Решение

есть не что иное, как объединение множеств и , то есть, множество будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству : = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Ответ

Множество состоит из элементов, которые принадлежат двум множествам и .

Задача

Все студенты курса изучают разные иностранные языки. Значит, из них, 91 студент изучает английский язык, ещё 96 студентов изучают немецкий язык, 94 студента изучают исключительно французский язык, 36 студентов изучают не только английский, но и немецкий языки, ещё 32 студента изучают английский и французский языки, а 10 студентов занимаются изучением всех языков без исключения.

Вопрос: сколько студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если всего на курсе по списку 189 студентов?

Решение

Итак, для начала введём обозначения:

– множество всех студентов, которые находятся на данном курсе;

$A_{1}$ – множество студентов, которые изучают только английский язык;

$A_{2}$ – множество студентов, которые занимаются изучением немецкого языка;

$A_{3}$ – множество студентов, изучающих исключительно французский язык;

$A_{12}$ – множество студентов, которые изучают, как английский, так и немецкий язык;

$A_{13}$ – множество студентов, изучающие английский и французский языки;

$A_{23}$ – множество студентов, которіе изучают немецкий и французский язіки;

$A_{123}$ – множество студентов, которые изучают абсолютно все языки;

– количество элементов множества .

По условию задачи:

$|A| = 189, |A_{1}| = 91, |A_{3}| = 94, |A_{12}| = 36, |A_{23}| = 32, |A_{23}| = x.$

Найдём – количество студентов, которые изучают немецкий и французский языки. Согласно вышеописанному обозначению, у нас получается:

$A_{12} = A_{1}cup{A_{2}}$ , $A_{13} = A_{1}cup{A_{3}}$ , $A_{23} = A_{2}cup{A_{3}}$ , $A_{123} = A_{1}cup{A_2}cup{A_{3}}$ .

Из методов включения и исключения следует, что

$|A| = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}}| - |A_{1}cup{A_{2}}| - |A_{1}cup{A_{3}}| - |A_{2}cup{A_{3}}| - |A_{1}cup{A_{2}}cup{A_{3}}| =\ = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}| - |A_{12}| - |A_{13}| - |A_{23} + A_{123}|$ .

Ответ

студента занимаются изучением немецкого и французского языков.

Источник

Множеством называют математическую единицу, которая подчиняется определенным правилам и законам. Оно обладает различными функциями и свойствами. Если элементами в нем являются числа, то речь идет о числовом множестве. Множества чисел могут быть конечными и бесконечными. Для их обозначения применяются большие буквы A, В…., элементы множеств обозначаются маленькими буквами, такими как x, y, z,….

Что такое множество чисел?

Математический термин «множество» можно охарактеризовать как отдельную совокупность, набор или объединение. Его элементами в теории могут быть различные объекты произвольной природы. К примеру, термин множество можно применить к большому количеству книг в библиотеке, товаров на полках магазина, студентов университета и т.д. В математике используются такие понятия, как множество точек отрезка заданной длины или множество парных чисел.

Для их математического обозначения используется определенный метод. В случае, когда какой-то элемент [x] принадлежит множеству A, тогда, тогда следует записывать [x in(A)], если же ситуация обратная и элемент [y] не принадлежит множеству A, то правильно будет записать [y notin(A)] или [y bar{in}(A)].

Если в множестве нет ни одного элемента, то его принято называть пустым множеством. Оно обозначается [phi].

Для того, чтобы понять суть числовых множеств, рассмотрим несколько важных характеристик:

Два отдельных множества A и B будут называть равными и обозначаться A=B в том случае, если составляющие их элементы полностью идентичные.
Множество A будет называться подмножным множеством B в случае, когда каждый из элементов множества A является элементом второго множества B. В этой случае используются следующее обозначение [A subset(B)]. Оно читается как A содержится в B, либо в B находится A.Очевидным является тот факт, что абсолютно в любое множество входит пустое множество [emptyset subset A]. Приведем пример. Если в состав множества A входят элементы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то оно записывается в виде: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а в B={2,3 ,5 ,7,9} тогда [B subset(A)].
Объединением множеств называют случаи, когда множества элементов C, принадлежащих множеству A либо множеству B, или одновременно A и B. Обозначается объединение множеств следующим образом: [C=cup(B)].
Пересечением множеств A и B в математике называют множества элементов C, принадлежащих сразу двум множествам A и B. Обозначается пересечение так: [C=A cap(B)].

В случае, если A и B — это два множества точек, которые принадлежат двум геометрическим фигурам соответственно, тогда варианты их объединения будут выглядеть следующим образом:

Если произойдет пересечение множеств A и B, то выглядеть это будет так:

Разницей множеств A и B принято называть отдельное множество C = A | B, которое содержит все элементы A, которые не являются элементами, принадлежащими множеству B.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Виды чисел

В математике все числа разделяются на 7 разных видов:

натуральные – N;
натуральные, включающие нуль – N_{0};
целые – Z;
- целые отрицательные – Z^{-};
- целые положительные – Z^{+};
иррациональные;
рациональные – Q;
комплексные – C;
действительные – R.

Рассмотрим более подробно каждый из перечисленных видов чисел:

Основным отличием натуральных чисел является то, что они применяются при перечислении различных предметов или естественном счете. Проще говоря, при нумерации – «первый», «второй», «третий», «четвертый» и т.п. Множество натуральных чисел описывается следующим образом: N={1,2,3,4,5, ….}.

Натуральными числами, включающими нуль обозначаются определенные количества каких-либо предметов: N={0,1,2,3,4,5…}.

Целыми называют числа, входящие в числа с отрицательными и положительными знаками:

обозначение целых отрицательных чисел выглядит следующим образом: Z^{- }и пишется Z^{-}=N={…,-5,-4,-3,-2,-1};

целые положительные числа в свою очередь обозначаются Z^{+} и записывается Z^{+}=N={1,2,3,4,5…}.

[begin{gathered} Z=Z^{{-}} cup{O} cupleft{Z^{{+}}right}= \ {ldots-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 ldots} end{gathered}]

Иррациональными называют вещественные числа, которые на являются рациональными и не могут никогда представляться в виде десятичных дробей.

Рациональными называют те числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, имеющей вид m/n, где m и n — это целые числа, а [n neq{0}]. Для обозначения рациональных чисел в математике используется большая буква Q.

[Q=left{x mid x=frac{m}{n}, m in{Z}, n in{Z}, n neq{O}right}]

При переводе в десятичную дробь каждое рациональное число может представляться в виде бесконечной или конечной дроби.

Комплексными принято называть числа, в которых содержится мнимая единица i.

[C={mathrm{x}+i y / mathrm{x} in{R} u y in{R}}]

Действительные числа также называют вещественными. В них объединяются два вида чисел: рациональные (R) и иррациональные.

Примеры задач по определению множества чисел

Примеры

Необходимо записать множество D

при условии, что [D=A cup{B}], при этом [A={4,6,8,10,12},
B={6,9,12}].

Решение:

Исходя из условия [D=A cup{B}] можно сделать вывод, что это объединение множеств A и B.
Значит в множество D должны быть включены все элементы, которые присутствуют в обоих множествах
A и B. [D={4,6,8,9,10,12}].

Ответ: В множество D входят все элементы, принадлежащие двум множествам A и B.

Все студенты на курсе занимаются изучением разных иностранных языков. При этом английский язык изучают 90
студентов, а немецкий – 95 человек. Французский язык выбрали для изучения 93 человека, а одновременно
английский и немецкий – 35 студентов. 10 человек изучают все языки без исключения. Нужно узнать, сколько
студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если по списку на курсе

Решение

Решение задачи следует начать с введения некоторых обозначений, которые будут являться примерами множества
чисел.

A – множество студентов, которые проходят обучение на данном курсе;

A_{1} – множество студентов, изучающих исключительно английский язык;

A_{2} – множество студентов, специализирующихся на изучении немецкого языка;

A_{3} – множество студентов, которые изучают только французский;

A_{12} – множество человек, изучающих два языка (английский и немецкий);

A_{13} – множество человек, которые учат английский и французский языки;

A_{23} – множество студентов, изучающих все языки на курсе.

|B| — количество всех элементов, относящихся к множеству B.

Согласно условиям задачи, получаем выражение:

[|A|=185,left|A_{{1}}right|=90,left|A_{{3}}right|=93,left|A_{{12}}right|=35,left|A_{{23}}right|=31,left|A_{{23}}right|=x]

Далее необходимо найти x – количество человек на курсе, которые занимаются изучением французского и
немецкого
языка. Учитывая вышеописанные обозначения, приходим к следующему результату:

[A_{{12}}=A_{{1}} cupleft{A_{{2}}right}, A_{{13}}=A_{{1}} cupleft{A_{{3}}right},
A_{{23}}=\A_{{2}} cupleft{A_{{3}}right}, A_{{123}}=A_{{1}} cupleft{A_{2}right}
cupleft{A_{{3}}right}]

Применяя методы включения и исключения, приходим к выводу, что:

[|A|=left|A_{{1}}+right| A_{{2}} mid+\left|A_{{3}}-right| A_{{1}}
cupleft{A_{{2}}right}|-| A_{{1}} cupleft{A_{{3}}right}-mid
A_{{2}}\left.cupleft{A_{{3}}right}-left|A_{{1}} cupleft{A_{{2}}right} cupright|
A_{{3}}right}=\left|A_{{1}}right|+left|A_{{2}}right|+left|A_{{3}}right|-left|A_{{12}}right|-left|A_{{13}}right|-\left|A_{{23}}+A_{{123}}right|]

[185=90+95+93-35-31-x+10\185=222-x\x=37]

Ответ: 37 студентов на курсе изучают одновременно немецкий и французский языки.

Источник

Числовые множества
Числовые множества и числовые последовательности
Множества
Действительные числа. Абсолютная величина
Числовая ось. Простейшие множества чисел
- Простейшие множества чисел
- Точная верхняя и точная нижняя грани множества
- Логические символы. Логические высказывания
- Необходимое и достаточное условия
- Метод математической индукции
Числовая последовательность и ее предел
- Геометрический смысл предела последовательности
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Монотонные последовательности
Число е
Комплексные числа и действия над ними
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- Предел последовательности комплексных чисел
Простейшие виды числовых множеств
- Множество вещественных чисел
  - Непрерывность множества вещественных чисел
- Наиболее употребительные числовые множества
- Абсолютное значение вещественного числа
- Грани числовых множеств

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

— множество натуральных чисел;

— множество целых неотрицательных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел.

— множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, , — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема:

Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

Отсюда следует, что (а значит, и ) — четное число, т. е. . Подставив к равенство , получим , т. е. . Отсюда следует, что число — четное, т. е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

, где .

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и содержится бесконечное множество действительных чисел , т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству .

Так, если , то одним из них является число

3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству . Оно отделяет числа класса от чисел класса . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Числовые множества

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что для всех чисел выполняется неравенство

Числа называются, соответственно, мажорантой и минорантой множества А.

Ограниченное снизу и сверху множество, называется ограниченным.

Наименьшая из мажорант (наибольшая из минорант) называется верхней (нижней) гранью множества А. Верхняя грань обозначается через . Для нижней грани используется обозначение .

В качестве примера рассмотрим множество

Здесь .

Докажем теперь теорему о существовании граней множества.

Теорема:

Ограниченное сверху (снизу) множество имеет. верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство:

Предположим, для определенности, что множество А ограничено сверху. Обозначим через В множество его мажорант. Тогда для любых чисел выполняется неравенство . По свойству полноты множества действительных чисел (§1. свойство 9)) существует число-разделитель с такое, иго для всех имеет место неравенство

Таким образом, с одной стороны, число с: является мажорантой, а, с другой стороны, оно нс превосходит любой из мажорант и, следовательно, . Аналогично доказывается существование нижней грани.

Рассмотрим систему вложенных отрезков

т. е.

Принцип вложенных отрезков. Любая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Доказательство. Пусть множества А и В состоят из левых и правых концов отрезков, соответственно. Так как для любых справедливо неравенство ,

то по свойству полноты множества действительных чисел найдется разделитель . этих множеств и, следовательно, дня всех

Таким образом, число с принадлежит всех отрезкам системы. Принцип доказан.

Множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Конечные множества считаются равномощными, если они имеют одинаковое ’тело элементов. Если множество содержит бесконечное количество элементов, то можно попытаться сравнить его с другим бесконечным множеством простой структуры. например, с множеством натуральных чисел.

Бесконе’шое множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать, т. с. каждый элемент множества получает свой, отличный от других номер, выражающийся натуральным числом.

Примерами счетных множеств могут служить, например, множества целых и рациональных чисел. Целые числа можно пересчитать, расположив их в ряд:

Для того, чтобы пронумеровать рациональные числа, расположим их в следующей бесконечной матрице:

В строках этой матрицы записаны все несократимые рациональные дроби с фиксированным знаменателем. Ясно, что каждому рациональному числу однозначно найдется место в этой матрице. Занумеруем теперь числа матрицы по диагоналям, на’шная с левого верхнего угла, т. е.

где запись означает, что рациональное число получает номер . Таким образом, каждое рациональное число будет пронумеровано и, следовательно, множество счетно.

На этих примерах мы наблюдаем любопыппдй парадокс, который является особенностью бесконечных множеств: бесконечное множество может быть равномощно своей части, т. с. содержать столько же элементов, сколько их имеется в собственном подмножестве.

В заключение этого параграфа покажем что существуют множества, которые являются более мощными, чем счетные.

Теорема:

Любой отрезок множества действительных чисел является несчетным множеством.

Доказательство:

Предположим, наоборот, что отрезок является счетным множеством и пусть

— пронумерованное множество чисел этого отрезка. Выберем внутри данного отрезка отрезок , который нс содержит число , внутри отрезка найдется отрезок . не содержащий число , …, внутри отрезка возьмем отрезок , в котором не содержится число , …. В результате мы получим систему вложенных отрезков

В соответствии с принципом вложенных отрезков, найдется число с, общее для всех отрезков. Пусть — номер этого числа, т. е. и, следовательно, . Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы.

Числовые множества и числовые последовательности

Множества

Понятие м ножества принадлежит к числу первичных, неопределяемых понятий. Употребляя термин «множество», будем понимать под этим любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой элементов, мыслимое как единое целое. Например, мы можем говорить о множестве букв на данной странице, о множестве песчинок на морском берегу, о множестве всех корней уравнения, о множестве всех четных чисел и т. д.

Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент о принадлежит множеству А символически записывается так: a ∈ А. Запись a ∈ А (или a∉А) означает, что элемент о не принадлежит множеству А. Если каждый элемент из множества А входит и в множество В, то мы называем А подмножеством множества В и пишем А ⊂ В. Так, множество всех четных чисел Z’ является подмножеством множества Z всех целых чисел. Заметим, что всегда А ⊂ А.

Если А ⊂ В и В ⊂ А, т.е. если каждый элемент множества А есть также и элемент В и наоборот, то мы говорим, что множества А и В равны и пишем А = В. Тем самым множество однозначно определено своими элементами. Пользуясь этим, мы будем иногда обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные скобки. Так

А = {а}, A = {а,b}, А = {а, b, с}

суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов a и b, трех элементов а, b и с. Часто все элементы множества выписать затруднительно, или невозможно. В таких случаях невыписанные элементы будем заменять точками:

А = {а, b, с,… }

есть множество, состоящее из элементов а, b, с и, может быть, еше некоторых других. Какие эти другие элементы, обозначенные точками, должно быть указано, например:

множество натуральных чисел {1, 2, 3…..п,… };

множество квадратов натуральных чисел {1, 4, 9,…, п2,… }; множество простых чисел {2, 3,5,7,… }.

Если А ⊂ В, но А ≠ В, то А называют правильной частью множества В (истинным подмножеством множества В).

Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Будем обозначать пустое множество символом ∅. Любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества.

Пусть А и В — два множества. Их суммой или объединением С = A ∪ В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и В (рис. 1).

Числовые множества и числовые последовательности

Назовем пересечением множеств А и В множество С = А ∩ В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 2). Например, если А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4, 5}, то A U В = {1,2, 3, 4, 5}, A ∩ В = {2,3}.

Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа множеств.

Если А ∩ В = ∅, то говорят, что множества А и В не пересекаются.

Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого натурального числа элементов. Например, конечным является множество всехжителейданного города, а также множество всех людей, населяющих планету Земля. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Так, множество N = {1, 2,… } всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Пусть А и В — некоторые множества. Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1) разным элементам множества А поставлены в соответствие разные элементы множества В и 2) каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А. Если между двумя конечными множествами А и В удалось установить взаимнооднозначное соответствие, то множество А и В имеют одинаковое число элементов. Множества А и В, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными.

Обозначение: А ~ В.

Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством N натуральных чисел, т. е. если А ~ N. Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Действительные числа. Абсолютная величина

Числа 1, 2, 3,…, п, п + 1,… называются натуральными числами. Дроби вида

где т и п — натуральные числа, а также число 0 называются рациональными числами. В частности, рациональным будет каждое натуральное и каждое целое отрицательное число. Любое рациональное число выражается либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Кроме рациональных чисел существуют еще иррациональные числа, которые выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например,

= 1,41… , π = 3,14… .

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (вещественными) числами.

Можно показать, что множество всех рациональных чисел счетно. Множество всех действительных чисел счетным не является.

Мы будем предполагать, что основные свойства действительных чисел и арифметические действия над ними известны из школьного курса математики.

Определение:

Абсолютной величиной (модулем) числа a называется само число а, если a — положительно, и число -а, если а — отрицательно. Абсолютная величина нуля есть нуль.
Абсолютная величина числа a обозначается символом |a|. Таким образом, по определению

Если а > 0, то отношение |х| ≤ а эквивалентно отношению

-а ≤ х ≤ а (проверьте это!).

Для абсолютных величин верны следующие соотношения:

1. |а • b| = |а| • |b|;

Справедливость этих соотношений вытекает из правила умножения и деления действительных чисел и из определения абсолютной величины.

3.|а + b| ≤ |а| + |b|.

Сложив почленно очевидные неравенства

получим двойное неравенство

равносильное неравенству

|а + b| ≤ |а| + |b|.

4. ||а|-|Ь|| ≤ |а-b|

Так как

то

Из неравенства

получаем,что

Из соотношений (1) и (2) следует

что равносильно неравенству

Числовая ось. Простейшие множества чисел

Действительные числа изображаются точками прямой. Делается это так.

На некоторой прямой (будем считать ее расположенной горизонтально, рис. 3) выберем положительное направление, начало отсчета О и единицу масштаба и. Для изображения положительного числа а возьмем на нашей прямой справа от начала О точку на расстоянии (в принятом масштабе), равном данному числу а; для изображения отрицательного числа а возьмем точку слева от начала О на расстоянии, равном |a|; числу а = 0 будет отвечать точка О — начало отсчета.

Таким приемом мы устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между всеми точками прямой и множеством действительных чисел: каждое действительное число будет изображено одной определенной точкой прямой, причем каждая точка прямой будет изображением одного определенного действительного числа.

Определение:

Прямая, для всех точек которой установлено указанное взаимооднозначное соответствие с множеством всех действительных чисел, называется числовой осью или числовой прямой.
В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом х действительное число х и точку х числовой оси.

Числовая ось позволяет дать наглядное представление о расположении действительных чисел. Неравенство x1 < х2 означает, что точка х1 лежит левее точки х2; двойное неравенство х1 < х3 < х2 означает, что точка xз лежит между точками x1 и х2.

Простейшие множества чисел

Дадим определения простейших числовых множеств, с которыми нам особенно часто придется иметьдело в дальнейшем.

Для наиболее важных множеств приняты стандартные обозначения. Так например, буквами N, Z, Q, R обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

Множество всех действительных чисел х (всех точек числовой оси), удовлетворяющих условию а ≤ х ≤ b, где а < b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b]. Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих условию а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b). Множество всех действительных чисел х, определяемых неравенствами а ≤ х < b, а < х ≤ b мы будем обозначать соответственно [а, b) и (а, b] и употреблять в обоих случаях равносильные термины: полуинтервал и полуотрезок. Мы будем рассматривать также бесконечные интервалы и полуинтервалы, вводя несобственные точки (числа) + ∞ и — ∞ . Таким образом, (о, + ∞) — множество всех действительных чисел х > а;

[а, + ∞) — множество всех действительных чисел х ≥ а; (— ∞, b — множество всех действительных чисел х < b; (— ∞, b] — множество всех действительных чисел х ≤ b; (- ∞, + ∞) — множество R всех действительных чисел (числовая прямая).

Определение:

Окрестностью точки х0 числовой оси называется любой интервал, содержащий точку х0.
Пусть δ — положительное число.

Определение:

δ -окрестностью точки хо называется интервал (хо — δ, хо + δ), симметричный относительно точки х0 (рис.4). Это — совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенств

Определение:

Интервал (xo — δ, х0 + δ), из которого выброшена точка х0, иногда называют проколотой δ -окрестностью точки xо.

Обозначение: (х0 — δ, х0) U (х0, х0 + δ ).

Точная верхняя и точная нижняя грани множества

Определение:

Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует число а такое, что для всякого числа х ∈ Е выполнено неравенство

х ≤ b.

Например, множество Е = (- ∞, 1] ограничено сверху.
Определение. Множество Е называется ограниченным снизу, если существует число а такое, что для всякого числа х ∈ Е выполнено неравенство

а ≤ х.

Так, множество всех натуральных чисел ограничено снизу.

Определение:

Множество Е называется ограниченным, если оно ограничено снизу и сверху, т. е. если существуют такие числа а и b, что для всякого числа х ∈ Е имеем

а ≤ х ≤ b.

Отсюда следует, что множество Е ограничено, если оно содержится в некотором отрезке [а, b].

Множество, не являющееся ограниченным сверху (снизу), называется неограниченным сверху (снизу). Например, множество всех натуральных чисел является неограниченным сверху (но ограниченным снизу); множество всех отрицательных чисел является неограниченным снизу (но ограниченным сверху). Множество всех целых чисел, множество всех рациональных чисел, а также множество всех действительных чисел являются множествами, не ограниченными как сверху, так и снизу.

Если множество Е ограничено сверху числом b, то это число b называют верхней гранью множества Е. В этом случае любое число b’, большее b, тоже будет верхней гранью множества Е.

Определение:

Число М называется точной верхней гранью множества Е, если

1) для любого х ∈ Е выполняется неравенство

х ≤ М.

2) для любого как угодно малого числа е > 0 найдется число х* ∈ Е такое, что

М — е < х* ≤ М.

Иными словами, точная верхняя грань множества Е есть наименьшая из всех верхних граней множества Е.

Точная верхняя грань множества Е обозначается

(сокращение от латинского слова supremum — наивысший). Для множества Е, не ограниченного сверху, будем считать по определению точную верхнюю грань равной + ∞ и писать

sup Е = + ∞.

Если множество Е ограничено снизу числом а, то это число а называют нижней гранью множества Е. Ясно, что всякое число, меньшее а, тоже будет нижней гранью множества Е.

Определение:

Число m называется точной нижней гранью множества Е, если

1) для любого х ∈ Е выполняется неравенство

х ≥ т.

2) для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется число х* 6 Е такое, что

т ≤ х* < т + е.

Таким образом, точная нижняя грань множества Е есть наибольшая из нижних граней этого множества.

Точная нижняя грань множества Е обозначается

(сокращение от латинского слова intimum — наинизший). Для множества Е, не ограниченного снизу, полагаем

inf Е = — ∞.

Примеры:

Если Е = [а, b], то inf Е = а, sup Е = b.

Если Е = (а, b), то опять inf E = а, sup E = b. В первом случае inf E и sup E принадлежат множеству Е, во втором — нет. Для множества

имеем inf Е = 0, sup Е = 1.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема:

Всякое ограниченное сверху непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу — точную нижнюю грань.

Логические символы. Логические высказывания

В дальнейшем изложении для сокращения записи и для упрощения построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями.

Квантор существования ∃ соответствует словам «существует», «существуют», «найдется». Квантор общности ∀ соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «для всех».

Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Например, высказываниями являются предложения «Математика есть наука», «2 меньше 3», «6 есть простое число». Напротив, предложения «Закройте дверь», «Сколько Вам лет?» не являются высказываниями. Условимся обозначать высказывания буквами а, β, γ и т. д.

Импликация а => β (читается «если а, то β» или «а влечет за собой β») означает высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда а истинно, а β ложно. Соотношение «если а, то β» не следует понимать как отношение основания и следствия. Напротив, высказывание а => β истинно всякий раз, когда а есть ложное высказывание. Иными словами, из неверного суждения следует любое суждение: если 2×2 = 5, то существуют ведьмы.

Эквиваленция а ⇔ β («а тогда и только тогда, когда β») означает логическую равносильность высказываний а и β.

Конъюнкция а ∧ β означает высказывание, составленное из высказываний а и β при помощи союза «и» (читается «а и β»), Конъюнкция а ∧ β считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда оба высказывания а и β истинны.

Дизъюнкция а ∨ β означает высказывание, образованное из высказываний а и β при помощи союза «или» (читается «а или β»), Дизъюнкция a ∨ β считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Отрицание. Пусть а — некоторое высказывание. Высказывание -а называют отрицанием высказывания а (читается «а с чертой» или «не а»). Высказывание -а истинно, если а ложно и, наоборот, ложно, если а истинно.

Отрицание некоторого свойства, содержащего кванторы ∀, ∃ и свойство А, получается заменой каждого квантора на двойственный (т. е. квантора общности на квантор существования и наоборот) и заменой свойства А на его отрицание -А. При этом, если

Необходимое и достаточное условия

Пусть β — некоторое высказывание. Всякое высказывание а, из которого следует β, называется достаточным условием для β. Всякое высказывание а, которое вытекает из β, называется необходимым условием для β. Например, пусть высказывания а и β таковы: а: «число х равно нулю»; β: «произведение ху равно нулю».

Тогда а является достаточным условием для β. Действительно, для того, чтобы произведение ху равнялось нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. Для того, чтобы х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю. Однако, β не является достаточным для а: из того, что произведение ху равно нулю, не вытекает, что обязательно число х равно нулю.

Теорему: «если истинно высказывание а, то истинно высказывание β», можно записать так: а => β и выразить любой из следующих формулировок:

«а является достаточным условием для β»;

«β является необходимым условием для а».

Если высказывания а и β таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е. а β и β => а, то говорят, что каждое из высказываний а и β является необходимым и достаточным условием для другого и пишут

а ⇔ β.

Другие употребительные формулировки:

1) для справедливости а необходимо и достаточно, чтобы имело место β;

2) а имеет место в том и только в том случае, если выполняется β;

3) а истинно тогда и только тогда, когда истинно β.

Метод математической индукции

Многочисленные примеры убеждают нас в том, что некоторое утверждение может быть справедливо в целом ряде частных случаев и в то же время быть несправедливым вообще. Вот один из таких примеров. Подставляя в выражение 991 п² + 1 вместо п последовательные натуральные числа 1, 2, 3,…, 10¹⁰, мы будем получать числа, не являющиеся полными квадратами. Однако делать отсюда вывод, что все числа такого вида не являются квадратами, было бы преждевременным: существуют п, при которых число 991 п² + 1 есть полный квадрат. Вот наименьшее из таких значений п:

12055735790331359447442538767

Поэтому естественно возникает следующий вопрос. Имеется утверждение а, зависящее от натурального параметра (числа) п и справедливое в нескольких частных случаях. Как узнать справедливо ли это утверждение вообще (при всех значениях параметра п)?

Этот вопрос иногда удается решить методом математической индукции (полной индукции). В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем.

Принцип математической индукции. Если

1) утверждение а(п) справедливо для п = 1;
2) из справедливости утверждения а(п) для какого-либо натурального числа п = к следует его справедливость для п = к + 1,
то утверждение а(п) справедливо для всякого натурального п.

Этот принцип принимают в качестве основного положения математического мышления.

В качестве его применения установим одно неравенство, называемое неравенством Бернулли: если h > -1, то (*)

В самом деле, неравенство (*) верно для п = 1. Допустим, что оно доказано для некоторого натурального п = т > 1, т. е.

и покажем, что оно справедливо при п = т + 1. Умножим обе части последнего неравенства на 1 + h > 0. Имеем

Отбрасывая справа неотрицательное слагаемое mh², получим

т. е. неравенство оказывается верным и для т + 1. Следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство (*) верно для всякого натурального числа п.

Числовая последовательность и ее предел

Если каждому натуральному числу п по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число аn, то говорят, что задана числовая последовательность

Числа называются членами последовательности; аn называют общим членом последовательности. Он содержит закон образования членов последовательности.

Ради сокращения записи последовательность будем обозначать . 1)

Примеры последовательностей:

Введем важное понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа е существует номер N такой, что все члены последовательности ап с номерами п > N удовлетворяют неравенству

1) Не следует путать последовательность с множеством . Так, например, последовательность {5} = 5, 5,…, 5…..в то время как множество {5} состоит из одного элемента 5.

Обозначения:

С помощью логических символов определение предела последовательности выражается следующим образом:

Геометрический смысл предела последовательности

Изобразим члены последовательности точками числовой оси (рис.5). Неравенство |ап -А| < ε, равносильное двойному неравенству А- ε < ап < A+ ε.

А + ε, означает, что точка аn находится в е-окрестности точки А.

Таким образом, число А есть предел последовательности , если какова бы ни была ε -окрестность точки А, найдется такой номер N, что все точки ап с номерами п > N будут содержаться в этой окрестности точки А, т.е. в интервале (А — ε , А + ε ); вне этого интервала может оказаться лишь конечное множество точек данной последовательности.

Определение:

Последовательность {а„} называется сходящейся, если она имеет (конечный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Пример:

Последовательность , все члены которой равны одному и тому же числу A (стационарная последовательность), имеет предел, равный этому числу А.

Пример:

Рассмотрим последовательность

с общим членом

Очевидно, что при больших п дробь мало отличается от единицы. Это дает основание предполагать, что

Докажем, что это действительно так. Возьмем произвольное ε > 0 и найдем натуральное число N такое, что при всех значениях п> N будет верно неравенство

Решим неравенство , считая п неизвестным:

Если взять в качестве N целое число, большее , то для всех п > N будет выполняться соотношение

а следовательно, и неравенство (2). Согласно определению, это означает, что

Номер N в определении понятия предела, вообще говоря, зависит от ε:

N = N( ε ).

Так в приведенном примере при ε = 0,1 в качестве N можно взять число 10 (или любое большее), а при ε = 0,01 в качестве N следует брать число, не меньшее, чем 100.

Замечание:

Номер N, фигурирующий в определении понятия предела последовательности, определяется заданием числа ε неоднозначно в следующем смысле: если неравенство (I) выполнено при всех п > N1, то оно выполнено и при n > N2, где N2 > N1. Как правило, не возникает необходимости искать среди этих номеров наименьший.

Сформулируем теорему, которая дает необходимое и достаточное условие существования предела последовательности.

Теорема:

Критерий Коши. Для сходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовал номер N такой, что для всех п > N и всех т > N было бы верно неравенство

Последовательность , удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Теорема:

Единственность предела последовательности. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Пусть последовательность имеет пределом число А. Докажем, что тогда никакое число В ≠ А не может быть пределом {ап}. Для этой цели возьмем е-окрестности точек А и В столь малыми, чтобы они не пересекались, например, возьмем

(рис.6).

Так как , то вне интервала (А — ε, А + ε), в частности, в интервале (В — ε, В + ε) может располагаться лишь конечное число точек из последовательности . Поэтому число В и не может быть пределом последовательности .

Определение:

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что

Пример:

Последовательность … — п,-(п — 1),…,-3, — 2, — 1 ограничена сверху: любой член этой последовательности меньше нуля.

Определение:

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что

Пример:

Последовательность 1, 2, 3………. ограничена снизу: любой член этой последовательности не меньше единицы.

Определение:

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа m и М такие, что

Геометрически это означает, что все точки, изображающие члены последовательности , лежат на отрезке [т, М].

Пример:

Последовательность с общим членом ограничена: при всяком п имеем

Иногда бывает удобнее другое, равносильное определение.

Определение:

Последовательность называется ограниченной, если существуют число К > 0 такое, что для любого п выполнено неравенство

Сформулируем определение ограниченности последовательности с помощью логических символов:

Определение неограниченной последовательности получаем из предыдущего заменой квантора существования на квантор общности, квантора общности на квантор существования и обращения неравенства:

Пример:

Последовательность {2ⁿ} — неограниченная.

Каково бы ни было число К > 0, найдется п такое, что 2ⁿ > К, именно п > log2 К. Тем самым, последовательность { 2ⁿ } неограничена.

Определение:

Последовательность {ап} называется бесконечно большой, если для любого как угодно большого числа М > 0 существует номер N такой, что

Мы пишем в этом случае, что

Если последовательность {ап} такова, что

то эту последовательность также называют бесконечно большой и пишут

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Напротив, неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Такова, например, последовательность .

Теорема:

Об ограниченности сходящейся последовательности. Всякая сходящаяся последовательность ограничена, т. е. существуют числа т и М такие, что

для всех членов данной последовательности.
Пусть= А. Возьмем какое угодно ε > 0. Тогда найдется такой номер N, что все члены аn с номерами п > N будут содержаться в интервале (А- ε, А+ ε), а вне этого интервала могут оказаться только точки (рис. 7). Последних конечное множество. Поэтому среди них есть самая левая точка а_ и самая правая точка а+. Обозначим через т меньшее из двух чисел а_ и А — ε

а через М — большее из чисел а+ и А + ε

Тогда на отрезке [т, М] будут находиться точки также интервал (A — ε, А + ε), содержащий все точки аn с номерами п ≥ N + 1.

Следовательно, отрезок [т, М] будет содержать все члены данной последовательности , что и означает ее ограниченность.

Из теоремы 4 следует, что необходимым условием сходимости последовательности является ее ограниченность. Однако для сходимости последовательности условие ограниченности достаточным не является.

Пример:

Ограниченная последовательность

1,0,1,0,1,… (3)

расходится.

Предположим противное, т.е. что последовательность (3) имеет предел, равный числу А. Тогда для любого ≥ > 0, в частности, для ε =1/4 должно найтись натуральное число N такое, что

Поскольку члены последовательности (3) равны то единице, то нулю, будут выполняться неравенства

откуда легко вытекает, что

т.е. I < 1/2

Полученное противоречие свидетельствует о том, что наше допущение о сходимости последовательности (3) неверно. Значит, последовательность (3) предела не имеет, т. е. расходится.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Теорема:

Если последовательности {ап} и {bп} сходятся, то сходится и последовательность {аn + bп}, причем

Пусть Тогда для любого ε > 0 найдется номер N1 такой, что для всех п > N1 будет верно неравенство

Аналогично найдется номер N2 такой, что для всех п > N1 будем иметь

Положим N = max{N1, N2}. Тогда для всякого п > N будут одновременно выполняться неравенства (2) и (3). Поэтому для всех п > N будем иметь

Согласно определению, это означает, что последовательность { аn +bn} сходится и имеет место равенство (1).

Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа сходящихся последовательностей.

Похожими рассуждениями доказываются следующие утверждения.

Теорема:

Если последовательности {аn} и {bn} сходятся, то сходится и последовательность {аn — bn}, причем

Теорема:

Если последовательности {аn} и {bn} сходятся, то сходится и поcледовательность {аn • bп}, причем

Теорема:

Если последовательности {аn} и {bn} сходятся, причем , то последовательность также сходится и

Монотонные последовательности

Определение:

Последовательность {ап} называется неубывающей, если

Последовательность {аn} называется невозрастающей, если

Определение:

Последовательность {аn} называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.

Неубывающая последовательность {аn} будет ограниченной, если она ограничена сверху, т. е. если существует такое число М, что аn ≤ М ∀ n.

В самом деле, в этом случае все члены последовательности лежат на отрезке [а1,М].

Невозрастающая последовательность {ап} будет ограниченной, если она ограничена снизу, т. е. если существует число т такое, что ап ≥ т ∀ n.

Все члены последовательности {аn} будут лежать на отрезке [m, a1].

Теорема:

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Так как последовательность {аn} ограничена, то множество ее элементов имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть М — точная верхняя грань множества элементов последовательности {аn}. Покажем, что если {ап} — неубывающая последовательность, то

= М.

Согласно определению точной верхней грани, для любого числа ε > О можно указать элемент a_N такой, что a_N > М — ε и a_N < М. Из этих двух неравенств следует двойное неравенство 0 ≤ М — a_N < ε. Так как {аn} — неубывающая последовательность, то при ∀n ≥ N верны неравенства

Отсюда вытекает, что

или

Это означает, что число М есть предел последовательности (an}.

Аналогично доказывается, что если {аn} — невозрастающая ограниченная последовательность и т — точная нижняя грань множества элементов последовательности, то = m.

Замечание:

Монотонность не является необходимым условием сходимости последовательности. Например, немонотонная последовательность сходится: = 0.

Из теоремы 9 следует важное свойство стягивающейся системы вложенных отрезков.

Лемма (Кантор):

Пусть задана последовательность отрезков

вложенных друг в друга, т. е. таких, что (п = 1,2,…), с длинами, стремящимися к нулю: аn = bn — аn —» 0 при п —» ∞. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем отрезкам ап.

Эта лемма выражает замечательное свойство непрерывности множества действительных чисел или свойство полноты числовой прямой (сплошное, без «дырок», заполнение этой прямой действительными числами).

Число е

Рассмотрим последовательность {an} с общим членом

Выпишем несколько ее первых членов:

Легко видеть, что а1 < а2 < аз.

Пользуясь формулой бинома Ньютона 2), можно показать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена, причем

Значит, эта последовательность имеет предел, который обозначают буквой е,

Число е иррациональное, е ≈ 2,7183 … . По некоторым соображениям число е удобно выбрать в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа х > 0 обозначается символом In x.

2) Формулой бинома Ньютона называется формула

где, по определению, k = 1 • 2 • 3 • • • k.

В частности,

т.е. получаем знакомые формулы квадрата суммы и куба суммы двух слагаемых.

Замечание:

Существование предела последовательности можно доказать, если воспользоваться неравенством Бернулли.

В самом деле, в силу этого неравенства т. е. последовательность {an} ограничена снизу. Рассмотрим последовательность {bn}, где

Ясно, что Имеем

Применив опять неравенство Бернулли к выражению

получим

т.е. .

Таким образом, последовательность {bn} — невозрастающая и ограниченная снизу и потому имеет предел. Но тогда существует и предел последовательности {аn}, причем

Комплексные числа и действия над ними

В этом параграфе изложены основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексного числа, действиям с комплексными числами и их геометрической интерпретации.

Комплексным числом называется выражение вида

z = х + iy

(алгебраическая форма записи комплексного числа), где х и у — произвольные действительные числа, а i — мнимая единица — удовлетворяет условию i2 = — 1. Числа х и у называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частями комплексного числа z = х + iy.

Обозначения: х = Re z, у = Im z.

Комплексное число вида х + i0 отождествляется с действительным числом х. Комплексные числа z1 = х1 + iy1, и z2 = х2 + iу2 называются равными, z1 = z2, если х1 = х2 и у1 = у2.

Введем алгебраические операции над комплексными числами.

1) Сложение. Суммой z1 + z2 комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = х2 + iy2 называется комплексное число (1)

Непосредственно проверяются основные законы сложения — переместительный:

и сочетательный:

Сложение допускает обратную операцию — вычитание: для любых двух комплексных чисел z1 и z2 можно указать такое число z, что z1 = z + z2. Это комплексное число z называется разностью комплексных чисел z1 и z2 и обозначается черезz1 — z2:
(2)

2) Умножение. Произведением Z1Z2 комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число
(3)

Эту формулу легко запомнить: достаточно при обычном перемножении (z1 + iy1) и (х2 + iy2) учесть, что i² = — 1. Если z1 и z2 — действительные числа, то правило (3) совпадает с обычным.

Несложно проверить, что при таком определении произведения сохраняются основные законы умножения — переместительный:

сочетательный:

распределительный (относительно сложения):

Умножение допускает обратную операцию — деление: для любых двух комплексных чисел z1 и z2 (z2 ≠ 0) можно найти такое комплексное число z, что

z1 = z2z. (4).

Комплексное число z называется частным от деления z1 на z2 и обозначается через .

Укажем формулу для вычисления частного. Пусть

Тогда из формулы (4) вытекает, что (5)

Полученная система (5) при z2 ≠ 0 всегда разрешима относительно х и у. Имеем
(6)

Комплексное число

называется сопряженным комплексному числу z = x + iy. Укажем некоторые свойства операции сопряжения:
(7)

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Комплексное число z = х + iy изображается на плоскости хОу точкой М с координатами (х, у) либо вектором, начало которого находится в точке 0(0,0), а конец — в точке М (х, у) (рис. 8). Такую плоскость будем называть комплексной плоскостью z; ось Ох — действительной (вещественной) осью, а ось Оу — мнимой осью.

Для определения положения точки М ≠ 0 на координатной плоскости удобно пользоваться полярными координатами (r, θ), где r — длина вектора , а θ — угол между вектором и осью Ох (рис.9). Переходя в алгебраической форме записи комплексного числа z = х + iy к полярным координатам

х = r cos θ, у — r sin θ,

получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

r = r(cos θ + r sin θ), z ≠ 0. (8)

Полярный радиус r называется модулем комплексного числа z, а полярный угол θ — его аргументом.

Обозначение: r = z, θ = Argz.

Модуль комплексного числа определяется однозначно:
(9)

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 определен с точностью до слагаемого, кратного 2 π: (10)

где arg z — главное значение аргумента, задаваемое следующими условиями (11)

и (12)

Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определен, а модуль этого числа равен нулю.

Два отличны от нуля комплексных числа z1 и z2 равны между собой в том и только в том случае, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на слагаемое, кратное 2 π: (13)

где п — целое число.

Пример:

Найти модуль и аргумент комплексного числа

Имеем

Главным значением аргумента, согласно (12) будет

Следовательно,

Отмеченное выше соответствие между комплексными числами и векторами на плоскости придает естественный геометрический смысл операциям сложения и вычитания комплексных чисел (см. рис. 10, где изображена сумма и разность комплексных чисел z1 и z2).

Легко устанавливаются следующие неравенства. (14)

Для простоты письма введем сокращенное обозначение (15)

(полный смысл введенного обозначения будет установлен в дальнейшем). Это пoзволяет записать комплексное число (8) в показательной форме
(16)

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны для выполнения операции умножения и деления комплексных чисел. Если и , то (17)

В самом деле

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: (18)

Так же просто выполняется операция деления комплексных чисел:
(19)

(при r2 ≠ 0). Из формулы (19) видно, что
(20)

Определим операцию возведения комплексного числа z в натуральную степень п:

В силу формулы (17) возведение комплексного числа

в степень п можно производить по правилу
(21)

Из последнего соотношения при r = 1 получается формула Муавра
(22)

Обратная операция — извлечение корня — определяется следующим образом. Комплексное число w называется корнем п-й степени из комплексного числа z, если
(23)

Обозначение:

Покажем, что для любого z ≠ 0 корень имеет п различных значений. Подставляя

в формулу (23), получаем
(24)

Напомним, что из равенства комплексных чисел вытекает равенство их модулей, а аргументы чисел либо совпадают, либо различаются на слагаемое, кратное 2 π. Поэтому из соотношения (24) вытекают равенства

или, что тоже,
(25)

Первое из равенств (25) показывает, что модули всех корней п-й степени из z одинаковы, а второе — что их аргументы различаются на слагаемое, кратное . Отсюда вытекает, что точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа z ≠ 0, расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке w = 0 (рис. 11).

Придавая в формуле (25) числу к значения 0, 1,2,… ,п— 1, получим п различных комплексных чисел

или

Пример:

Найти все значения

Запишем комплексное число z = i в показательной форме

В соответствии с формулами (27) получаем

Отсюда

(рис. 12).

Предел последовательности комплексных чисел

Пусть {zn} — последовательность комплексных чисел.

Определение:

Комплексное число z называется пределом последовательности {zn}, если для любого ε > 0 найдется номер N = N( ε ) такой, что для всех п ≥ N выполняется неравенство

Последовательность {zn}, имеющая пределом комплексное число z, называется сходящейся к числу z.

Обозначения:

Каждый элемент zn = xn + iyn последовательности {zn} характеризуется парой действительных чисел хп и уп. Поэтому последовательности комплексных чисел {zn} соответствуют две последовательности вещественных чисел {in} и {уп}, составленные из действительных и из мнимых частей элементов zn последовательности {zn}.

Теорема:

Последовательность комплексных чисел {zn} является сходящейся в том и только в том случае, когда одновременно сходятся обе последовательности действительных чисел {хn} и {уп} (zn = хn + iyn).

Пусть последовательность {zn} сходится к числу z. Это означает, что для любого ε > 0 можно указать номер N, такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство |zn — z| < ε. Так как |хn — х| ≤ |zn — z| и |уп — y| ≤ |zn — z| < ε, то отсюда следует, что

Обратно, если то тогда для любого ε > 0 найдется номер N1 такой, что

Поэтому

Тем самым,

Доказанное утверждение позволяет переносить на последовательности комплексных чисел все основные факты, установленные для сходящихся последовательностей действительных чисел.

Простейшие виды числовых множеств

Числовыми множествами называют множества, элементы которых являются числами. Простейшими среди них являются множество натуральных чисел

и множество целых чисел

Они являются подмножествами множества рациональных чисел

Рациональные числа определяются как обыкновенные дроби. Можно показать, что каждая обыкновенная дробь представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, Верно и обратное: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь записывается в виде обыкновенной дроби. Поэтому рациональные числа можно также определять как бесконечные периодические десятичные дроби.

Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. Таковым, например, является число Отметим следующие иррациональные числа, играющие особую роль в математике и ее приложениях:

Обозначим множество иррациональных чисел через I.

Пример:

Покажем, что число является иррациональным. В предположении противного оно является рациональным числом, т. е. найдутся натуральные числа и такие, что Можно считать, что числа и несократимы, в частности, по крайней мере, одно из них является нечетным. Возведя

в квадрат обе части равенства получим т. е. число и, следовательно, само четно. Тогда некоторое натуральное число. Отсюда получим и, следовательно, т. е. число также является четным, что противоречит предположению. Таким образом, число является иррациональным.

Множество вещественных чисел

Множество вещественных (действительных) чисел определяется равенством Другими словами, вещественные числа определяются как числа либо рациональные, либо иррациональные.

Множество вещественный чисел является наиболее широким из рассмотренных выше числовых множеств: оно содержит как подмножества множества N натуральных чисел, Z целых чисел, Q рациональных чисел и I иррациональных чисел.

Непрерывность множества вещественных чисел

Множество R вещественных чисел обладает важным свойством, называемым непрерывностью этого множества.

• Пусть и при этом для Тогда такое, что для

Это свойство говорит о том, что между множествами Х и не может быть «дырки», т. е. пустого множества. Поэтому его и называют «непрерывностью» множества вещественных чисел.

Множество Q рациональных чисел таким свойством не обладает. Действительно, если рассмотреть два его подмножества

то для В то же время не найдется числа такого, что для так как таким числом может быть только , которое не является рациональным.

Наиболее употребительные числовые множества

Пусть причем Ниже будут использоваться обозначения:

При этом множество вещественных чисел будет обозначаться в виде:

Введенные в рассмотрение числовые множества называются промежутками, при этом множество — отрезком, множество — интервалом, а множества — полуинтервалами.

Абсолютное значение вещественного числа

Абсолютным значением или модулем числа называется неотрицательное число определяемое равенством:

Отметим следующие полезные неравенства

верные для любых вещественных чисел и (докажите их!).

Грани числовых множеств

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если такое, что для При этом число с называется верхней (нижней) гранью множества М. Если М является одновременно ограниченным и сверху и снизу, то оно называется ограниченным.

Каждый промежуток вида является, очевидно, ограниченным множеством (покажите это). Промежуток является ограниченным сверху и неограниченным снизу, а промежуток — наоборот. Наконец, множество R всех вещественных чисел неограниченно и сверху и снизу.

Пусть М — ограниченное сверху множество. Естественен вопрос о том, имеет ли это множество «максимальный» элемент, т. е. найдется ли число такое, что для Если такой «максимальный» элемент существует, то пишут Аналогично определяется понятие «минимального» элемента для ограниченного снизу множества М; если «минимальный» элемент существует и равен то пишут

Пример:

Рассмотрим множества

Очевидно, что эти множества ограниченные, причем В то же время множество В не имеет максимального элемента (покажите!), а множество С не имеет минимального элемента (покажите!).

Приведенный пример показывает, что максимальный или мини-г мальный элемент у ограниченного бесконечного множества может не существовать (покажите, что для конечных множеств такие элементы всегда существуют!).

Пусть М. — ограниченное сверху множество и пусть существует max М. Докажем, что число является верхней гранью множества М, при этом для любой другой верхней грани с выполнено неравенство является наименьшей верхней гранью множества М. Действительно, так как то для следовательно, число является верхней гранью множества М. Далее, если с — другая верхняя грань множества М, то для и так как что и требовалось доказать.

Таким образом, если М — ограниченное сверху множество и существует , то существует наименьшая верхняя грань этого множества (совпадающая в этом случае с ). Правомерен вопрос о существовании наименьшей верхней грани для произвольного ограниченного сверху множества М. Оказывается, такая верхняя грань всегда существует (даже если не существует ); ее называют точной верхней гранью множества М и обозначают символом sup М (читается «супремум» множества М). Аналогично определяется понятие точной нижней грани множества М, которая обозначается символом inf М (читается «инфимум» множества М). Сформулируем сказанное в виде теоремы.

Теорема:

Если множество М ограничено сверху (снизу), то существует sup М (inf М).

► Пусть множество М ограничено сверху. Обозначим через G множество верхних граней множества М. Тогда для любых и выполнено неравенство В силу свойства непрерывности вещественных чисел найдется вещественное число с такое, что любых и . Тогда, во-первых, число с является верхней гранью множества М и, во-вторых, с не превосходит любую другую верхнюю грань этого множества, т. е. с = sup М. Аналогично рассматривается случай, когда множество М ограничено снизу.

Пример:

Пусть М = (3,5). Тогда supM = 5 и inf М = 3. Покажем, например, справедливость первого равенства. Так как х < 5 для (3,5), то число с = 5 является верхней гранью множества М. Остается показать, что оно является наименьшей верхней гранью. Допустим противное, т. е. существует верхняя грань множества М такая, что Через обозначим среднее арифметическое чисел и 5, т. е. тогда с одной стороны, т. е. , а с другой стороны, , что противоречит предположению о том, что верхняя грань множества М.

Пример:

Пусть А = Тогда и inf А = 0. Действительно, так как множество А имеет максимальный элемент, то Покажем теперь, что inf А = 0. Так как элементы множества А положительны, то число 0 является нижней гранью этого множества. Пусть теперь с — какая-либо другая нижняя грань множества А. Тогда Действительно, допустим, что с > 0. Очевидно найдется, натуральное число такое, что Так как то это противоречит тому, что с является нижней гранью множества А. Итак, и, следовательно, inf А = 0.

Отметим следующее важное свойство точных верхних и нижних граней.

Теорема:

Пусть М — ограниченное сверху (снизу) множество и Тогда для такое, что

► Рассмотрим только случай, когда М ограничено сверху. Допустим, что утверждение теоремы не верно, т. е. такое, что для выполнено неравенство тогда число является верхней гранью множества М, причем меньшей, чем a = supM. Это противоречит тому, что sup М является наименьшей верхней гранью.

Теорема 2.2 указывает на тот факт, что если множество М ограничено сверху (снизу) и то в нем найдутся числа, как угодно близкие к (которые могут, конечно, и совпадать с , если множество М имеет максимальный (минимальный) элемент).

Понятие супрермума (инфимума) было дано для ограниченного сверху (снизу) множества. Если же множество М не ограничено сверху (снизу), то естественно полагать:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

конечные – совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
бесконечные – не являющиеся конечными (например, числовые);
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком – ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете – от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы – каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N – подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

Транзитивность – законы включения:

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

S ∩ S = S;
S ∪ S = S.

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно – несчетным. Другими словами, счетная единица – это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств – достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Источник

Основные понятия о числовых множествах

Соединения. Бином Ньютона

Комплексные числа

Операции над комплексными числами

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Числовые множества и форма их представления

Свойства объединения и пересечения числовых множеств

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

Неограниченные числовые множества

Счетные и несчетные множества

Что такое множество чисел

Виды чисел

Примеры решения задач

Что такое множество чисел?

Виды чисел

Примеры задач по определению множества чисел

Числовые множества

Числовые множества и числовые последовательности

Множества

Действительные числа. Абсолютная величина

Числовая ось. Простейшие множества чисел

Простейшие множества чисел

Точная верхняя и точная нижняя грани множества

Логические символы. Логические высказывания

Необходимое и достаточное условия

Метод математической индукции

Числовая последовательность и ее предел

Геометрический смысл предела последовательности

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Монотонные последовательности

Число е

Комплексные числа и действия над ними

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Предел последовательности комплексных чисел

Простейшие виды числовых множеств

Множество вещественных чисел

Непрерывность множества вещественных чисел

Наиболее употребительные числовые множества

Абсолютное значение вещественного числа

Грани числовых множеств

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество натуральных чисел

Множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Операции над множествами

Объединение

Пересечение

Дополнение

Свойства операций над множествами

Счетные и несчетные множества

Вам также может понравиться

Как найти путь торможения через скорость

Как составить характеристику организации пример

Как исправить недоваренные макароны

Добавить комментарий Отменить ответ