Как найти числовые характеристики вероятности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

Пример:

По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.

Решение. Определяем объем выборки:
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):

Так как значение есть сумма относительных частот вариант попадающих в интервал запишем эмпирическую функцию распределения:

График примет вид:

Нормальный закон распределения
Основные законы распределения вероятностей
Асимптотика схемы независимых испытаний
Функции случайных величин
Формула полной вероятности
Повторные независимые испытания
Простейший (пуассоновский) поток событий
Случайные величины

Источник

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

$sum_{i=1}^n x_{i} cdot p_{i}=x_{1} cdot p_{1}+x_{2} cdot p_{2}+cdots +x_{n} cdot p_{n}$

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

$[D(X)=M{[X-M(X)]}^2]$

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

$[M(2X-3)=M(2X)+M(-3)=2M(X)-3=2cdot frac12-3=1-3=-2]$

2. Случайные величины X и Y независимы, причем D(X)=3 и D(Y)=5 . Найти D(Z) , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

	1	2	3	4
	$frac18$	$frac14$	$frac13$

Найти:

1) Так как $sum_{i=1}^4 p_i =1$ , т.е. $frac18 +frac14 +frac13+c=1$ , следовательно

$[c=1-frac18 -frac14 -frac13=frac{24-3-6-8}{24}=frac{7}{24}]$

Т.о. закон распределения примет вид

	1	2	3	4
	$frac18$	$frac14$	$frac13$	$frac{7}{24}$

$[M(X)=sum_{i=1}^4 x_i cdot p_i=1cdot frac18+2cdot frac14+3cdot frac13+4cdot frac{7}{24}=frac18+frac12+1+frac76=]$

$[=frac{3+12+24+28}{24}=frac{67}{24};]$

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

$[M(X^2)=1cdot frac18+4cdot frac14+9cdot frac13+16cdot frac{7}{24}=frac18+1+3+frac{14}{3}=frac{3+96+112}{24}=frac{211}{24};]$

$[D(X)=frac{211}{24}-{left(frac{67}{24}right)}^2=frac{24cdot 211-{67}^2}{{24}^2}=frac{5064-4489}{576}=frac{575}{576};]$

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

$[sigma (X) =sqrt{D(X)}=sqrt{frac{575}{576}}=frac{5sqrt{23}}{24}]$

$[P{X<3}=P{X=1}+P{X=2}=frac18+frac14=frac38]$

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

$[F(x)={ 0, qquad qquad xle 0 \ 0,2, qquad 0< x le 1, \ 0,6, qquad qquad 1< x le 2 \ 0,9, qquad qquad 2< x le 3 \ 1, qquad qquad x>3]$

Найти:

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

	0	1	2	3
	0,2	0,4	0,3	0,1

Составляем закон распределения ДСВ X^2

	0	1	4	9
	0,2	0,4	0,3	0,1

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2=2,5-{1,3}^2=2,5-1,69=0,81]$

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

Найти двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем $z_{ij}=x_i+y_{j}$

10+30=40 20+30=50
10+40=50 20+40=60
10+50=60 20+50=70
Т.о. значения ДСВ Z таковы:

Найдем соответствующие им вероятности:

$[p_1=P{Z=40}=P{X=10, Y=30}=0,2cdot 0,5=0,1]$

$[p_2=P{Z=50}=P{X=10, Y=40}+P{X=20, Y=30}=]$

$[p_3=P{Z=60}=P{X=10, Y=50}+P{X=20, Y=40}=]$

$[p_4=P{Z=70}=P{X=20, Y=50}=0,8cdot 0,2=0,16]$

Получаем ряд распределения СВ Z

	40	50	60	70
	0,1	0,46	0,28	0,16

$[M(Z)=sum_{i=1}^4 z_i cdot p_i=40cdot 0,1+50cdot 0,46+60cdot 0,28+70cdot 0,16=4+23+16,8+11,2=55;]$

$[M(Z^2)=sum_{i=1}^4 z_i^2 cdot p_i=1600cdot 0,1+2500cdot 0,46+3600cdot 0,28+4900cdot 0,16=]$

$[D(Z)=M(Z^2)-{[M(Z)]}^2=3102-3025=77]$

2. Используя правило сложения дисперсий:

$[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2]$

Источник

Закон
распределения полностью характеризует
случайную величину. Однако, при решении
ряда практических задач нет необходимости
знать все возможные значения случайной
величины и соответствующие им вероятности.
Целесообразнее пользоваться некоторыми
количественными показателями, которые
давали бы в сжатой форме достаточную
информацию о случайной величине. Такие
показатели называют числовыми
характеристиками случайной величины.
Основными из них являются математическое
ожидание, дисперсия, моменты различных
порядков.

Математическим
ожиданием M(x)
дискретной случайной величины X
называется сумма произведений всех ее
возможных значений на их вероятности:

. (43)

Дисперсией
D(x)
дискретной случайной величины X называется
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:

. (44)

Начальным
моментом порядка k случайной величины
X называют математическое
ожидание величины X^k:

. (45)

Начальный
момент первого порядка равен математическому
ожиданию v₁
= M(X).

Центральным
моментом порядка k случайной величины
X называют математическое
ожидание величины [X
– M(X)]^k:

. (46)

Центральный
момент второго порядка равен дисперсии
D(X):

Математическое
ожидание обладает следующими свойствами:

1)
математическое ожидание постоянной
величины равно этой постоянной: M(C)
= C;

2)
постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания: M(CX)
= C · M(X);

3)
математическое ожидание отклонения
равно 0: M[X
– M(X)]
= 0;

4)
M(X+Y) =M(X) +M(Y);

5)
M(X·Y) =M(X) ·M(Y).

Математическое
ожидание – это среднее значение данной
случайной величины, центр ее распределения.

Другой
важной характеристикой случайной
величины является дисперсия,
которая служит мерой рассеивания данной
случайной величины по отношению к ее
математическому ожиданию.

Дисперсия случайной
величины обладает свойствами:

1)
дисперсия постоянной равна 0: D(С)
= 0;

2)
постоянный множитель можно вынести за
знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(CX)
= C²D(X);

3)
если X
и Y
независимые случайные величины, тогда

D(X
+ Y) =
D(X)
+ D(Y);
D(X
– Y) =
D(X)
+ D(Y);

4)
дисперсия случайной величины X
равна математическому ожиданию ее
квадрата без квадрата ее математического
ожидания:

D(X)
= M(X²)
– [M(X)]².

Среднее
квадратическое отклонение ()
вычисляется по формуле

. (47)

Пример
2.6. Найти числовые
характеристики дискретной случайной
величины Х,
заданной следующим законом распределения:

X	1	2	3	4
P	0,3	0,1	0,4	0,2

Решение.
Найдем
дисперсию случайной величины двумя
способами.

1. Математическое
ожидание (начальный момент первого
порядка) равен M(X)
= ₁
= 1 · 0,3 + 2 · 0,1 + 3 · 0,4 +
4 · 0,2 = 2,5.

Вычислим
начальный момент третьего порядка: ₃
= M(X³)
= 1³·
0,3
+
+ 2³ · 0,1
+ 3³ · 0,4
+ 4³ · 0,2
= 24,7.

Рассчитаем
дисперсию (центральный момент второго
порядка):
D(X)
= ₂
= (1 – 2,5)² · 0,3
+ (2 – 2,5)² · 0,1
+ (3 – 2,5)² · 0,4
+ (4 –
– 2,5)² · 0,2
= 1,25.

2. Второй способ
вычисления дисперсии основан на свойстве
4:

D(X)
= M(X²)
– [M(X)]².

Так
как M(X²)
= 1 · 0,3 + 2² · 0,1
+ 3² · 0,4
+ 4² · 0,2
= 7,5 то
D(X)
=
= 7,5 – (2,5)²
= 1,25.

Используя
формулу (46) определим центральный момент
третьего порядка: ₃
= (1 – 2,5)³ · 0,3
+ (2 – 2,5)³ · 0,1
+ (3 – 2,5)³ · 0,4
+ (4 –
– 2,5)³ · 0,2
= 17,425.

Найдем
числовые характеристики дискретной
случайной величины, подчиняющейся
биномиальному распределению. В этом
случае возможными
значениями случайной величины X
являются 0, 1, 2, …, n,
а вероятности вычисляются по формуле
Бернулли. Запишем биномиальный закон
в виде следующей таблицы:

X	0	1	2	…	k	…	n
P	qⁿ			…		…	pⁿ

Запишем выражение
начального момента первого порядка
(математическое ожидание):

Дисперсия
(центральный момент второго порядка)
может быть вычислена по следующей
формуле:

D(X)
= ₂
= M(X²)
– [M(X)]²
= npq. (48)

Распределение
Пуассона, задается в виде следующего
закона распределения:

X	0	1	2	…	k	…
P	e^–^	e^–^	²e^–^/ 2!	…	^ke^–^/ k!	…

Отличительной
особенностью распределения Пуассона
является равенство математического
ожидания и дисперсии:

M(X) =D(X)
==np. (49)

Пример
2.7.
Два
стрелка стреляют в цель, выбивая очки
от 0 до 5. Определить, какой стрелок
стреляет лучше, если:

для
первого стрелка величина X
(число выбиваемых очков) задается
следующим законом распределения:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

для
второго
стрелка
величина X
задается законом распределения:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,1	0,1	0,3	0,2	0,2	0,1

Решение.Для
определения лучшего стрелка нужно найти
средние значения выбиваемых очков, с
учетом соответствующих вероятностей,
для каждого стрелка:

для
первого стрелка:

M(X₁)
= 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,1 +
3 · 0,3 + 4 · 0,1 + 5 · 0,2 = 2,7.

для
второго стрелка:

M(X₂)
= 0 · 0,1 + 1 · 0,1 + 2 · 0,3 +
3 · 0,2 + 4 · 0,2 + 5 · 0,1 = 2,6.

Так как первый
стрелок выбивает в среднем 2,7 очка, а
второй 2,6, следовательно, первый стрелок
стреляет лучше.

Для того, чтобы
оценить у какого стрелка рассеяние
меньше, рассчитаем дисперсию каждого
стрелка:

D(X₁)
= 1 · 0,2 + 4 · 0,1 + 9 · 0,3 + 16 · 0,1 + 25 · 0,2 – 2,7²
= 9,9 – 7,29 =
= 2,61.

D(X₂)
= 1 · 0,1 + 4 · 0,3 + 9 · 0,2 + 16 · 0,2 + 25 · 0,1 – 2,6²
= 8,8 – 6,76 =
= 2,04.

Следовательно,
второй стрелок стреляет более “кучно”,
так как его дисперсия меньше.

Пример
2.8. В
партии из 10 деталей содержится 3
нестандартные. Наудачу отобраны 2 детали.
Найти начальный момент первого и третьего
порядка и центральные моменты второго
и третьего порядка дискретной случайной
величины X
(число нестандартных деталей среди
отобранных).

Решение. Закон
распределения может быть задан в виде
следующей таблицы:

X	0	1	2
P	21/45	21/45	3/45

;

Пример
2.9. Найти математическое
ожидание дискретной случайной величины
Z = 2X
+ Y, если
известно, что M(X)
= 2, M(Y)
= 5.

Решение. Согласно
свойствам математического ожидания

M(Z)
= M(2X
+ Y) =
M(2X)
+ M(Y)
= 2M(X)
+ M(Y)
= 2 · 2 + 5 = 9.

Пример
2.10. Производятся
независимые опыты, в каждом из которых
событие A
наступает с вероятностью p.
Опыты продолжаются до первого появления
события A.
Найти математическое ожидание случайной
величины X
(число произведенных опытов).

Решение.
Возможные значения
этой случайной величины x_n
= n,
n
= 1, 2, 3, … . Событие X
= n
означает, что в первых n
– 1 опытах событие A
не наступит, а в n-ом
опыте наступит. Вероятность такого
исхода равна

Следовательно,
закон распределения случайной величины
X можно
представить в виде таблицы

X	1	2	3	…	n	…
P	p	pq	pq²	…	pqⁿ^–1	…

M(X)
= 1 · p +
2pq + 3pq²
+ … + npqⁿ^–1
+ … = p(1
+ 2q + 3q²
+ … +
+ nqⁿ^–1
+ …).

Ряд,
записанный в скобках, получается
дифференцированием геометрического
ряда
.

Следовательно,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение

Закон распределения дискретной случайной величины
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратичное отклонение
Правило трёх сигм
Примеры

п.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными на опыте значениями этой величины X= {x_i} и их вероятностями p_i = P(x_i).
При этом сумма всех вероятностей равна 1: (mathrm{sum_{i=1}^n p_i=1})
Закон распределения можно задать таблицей, графиком или аналитически (в виде формулы).

Например:
Закон распределения случайной величины X = {0;1;2;3}, равной числу выпадения орлов при 3 бросках монеты, аналитически задаётся формулой: $$ mathrm{ p_i=P(x_i)=P_3(i)=frac{C_3^{i}}{2^3}, i={0;1;2;3} } $$

В табличном виде:

x_i	p_i
0	1/8
1	3/8
2	3/8
3	1/8

В виде графика:

п.2. Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {x_i} равно сумме произведений всех возможных значений x_i на соответствующие вероятности p_i: $$ mathrm{ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} } $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.

Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

M(C) = C

4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:

M(XY) = M(X) · M(Y)

6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

M(CX) = C · M(X)

Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):

Число белых шаров, x_i	0	1	2	3	4	5
p_i	(mathrm{C_5^0q^5})	(mathrm{C_5^1pq^4})	(mathrm{C_5^2p^2q^3})	(mathrm{C_5^3p^3q^2})	(mathrm{C_5^4p^4q})	(mathrm{C_5^5p^5})
0,0074	0,0618	0,2060	0,3433	0,2861	0,0954

Найдём математическое ожидание для данного распределения:

M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + … + 5 · 0,0954 = 3,125

п.3. Дисперсия

Дисперсия дискретной случайной величины X = {x_i} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ mathrm{ D(X)=M(X-M(X))^2 } $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ mathrm{ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) } $$

Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0

4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:

D(CX) = C² · D(X)

Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:

p_i

0,0074

0,0618

0,2060

0,3433

0,2861

0,0954

x_ip₁

0,0618

0,4120

1,0300

1,1444

0,4768

3,125

(mathrm{x_i^2})

–

(mathrm{x_i^2p_i})

0,0618

0,8240

3,0899

4,5776

2,3842

10,9375

Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,125² ≈ 1,1719.

п.4. Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {x_i} – это корень квадратный от дисперсии: $$ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)} } $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.

Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:

σ(C) = 0

4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:

σ(CX) = C · σ(X)

п.5. Правило трёх сигм

Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и (mathrm{sigma(X)=sqrt{npq}}).
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = X_cp – среднему значению измеряемой величины.

Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).

Если величина X имеет нормальное распределение, то в пределах
±σ лежит 68,26% значений, принимаемых этой величиной
±2σ лежит 95,44% значений, принимаемых этой величиной
±3σ лежит 99,72% значений, принимаемых этой величиной
Вероятность того, что нормально распределённая величина примет значение, отклоняющееся от среднего больше, чем на «три сигмы», равна 0,28%, т.е. пренебрежимо мала.

п.6. Примеры

Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.

Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:

p_i

1/6

x_ip₁

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

3,5

(mathrm{x_i^2})

–

(mathrm{x_i^2p_i})

(mathrm{frac16})

(mathrm{frac23})

(mathrm{1frac12})

(mathrm{2frac23})

(mathrm{4frac16})

(mathrm{15frac16})

Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=1}^6 x_ip_i=3,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=1}^6 x_i^2p_i-M^2(X)=15frac16-3,5^3=2frac{11}{12} }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{2frac{11}{12}}approx 1,7 } end{gather*} Ответ: (mathrm{M(X)=3,5; D(X)=2frac{11}{12}; sigma(X)approx 1,7}).

Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.

Используем свойства мат.ожиданий и дисперсий.
Пусть X – очки на первом кубике, Y – на втором.
Параметры распределения для каждого из кубиков рассчитаны в примере 1.
(mathrm{M(X)=M(Y)=3,5, D(X)=D(Y)=2frac{11}{12}}).
Для суммы очков получаем:
(mathrm{M(X+Y)=M(X)+M(Y)=3,5+3,5=7})
(mathrm{D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2frac{11}{12}+2frac{11}{12}=5frac56})
(mathrm{sigma(X+Y)=sqrt{D(X+Y)}=sqrt{5frac56}approx 2,4})
Ответ: (mathrm{M(X+Y)=7; D(X+Y)=5frac56; sigma(X+Y)approx 2,4}).

Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.

Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:

(mathrm{x_i^2p_i})

Мат.ожидание первого опыта (mathrm{M(X)=sum x_ip_i=p}).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (mathrm{X=X_1+X_2+…+X_n}). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{p+p+…+p}_{n text{раз}}=np } end{gather*} Дисперсия первого опыта (mathrm{D(X)=sum x_i^2p_i-M(X)=p-p^2=p(1-p)=pq})
По свойству дисперсии суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{pq+pq+…+pq}_{n text{раз}}=npq } end{gather*} Что и требовалось доказать.

Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».

По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. begin{gather*} mathrm{ M(X)=np=100cdot 0,4=40 }\ mathrm{D(X)=npq=100cdot 0,4cdot 0,6=24 }\ mathrm{sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{24}approx 4,9} end{gather*} Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X)lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{40-3cdot 4,9lt Xlt 40+3cdot 4,9 }\ mathrm{25,3lt Xlt 54,7}\ mathrm{26leq Xleq 54} end{gather*} Скорее всего (99,7%), от 26 до 54 кнопок будут острием вверх.
Ответ: (mathrm{M(X)=40; D(X)=24; sigma(X)approx 4,9; 26leq Xleq 54})

Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?

По условию: (mathrm{n=10, p=frac14, q=frac34}).
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $$ mathrm{ P_{10}(k)=C_{10}^kp^kq^{10-k}=C_{10}^kfrac{3^{10-k}}{4^{10}}=left(frac34right)^{10}frac{C_{10}^k}{3^k} } $$ Строим расчётную таблицу. Для (mathrm{C_{10}^k}) используем рекуррентную формулу (см. §36 данного справочника): $$ mathrm{ C_{n}^k=frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1} } $$

(mathrm{x_i=k})	(mathrm{C_k})	(mathrm{3^k})	(mathrm{p_i(x_i)})	(mathrm{x_icdot p_i})	(mathrm{x_i^2})	(mathrm{x_i^2cdot p_i})
0	1	1	0,0563135	0,0000000	0	0,0000000
1	10	3	0,1877117	0,1877117	1	0,1877117
2	45	9	0,2815676	0,5631351	4	1,1262703
3	120	27	0,2502823	0,7508469	9	2,2525406
4	210	81	0,1459980	0,5839920	16	2,3359680
5	252	243	0,0583992	0,2919960	25	1,4599800
6	210	729	0,0162220	0,0973320	36	0,5839920
7	120	2187	0,0030899	0,0216293	49	0,1514053
8	45	6561	0,0003862	0,0030899	64	0,0247192
9	10	19683	0,0000286	0,0002575	81	0,0023174
10	1	59049	0,0000010	0,0000095	100	0,0000954
Σ			1	2,5		8,125

Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=0}^{10} x_ip_i=2,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=0}^{10} x_i^2p_i-M^2(X)=8,125=2,5^2=1,875 }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{1,875}approx 1,37 } end{gather*}
Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X) lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{ 2,5-3cdot 1,37lt X lt 2,5+3cdot 1,37 }\ mathrm{ -1,61lt Xlt 6,61 }\ mathrm{ 0leq Xleq 6 } end{gather*} Скорее всего (по расчетам – 99,65%), вы угадаете от 0 до 6 ответов.

Вероятность угадать хотя бы один ответ: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 1)=1-p_0approx 1-0,0563=0,9437 }end{gather*} Очень хорошие шансы – 94,37%.
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 5)=1-left(sum_{i=0}^{4}{p_i} right)approx 1-(0,0563+0,1877+…+0,1460)=0,0781 }end{gather*} Шансов мало – 7,81%. Т.е. «средний балл» при сдаче тестов мало достижим методом научного тыка.
Вероятность угадать все 10 ответов: p₁₀≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.

Источник

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.

Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные, непрерывные и кусочно-непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины X называется функция F(X), равная вероятности того, что X примет значение меньше, чем число x,то есть . Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Из определения следует: и .

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию f(X)=F'(X), которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Из определения следует:

Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание M(X).

Математическое ожидание вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Дисперсия D(X) — есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. , где ;

2. , где ;

3. ;

4. , если взаимно независимые случайные величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1., где ;

2., где ;

3., если

независимые случайные величины.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.36. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: . Вероятности этих возможных значений таковы:

Напишем искомый закон распределения

X	50	10	0
P	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

ПРИМЕР 13.2.37. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением:

Найти: а) коэффициент a; б) найти плотность распределения f(X); в) найти вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.

Решение. а) Для непрерывной случайной величины функция F(x) непрерывна, следовательно, , то есть , откуда .

б) Плотность распределения выражается формулой:

в) Воспользуемся формулой . Тогда,

ПРИМЕР 13.2.38. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти: а) и , зная, что ; б) дисперсию D(X).

Решение. а) Известно, что . Тогда . По определению математического ожидания ; ; , .

Закон распределения будет иметь вид:

б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:

Для второго способа напишем закон распределения случайной величины :

	16	36	441
P	0,5	0,3	0,2

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для случайных величин

3.2.7.1. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули наугад 1 шар. Случайная величина X — число вынутых белых шаров.

Требуется:

а) построить ряд распределения СВ X;

б) построить функцию распределения СВ X;

в) найти M(X) и D(X).

Отв.:

б), в).

3.2.7.2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M(X), D(X).

Отв.:

3.2.7.3. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: , . Найти M(X), D(X) и среднее квадратическое отклонение СВ X — числа отказавших приборов.

Отв.:1,8; 0,94; 0,97

3.2.7.4. Случайная величина X — может принимать два возможных значения: с вероятностью 0,3 и с вероятностью 0,7; причем . Найти и , зная, что и .

Отв.:

3.2.7.5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X : , а также известно, что . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

Отв.:

3.2.7.6. Даны независимые случайные величины X и Y.

X	-1	0	1		Y	2	4
P	0,2	0,5	0,3		P	0,3	0,7

Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: а)X+Y; б)2X-3Y ; в)X-Y+5 .

Отв.:

3.2.7.7. Брошены n игральных костей. Случайная величина X — сумма числа очков, которые выпадут на всех гранях. Найти: а) M(X); б) D(X).

Отв.:

3.2.7.8. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. Найти M(X) дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

Отв.:

3.2.7.9. Вероятность того, что в обувном магазине есть обувь, подходящей для покупателя модели, равна 0,6, а вероятность наличия обуви подходящего размера равна 0,8. Построить функцию распределения случайной величины X – числа обувных магазинов, которые посетит покупатель, если в городе три магазина.

Отв.:

3.2.7.10. Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х — числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X) и .

Отв.:

M(X)=3,5;=

3.2.7.11. Два баскетболиста независимо друг от друга делают по одному броску в одну корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,6 и 0,9 соответственно. Найти закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в корзину. Найти M(X) и D(X).

Отв.:

M(X)=1,5;D(X)=1,08

3.2.7.12. Вероятность того, что на АЗС есть в наличии бензин марки Аи-95, необходимый автомобилисту, равна 0,9. Построить функцию распределения случайной величины X – числа АЗС, которые посетит автомобилист, если в городе пять АЗС. Найти M(X), D(X).

Отв.:

X	1	2	3	4	5
P	0,9	0,09	0,009	0,0009	0,00001

M(X)=1,1111;D(X)=0,123

3.2.7.13. Случайная величина X — задана функцией распределения

Найти:

а) параметры C и D;

б) плотность распределения f(x) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) M(X); ж) D(X).

Отв.:

3.2.7.14. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X — ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).

Отв.:0,25

3.2.7.15. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ox функцией
.

Найти постоянный параметр C.

Отв.:

3.2.7.16. Случайная величина X — задана плотностью распределения

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию СВ X; б) установить, что вероятнее: в результате испытания окажется X < 1 или X > 1.

Отв.:

3.2.7.17. Функция распределения случайной величины X — задана формулой . Найти: а) постоянные и ; б) плотность распределения; в) вероятность того, что СВ X попадет на отрезок [-1;1] ; г)математическое ожидание и дисперсию СВ X.

Отв.: математическое ожидание не существует, а дисперсия бесконечна;

3.2.7.18. Случайная величина X имеет плотность распределения

Требуется а) Построить функцию распределения F(X).
б) Найти вероятность того, что в результате испытания .

Отв.:

3.2.7.19. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв.:2,5

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Источник

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины

Пример №1

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Мода и медиана. Квантили

Пример №2

Пример №3

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Числовые характеристики независимых испытаний

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение

п.1. Закон распределения дискретной случайной величины

п.2. Математическое ожидание

п.3. Дисперсия

п.4. Среднее квадратичное отклонение

п.5. Правило трёх сигм

п.6. Примеры

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Вам также может понравиться

Как составить медицинское заключение

Эмпирическая формула как найти

Как исправить внешний вид зубов

Добавить комментарий Отменить ответ