Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.
Начальная точка числовой окружности (A) совмещена с точкой ((1;0)).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.
Точка Mπ4 — середина (I) четверти. Опустим перпендикуляр (MP) на прямую (OA) и рассмотрим треугольник (OMP). Так как дуга (AM) составляет половину дуги (AB), то ∡MOP=45° . Значит, треугольник ( OMP ) — равнобедренный прямоугольный треугольник и (OP = MP), т. е. у точки (M) абсцисса и ордината равны: (x = y). Координаты точки (M(x;y)) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1 , Поэтому их найдём из системы уравнений: x2+y2=1x=y |
Заменим в первом уравнении (y) на (x):
x2+x2=1;2×2=1;x2=12;x=12=22;y=x=22.
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки (M) больше нуля.
Получили, что координаты точки (M), соответствующей числу
π4
, будут
Mπ4=M22;22
.
Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
(0) |
π4 |
π2 |
3π4 |
π |
5π4 |
3π2 |
7π4 |
2π |
|
Абсцисса (x) |
(1) |
22 |
(0) |
−22 |
(-1) |
−22 |
(0) |
22 |
(1) |
Ордината (y) |
(0) |
22 |
(1) |
22 |
(0) |
−22 |
(-1) |
−22 |
(0) |
Рассуждаем аналогично для точки (M), если теперь она соответствует числу
π6
.
Треугольник (MOP) прямоугольный. Так как дуга (AM) составляет третью часть дуги (AB), то ∡MOP=30° . Катет (MP) лежит против угла (30) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки (M) равна MP=12;y=12 |
Абсциссу (x) точки (M) найдём, решив уравнение:
x2=1−122=1−14=34;x=32.
При решении учитываем, что абсцисса точки (M) положительна.
Получили, что координаты точки (M), соответствующей числу
π6
, будут
Mπ6=M32;12
.
Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
π6 |
π3 |
2π3 |
5π6 |
7π6 |
4π3 |
5π3 |
11π6 |
|
Абсцисса (x) |
32 |
12 |
−12 |
−32 |
−32 |
−12 |
12 |
32 |
Ордината (y) |
12 |
32 |
32 |
12 |
−12 |
−32 |
−32 |
−12 |
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . |
(1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Числовая окружность
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:
Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Такая вот математическая полигамия.
И следствие из этого правила:
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .
В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .
Что надо запомнить про числовую окружность:
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
п.1. Понятие тригонометрии
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., – спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным . |
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac<4>=frac<2pi r><4>=frac<pi r><2>.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac>=frac<pi r><2cdot r>=frac<pi> <2>$$ |
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
(frac<pi><6>) | (frac<pi><4>) | (frac<pi><3>) | (frac<pi><2>) | (frac<2pi><3>) | (frac<3pi><4>) | (frac<5pi><6>) | (pi) | (frac<3pi><2>) | (2pi) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M – искомая. При t Например: |
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<pi><4>, frac<pi><2>, frac<2pi><3>, pi), а также (-frac<pi><6>, -frac<pi><4>, -frac<pi><2>, -frac<2pi><3>, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<13pi><6>, frac<25pi><6>), и (-frac<11pi><6>). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac<pi><6>right)=Mleft(frac<pi><6>+2pi kright)\ frac<pi><6>-2pi=-frac<11pi><6>\ frac<pi><6>+2pi=frac<13pi><6>\ frac<pi><6>+4pi=frac<25pi> <6>end |
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
Числовой промежуток | Соответствующая дуга числовой окружности |
Отрезок | |
$$ -frac<pi> <6>lt t lt frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi klt tltfrac<pi><3>+2pi k $$ |
|
Интервал | |
$$ -frac<pi> <6>leq t leq frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tleqfrac<pi><3>+2pi k $$ |
|
Полуинтервал | |
$$ -frac<pi> <6>leq t ltfrac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tltfrac<pi><3>+2pi k $$ |
п.6. Примеры
Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^<circ>=frac<pi><6>.\ EC=60^<circ>=frac<pi><3>.\ AE=EC+CD=90^<circ>+30^<circ>=120^<circ>=frac<2pi><3>.\ ED=EC+CD=60^<circ>+90^<circ>=150^<circ>=frac<5pi><6>. end
Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<pi><2>; frac<3pi><4>; frac<7pi><6>; frac<7pi><4>).
Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac<pi><2>=-90^<circ>, frac<3pi><4>=135^<circ>\ frac<7pi><6>=210^<circ>, frac<7pi><4>=315^ <circ>end |
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<11pi><2>; 5pi; frac<17pi><6>; frac<27pi><4>).
Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk – четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac<11pi><2>=frac<-12+1><2>cdotpi=-6pi+frac<pi><2>rightarrow frac<pi><2>=90^<circ>\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^<circ>\ frac<17pi><6>=frac<18-1><6>pi=3pi-frac<pi><6>rightarrow pi-frac<pi><6>=frac<5pi><6>\ frac<27pi><4>=frac<28-1><4>pi=7pi-frac<pi><4>rightarrow pi-frac<pi><4>=frac<3pi> <4>end |
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac<3,14><2>=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac<3pi><2>approx frac<3cdot 3,14><2>=4,71, 2piapprox 6,28 end |
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac<3pi> <2>Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac<3pi><2>lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.
Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.
[spoiler title=”источники:”]
http://cos-cos.ru/math/189/
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/edinichnaya-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoj-ploskosti/
[/spoiler]
Дата публикации: 09 апреля 2017.
Урок и презентация на тему: “Числовая окружность на координатной плоскости”
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:
Числовая окружность на координатной плоскости (PPTX)
Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач.
Определение числовой окружности на координатной плоскости
Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
1) при $x > 0$, $у > 0$ – в первой четверти;
2) при $х < 0$, $у > 0$ – во второй четверти;
3) при $х < 0$, $у < 0$ – в третьей четверти;
4) при $х > 0$, $у < 0$ – в четвертой четверти.
Для любой точки $М(х; у)$ числовой окружности выполняются неравенства: $-1 < x < 1$; $-1 < у < 1$.
Запомните уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности, представленных на рисунке.
Найдем координату точки $frac{π}{4}$
Точка $М(frac{π}{4})$ – середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то $∠MOP=45°$.
Значит, треугольник OMP – равнобедренный прямоугольный треугольник и $OP=MP$, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: $x = y$.
Так как координаты точки $M(х;y)$ удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
$begin {cases} x^2 + y^2 = 1, \ x = y. end {cases}$
Решив данную систему, получаем: $y = x =frac{sqrt{2}}{2}$.
Значит, координаты точки M, соответствующей числу $frac{π}{4}$, будут $M(frac{π}{4})=M(frac{sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2})$.
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек, представленных на предыдущем рисунке.
Координаты точек числовой окружности
Рассмотрим примеры
Пример 1.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(45frac{π}{4})$.
Решение:
Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$45frac{π}{4} = (10 + frac{5}{4}) * π = 10π +5frac{π}{4} = 5frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $frac{5π}{4}$ в таблице, получаем:
$P(frac{45π}{4})=P(-frac{sqrt{2}}{2};-frac{sqrt{2}}{2})$.
Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-frac{37π}{3})$.
Решение:
Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-frac{37π}{3} = -(12 + frac{1}{3})*π = -12π –frac{π}{3} = -frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–frac{π}{3}$, а числу –$frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-frac{37π}{3})=P(frac{{1}}{2};-frac{sqrt{3}}{2})$.
Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?
Решение:
Прямая $у =frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$frac{π}{6} +2 π*k$ и $frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ : $t=frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=frac{5π}{6} +2π*k$.
Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-frac{sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
Решение:
Прямая $x =-frac{sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-frac{sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-frac{3π}{4} +2π*k$.
Тогда получим $-frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤frac{3π}{4} +2πk$.
Ответ : $-frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤frac{3π}{4} +2πk$.
Задачи для самостоятельного решения
1) Найти координату точки числовой окружности: $Р(frac{61π}{6})$.
2) Найти координату точки числовой окружности: $Р(-frac{52π}{3})$.
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у = -frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
4) Найти на числовой окружности точки с ординатой $у ≥ -frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
5) Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-frac{sqrt{3}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
- Понятие тригонометрии
- Числовая окружность
- Градусная и радианная мера угла
- Свойства точки на числовой окружности
- Интервалы и отрезки на числовой окружности
- Примеры
п.1. Понятие тригонометрии
Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование.
Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., – спроектирован с использованием тригонометрии.
Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.
Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.
п.2. Числовая окружность
Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.
Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета, ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным; по часовой стрелке – отрицательным. |
Например:
Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°. |
п.3. Градусная и радианная мера угла
Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).
В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.
Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.
От радиуса окружности это отношение не зависит.
Например:
Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_{AB}=frac{L}{4}=frac{2pi r}{4}=frac{pi r}{2}.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac{l_{AB}}{r}=frac{pi r}{2cdot r}=frac{pi}{2} $$ |
$$ 1^{circ}=frac{pi}{180}text{рад}, 1 text{рад}=frac{180^{circ}}{pi}approx 57,3^{circ} $$
Таблица соответствия градусных и радианных мер некоторых углов
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
(frac{pi}{6}) | (frac{pi}{4}) | (frac{pi}{3}) | (frac{pi}{2}) | (frac{2pi}{3}) | (frac{3pi}{4}) | (frac{5pi}{6}) | (pi) | (frac{3pi}{2}) | (2pi) |
п.4. Свойства точки на числовой окружности
Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)
Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M – искомая. При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M – искомая. |
Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac{pi}{6}, frac{pi}{4}, frac{pi}{2}, frac{2pi}{3}, pi), а также (-frac{pi}{6}, -frac{pi}{4}, -frac{pi}{2}, -frac{2pi}{3}, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности. |
Каждой точке M(t) на числовой окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел t с точностью до полного периода 2π:
$$ M(t) = M(t+2pi k), kinmathbb{Z} $$
Например:
Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac{pi}{6}, frac{13pi}{6}, frac{25pi}{6}), и (-frac{11pi}{6}). Все четыре точки совпадают, т.к. begin{gather*} Mleft(frac{pi}{6}right)=Mleft(frac{pi}{6}+2pi kright)\ frac{pi}{6}-2pi=-frac{11pi}{6}\ frac{pi}{6}+2pi=frac{13pi}{6}\ frac{pi}{6}+4pi=frac{25pi}{6} end{gather*} |
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.
Например:
п.6. Примеры
Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?
Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin{gather*} BE=30^{circ}=frac{pi}{6}.\ EC=60^{circ}=frac{pi}{3}.\ AE=EC+CD=90^{circ}+30^{circ}=120^{circ}=frac{2pi}{3}.\ ED=EC+CD=60^{circ}+90^{circ}=150^{circ}=frac{5pi}{6}. end{gather*}
Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac{pi}{2}; frac{3pi}{4}; frac{7pi}{6}; frac{7pi}{4}).
Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin{gather*} -frac{pi}{2}=-90^{circ}, frac{3pi}{4}=135^{circ}\ frac{7pi}{6}=210^{circ}, frac{7pi}{4}=315^{circ} end{gather*} |
Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac{11pi}{2}; 5pi; frac{17pi}{6}; frac{27pi}{4}).
Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk – четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin{gather*} -frac{11pi}{2}=frac{-12+1}{2}cdotpi=-6pi+frac{pi}{2}rightarrow frac{pi}{2}=90^{circ}\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^{circ}\ frac{17pi}{6}=frac{18-1}{6}pi=3pi-frac{pi}{6}rightarrow pi-frac{pi}{6}=frac{5pi}{6}\ frac{27pi}{4}=frac{28-1}{4}pi=7pi-frac{pi}{4}rightarrow pi-frac{pi}{4}=frac{3pi}{4} end{gather*} |
Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.
Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin{gather*} 0, fracpi2approxfrac{3,14}{2}=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac{3pi}{2}approx frac{3cdot 3,14}{2}=4,71, 2piapprox 6,28 end{gather*} |
(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac{3pi}{2} Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac{3pi}{2}lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.
Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb{Z})), запишите количество полученных базовых точек.
Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.
Инфоурок
›
Алгебра
›Презентации›Презентация по алгебре на тему Числовая окружность на координатной плоскости
Урок на тему Числовая окружность на координатной плоскости
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 146 человек из 49 регионов
- Сейчас обучается 139 человек из 42 регионов
- Сейчас обучается 22 человека из 17 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Занимательная математика
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.
Урок на тему:
Числовая окружность на координатной плоскости. -
2 слайд
Числовая окружность на координатной плоскости.
Что будем изучать:
Определение.
Важные координаты числовой окружности.
Как искать координату числовой окружности?
Таблица основных координат числовой окружности.
Примеры задач. -
3 слайд
Определение.
Числовая окружность на координатной плоскости.
Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем:
x > 0, у > 0 в первой четверти;
х < 0, у > 0 во второй четверти;
х < 0, у < 0 в третьей четверти;
х > 0, у < 0 в четвертой четверти.
Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства -1 < x < 1; -1 < у < 1.
Запомните!
уравнение числовой окружности: -
4 слайд
Числовая окружность на координатной плоскости.
Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности представленных на рисунке ниже: -
5 слайд
Числовая окружность на координатной плоскости.
Найдем координату точки π/4:
Точка М(π/4) — середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∡MOP=45°
Значит, треугольник OMP – равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y
Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:Решив данную систему получаем:
Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут
Аналогичным образом рассчитываются координаты точек представленных на предыдущем слайде. -
6 слайд
Координаты точек числовой окружности.
Числовая окружность на координатной плоскости. -
7 слайд
Координаты точек числовой окружности.
Числовая окружность на координатной плоскости. -
8 слайд
Пример
Найти координату точки числовой окружности: Р(45π/4)
Решение:
Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
45π/4 = (10 + 5/4) • π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π•5
Значит, числу 45π/4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице получаем:
Числовая окружность на координатной плоскости. -
9 слайд
Пример
Найти координату точки числовой окружности: Р(-37π/3)
Решение:
Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
-37π/3 = -(12 + 1/3) • π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π•(-6)
Значит, числу -37π/3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π/3, а числу –π/3 соответствует та же точка что и 5π/3. Посмотрев значение точки 5π/3 в таблице получаем:
Числовая окружность на координатной плоскости. -
10 слайд
Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют.
Решение:
Пример
Прямая у = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π/6 (из данных таблицы) значит, и любому числу вида π/6 +2π •k . Точка Р соответствует числу 5π/6, а значит, и любому числу вида 5π/6 +2 π •kПолучили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений: π/6 +2 π •k и 5π/6 +2 π •k
Ответ : t= π/6 +2 π •k и t= 5π/6 +2 π •k
Числовая окружность на координатной плоскости.
-
11 слайд
Пример
Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥
и записать, каким числам t они соответствуют.
Решение:
Прямая x = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству x ≥ соответствуют точки дуги РМ.
Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы) значит, и любому числу вида -3π/4 +2π•k . Точка Р соответствует числу -3π/4, а значит, и любому числу вида –
-3π/4 +2 π •kТогда получим -3π/4 +2 π •k ≤t≤3π/4 +2 π •k
Ответ : -3π/4 +2 π •k ≤t≤3π/4 +2 π •kЧисловая окружность на координатной плоскости.
-
12 слайд
Задачи для самостоятельного решения.
1) Найти координату точки числовой окружности: Р(61π/6)?
2) Найти координату точки числовой окружности: Р(-52π/3)
3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у = -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют.4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у ≥ -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют.
5)Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥
и записать, каким числам t они соответствуют.
Числовая окружность на координатной плоскости. -
13 слайд
Домашние задание: красн. учебник § 5, №5.5
№ 5.7-5.8(в,г), №5.10, №5.12-5.13(в,г)Спасибо занимание!!!
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 257 781 материал в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Материал подходит для УМК
-
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тема
§ 5. Числовая окружность на координатной плоскости
Больше материалов по этой теме
Другие материалы
Рабочая программа 11 класс по математике.
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
- 20.10.2017
- 1316
- 0
Математические диктанты по алгебре и начала анализа
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
- 19.10.2017
- 2105
- 11
КВН урок-повторение по теме “Производная”
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
- Тема: § 27. Определение производной
- 19.10.2017
- 464
- 0
Презентация по математике на тему “Числовая окружность” (10 класс)
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
- Тема: § 4. Числовая окружность
- 19.10.2017
- 525
- 3
Презентация по математике на тему “Обратная функция” (10 класс)
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
- Тема: § 3. Обратная функция
Рейтинг:
4 из 5
- 19.10.2017
- 1831
- 50
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экскурсоведение: основы организации экскурсионной деятельности»
-
Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»
-
Курс повышения квалификации «Основы построения коммуникаций в организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного вуза»
-
Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности специалиста оценщика-эксперта по оценке имущества»
-
Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»
-
Скачать материал
-
20.10.2017
4705
-
PPTX
425.6 кбайт -
25
скачиваний -
Рейтинг:
4 из 5 -
Оцените материал:
-
-
Настоящий материал опубликован пользователем Поцелуева Елена Владимировна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 7 лет и 4 месяца
- Подписчики: 6
- Всего просмотров: 151857
-
Всего материалов:
42