То есть, это число, на которое умножаются буквенные множители. Он может быть как целым, так и дробным, положительным или отрицательным, даже нулем.
Например:
|
одночлен |
его коэффициент |
|
(3a) |
(3) |
|
(0,012x) |
(0,012) |
|
(-frac{2}{7}abс) |
(-frac{2}{7}) |
Правила работы с коэффициентами:
Например: у (2b7a) коэффициент равен (14), потому что (2b7a=2·7·a·b=14ab).
Если коэффициент равен (1) – его не пишут.
Например: в одночлене (x) коэффициент (1), потому что ( x=1·x).
Если коэффициент равен ((-1)) – пишут только знак минус перед одночленом.
Например: в одночлене (-ab) коэффициент (-1), потому что (-ab =(-1)·ab).
В многочлене у каждого входящего в его состав одночлена есть свой коэффициент.
Например: в двучлене (x^2-3bm) одночлен (x^2) имеет коэффициент (1), а (bm) – минус три. Обратите внимание, именно «минус три», а не просто «три». Дело в том, что многочлен – это сумма (не разность!) одночленов, поэтому многочлен (x^2-3bm) на самом деле имеет вид (1·x^2+(-3)bm).
С коэффициентам мы чаще всего сталкиваемся при решении квадратных уравнений и определяются они по тем же принципам.
Например, в уравнении (x^2-x-5=0) имеем следующие коэффициенты: (a=1), (b=-1), (c=-5). То есть, уравнение как бы представляют в виде (1·x^2+(-1)·x+(-5)=0).
Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.
Выражение 5a2b — это произведение трёх множителей:
5a2b = 5 · a2 · b.
Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.
Запомните!
Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
Примеры одночленов: ac, 2xy2, −7xy, 0,5a3b.
Из чего состоит одночлен
Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена.
Буквенные множители иногда называют переменными.
Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.
Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1.
Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент
1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab
Также не записывают явно коэффициент «−1».
Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом.
При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1».
Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен
«−1».
Примеры одночленов и их коэффициентов
| Одночлен |
Коэффициент одночлена |
||||
|---|---|---|---|---|---|
| −8a2 | −8 | ||||
| xy2z | 1 | ||||
ab2 |
|
||||
| −tz2 | −1 | ||||
| 144x2 | 144 |
Приведение одночлена к стандартному виду
Запомните!
Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в
различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные
множители следует располагать в алфавитном порядке.
Примеры одночленов стандартного вида:
2at, 16y3, −17pxy, 3d4
Примеры одночленов нестандартного вида:
2acа, 4xy2 · 3,
x4y · (−7).
Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри
одночлена действуют все законы умножения, в том числе
переместительный закон умножения.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.
Важно!
- Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.
- По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.
Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.
- Перемножаем все числовые коэффициенты
3 · a · d · a · 8 =
3 · 8 · a · d · a
= 24 · a · d · a - Теперь, используя свойства степени,
перемножаем все буквенные множители.
24 · a · d · a =
24 · a · a · d = 24a2d
Что такое степень одночлена
Запомните!
Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.
Например, степень одночлена 9a2b
равна 3, т.к. у
a2 (вторая степень), у
b (первая степень): 2 + 1 = 3.
Примеры степеней одночленов
| Одночлен | Степень одночлена | ||
|---|---|---|---|
| −2a2b2 | 4 | ||
xy2 |
3 | ||
| −xyz | 3 |
Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.
Но не путайте с одночленом нулевой степени!
Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).
Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е.
123 = 123 · a0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).
Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно
представить как 1 через нулевую степень.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Одночлены
- Стандартный вид одночлена
- Коэффициент одночлена
- Приведение одночлена к стандартному виду
Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.
Пример. 12, 
, m, (-2)3, a2, 5abc, a3x, 3,7c(-2ab2) — одночлены.
Выражения x + 2 или 
не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.
Число 0 называют нулевым одночленом.
Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.
Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.
Решение:
Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:
Числовой множитель: 5.
Буквенные множители: a, b, c.
Стандартный вид одночлена
Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.
Пример. 7, a, -3xy2, 1abс — одночлены стандартного вида.
А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:
12aa3b и 4cb(−2)y,
так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.
Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.
Коэффициент одночлена
Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.
Пример. Одночлены
-7ab3, 
, -1x, 15
записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам -7, 
, -1, 15.
Коэффициент одночлена, равный 1 или -1 обычно не пишут.
Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен +1 или -1, в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.
Пример. Одночлены
a, –xy
записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен 1, второго -1, так как
a = 1 · a, –xy = -1 · xy.
Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.
Пример.
3ab = (ab) · 3 = ab + ab + ab.
Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.
Пример. В одночлене 
коэффициент означает, что от x2 берётся 
, потому что 
, а умножить на значит взять от множимого.
Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.
Пример.
-4mn = -4 · mn = -(mn + mn + mn + mn).
Приведение одночлена к стандартному виду
С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:
- Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
- Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
- Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.
Пример 1. Запишите одночлен -2b(-3)x34ab2x2 в стандартном виде.
Решение:
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:
((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a.
Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно 24. Произведение степеней b равно b · b2 = b3. Произведение степеней x равно x3 · x2 = x5:
24 · b3 · x5 · a.
Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:
24ab3x5.
Следовательно:
-2b(-3)x34ab2x2 = ((-2) · (-3) · 4) · (b · b2) · (x3 · x2) · a = 24 · b3 · x5 · a = 24ab3x5.
Пример 2. Представить одночлен -2a4c0b в стандартном виде.
Решение:
Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:
-2a4c0b = 0.
In this tutorial the instructor discusses about the numeric coefficients that we come across while we work with polynomials. He goes on to discuss the numerical coefficient of a monomial stating that it is the number that is present before the variable in the monomial. He states that the numerical coefficient can also be negative or if there is no number present in front of the variable, it indicates that the numerical coefficient is one. This video helps in understanding what the numerical coefficient of any variable is.
Want to master Microsoft Excel and take your work-from-home job prospects to the next level? Jump-start your career with our Premium A-to-Z Microsoft Excel Training Bundle from the new Gadget Hacks Shop and get lifetime access to more than 40 hours of Basic to Advanced instruction on functions, formula, tools, and more.
Buy Now (97% off) >
Other worthwhile deals to check out:
- 97% off The Ultimate 2021 White Hat Hacker Certification Bundle
- 98% off The 2021 Accounting Mastery Bootcamp Bundle
- 99% off The 2021 All-in-One Data Scientist Mega Bundle
- 59% off XSplit VCam: Lifetime Subscription (Windows)
- 98% off The 2021 Premium Learn To Code Certification Bundle
- 62% off MindMaster Mind Mapping Software: Perpetual License
- 41% off NetSpot Home Wi-Fi Analyzer: Lifetime Upgrades
Произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.
Уже знакомые нам одночлены:
Выражения
6⋅a⋅y
;
0,25×3
;
abbc
;
8,43
;
16c⋅−12d
;
38x2y
тоже являются одночленами.
При записи одночленов между числами и переменными знак умножения не ставится
Одночленом также считается:
– одна переменная, например, (x), т. к.
x=1⋅x
;
– число, например, (3), так как
3=3⋅x0
(одно число также является одночленом).
Некоторые одночлены можно упростить.
Упростим одночлен
6xy2⋅(−2)x3y
, используя свойство умножения степеней:
(=)
6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3
(числа перемножаются, а показатели у одинаковых букв складываются).
Стандартный вид одночлена
Если в одночлене первым записан числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени, то такой вид одночлена называют стандартным видом.
Запишем одночлен
10⋅12abbb
в стандартном виде:
10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3
.
(Коэффициенты перемножаются между собой, переменные — между собой.)
Если одночлен записан в стандартном виде, то его числовой множитель, называется коэффициентом одночлена.
Одночлен
5ab3
имеет коэффициент (5), одночлен
−12x4y3
имеет коэффициент (-12).
Коэффициенты (1) и (-1) обычно не записываются.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.
Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех переменных (букв).
−12x4y3
является одночленом седьмой степени ((4 + 3 = 7));
(6a) — одночлен первой степени (переменная (a) в первой степени);
(7) — одночлен нулевой степени.
|
Одночлен |
Стандартный вид |
Коэффициент |
Степень |
|
2a2x |
2a2x1 |
(2) |
(2+1=3) |
|
−3ab⋅a2b |
−3a3b2 |
(-3) |
(3+2=5) |
|
ab⋅(−1) |
−a1b1 |
(-1) |
(1+1=2) |
|
(x) |
1×1 |
(1) |
(1) |
|
(2) |
(2) |
(2) |
(0) |
Подобные одночлены
Одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться, называются подобными одночленами.
Подобными одночленами являются:
(6xy) и (xy);
(5) и (-3);
Подобными одночленами не являются
x2y
и
xy2
.
Если у подобных одночленов равные коэффициенты, они называются равными (одинаковыми) одночленами.
В этом можно убедиться, записав одночлены в стандартном виде.
Из пяти одночленов
8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y
равными являются только три
8xy3;8y3x;2⋅4xyyy
.
В этом можно убедиться, если записать все одночлены в стандартном виде и расположить переменные в одинаковом порядке:
.
Если у подобных одночленов коэффициенты являются противоположными числами, одночлены называются противоположными.
Противоположными являются одночлены:
(3ac) и (-3ac);
(9ba) и (-9ba).
