Как найти числовое выражение одночлена

Как найти числовое выражение одночлена

Определения и примеры

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab2 и −62aa2b3 являются одночленами.

Приведём ещё примеры одночленов:

примеры одночленов

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 52 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

3a25ab2

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

15

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержатся степени a2 и a3, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a2 и a3 даст в результате a5. Записываем a5 рядом с числом 15

15a5

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержится степень b2. Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

15a5b2

Мы привели одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a5b2

3a25a3b2 = 15a5b2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a5b2 является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya2 к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

15

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x2.

15x2

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

15x2y

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится степень a2, которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

15x2ya2

Получили одночлен 15x2ya2, который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x2ya2 примет вид 15a2x2y.

Поэтому, 5xx3ya2 = 15a2x2y.

Пример 2. Привести одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m3n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m3 × m × n × n = 0,8m4n2

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m3 × m и n × n

2m3n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m3 × m) × (n × n) = 0,8m4n2

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

2m3n × 0,4mn = 0,8m4n2

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a2b и 2a2b

6a2b + 2a2b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a2b оставим без изменений

6a2b + 2a2b = 8a2b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a2b3 одночлен 2a2b3

5a2b3 − 2a2b3

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

5a2b3 − 2a2b3 = 5a2b3 + (−2a2b3) = 3a2b3

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

5a2b3 − 2a2b3 = 3a2b3

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 2. Перемножить одночлены 5x2y3 и 7x3y2c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x2y3 × 7x3y2c = (5 × 7) × (x2x3) × (y3y2) × c = 35x5y5c

Пример 3. Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4

−5a2bc × 2a2b4 = (−5 × 2) × (a2a2) × (bb4) × c = −10a4b5c

Пример 4. Перемножить одночлены x2y5 и (−6xy2)

x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7

Пример 5. Найти значение выражения -3 на 5 axy na 5axy пример

-3 на 5 axy na 5axy решение

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a2b2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

8a2b2 на 4ab

Первый одночлен 8a2b2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2. В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:

8a2b2 на 4ab шаг 2

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a2, в делителе — просто a. Делим a2 на a, получаем a, поскольку a2 : a = a2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2

8a2b2 на 4ab шаг 3

Далее в делимом содержится b2, в делителе — просто b. Делим b2 на b, получаем b, поскольку b2 : b = b2 − 1 = b. Записываем в частном b после a

8a2b2 на 4ab шаг 4

Значит, при делении одночлена 8a2b2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a2b2

2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a2b2

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy2 нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy2.

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy2, поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy2.

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x2y2z на 2xy, получается 2xyz. Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x2 разделили на x, получили x, затем y2 разделили на y, получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:

4x2y2z na 2xy решение

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x2y2z

2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x2y2z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy2 на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy. Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3xy). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

6xy2 na 3xyz шаг 1

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

6xy2 na 3xyz шаг 2

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

6xy2 na 3xyz шаг 3

Пример 2. Разделить одночлен 12a2b3c3 на одночлен 4a2bc

12a2b3c3 na 4a2bc решение

Пример 3. Разделить одночлен x2y3z на одночлен xy2

x2y3z na xy2 решение

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x2 нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x2, входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x2 даст в результате делимое 2x.

Конечно, мы можем выполнить деление x на x2, воспользовавшись свойством степени с целым показателем:

дмм рис 1

и такое частное при перемножении с делителем x2 будет давать в результате делимое 2x

дмм рис 2

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное 2 на x целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

(xy)2 = x2y2

Пример 2. Возвести одночлен −5a3b во вторую степень.

(−5a3b)2 = (−5)2 × (a3)2 × b2 = 25a6b2

Пример 3. Возвести одночлен −a2bc3 в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

(−a2bc3)5 = (−1)5 × (a2)5 × b5 × (c3)5 = −1a10b5c15 = −a10b5c15

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a10b5c15, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a10b5c15.

Пример 4. Представить одночлен 4x2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x2. Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x2

(2x)2 = 22x2 = 4x2

Значит, 4x2 = (2x)2. Выражение (2x)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a6.

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a3. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a3.

Таким образом, если произведение 11a3 возвести во вторую степень, то получится  121a6

(11a3)2 = 112 × (a3)2 = 121a6

Значит, 121a6 = (11a3)2. Выражение (11a3)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a3b2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

3a3b2 = 3aaabb

Либо степень b2 можно не раскладывать на множители b и b

3a3b2 = 3aaab2

Либо степень b2 разложить на множители b и b, а степень a3 оставить без изменений

3a3b2 = 3a3bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a2b3c4 на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a2 разложим на множители aa, степень b3 — на множители bbb, степень c4 — на множители cccc

10a2b3c4  = 2 × 5 × aabbbcccc

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.

Задание 2. Приведите одночлен 0,5m × 2n к стандартному виду.

Решение:

0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn

Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b2 к стандартному виду.

Решение:

−8ab(−2,5)b2 = −8 × (−2,5) × a × (b × b2) = 20ab3

Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 5. Приведите одночлен −2x3 × 0,5xy2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 6. Приведите одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду.

Решение:

Задание 7. Приведите одночлен  к стандартному виду.

Решение:

Задание 8. Приведите одночлен  к стандартному виду.

Решение:

Задание 9. Перемножьте одночлены 2x и 2y

Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y

Решение:

6x × 5x × y = 30x2y

Задание 11. Перемножьте одночлены 2x2, 2x3 и y2

Решение:

2x2 × 2x3 × y2 = (2 × 2) × (x2x3) × y2 = 4x5y2

Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5x3

Решение:

−8x × 5x3 = (−8 × 5)×(xx3) = −40x4

Задание 13. Перемножьте одночлены x2y5 и (−6xy2)

Решение:

x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7

Задание 14. Выполните умножение:

Решение:

Задание 15. Выполните умножение:

Решение:

Задание 16. Возведите одночлен x2y2z2 в третью степень

Решение:

(x2y2z2)3 = (x2)3 × (y2)3 × (z2)3 = x6y6z6

Задание 17. Возведите одночлен xy2z3 в пятую степень.

Решение:

(xy2z3)5 = x5 × (y2)5 × (z3)5 = x5y10z15

Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.

Решение:

(4x)2 = 42 × x2 = 16x2

Задание 19. Возведите одночлен 2y3 в третью степень.

Решение:

(2y3)3 = 23 × (y3)3 = 8y9

Задание 20. Возведите одночлен −0,6x3y2 в третью степень.

Решение:

(−0,6x3y2)3 = (−0,6)3 × (x3)3 × (y2)3= −0,216x9y6

Задание 21. Возведите одночлен −x2yz3 в пятую степень.

Решение:

(−x2yz3)5 = (−x2)5 × y5 × (z3)5= −x10y5z15

Задание 22. Возведите одночлен −x3y2z во вторую степень.

Решение:

(−x3y2z)2 = (−x3)2 × (y2)2 × z2 = x6y4z2

Задание 23. Представьте одночлен −27x6y9 в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:

−27x6y9 = (−3x2y3)3

Задание 24. Представьте одночлен −a3b6 в виде одночлена, возведённого в куб.

Задание 25. Выполните деление

Решение:

Задание 26. Выполните деление

Решение:

Задание 27. Выполните деление

Решение:

Задание 28. Выполните деление

Решение:

Задание 29. Выполните деление

Решение:

Задание 30. Выполните деление

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже


Источник

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Являются одночленами

Не являются одночленами

$ 5m^2 n $

$ left(frac{3}{4}right)^2 k $

$8^3$

$ -34m^7 pm^4 z$

abcde

$a^2 b+1$

$ 4(k+n)^2 $

$ 500-m^4+2m^2 $

$ 10p^2+k $

Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.

Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.

Например:

$x^2cdot23xy$ – одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

  1. Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
  2. Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $

Источник

Определение одночлена и его отличия от других выражений

Важность понятия

Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.

Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.

Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:

  • единственные числа;
  • буквы;
  • буквенно-числовые произведения.

Примеры на сложение, вычитание

Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.

Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.

Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.

С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные. Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами». Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Понятие степени, коэффициента

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

  • 23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
  • 12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
  • -5 * d2 — запись, содержащая степень;
  • 12 * 3 5/6 * x2 * y4 — пример сложного порядка;
  • x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Виды одночлена

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a3 * 1*3 * b * 3 * а * b3 хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a4 * b4. Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d2* k10 и 1/8 * d2 * k10 — подобны.

Действия над выражениями

После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.

Существует три закона умножения:

Решение задач с возведением

  1. Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
  2. Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
  3. Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.

При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p3 * s5 (-7 * c3 * p2) = -14 * с2 * p5 * s5.

Деление происходит аналогичным образом. При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты. В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p3 * d4 * r6: 4 * p * d2 * r3 = 3 * p2 * d2 * r3.

Возведение в степень выполняют согласно правилам свойств степеней. Так как операция возведения это не что иное, как умножение члена самого на себя столько раз, сколько показывает число в показателе. Например, (3*с)3 = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с). Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c3 = 9 * c * p3.

Как решать задачи с одночленами

Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

  1. Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
  2. Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
  3. Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.

Решения одночленов

Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.

Можно выделить следующие виды типовых заданий:

Способы упрощения и примеры решения задач с одночленами

  1. Пусть дан многочлен: 14 a7b13mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
  2. Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a7c5d * 3b9c6d7k. Решение задания будет следующим: 12a7c5d * 3b9c6d7k = 36a7b9c11d8k.

  3. Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a7b5k14m на 8 a5bk3. Итак, при делении получится следующее: 16 a7b5k14m / 8 a5bk3 = 2a2b4k11m.

  4. Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a7b5ck + 7a7b5ck = 9 a7b5ck или 9 p5 — 3p5 = 6p5. То есть действие выполняется только над коэффициентами.

  5. Дан многочлен вида: 2a7b5kz3. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a7b5kz3)5 = 32a35 b25k5z15.

При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.

Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

Онлайн калькулятор для решения задач

  1. Kontrolnaya-rabota. Сервис хоть и ориентирован на учащихся старших классов, но по своим возможностям довольно функционален. Так, с его помощью можно преобразовать даже комплексные выражения. Всё, что требуется от пользователя, это правильно ввести выражение и нажать кнопку «Упростить».
  2. Umath. Программа даёт возможность упростить любое алгебраическое выражение. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Ограничений в размере формулы нет.
  3. Mathforyou. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь сможет выполнить различные действия над выражением, содержащим числовое и символьное обозначение. Для правильного вычисления нужно предварительно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.

Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.

Источник

Начальные понятия и сведения об одночленах в алгебре содержат уточнение, что любой одночлен возможно привести к стандартному виду. Что значит записать число в стандартном виде? Какие можно привести примеры стандартного вида одночлена? В материале ниже мы рассмотрим эти вопросы подробнее: обозначим, что означает смысл данного действия, определим шаги, позволяющие задать стандартный вид одночлена, а также закрепим теорию решением примеров с одночленами.

В свою очередь многочленом называют сумму одночленов. Эту информацию дают еще на уроке в школе в 7-ом классе.

Значение приведения одночлена к стандартному виду

Запись одночлена в стандартном виде позволяет более удобно работать с ним. Зачастую одночлены задаются в нестандартном виде, и тогда появляется необходимость осуществления тождественных преобразований для приведения заданного одночлена в стандартный вид. То есть, одночлены нужно преобразовывать: написать в стандартном виде. 

Дадим определение, что такое стандартный вид одночлена (с примерами).

Определение 1

Приведение одночлена к стандартному виду – это выполнение соответствующих действий (тождественных преобразований) с одночленом с целью записи его в стандартном виде.

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду?

Из определения следует, что одночлен нестандартного вида представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней, при этом возможно их повторение. В свою очередь, стандартный одночлен содержит в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени.

Что значит привести одночлен к стандартному виду? Чтобы привести нестандартный одночлен в стандартный вид, необходимо использовать следующее правило приведения одночлена к стандартному виду:

  • первым шагом того, как записать одночлен в стандартном виде, является выполнение группировки числовых множителей, одинаковых переменных и их степеней;
  • второй шаг в том, как приводить одночлен к стандартному виду, заключается в вычислении произведений чисел и применение свойства степеней с одинаковыми основаниями.

Примеры и их решение

Пример 1

Задан одночлен 3·x·2·x2. Необходимо привести его к стандартному виду.

Решение

Осуществим группировку числовых множителей и множителей с переменной х, в результате заданный одночлен примет вид: (3·2)·(x·x2).

Произведение в скобках составляет 6. Применив правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, выражение в скобках представим, как: x1+2=x3. В результате получим одночлен стандартного вида: 6·x3.

Краткая запись решения выглядит так: 3·x·2·x2=(3·2)·(x·x2)=6·x3.

Ответ: 3·x·2·x2=6·x3.

Пример 2

Задан одночлен: a5·b2·a·m·(-1)·a2·b . Необходимо привести его в стандартный вид и указать его коэффициент.

Решение

заданный одночлен имеет в своей записи один числовой множитель: -1, осуществим его перенос в начало. Затем произведем группировку множителей с переменной а и множителей с переменной b. Переменную m группировать не с чем, оставляем в исходном виде. В результате перечисленных действий получим: -1·a5·a·a2·b2·b·m.

Выполним действия со степенями в скобках, тогда одночлен примет стандартный вид: (-1)·a5+1+2·b2+1·m=(-1)·a8·b3·m. Из этой записи мы легко определяем коэффициент одночлена: он равен -1. Минус единицу вполне возможно заменить просто знаком минус: (-1)·a8·b3·m=-a8·b3·m.

Краткая запись всех действий выглядит так:

a5·b2·a·m·(-1)·a2·b=(-1)·(a5·a·a2)·(b2·b)·m==(-1)·a5+1+2·b2+1·m=(-1)a8·b3·m=-a8·b3·m

Ответ:

a5·b2·a·m·(-1)·a2·b=-a8·b3·m, коэффициент заданного одночлена равен -1.

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Комментарии преподавателя

По­ня­тие од­но­чле­на. Стан­дарт­ный вид од­но­чле­на

Рас­смот­рим неко­то­рые при­ме­ры:

1. ;

2. ;

3. ;

Най­дем общие черты для при­ве­ден­ных вы­ра­же­ний. Во всех трех слу­ча­ях вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем чисел и пе­ре­мен­ных, воз­ве­ден­ных в сте­пень. На ос­но­ва­нии этого дадим опре­де­ле­ние од­но­чле­на:

од­но­чле­ном на­зы­ва­ют такое ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, ко­то­рое со­сто­ит из про­из­ве­де­ния сте­пе­ней и чисел.

Те­перь при­ве­дем при­ме­ры вы­ра­же­ний, не яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми:

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Най­дем от­ли­чие этих вы­ра­же­ний от преды­ду­щих. Оно со­сто­ит в том, что в при­ме­рах 4-7 есть опе­ра­ции сло­же­ния, вы­чи­та­ния или де­ле­ния, тогда как в при­ме­рах 1-3, яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми, этих опе­ра­ций нет.

При­ве­дем еще несколь­ко при­ме­ров:

8. ;

9. ;

Вы­ра­же­ние под но­ме­ром 8 яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, так как это про­из­ве­де­ние сте­пе­ни на число, тогда как при­мер 9 не яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном.

Те­перь вы­яс­ним дей­ствия над од­но­чле­на­ми.

1.Упро­ще­ние. Рас­смот­рим при­мер №3 ; и при­мер №2   /

Во вто­ром при­ме­ре мы видим толь­ко один ко­эф­фи­ци­ент –  , каж­дая пе­ре­мен­ная встре­ча­ет­ся толь­ко один раз, то есть пе­ре­мен­ная «а» пред­став­ле­на в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре, как «», ана­ло­гич­но пе­ре­мен­ные «» и «» встре­ча­ют­ся толь­ко один раз.

В при­ме­ре №3 на­о­бо­рот, есть два раз­лич­ных ко­эф­фи­ци­ен­та –  и , пе­ре­мен­ную «» мы видим два­жды – как «» и как «», ана­ло­гич­но пе­ре­мен­ная «» встре­ча­ет­ся два раза. То есть, дан­ное вы­ра­же­ние сле­ду­ет упро­стить, таким об­ра­зом, при­хо­дим к пер­во­му дей­ствию, вы­пол­ня­е­мо­му над од­но­чле­на­ми – при­ве­де­ние од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду. Для этого при­ве­дем к стан­дарт­но­му виду вы­ра­же­ние из при­ме­ра 3, затем опре­де­лим эту опе­ра­цию и на­учим­ся при­во­дить к стан­дарт­но­му виду любой од­но­член.

Итак, рас­смот­ри при­мер:

Пер­вым дей­стви­ем в опе­ра­ции при­ве­де­ния к стан­дарт­но­му виду все­гда нужно пе­ре­мно­жить все чис­ло­вые мно­жи­те­ли:

  ;

Ре­зуль­тат дан­но­го дей­ствия будет на­зы­вать­ся ко­эф­фи­ци­ен­том од­но­чле­на.

Далее необ­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить сте­пе­ни. Пе­ре­мно­жим сте­пе­ни пе­ре­мен­ной «х» со­глас­но пра­ви­лу умно­же­ния сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми, в ко­то­ром го­во­рит­ся, что при умно­же­нии по­ка­за­те­ли сте­пе­ни скла­ды­ва­ют­ся:

;

те­перь пе­ре­мно­жим сте­пе­ни «у»:

;

Итак, при­ве­дем упро­щен­ное вы­ра­же­ние:

;

Даль­ше упро­стить дан­ное вы­ра­же­ние нель­зя, такое вы­ра­же­ние и на­зы­ва­ет­ся стан­дарт­ным видом ис­ход­но­го од­но­чле­на, где  это ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на, а – это бук­вен­ная часть.

Любой од­но­член можно при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду. Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло при­ве­де­ния к стан­дарт­но­му виду:

– пе­ре­мно­жить все чис­ло­вые мно­жи­те­ли;

– по­ста­вить по­лу­чен­ный ко­эф­фи­ци­ент на пер­вое место;

– пе­ре­мно­жить все сте­пе­ни, то есть по­лу­чить бук­вен­ную часть;

То есть, любой од­но­член ха­рак­те­ри­зу­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том и бук­вен­ной ча­стью. За­бе­гая впе­ред, от­ме­тим, что од­но­чле­ны, име­ю­щие оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть, на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми.

Те­перь нужно на­ра­бо­тать тех­ни­ку при­ве­де­ния од­но­чле­нов к стан­дарт­но­му виду. Рас­смот­ри при­ме­ры из учеб­ни­ка:

За­да­ние: при­ве­сти од­но­член к стан­дарт­но­му виду, на­звать ко­эф­фи­ци­ент и бук­вен­ную часть.

Для вы­пол­не­ния за­да­ния вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом при­ве­де­ния од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду и свой­ства­ми сте­пе­ней.

1. ;

2. ;

3. ;

Ком­мен­та­рии к пер­во­му при­ме­ру: Для на­ча­ла опре­де­лим, дей­стви­тель­но ли дан­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, для этого про­ве­рим, есть ли в нем опе­ра­ции умно­же­ния чисел и сте­пе­ней и нет ли в нем опе­ра­ций сло­же­ния, вы­чи­та­ния или де­ле­ния. Можем ска­зать, что дан­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, так как вы­ше­ука­зан­ное усло­вие вы­пол­ня­ет­ся. Далее, со­глас­но пра­ви­лу при­ве­де­ния од­но­чле­на к стан­дарт­но­му виду, пе­ре­мно­жим чис­лен­ные мно­жи­те­ли:

 – мы нашли ко­эф­фи­ци­ент за­дан­но­го од­но­чле­на;

Далее пе­ре­мно­жим между собой со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни:

; ; ; то есть, по­лу­че­на бук­вен­ная часть вы­ра­же­ния:;

за­пи­шем ответ: ;

Ком­мен­та­рии ко вто­ро­му при­ме­ру: Сле­дуя пра­ви­лу вы­пол­ня­ем:

1) пе­ре­мно­жить чис­ло­вые мно­жи­те­ли:

;

2) пе­ре­мно­жить сте­пе­ни:

Пе­ре­мен­ные  и  пред­став­ле­ны в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре, то есть их пе­ре­мно­жить ни с чем нель­зя, они пе­ре­пи­сы­ва­ют­ся без из­ме­не­ний, сте­пень  пе­ре­мно­жа­ет­ся:

;

за­пи­шем ответ:

;

В дан­ном при­ме­ре ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на равен еди­ни­це, а бук­вен­ная часть .

Ком­мен­та­рии к тре­тье­му при­ме­ру: ана­ло­гич­но преды­ду­щим при­ме­рам вы­пол­ня­ем дей­ствия:

1) пе­ре­мно­жить чис­лен­ные мно­жи­те­ли:

;

2) пе­ре­мно­жить сте­пе­ни:

;

;

;

;

вы­пи­шем ответ: ;

В дан­ном слу­чае ко­эф­фи­ци­ент од­но­чле­на равен «», а бук­вен­ная часть .          

Вычисление числового значения одночлена.

Те­перь рас­смот­рим вто­рую стан­дарт­ную опе­ра­цию над од­но­чле­на­ми. По­сколь­ку од­но­член это ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, со­сто­я­щее из бук­вен­ных пе­ре­мен­ных, ко­то­рые могут при­ни­мать кон­крет­ные чис­ло­вые зна­че­ния, то мы имеем ариф­ме­ти­че­ское чис­ло­вое вы­ра­же­ние, ко­то­рое сле­ду­ет вы­чис­лить. То есть, сле­ду­ю­щая опе­ра­ция над мно­го­чле­на­ми со­сто­ит в вы­чис­ле­нии их кон­крет­но­го чис­ло­во­го зна­че­ния.

Рас­смот­рим при­мер. Задан од­но­член:

дан­ный од­но­член уже при­ве­ден к стан­дарт­но­му виду, его ко­эф­фи­ци­ент равен еди­ни­це, а бук­вен­ная часть 

Ранее мы го­во­ри­ли, что ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние не все­гда можно вы­чис­лить, то есть пе­ре­мен­ные, ко­то­рые в него вхо­дят, могут при­ни­мать не любое зна­че­ние. В слу­чае од­но­чле­на же вхо­дя­щие в него пе­ре­мен­ные могут быть лю­бы­ми, это яв­ля­ет­ся осо­бен­но­стью од­но­чле­на. 

Итак, в за­дан­ном при­ме­ре тре­бу­ет­ся вы­чис­лить зна­че­ние од­но­чле­на при , , , .

Вы­пол­ним дей­ствия:

 ;

Для вы­чис­ле­ния мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что  в любой чет­ной сте­пе­ни равно еди­ни­це.

То есть, за­дан­ный од­но­член при за­дан­ных зна­че­ни­ях бук­вен­ных пе­ре­мен­ных будет при­ни­мать рас­счи­тан­ное нами зна­че­ние.

Рас­смот­рим еще один при­мер. Од­но­член оста­ет­ся тот же самый, но зна­че­ния бук­вен­ных пе­ре­мен­ных из­ме­ни­лись:

;

;

вы­пол­ним вы­чис­ле­ние:

.

Подобные одночлены.

Рас­смот­рим при­ме­ры по­доб­ных од­но­чле­нов:

Од­но­чле­ны  и  яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми, так как имеют оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть – 

Еще один при­мер. За­пи­шем од­но­член  и од­но­член . Мы можем при­пи­сать вто­ро­му од­но­чле­ну аб­со­лют­но любой чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент и по­лу­чим од­но­член, по­доб­ный пер­во­му. Вы­бе­рем, на­при­мер, ко­эф­фи­ци­ент  и по­лу­чим два по­доб­ных од­но­чле­на:  и 

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер. Пер­вый од­но­член , его ко­эф­фи­ци­ент равен еди­ни­це. За­пи­шем те­перь его бук­вен­ную часть  и до­ба­вим к ней про­из­воль­ный чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент, на­при­мер, . Имеем два по­доб­ных од­но­чле­на:   и .

Сде­ла­ем вывод: по­доб­ные од­но­чле­ны имеют оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть, и такие од­но­чле­ны можно скла­ды­вать и вы­чи­тать.

Сложение одночленов.

Те­перь при­ве­дем при­ме­ры не по­доб­ных од­но­чле­нов:

 и ; дан­ные од­но­чле­ны имеют раз­ную бук­вен­ную часть, пе­ре­мен­ная а в них пред­став­ле­на в раз­ных сте­пе­нях, по­это­му од­но­чле­ны не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми

Еще один при­мер: од­но­чле­ны  и  также не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми, их бук­вен­ные части от­ли­ча­ют­ся сте­пе­ня­ми пе­ре­мен­ной а.

Рас­смот­рим тре­тью пару од­но­чле­нов:  и  также не яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми.

Те­перь раз­бе­рем сло­же­ние по­доб­ных од­но­чле­нов, для этого вы­пол­ним при­мер:

Сло­жить два од­но­чле­на:

Оче­вид­но, что дан­ные од­но­чле­ны по­доб­ны, так как легко за­ме­тить, что бук­вен­ные части их оди­на­ко­вы, од­на­ко ма­те­ма­ти­че­ски по­до­бие од­но­чле­нов можно до­ка­зать за­ме­нив бук­вен­ную часть дру­гой бук­вой, и если для обоих од­но­чле­нов эта буква ока­жет­ся оди­на­ко­вой, то од­но­чле­ны по­доб­ны. Пе­ре­хо­дя к при­ме­ру, за­ме­ним в пер­вом од­но­члене  на ? Тогда и во вто­ром од­но­члене ту же самую бук­вен­ную часть за­ме­ним на  

По­лу­чим:

Сло­жив два эти вы­ра­же­ния, по­лу­чим . Те­перь вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным – за­ме­ним в от­ве­те пе­ре­мен­ную t на , по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ответ:

Те­перь сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния од­но­чле­нов:

Для того чтобы по­лу­чить сумму по­доб­ных од­но­чле­нов необ­хо­ди­мо сло­жить их ко­эф­фи­ци­ен­ты, а бук­вен­ную часть до­пи­сать такую же, как у ис­ход­ных сла­га­е­мых.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

1) 

2) 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру №1: сна­ча­ла мы за­пи­сы­ва­ем в ре­зуль­тат сумму ко­эф­фи­ци­ен­тов од­но­чле­нов, то есть , затем пе­ре­пи­сы­ва­ем бук­вен­ную часть без из­ме­не­ний, то есть 

Ком­мен­та­рий к при­ме­ру №2: ана­ло­гич­но пер­во­му при­ме­ру сна­ча­ла за­пи­сы­ва­ем сумму ко­эф­фи­ци­ен­тов, то есть , затем пе­ре­пи­сы­ва­ем бук­вен­ную часть без из­ме­не­ний – .

Вычитание одночленов.

Перей­дем к пра­ви­лу вы­чи­та­ния од­но­чле­нов. Рас­смот­ри при­ме­ры:

1) 

Пра­ви­ло вы­чи­та­ния по­доб­ных од­но­чле­нов ана­ло­гич­но пра­ви­лу сло­же­ния: бук­вен­ную часть пе­ре­пи­сы­ва­ем без из­ме­не­ний, а ко­эф­фи­ци­ен­ты вы­честь, при чем вы­честь в пра­виль­ном по­ряд­ке. Для на­ше­го при­ме­ра:

2) 

3) 

Сде­ла­ем вывод: скла­ды­вать и вы­чи­тать можно любые, но толь­ко по­доб­ные од­но­чле­ны, для этого нужно скла­ды­вать или вы­чи­тать их ко­эф­фи­ци­ен­ты, бук­вен­ную часть пе­ре­пи­сы­вая в ис­ход­ном виде. Не по­доб­ные од­но­чле­ны ни скла­ды­вать, ни вы­чи­тать нель­зя.

Решение задач

Те­перь, зная ал­го­ритм сло­же­ния и вы­чи­та­ния по­доб­ных од­но­чле­нов, мы можем ре­шать неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи.

За­да­чи на упро­ще­ние:

Упро­стить вы­ра­же­ние:

Пер­вый од­но­член за­пи­сан в стан­дарт­ном виде, его боль­ше упро­стить нель­зя, вто­рой и тре­тий не в стан­дарт­ном виде, зна­чит, пер­вым дей­стви­ем при упро­ще­нии вы­ра­же­ний с од­но­чле­на­ми вы­пол­ня­ем при­ве­де­ние к стан­дарт­но­му виду од­но­чле­нов, ко­то­рые можно к нему при­ве­сти.

Итак, при­ве­дем к стан­дарт­но­му виду вна­ча­ле вто­рой, а потом и тре­тий од­но­чле­ны:

Пе­ре­пи­шем ис­ход­ное вы­ра­же­ние с уче­том вы­пол­нен­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

Мы видим оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть у всех трех од­но­чле­нов, а, зна­чит, они по­доб­ны, то есть мы имеем право скла­ды­вать их и вы­чи­тать. Со­глас­но пра­ви­лу, мы вы­пол­ним необ­хо­ди­мые дей­ствия с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, а бук­вен­ную часть пе­ре­пи­шем без из­ме­не­ний:

Разложение одночлена на слагаемые

Су­ще­ству­ет об­рат­ная за­да­ча. Задан од­но­член . Пред­ста­вить од­но­член в виде суммы од­но­чле­нов.

У всех од­но­чле­нов, в виде суммы ко­то­рых мы пред­ста­вим за­дан­ный, будет оди­на­ко­вая бук­вен­ная часть, оди­на­ко­вая также и с за­дан­ным од­но­чле­ном – . Пред­ста­вим наш од­но­член, на­при­мер, в виде суммы двух сла­га­е­мых. Для этого пред­ста­вим ко­эф­фи­ци­ент как сумму:

А те­перь за­пи­шем по­лу­чен­ное пред­став­ле­ние: сна­ча­ла пишем пер­вое сла­га­е­мое, умно­жен­ное на бук­вен­ную часть, а затем вто­рое также умно­жен­ное на бук­вен­ную часть:

Дан­ная за­да­ча имеет бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство ре­ше­ний, так как число 30 можно пред­ста­вить по-раз­но­му, на­при­мер:

Тогда:

Сложение подобных слагаемых

Рас­смот­рим еще один вид ти­по­вых задач: среди дан­ных од­но­чле­нов найти по­доб­ные и сло­жить их:

; ; ; 

Оче­вид­но, что оди­на­ко­вую бук­вен­ную часть имеют пер­вый, вто­рой и по­след­ний од­но­чле­ны. Те­перь вы­пол­ним сло­же­ние:

;

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/ponyatie-odnochlena-standartnyy-vid-odnochlena?konspekt&chapter_id=3

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/slozhenie-i-vychitanie-odnochlenov?konspekt&chapter_id=3

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zhnEcO0CHRw

Источник

Добавить комментарий