Как найти числовое выражение одночлена - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Определения и примеры

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab² и −6²aa²b³ являются одночленами.

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5² является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержатся степени a² и a³, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a² и a³ даст в результате a⁵. Записываем a⁵ рядом с числом 15

15a⁵

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержится степень b². Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

15a⁵b²

Мы привели одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a⁵b²

3a²5a³b² = 15a⁵b²

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a⁵b² является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab² является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya² к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

Далее в одночлене 5xx3ya² содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x².

15x²

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

15x²y

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится степень a², которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

15x²ya²

Получили одночлен 15x²ya², который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x²ya² примет вид 15a²x²y.

Поэтому, 5xx3ya² = 15a²x²y.

Пример 2. Привести одночлен 2m³n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m³n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m³ × m × n × n = 0,8m⁴n²

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m³ × m и n × n

2m³n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m³ × m) × (n × n) = 0,8m⁴n²

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

2m³n × 0,4mn = 0,8m⁴n²

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b

6a²b + 2a²b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений

6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³

5a²b³ − 2a²b³

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ + (−2a²b³) = 3a²b³

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

5a²b³ − 2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 2. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 3. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴

−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Пример 4. Перемножить одночлены x²y⁵ и (−6xy²)

x²y⁵ × (−6xy²) = −6 × (x²x) × (y⁵y²) = −6x³y⁷

Пример 5. Найти значение выражения

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a²b² на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Первый одночлен 8a²b² будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2. В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2

Далее в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b²: b = b^2 − 1 = b. Записываем в частном b после a

Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a²b²

2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a²b²

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy², поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy².

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz. Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x² разделили на x, получили x, затем y² разделили на y, получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x²y²z

2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x²y²z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy. Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3xy). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a²b³c³ на одночлен 4a²bc

Пример 3. Разделить одночлен x²y³z на одночлен xy²

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Конечно, мы можем выполнить деление x на x², воспользовавшись свойством степени с целым показателем:

и такое частное при перемножении с делителем x² будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

(xy)² = x²y²

Пример 2. Возвести одночлен −5a³b во вторую степень.

(−5a³b)² = (−5)² × (a³)² × b² = 25a⁶b²

Пример 3. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a¹⁰b⁵c¹⁵, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a¹⁰b⁵c¹⁵.

Пример 4. Представить одночлен 4x² в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x². Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x²

(2x)² = 2²x² = 4x²

Значит, 4x² = (2x)². Выражение (2x)² это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a⁶.

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a⁶ получается в том случае, если возвести в квадрат степень a³. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a³.

Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится 121a⁶

(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Значит, 121a⁶ = (11a³)². Выражение (11a³)² это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a³b² на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

3a³b² = 3aaabb

Либо степень b² можно не раскладывать на множители b и b

3a³b² = 3aaab²

Либо степень b² разложить на множители b и b, а степень a³ оставить без изменений

3a³b² = 3a³bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a²b³c⁴ на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a² разложим на множители aa, степень b³ — на множители bbb, степень c⁴ — на множители cccc

10a²b³c⁴ = 2 × 5 × aabbbcccc

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.

Задание 2. Приведите одночлен 0,5m × 2n к стандартному виду.

Решение:

0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn

Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b² к стандартному виду.

Решение:

−8ab(−2,5)b² = −8 × (−2,5) × a × (b × b²) = 20ab³

Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq² к стандартному виду.

Решение:

Задание 5. Приведите одночлен −2x³× 0,5xy² к стандартному виду.

Решение:

Задание 6. Приведите одночлен 2m³n × 0,4mn к стандартному виду.

Решение:

Задание 7. Приведите одночлен к стандартному виду.

Решение:

Задание 8. Приведите одночлен к стандартному виду.

Решение:

Задание 9. Перемножьте одночлены 2x и 2y

Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y

Решение:

6x × 5x × y = 30x²y

Задание 11. Перемножьте одночлены 2x², 2x³ и y²

Решение:

2x² × 2x³ × y² = (2 × 2) × (x²x³) × y² = 4x⁵y²

Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5x³

Решение:

−8x × 5x³ = (−8 × 5)×(xx³) = −40x⁴

Задание 13. Перемножьте одночлены x²y⁵ и (−6xy²)

Решение:

x²y⁵ × (−6xy²) = −6 × (x²x) × (y⁵y²) = −6x³y⁷

Задание 14. Выполните умножение:

Решение:

Задание 15. Выполните умножение:

Решение:

Задание 16. Возведите одночлен x²y²z² в третью степень

Решение:

(x²y²z²)³ = (x²)³ × (y²)³ × (z²)³ = x⁶y⁶z⁶

Задание 17. Возведите одночлен xy²z³ в пятую степень.

Решение:

(xy²z³)⁵ = x⁵ × (y²)⁵ × (z³)⁵ = x⁵y¹⁰z¹⁵

Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.

Решение:

(4x)² = 4² × x² = 16x²

Задание 19. Возведите одночлен 2y³ в третью степень.

Решение:

(2y³)³ = 2³ × (y³)³ = 8y⁹

Задание 20. Возведите одночлен −0,6x³y² в третью степень.

Решение:

(−0,6x³y²)³ = (−0,6)³ × (x³)³ × (y²)³= −0,216x⁹y⁶

Задание 21. Возведите одночлен −x²yz³ в пятую степень.

Решение:

(−x²yz³)⁵ = (−x²)⁵ × y⁵ × (z³)⁵= −x¹⁰y⁵z¹⁵

Задание 22. Возведите одночлен −x³y²z во вторую степень.

Решение:

(−x³y²z)² = (−x³)² × (y²)² × z² = x⁶y⁴z²

Задание 23. Представьте одночлен −27x⁶y⁹в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:

−27x⁶y⁹ = (−3x²y³)³

Задание 24. Представьте одночлен −a³b⁶ в виде одночлена, возведённого в куб.

Задание 25. Выполните деление

Решение:

Задание 26. Выполните деление

Решение:

Задание 27. Выполните деление

Решение:

Задание 28. Выполните деление

Решение:

Задание 29. Выполните деление

Решение:

Задание 30. Выполните деление

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Являются одночленами

Не являются одночленами

$ 5m^2 n $

$ left(frac{3}{4}right)^2 k $

$8^3$

$ -34m^7 pm^4 z$

abcde

$a^2 b+1$

$ 4(k+n)^2 $

$ 500-m^4+2m^2 $

$ 10p^2+k $

Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.

Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.

Например:

$x^2cdot23xy$ – одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a – одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $

Источник

Важность понятия

Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.

Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.

Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:

единственные числа;
буквы;
буквенно-числовые произведения.

Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.

Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.

Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.

С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные. Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами». Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
-5 * d² — запись, содержащая степень;
12 * 3 5/6 * x² * y⁴ — пример сложного порядка;
x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a³ * 1*3 * b * 3 * а * b³ хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a⁴ * b⁴. Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d²* k¹⁰ и 1/8 * d² * k¹⁰ — подобны.

Действия над выражениями

После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.

Существует три закона умножения:

Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.

При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p³ * s⁵ (-7 * c³ * p²) = -14 * с² * p⁵ * s⁵.

Деление происходит аналогичным образом. При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты. В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p³ * d⁴ * r⁶: 4 * p * d² * r³ = 3 * p² * d² * r³.

Возведение в степень выполняют согласно правилам свойств степеней. Так как операция возведения это не что иное, как умножение члена самого на себя столько раз, сколько показывает число в показателе. Например, (3*с)³ = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с). Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c³ = 9 * c * p³.

Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.

Решения одночленов

Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.

Можно выделить следующие виды типовых заданий:

Пусть дан многочлен: 14 a⁷b¹³mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a⁷c⁵d * 3b⁹c⁶d⁷k. Решение задания будет следующим: 12a⁷c⁵d * 3b⁹c⁶d⁷k = 36a⁷b⁹c¹¹d⁸k.
Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a⁷b⁵k¹⁴m на 8 a⁵bk³. Итак, при делении получится следующее: 16 a⁷b⁵k¹⁴m / 8 a⁵bk³ = 2a²b⁴k¹¹m.
Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a⁷b⁵ck + 7a⁷b⁵ck = 9 a⁷b⁵ck или 9 p⁵ — 3p⁵ = 6p⁵. То есть действие выполняется только над коэффициентами.
Дан многочлен вида: 2a⁷b⁵kz³. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a⁷b⁵kz³)⁵ = 32a³⁵ b²⁵k⁵z¹⁵.

При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.

Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

Kontrolnaya-rabota. Сервис хоть и ориентирован на учащихся старших классов, но по своим возможностям довольно функционален. Так, с его помощью можно преобразовать даже комплексные выражения. Всё, что требуется от пользователя, это правильно ввести выражение и нажать кнопку «Упростить».
Umath. Программа даёт возможность упростить любое алгебраическое выражение. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Ограничений в размере формулы нет.
Mathforyou. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь сможет выполнить различные действия над выражением, содержащим числовое и символьное обозначение. Для правильного вычисления нужно предварительно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.

Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.

Источник

Начальные понятия и сведения об одночленах в алгебре содержат уточнение, что любой одночлен возможно привести к стандартному виду. Что значит записать число в стандартном виде? Какие можно привести примеры стандартного вида одночлена? В материале ниже мы рассмотрим эти вопросы подробнее: обозначим, что означает смысл данного действия, определим шаги, позволяющие задать стандартный вид одночлена, а также закрепим теорию решением примеров с одночленами.

В свою очередь многочленом называют сумму одночленов. Эту информацию дают еще на уроке в школе в 7-ом классе.

Значение приведения одночлена к стандартному виду

Запись одночлена в стандартном виде позволяет более удобно работать с ним. Зачастую одночлены задаются в нестандартном виде, и тогда появляется необходимость осуществления тождественных преобразований для приведения заданного одночлена в стандартный вид. То есть, одночлены нужно преобразовывать: написать в стандартном виде.

Дадим определение, что такое стандартный вид одночлена (с примерами).

Определение 1

Приведение одночлена к стандартному виду – это выполнение соответствующих действий (тождественных преобразований) с одночленом с целью записи его в стандартном виде.

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду?

Из определения следует, что одночлен нестандартного вида представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней, при этом возможно их повторение. В свою очередь, стандартный одночлен содержит в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени.

Что значит привести одночлен к стандартному виду? Чтобы привести нестандартный одночлен в стандартный вид, необходимо использовать следующее правило приведения одночлена к стандартному виду:

первым шагом того, как записать одночлен в стандартном виде, является выполнение группировки числовых множителей, одинаковых переменных и их степеней;
второй шаг в том, как приводить одночлен к стандартному виду, заключается в вычислении произведений чисел и применение свойства степеней с одинаковыми основаниями.

Примеры и их решение

Пример 1

Задан одночлен 3·x·2·x2. Необходимо привести его к стандартному виду.

Решение

Осуществим группировку числовых множителей и множителей с переменной х, в результате заданный одночлен примет вид: (3·2)·(x·x2).

Произведение в скобках составляет 6. Применив правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, выражение в скобках представим, как: x1+2=x3. В результате получим одночлен стандартного вида: 6·x3.

Краткая запись решения выглядит так: 3·x·2·x2=(3·2)·(x·x2)=6·x3.

Ответ: 3·x·2·x2=6·x3.

Пример 2

Задан одночлен: a5·b2·a·m·(-1)·a2·b . Необходимо привести его в стандартный вид и указать его коэффициент.

Решение

заданный одночлен имеет в своей записи один числовой множитель: -1, осуществим его перенос в начало. Затем произведем группировку множителей с переменной а и множителей с переменной b. Переменную m группировать не с чем, оставляем в исходном виде. В результате перечисленных действий получим: -1·a5·a·a2·b2·b·m.

Выполним действия со степенями в скобках, тогда одночлен примет стандартный вид: (-1)·a5+1+2·b2+1·m=(-1)·a8·b3·m. Из этой записи мы легко определяем коэффициент одночлена: он равен -1. Минус единицу вполне возможно заменить просто знаком минус: (-1)·a8·b3·m=-a8·b3·m.

Краткая запись всех действий выглядит так:

a5·b2·a·m·(-1)·a2·b=(-1)·(a5·a·a2)·(b2·b)·m==(-1)·a5+1+2·b2+1·m=(-1)a8·b3·m=-a8·b3·m

Ответ:

a5·b2·a·m·(-1)·a2·b=-a8·b3·m, коэффициент заданного одночлена равен -1.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Комментарии преподавателя

Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Рассмотрим некоторые примеры:

1. ;

2. ;

3. ;

Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена:

одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.

Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.

Приведем еще несколько примеров:

8. ;

9. ;

Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.

Теперь выясним действия над одночленами.

1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ; и пример №2 /

Во втором примере мы видим только один коэффициент – , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а» представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.

В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента – и , переменную «» мы видим дважды – как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами – приведение одночлена к стандартному виду. Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.

Итак, рассмотри пример:

Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:

;

Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена.

Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х» согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:

;

теперь перемножим степени «у»:

;

Итак, приведем упрощенное выражение:

;

Дальше упростить данное выражение нельзя, такое выражение и называется стандартным видом исходного одночлена, где это коэффициент одночлена, а – это буквенная часть.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду:

– перемножить все числовые множители;

– поставить полученный коэффициент на первое место;

– перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;

То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду. Рассмотри примеры из учебника:

Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.

Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.

1. ;

2. ;

3. ;

Комментарии к первому примеру: Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:

– мы нашли коэффициент заданного одночлена;

Далее перемножим между собой соответствующие степени:

; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;

запишем ответ: ;

Комментарии ко второму примеру: Следуя правилу выполняем:

1) перемножить числовые множители:

;

2) перемножить степени:

Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:

;

запишем ответ:

;

В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .

Комментарии к третьему примеру: аналогично предыдущим примерам выполняем действия:

1) перемножить численные множители:

;

2) перемножить степени:

;

выпишем ответ: ;

В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .

Вычисление числового значения одночлена.

Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами. Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения.

Рассмотрим пример. Задан одночлен:

данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть

Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.

Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .

Выполним действия:

;

Для вычисления мы воспользовались тем, что в любой четной степени равно единице.

То есть, заданный одночлен при заданных значениях буквенных переменных будет принимать рассчитанное нами значение.

Рассмотрим еще один пример. Одночлен остается тот же самый, но значения буквенных переменных изменились:

;

выполним вычисление:

Подобные одночлены.

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть –

Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .

Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Сложение одночленов.

Теперь приведем примеры не подобных одночленов:

и ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными

Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.

Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.

Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена:

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на

Получим:

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным – заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов:

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть

Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений – .

Вычитание одночленов.

Перейдем к правилу вычитания одночленов. Рассмотри примеры:

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

Сделаем вывод: складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Решение задач

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение:

Упростить выражение:

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Разложение одночлена на слагаемые

Существует обратная задача. Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом – . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму:

А теперь запишем полученное представление: сначала пишем первое слагаемое, умноженное на буквенную часть, а затем второе также умноженное на буквенную часть:

Данная задача имеет бесконечное количество решений, так как число 30 можно представить по-разному, например:

Тогда:

Сложение подобных слагаемых

Рассмотрим еще один вид типовых задач: среди данных одночленов найти подобные и сложить их:

; ; ;

Очевидно, что одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены. Теперь выполним сложение:

;

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/ponyatie-odnochlena-standartnyy-vid-odnochlena?konspekt&chapter_id=3

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/odnochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-odnochlenami/slozhenie-i-vychitanie-odnochlenov?konspekt&chapter_id=3

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zhnEcO0CHRw

Источник

Определения и примеры

Приведение одночлена к стандартному виду

Сложение и вычитание одночленов

Умножение одночленов

Деление одночленов

Возведение одночлена в степень

Разложение одночлена на множители

Задания для самостоятельного решения

Определение одночлена

Приведение одночлена к стандартному виду

Примеры

Важность понятия

Общие сведения

Действия над выражениями

Принцип преобразования

Решения одночленов

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Значение приведения одночлена к стандартному виду

Способ приведения одночлена к стандартному виду

Примеры и их решение

Комментарии преподавателя

Рас­смот­рим неко­то­рые при­ме­ры:

Те­перь вы­яс­ним дей­ствия над од­но­чле­на­ми.

Вычисление числового значения одночлена.

Подобные одночлены.

Сложение одночленов.

Вычитание одночленов.

Перей­дем к пра­ви­лу вы­чи­та­ния од­но­чле­нов. Рас­смот­ри при­ме­ры:

Решение задач

Разложение одночлена на слагаемые

Сложение подобных слагаемых

Вам также может понравиться

Ринц как найти свою статью

Как найти офис в жилом доме

Пропавшие дети как помочь их найти

Добавить комментарий Отменить ответ

Рассмотрим некоторые примеры:

Теперь выясним действия над одночленами.

Перейдем к правилу вычитания одночленов. Рассмотри примеры: