Как найти чисто мнимое число

(выделенный фрагмент
повторяется бесконечно)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
in = im где m ≡ n mod 4

Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью[1]. Термин «мнимое число» предложил в XVII веке французский математик Рене Декарт[2], изначально этот термин носил уничижительный смысл, поскольку такие числа считались вымышленными или бесполезными, и лишь после работ Леонарда Эйлера и Карла Гаусса это понятие получило признание в научном сообществе.

Определения[править | править код]

Пусть z=x+iy — комплексное число, где x и y — действительные числа. Числа x=Re (z) или operatorname {Re}~z и y=Im (z) или operatorname {Im}~z называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.

История[править | править код]

Размещение мнимых чисел на комплексной плоскости. Мнимые числа расположены на вертикальной оси.

Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский[3][4], но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818)[7].

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел[en], у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла[en] 1848 года[8].

Геометрическая интерпретация[править | править код]

Поворот на 90 градусов на комплексной плоскости

На плоскости комплексных чисел мнимые числа находятся на вертикальной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Один из способов геометрической интерпретации мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую ось, где положительные числа находятся справа, а отрицательные — слева. Через точку 0 на оси x может быть проведена ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается i,{displaystyle scriptstyle mathbb {I} }, или .

В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что i также является решением уравнения x2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента[en] комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни из отрицательных чисел[править | править код]

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, являющимися главными значениями[en] квадратных корней отрицательных чисел. Например, такой математический софизм:
[9]

{displaystyle 6={sqrt {36}}={sqrt {(-4)(-9)}}neq {sqrt {-4}}{sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}

Иногда это записывается так:

{displaystyle -1=i^{2}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}{stackrel {text{ (софизм) }}{=}}{sqrt {(-1)(-1)}}={sqrt {1}}=1.}

Подобный математический софизм возникает в случае, когда в равенстве {displaystyle {sqrt {xy}}={sqrt {x}}{sqrt {y}}} переменные не имеют соответствующих ограничений. В этом случае равенство не выполняется, так как оба числа отрицательны. Это можно показать как

{displaystyle {sqrt {-x}}{sqrt {-y}}=i{sqrt {x}} i{sqrt {y}}=i^{2}{sqrt {x}}{sqrt {y}}=-{sqrt {xy}}neq {sqrt {xy}},}

где и x и y — неотрицательные действительные числа.

См. также[править | править код]

  • Вещественное число
  • Мнимая единица
  • Формула Муавра

Примечания[править | править код]

  1. Комплексное число // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — : «Советская энциклопедия», 1982. — Т. 3. — С. 708. — 1183 с. — (51[03] М34).
  2. Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (англ.). — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2004. — P. 121. — ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
  3. Hargittai, István. Fivefold symmetry (неопр.). — 2nd. — World Scientific, 1992. — С. 153. — ISBN 981-02-0600-3.
  4. Roy, Stephen Campbell. Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications (англ.). — Horwood, 2007. — P. 1. — ISBN 1-904275-25-7.
  5. René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), цитируемая книга: Геометрия, книга 3, p. 380. From page 380: «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine, comme encore qu’on en puisse imaginer trois en celle cy, x3 — 6xx + 13x — 10 = 0, il n’y en a toutefois qu’une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu’imaginaires.» («Более того, как истинные корни, так и ложные [корни] не всегда реальны; но иногда имеются только мнимые [числа]; то есть, в каждом уравнении всегда можно представить их столько, сколько я сказал; но иногда нет такой величины, которая соответствует тому, что можно себе представить, точно так же, как в этом [уравнении], x3 — 6xx + 13x — 10 = 0, где только один корень реальный и равен 2, а в отношении двух других, хотя одно увеличивает, или уменьшает, или умножает их так, как я только что объяснил, никто не сможет сделать их отличными от мнимых [величин].»)
  6. Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8.
  7. Rozenfeld, Boris Abramovich. Chapter 10 // A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space (англ.). — Springer, 1988. — P. 382. — ISBN 0-387-96458-4.
  8. Cockle, James (1848) «On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra», London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435-9 and Cockle (1849) «On a New Imaginary in Algebra», Philosophical Magazine 34:37-47
  9. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of “i” [the square root of minus one] (англ.). — Princeton University Press, 2010. — P. 12. — ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

Литература[править | править код]

  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 2. — 810 с.
  • Nahin, Paul. An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1 (англ.). — Princeton: Princeton University Press, 1998. — ISBN 0-691-02795-1.

Ссылки[править | править код]

  • How can one show that imaginary numbers really do exist? (англ.)
  • In our time: Imaginary numbers (англ.)
  • 5Numbers programme 4 (англ.)
  • Why Use Imaginary Numbers? (англ.)
Развитие понятия числа является
важнейшей сквозной методико-содержательной
линией школьного курса математики, проходящий в
той или иной степени через все классы средней
школы. В приложении «Математика» неоднократно
публиковались статьи о методике изучения
различных числовых систем в школе. В частности, в
1995–96 гг. были опубликованы три лекции академика
РАО, профессора Г. Глейзера:
Лекция 1. Натуральные числа,
1995, № 47.
Лекция 2. Рациональные числа, 1995, № 48.
Лекция 3. Действительные числа, 1996, № 3.
Публикуемая ниже статья завершает цикл этих
лекций.

Введение

Начнем с нескольких
напоминаний.

Одна из причин введения
рациональных чисел обусловлена требованием,
чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a
0) было
разрешимо. В области целых чисел линейное
уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b
делится нацело на a.

Одна из причин расширения
множества рациональных чисел до множества
действительных чисел была связана с
разрешимостью квадратных уравнений, например,
уравнения вида x2 = 2. На множестве
рациональных чисел это уравнение не разрешимо,
так как среди рациональных нет числа, квадрат
которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На
множестве же действительных чисел уравнение x2
= 2 разрешимо, оно имеет два решения x1 = и x2 = – .

И все же нельзя считать, что на
множестве действительных чисел разрешимы все
квадратные уравнения. Например, квадратное
уравнение x2 = – 1 на множестве
действительных чисел решений не имеет, так как
среди действительных чисел нет такого числа,
квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных
чисел явно недостаточно, чтобы построить такую
теорию квадратных уравнений, в рамках которой
каждое квадратное уравнение было бы разрешимо.
Это соображение приводит к необходимости
вводить новые числа и расширять множество
действительных чисел до множества комплексных
чисел, в котором было бы разрешимо любое
квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе
расширения числовых систем и поступим в
соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется
до множества В, то должны быть выполнены
следующие условия:

1. Множество А есть
подмножество В.
2. Отношения элементов множества А (в частности,
операции над ними) определяются также и для
элементов множества В; смысл этих отношений для
элементов множества А, рассматриваемых уже как
элементы множества В, должен совпадать с тем,
какой они имели в А до расширения.
3. В множестве В должна выполняться операция,
которая в А была невыполнима или не всегда
выполнима.
4. Расширение В должно быть минимальным из всех
расширений данного множества А, обладающих
первыми тремя свойствами, причем это расширение
В должно определяться множеством А однозначно (с
точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество
действительных чисел до множества новых чисел,
названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа
подчинялись основным свойствам действительных
чисел, в частности, коммутативному,
ассоциативному и дистрибутивному законам;
б) в новом числовом множестве были разрешимы
любые квадратные уравнения.

Множество действительных
чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы
разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому,
расширяя множество действительных чисел до
множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы
в нем можно было бы построить полную и
законченную теорию квадратных уравнений.
Другими словами, мы расширим множество
действительных чисел до такого множества, в
котором можно будет решить любое квадратное
уравнение. Так, уравнение x2 = – 1 не имеет
решений во множестве действительных чисел
потому, что квадрат действительного числа не
может быть отрицательным. В новом числовом
множестве оно должно иметь решение. Для этого
вводится такой специальный символ i, называемый
мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.

Ниже будет показано, что
введение этого символа позволит осуществить
расширение множества действительных чисел,
пополнив его мнимыми числами вида bi (где b –
действительное число) таким образом, чтобы в
новом числовом множестве (множестве комплексных
чисел) при сохранении основных законов
действительных чисел были разрешимы любые
квадратные уравнения.

Основные
определения. Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая
единица) такой, что i2 = – 1.

2. Символ a + bi называют
комплексным числом с действительной частью a и
мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b
– коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i
отождествляется с действительным числом a, т.е. a +
0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b
0) называют чисто
мнимыми.

Например, комплексное число 2 +
3i имеет действительную часть – действительное
число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 –
коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет
действительную часть число 2, мнимую часть – 3i,
число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два
комплексных числа равны тогда и только тогда,
когда равны их действительные части и равны
коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и,
обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и
вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b +
d)i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i
= 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1)
+ (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1)
+ (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел
определяется как операция, обратная сложению, и
выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b
– d)i.

Например:

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) +
(– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) +
((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения
комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad +
bc)i.

Из определений 4 и 5 следует,
что операции сложения, вычитания и умножения над
комплексными числами осуществляются так, как
будто мы выполняем операции над многочленами,
однако с условием, что i2 = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi
+ bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i +
6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  (2 + 3i)(2 – 3i) = 4
– 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует,
что результатом сложения, вычитания,
произведения двух комплексных чисел может быть
число действительное. В частности, при умножении
двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых
сопряженными комплексными числами, в результате
получается действительное число, равное сумме
квадратов действительной части и коэффициента
при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a – bi) = a2
abi + abi – b2i2 = a2 + b2.

Произведение двух чисто
мнимых чисел – действительное число.

Например:  5i•3i = 15i2 = –
15; – 2i•3i = – 6i2 = 6,  и вообще   bi•di = bdi2
= – bd.

6. Деление комплексного числа a
+ bi на комплексное число c + di
0 определяется как операция
обратная умножению и выполняется по формуле:

.

Формула теряет смысл, если c + di
= 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление
на нуль и во множестве комплексных чисел
исключается.

Обычно деление комплексных
чисел выполняют путем умножения делимого и
делителя на число, сопряженное делителю.

Например,

Опираясь на введенные
определения нетрудно проверить, что для
комплексных чисел справедливы коммутативный,
ассоциативный и дистрибудивный законы. Кроме
того, применение операций сложения, умножения,
вычитания и деления к двум комплексным числам
снова приводит к комплексным числам. Тем самым
можно утверждать, что множество комплексных
чисел образует поле. При этом, так как
комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с
действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных
чисел включает поле действительных чисел в
качестве подмножества.

Приведем классификацию
комплексных чисел:

Решение квадратных
уравнений

Одна из причин введения
комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться
разрешимости любого квадратного уравнения, в
частности уравнения

x2 = – 1.

Покажем, что расширив поле
действительных чисел до поля комплексных чисел,
мы получили поле, в котором каждое квадратное
уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так,
уравнение x2 = – 1 имеет два решения:   x1
= i, x2 = – i.

Это нетрудно установить
проверкой:    i•i = i2 = – 1, (– i)•(– i) = i2
= – 1.

Перейдем теперь к вопросу о
решении полного квадратного уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax2 + bx + c = 0 (a 0),

где x – неизвестная, a, b, c –
действительные числа, соответственно первый,
второй коэффициенты и свободный член, причем a
0. Решим это
уравнение, выполнив над ним ряд несложных
преобразований.

· Разделим все члены
уравнения на a
0 и перенесем свободный член в
правую часть уравнения: 

Теперь можно исследовать
полученное решение. Оно зависит от значения
подкоренного выражения, называемого
дискриминантом квадратного уравнения. Если  b2
– 4ac > 0, то
есть действительное число и квадратное
уравнение имеет действительные корни. Если же – мнимое число,
квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты
исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных
чисел позволяет разработать полную теорию
квадратных уравнений. В поле комплексных чисел
разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение x2 – 2x
– 8 = 0.

Решение. Найдем
дискриминант  D = b2 – 4ac = (– 2)2
4•1•(– 8) = 36 > 0.

Уравнение имеет два
действительных корня: 

2. Решите уравнение x2 + 6x +
9 = 0.

Решение. D = 62 – 4•1•9 = 0,
уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение x2 – 4x
+ 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0,
уравнение имеет мнимые корни:  

Геометрическая
интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные
числа были введены в связи с решением линейных
уравнений с одной переменной. В конкретных
задачах отрицательный ответ истолковывался как
значение направленной величины (положительные и
отрицательные температуры, передвижения в
противоположных направлениях, прибыль и долг и
т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не
признавали отрицательных чисел. Только с
введением координатной прямой и координатной
плоскости отчетливо проявился смысл
отрицательных чисел, и они стали такими же
«равноправными» и понятными, как и натуральные
числа. Аналогично обстоит дело с комплексными
числами. Смысл их отчетливо проявляется при
введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая
интерпретация комплексных чисел состоит в том,
что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в
соответствие точка (x, y) координатной плоскости
таким образом, что действительная часть
комплексного числа представляет собой абсциссу,
а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Таким образом,
устанавливается взаимно однозначное
соответствие между множеством комплексных чисел
и множеством точек координатной плоскости.
Подобным образом было установлено соответствие
между множеством действительных чисел и
множеством точек числовой прямой.

На рисунке 1 изображена
координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует
точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3);
числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка
D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а
числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак, каждому
комплексному числу соответствует единственная
точка координатной плоскости и, обратно, каждой
точке координатной плоскости соответствует
единственное комплексное число, при этом двум
различным комплексным числам соответствуют две
различные точки координатной плоскости. Ясно,
что действительным числам x + 0i соответствуют
точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y
0 –
точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой,
а ось Ox – действительной. Сопряженным
комплексным числам соответствуют точки, симметричные
относительно оси абсцисс (рис. 2).

Тригонометрическая
форма комплексного числа

Точка координатной плоскости,
соответствующая комплексному числу z = x + yi, может
быть указана по-другому: ее координатами могут
быть расстояние r от начала координат и величина
угла j между положительной полуосью Ox и лучом Oz
(рис. 3).

Расстояние r от начала системы
координат до точки, соответствующей
комплексному числу z, называют модулем этого
числа. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2)
имеем:   r2 = x2 + y2 = (x + yi)(x – yi)
= z•z.

Отсюда найдем модуль
комплексного числа как арифметическое
(неотрицательное) значение корня:

Если комплексное число z
изображается точкой оси абсцисс (т.е. является
действительным числом), то его модуль совпадает с
абсолютным значением. Все комплексные числа,
имеющие модуль 1, изображаются точками единичной
окружности – окружности с центром в начале
системы координат, радиуса 1 (рис. 4).

Угол j между положительной полуосью Ox и
лучом Oz называют аргументом комплексного числа z
= x + yi (рис. 3).

Сопряженные комплексные
числа имеют
один и тот же модуль   и аргументы, отличающиеся знаком:
j = – j.

В отличие от модуля аргумент
комплексного числа определяется неоднозначно.
Аргумент одного и того же комплексного числа
может иметь бесконечно много значений,
отличающихся друг от друга на число, кратное 360°.
Например, число z (рис. 3) имеет модуль r, аргумент
же этого числа может принимать значения j;
j + 360°; j + 720°; j + 1080°; … или
значения
j – 360°; j –720°; j – 1080°; … Данное значение модуля r и любое из
приведенных выше значений аргумента определяют
одну и ту же точку плоскости, соответствующую
числу z.

Пусть точке с координатами (x;
y) соответствует комплексное число z = x + yi. Запишем
это комплексное число через его модуль и
аргумент. Воспользуемся определением
тригонометрических функций синуса и косинуса
(рис. 3):

x = r cos j; y = r sin j.

Тогда число z выражается через
модуль и аргумент следующим образом:  z = x + yi =
r(cos
j + i sin
j).

Выражение z = r(cos j + i sin j) называют
тригонометрической формой комплексного числа, в
отличии от выражения z = x + yi, называемого
алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения
комплексных чисел из алгебраической формы в
тригонометрическую:

Для числа i имеем r = 1, j = 90°, поэтому
  i = 1(cos 90° + i sin 90°);

Для числа – 1 имеем r = 1, j = 180°,
поэтому  – 1 = 1(cos 180° + i sin 180°);

Для числа 1 + i имеем поэтому

Для числа имеем r = 1, j = 45°, поэтому

Для числа имеем r = 2, j = 120°, поэтому 

Справедливость приведенных
равенств нетрудно проверить путем подстановки в
их правой части числовых значений
тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы
комплексное число, заданное в алгебраической
форме, обратить в тригонометрическую форму,
необходимо найти его модуль r и аргумент j,
пользуясь формулами:

Комплексные числа и
векторы

Существует и другой способ
геометрической интерпретации комплексных чисел.
Каждой точке (x , y) координатной плоскости,
изображающей комплексное число
z = x + yi, соответствует единственный вектор,
отложенный от начала системы координат и обратно
(рис. 5). При этом двум различным точкам
координатной плоскости будут соответствовать
два таких различных вектора.

Таким образом, может быть
установлено взаимно однозначное соответствие
между множеством точек координатной плоскости
(комплексными числами) и множеством векторов,
отложенных от начала системы координат.

Если z = x + yi (рис. 5), то вектор , отложенный от
начала системы координат до точки, изображающей
число z, будет иметь координаты (x; y). Известно, что
равные векторы имеют равные координаты.

Итак, мы рассмотрели два
способа интерпретации комплексных чисел: их
можно изображать либо точками координатной
плоскости, либо векторами, отложенными от начала
системы координат. При этом любые два равных
вектора (имеющих одно и то же направление и
равные длины) изображают одно и то же комплексное
число, а векторы, отличные либо длиной, либо
направлением, изображают разные числа. На
рисунке 6 с помощью векторов изображены
различные комплексные числа: изображает число 2 + 0i; – число – 3 + 0i; – число 0 + i;   – число 0 + 2i; – число 0 – 3i; – число 3 + 2i; – число – 1 – 2i.

Ясно, что любой ненулевой
вектор, лежащий на оси Oy (или параллельный ей),
изображает чисто мнимое число yi, причем y > 0,
если направление вектора совпадает с
направлением оси, y < 0, если направление вектора
противоположно направлению оси. Вследствие
этого ось Oy называют мнимой. Все векторы, лежащие
на оси Ox (или параллельные ей) изображают
действительные числа, поэтому ее называют
действительной осью.

Векторная интерпретация
комплексных чисел позволяет уяснить
геометрический смысл операций над комплексными
числами. Например, сумма двух комплексных чисел 2
+ i и 1 + 4i равна 3 + 5i. Каждое из слагаемых изображает
соответствующий вектор, отложенный от начала O
координат (рис. 7):

= 2 + i; = 1 + 4i.

Сумма этих векторов – вектор = 3 + 5i, изображается
диагональю параллелограмма, построенного на
векторах и .

Для того, чтобы лучше уяснить
себе геометрический смысл умножения двух
комплексных чисел, воспользуемся их
тригонометрической формой. Пусть векторы изображают
соответственно комплексные числа:

соответственно модули этих
чисел, а
j1
и
j2
– их аргументы. Найдем произведение этих чисел:

z1z2 = r1r2(cosj1 + i sin j1)(cos j2 + i sin j2) = r1r2(cos
j1cos
j2
– sin
j1
sin
j2)
+ i = (cos
j1sin
j2 +
sin
j1cos
j2).

Воспользуемся известными из
школы теоремами сложения синуса и косинуса:

cos j1cos j2 – sin j1 sin j2 = cos(j1 + j2);

cos j1sin j2 + sin j1cos j2 = sin(j1 + j2).

Тогда произведение данных
комплексных чисел равно комплексному числу:

z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + isin(j1 + j2)).

Последнее соотношение
позволяет сформулировать правило умножения
комплексных чисел: при умножении двух
комплексных чисел их модули перемножаются, а их
аргументы складываются. Это проиллюстрировано
на рисунке 8.

Ясно, что произведение
комплексных чисел связано с поворотом
(вращением). Так, произведение z1z2
изображается вектором представляющим собой образ вектора , повернутого на
угол
j2
(или образ вектора , повернутого на угол
j1), при этом модуль вектора
равен произведению модулей данных векторов.

Связь произведения
комплексных чисел с вращением становится более
наглядной, если рассматривать произведение
различных комплексных чисел (векторов) на
комплексное число i, у которого модуль равен 1, а
аргумент 90°. Например, найдем произведение
комплексных чисел z1 = 1 + i и z2 = i.

z = z1z2 = (1 +
i)i = i + i2 = – 1 + i.

Числа z1 и z2
соответственно изображают векторы и (рис.9). Мы
видим, что модуль комплексного числа z равен
модулю числа z1:

Аргумент же комплексного
числа z равен 45° + 90° = 135°, в то время, как аргумент
комплексного числа z1 равен 45°. Т.е. вектор ,
изображающий число z, есть образ вектора ,
изображающего число z1 при повороте на 90°.

Содержание:

Хроника возникновения комплексных чисел:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Исследование.

1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

  • а) Если а и b – натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
  • б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
  • в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х1 = а также является рациональным числом.
  • г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х2 = а также является действительным числом.

2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

3)

  • а) Существуют ли действительные корни уравнения х2 = а при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

На множестве действительных чисел уравнение х2 = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х2 + 1 = 0, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. После этого, корнями уравнения х2 + 1 = 0 являются числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется мнимой единицей.

Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём “произведение” Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и “сумму” Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и назовём комплексным числом следующее выражение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Выражение вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексным числом, где а и b – действительные числа, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и т.д.Например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Запись Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b – мнимой частью комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, и записывается так: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. При а = 0 получается число вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения = 0, то а = 0 и b = 0.

Следствие: для комплексных чисел а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и с + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равенство

а + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения = с + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

Пример. Из равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения найдите х и у.

Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Суммой комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия над комплексными числами

Произведением комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, т.е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №1

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, натуральные степени мнимой единицы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равны Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, -1, –Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Вычислите: а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения б) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения б) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается как : Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Ясно, что если число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является сопряжённым для числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому, числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого – произведение числа и (-1).

Для каждого комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения существует противоположное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения существует противоположное. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

Пример №3

Найдём разность и отношение чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения справедливы тождества

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Квадратный корень комплексного числа

Число, квадрат которого равен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется квадратным корнем комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №4

Найдём квадратный корень комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Возведём обе части равенства в квадрат: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Решим уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения точку А (а; b) и обозначим её через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат – мнимой, а плоскость – комплексной плоскостью.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть на комплексной плоскости комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Из Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

называется аргументом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Из Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет единственное значение, а аргумент Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения находится с точностью Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. То есть, если одно из значений аргумента равно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то другое будет иметь вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Пример №6

Найдём модуль и аргумент комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: Из того, чтоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения следует,что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и принимая внимание, что угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения расположен в I четверти,

получим:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формул Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения , Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получаем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется тригонометрической формой комплексного числа.

В частном случае для модуля и аргумента числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеем:

Пример №7

Запишем комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в тригонометрической форме.

Решение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принадлежит II четверги, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теперь найдём отношение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Возвести число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

Пример:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Формулу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства двух комплексных чисел имеем:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогичным образом можно написать формулы для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Корень n-ой степени комплексного числа

Найдём значение выражения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Запишем в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и найдём корень n – ой степени

виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Это значит,Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения для первых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений полученного числа равны значениям, полученным при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения– ой степени единицы через Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Как видно, модули корней Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-угольника.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Корнем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется такое число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то для корня Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-ой степени существуют Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений.

Запишем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияв виде

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения .

Для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из равенства двух комплексных чисел получим:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Значения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отличаются от первых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому, должно соблюдаться следующее:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Найдём все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение: пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— действительные числа, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — мнимая единица.

Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется действительной частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (от франц. reele — «действительный»), а число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — мнимой частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действительное числоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является частным случаем комплексного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не являющиеся действительными, т.е. при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются мнимыми, а при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решениячисто мнимыми.

Числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназываются сопряженными.

Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения еслиКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения В частности, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Умножение комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В частности,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если считать Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияНапример, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Даны комплексные числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (учли, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения ставится в соответствие точка плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Оси Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, на которых расположены действительные числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и чисто мнимые числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназываются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, длина которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется модулем комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 16.1):

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения образованный радиусом-вектором Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с осью Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется аргументом комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Из значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выделяется главное значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее условию Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, комплексное числоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно представить как

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Представление комплексного числа в виде (16.6), где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназывается тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияих суммы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и разности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Геометрически умножение числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения означает изменение длины радиуса-вектора Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раз и его поворот вокруг точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения против часовой стрелки на угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №10

Комплексные числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представить в тригонометрической форме и найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияа из соотношений (16.5) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияполучим аргумент числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (берем его главное значение): Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, известную как формула Муавра:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

или

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Итак,Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решениязначения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений.

Пример №12

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

В примере 16.2 было получено

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

откуда получаем три значения корня

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения расположенные на окружности радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (рис. 16.3). ►

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует показательная форма комплексного числа. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Выражение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение видаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения таким образом, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения изобретается на комплексной плоскости Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2): Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3). Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияпри этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является модулем, а Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияаргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Вычислим разность данных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Отметим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где величина Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

3. Деление комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения осуществляется так Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в показательной форме: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаемКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отождествляются с действительными числами; в частности, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Сопряженным числом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения к числу (1) называется комплексное число

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2.Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияRez1 = Re z2, Im z1 = Im z2

В частности, z = 0 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Re z = 0, Im z = 0.

II. z1±z2= (x1± x2) + i(y1 ± y2)-

Отсюда следует, что

Re (z1 ± z2) – Re z1 ± Re z2,

Im (z1 ± z2) – Imz1 ± 1mz2

III. z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2+x2y1).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения+Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения + Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения +Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с учетом (7).

Очевидно также, что для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко проверить следующие свойства:

1)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

На оси Ох расположены действительные числа: z =Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения; 3) arg i = Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точке с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, а число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — точке с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отвечает точка Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х2 и у2 равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является суммой радиусов-векторов точек Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть длина вектора Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Следствие. Расстояние между двумя точками Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равно

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

то имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, при умножении на i вектор Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

то на основании теоремы 1 имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

ОтсюдаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Тогда на основании имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что здесь под Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (4) следует, что корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-й степени из любого комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения=0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то на основании формулы (4) имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(рис. 167, а) при отображении Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется множество пар действительных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Элементы множества Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются комплексными числами. Два комплексных числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются равными, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Операции сложения и умножения на множестве Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства

  • 1)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • 2)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • 3)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • 4)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
  • 5)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.2. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Далее, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то пару Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Определения операций при этом запишутся так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется такое комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Частным двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения) называется такое комплексное число z, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Для разности имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияТогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Разность двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется однозначно: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то определитель этой системы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решая систему по правилу Крамера, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения   Частное двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определено однозначно:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется сопряжённым к числу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Мы воспользовались тем, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называются соответственно действительной и мнимой частью числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения                  (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется числом, сопряжённым к Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Действительное неотрицательное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется модулем числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют место следующие соотношения: 

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (кратчайший поворот от Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответствует точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с координатами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения симметрична точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения до начала координат равно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 7.1).

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Аргументом числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поворота от положительного луча действительной оси к лучу Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно записать в тригонометрической форме:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□  1) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

2) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения(Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда следует, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то при любом целом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Возводя двучлен в куб, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (мы воспользовались тем, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.6. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Корнем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени из комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Лемма 7.4. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает единственное значение 0 при любом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает ровно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексных значений, имеющих одинаковый модуль Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различных значений аргумента Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Правая часть леммы очевидна, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть теперь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (пока значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (арифметический корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени из положительного числа), Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При замене Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим тот же угол, увеличенный на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому существенно различные значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дают лишь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения далее значения корня повторяются).    

Замечание. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значений Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на комплексной плоскости соответствуют Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения точкам, лежащим в вершинах правильного Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения-угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ 1) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получим 3 значения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
2) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получим 4 значения:
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
(см. рис. 7.3). Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения,  поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получим 3 значения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(см. рис. 7.4).    ■

Определение 7.7. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определяется как комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получаем обычное действительное значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Отмстим, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.5. Для любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют место равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Далее, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда следует второе утверждение леммы.    

Пример №20

Вычислить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как при всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения выполняются равенства Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то функция комплексной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет мнимый период Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обозначение: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Лемма 7.6. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не определен. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Первая часть леммы следует из того, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть теперь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения), Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, множество значений функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.9. Для любых Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения определим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).   Например, для всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такую, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда при всех Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно рассмотреть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно интерпретировать как плоскость Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Для дифференцируемой функции по определению Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения также дифференцируемы в этой точке, причем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (в последнем случае нужно требовать, чтобы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируемы в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Функция Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема в точке Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что это выражение совпадает с Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

Доказать, что при любом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

т.е. привычная для действительных Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения формула сохраняется и при комплексных Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

что совпадает с Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется многочленом степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения от переменной Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Многочлен степени 0 — это постоянная функция Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Если все Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то говорят о многочлене с действительными коэффициентами (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения или Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по смыслу задачи). Если все Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения можно разделить с остатком на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на двучлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения равен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Из (7.1) имеем при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения делится без остатка на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где степень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

раскладывается в произведение линейных множителей

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (среди чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения возможно, есть равные).

□    По основной теореме алгебры Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Применяя такую же процедуру к Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (комплексная постоянная). Здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения будет равен С, т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 7.11. Комплексное число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется корнем кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения корень называется простым, при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— кратным.

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раскладывается на линейные множители:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где все комплексные числаКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения различны, корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет кратность Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, при этом степень многочлена равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.8. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (многочлен, сопряжённый к P). Число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем многочлена Р  кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения той же кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

 □ Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получим

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Это и означает, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — корень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен с действительными коэффициентами, то числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — один и тот же многочлен.  

Теорема 7.4. Многочлен степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения с действительными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — действительные корни многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратностей Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения соответственно, a Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — оставшиеся корни (Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковую кратность Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Очевидно, что степень многочлена равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. эта сумма равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения который имеет отрицательный дискриминант Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Остаётся символически заменить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и мы получим нужное равенство. 

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения сводится только к определению того, различны ли корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности 2). Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и уравнение имеет один корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности 2 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (писать ± не имеет смысла, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и под Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №23

Решить уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Найдём оба значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Решая эту систему, получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Полученное биквадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решается при помощи замены Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет корни Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Получили два значения квадратного корня: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда корни данного уравнения равны

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Пример №24

Найти все значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения решая уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

□ Левая часть раскладывается на множители:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не имеет действительных корней Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения по формуле чётного коэффициента:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Во множестве комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет два значения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения поэтому Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения имеет 3 комплексных значения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом).    ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— многочлены степеней соответственно Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Дробь называется правильной, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и неправильной, если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Лемма 7.9. Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения правильная дробь и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения —действительный корень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен, для которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является корнем кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения a Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения— такой многочлен, что дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является правильной.

□ Так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — корень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения кратности Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (это многочлен, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и числитель делится нацело на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения меньше степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения правильная. Далее, Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. ПустьКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения на множители в степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Тогда правильная дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения представляется в виде

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлен, в разложение которого Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения входит в степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — такой многочлен, что дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения является правильной.

□ Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — действительный многочлен такой, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то равенство (7.3) перепишется так:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

и числа А, В находятся из системы Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения (это — многочлен, так как Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения значит, числитель делится нацело на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения следовательно, делится на Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения). Пусть степень Q равна Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Так как степень G не превосходит Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения то степень многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения не превосходит Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения меньше, чем Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, т.е. меньше степени Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения и дробь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияправильная. Далее,

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Последовательно выделяя из многочлена Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в сумму правильных дробей вида

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

(здесь Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения — как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

а) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя к общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

б)Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя в общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения При Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая коэффициенты при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения т.е. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая свободные члены, получим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

в) Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приводя к общему знаменателю, имеем: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Приравнивая коэффициенты при Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения получим: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения откуда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Окончательно имеем

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

где Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения такое, чтоКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Суммой двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения.
Произведением двух комплексных чисел Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется число
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения: Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
вычитание и деление (кроме деления на 0).

Пример №26

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.
 

Пример №27

Решить уравнение
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияназывается модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При этом Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – длина радиуса-вектора точки z.

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi  называется
угол Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения называется
главным и обозначается argz.
 

Замечание. Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

При этом
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – аргумент z, то z представляется в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

тригонометрическая форма комплексного числа.
 

Теорема 1.2. Пусть Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения 

Из формул (1.5) следует, в частности, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения Представить числа Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения в тригонометрической форме.

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
поэтому по формуле (1.3)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
Тогда по формуле (1.4)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

поэтому по формуле (1.3)
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияКомплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения – формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияпоказательная форма комплексного числа.

Пример №29

Вычислить Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно примеру 1.3 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

 Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решенияC называется такое
число Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, при этом обозначается Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом
Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (1.8) видно что Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения корней n-й степени из числа z, при этом,
если Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения, то

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №30

Найти Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Комплексные числа - определение и вычисление с примерами решения

  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости
  • Линейная функция
  • Квадратичная функция
  • Степенные ряды
  • Элементы матричного анализа
  • Уравнение линии
  • Функции нескольких переменных

7

Лекция

Комплексные
числа.

Определение.
Комплексным
числом
z
называется
выражение
,
где a
и b
– действительные числа, i
– мнимая единица, которая определяется
соотношением:

При
этом число a
называется действительной
частью
числа
z
(a
=
Re
z),
а b
мнимой частью
(b
=
Im
z).

Если
a
=
Re
z
=0,
то число
z
будет чисто
мнимым
, если
b
=
Im
z
= 0
, то число
z
будет действительным.

Определение.
Числа

и
называются
комплексно
– сопряженными.

Определение.
Два комплексных числа

и

называются равными, если соответственно
равны их действительные и мнимые части:

Определение.
Комплексное число равно нулю, если
соответственно равны нулю действительная
и мнимая части.

Понятие
комплексного числа имеет геометрическое
истолкование. Множество комплексных
чисел является расширением множества
действительных чисел за счет включения
множества мнимых чисел. Комплексные
числа включают в себя все множества
чисел, которые изучались ранее. Так
натуральные, целые, рациональные,
иррациональные, действительные числа
являются, вообще говоря, частными
случаями комплексных чисел.

Если
любое действительное число может быть
геометрически представлено в виде точки
на числовой прямой, то комплексное число
представляется точкой на плоскости,
координатами которой будут соответственно
действительная и мнимая части комплексного
числа. При этом горизонтальная ось будет
являться действительной числовой осью,
а вертикальная – мнимой осью.

у

A(a,
b)

r b

0 a
x

Таким
образом, на оси Оx
располагаются действительные числа, а
на оси Оy
– чисто мнимые.

С
помощью подобного геометрического
представления можно представлять числа
в так называемой тригонометрической
форме.

Тригонометрическая
форма комплексного числа
.

Из
геометрических соображений видно, что
.
Тогда комплексное число можно представить
в виде:

Такая
форма записи называется тригонометрической
формой записи комплексного числа.

При
этом величина r
называется модулем
комплексного
числа, а угол 
аргументом
комплексного
числа.

.

Из
геометрических соображений видно:

Очевидно,
что комплексно – сопряженные числа
имеют одинаковые модули и противоположные
аргументы.

Действия с
комплексными числами.

Основные
действия с комплексными числами вытекают
из действий с многочленами.

1)
Сложение и
вычитание.

2)
Умножение.

В
тригонометрической форме:

,

С
случае комплексно – сопряженных чисел:

3)
Деление.

В
тригонометрической форме:

4)
Возведение
в степень.

Из
операции умножения комплексных чисел
следует, что

В
общем случае получим:

,

где
n
целое
положительное число.

Это
выражение называется формулой
Муавра.
(Абрахам
де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Формулу
Муавра можно использовать для нахождения
тригонометрических функций двойного,
тройного и т.д. углов.

Пример.
Найти формулы sin2
и cos2.

Рассмотрим
некоторое комплексное число

Тогда
с одной стороны
.

По
формуле Муавра:

Приравнивая,
получим

Т.к.
два комплексных числа равны, если равны
их действительные и мнимые части, то

Получили
известные формулы двойного угла.

5)
Извлечение
корня из комплексного числа.

Возводя
в степень, получим:

Отсюда:

Таким
образом, корень n
– ой степени из комплексного числа
имеет n
различных значений для k=0,1,…,n-1.

Показательная
форма комплексного числа.

Рассмотрим
показательную функцию

Можно
показать, что функция w
может быть записана в виде:

Данное
равенство называется уравнением
Эйлера.
Вывод
этого уравнения будет рассмотрен
позднее.

Для
комплексных чисел будут справедливы
следующие свойства:

1)

2)

3)


где m
– целое число.

Если
в уравнении Эйлера показатель степени
принять за чисто мнимое число (х=0),
то получаем:

Для
комплексно – сопряженного числа
получаем:

Из
этих двух уравнений получаем:

Этими
формулами пользуются для нахождения
значений степеней тригонометрических
функций через функции кратных углов.

Если
представить комплексное число в
тригонометрической форме:

и
воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное
равенство и есть показательная
форма комплексного числа.

Разложение
многочлена на множители.

Определение.
Функция вида f(x)
называется целой
рациональной

функцией от х.

Теорема
Безу.

(Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский
математик)

При
делении многочлена f(x)
на разность x
– a
получается остаток, равный f(a).

Доказательство.
При делении многочлена f(x)
на разность x
a
частным
будет многочлен f1(x)
степени на
единицу меньшей, чем f(x),
а остатком
– постоянное число R.

Переходя
к пределу при х

a,
получаем
f(a)
=
R.

Следствие.
Если, а – корень многочлена, т.е. f(a)
= 0, то многочлен f(x)
делится на (х – а) без остатка.

Определение.
Если уравнение имеет вид Р(х)
= 0, где Р(х)
– многочлен степени n,
то это уравнение называется алгебраическим
уравнением степени n.

Теорема.
(Основная теорема алгебры) Всякая целая
рациональная функция f(x)
имеет, по крайней мере, один корень,
действительный или комплексный.

Теорема.
Всякий многочлен n
– ой степени разлагается на n
линейных множителей вида (x
– a)
и множитель, равный коэффициенту при
xn.

Теорема.
Если два многочлена тождественно равны
друг другу, то коэффициенты одного
многочлена равны соответствующим
коэффициентам другого.

Если среди корней
многочлена встречаются кратные корни,
то разложение на множители имеет вид:

ki
– кратность соответствующего корня.

Отсюда
следует, что любой
многочлен
n
– ой степени имеет ровно
n
корней (действительных или комплексных).

Это
свойство имеет большое значение для
решения алгебраических уравнений,
дифференциальных уравнений и играет
важную роль в анализе функций.

Рассмотрим
несколько примеров действий с комплексными
числами.

Пример.
Даны два комплексных числа
.
Требуется а) найти значение выражения
в
алгебраической форме, б) для числа

найти тригонометрическую форму, найти
z20,
найти корни уравнения

  1. Очевидно,
    справедливо следующее преобразование:

Далее
производим деление двух комплексных
чисел:

Получаем
значение заданного выражения: 16(-i)4
= 16i4
=16.

б)
Число

представим в виде
,
где

Тогда

.

Для
нахождения

воспльзуемся формулой Муавра.

Если
,
то

Подставляя
последовательно k=0,
k=1
и k=2
и производя вычисления получим 3 значения
корня кубического.

Содержание:

  • Действительная и мнимая часть комплексного числа
  • Мнимая единица
  • Равные комплексные числа

Определение

Комплексным числом называется выражение вида
$z=a+b i$

Например. $z=3-7 i$

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Определение

Действительное число $a$ называется
действительной частью комплексного числа $z=a+b i$ и
обозначается $a=operatorname{Re} z$
(От французского слова reel – действительный).

Действительное число
$b$ называется мнимой частью числа
$z=a+b i$ и обозначается
$b=operatorname{Im} z$ (От французского слова imaginaire – мнимый).

Например. Для комплексного числа
$z=3-7 i$ действительная часть
$a=operatorname{Re} z=3$, а мнимая –
$b=operatorname{Im} z=-7$ .

Если действительная часть комплексного числа $z=a+b i$
равна нулю ( $a=operatorname{Re} z=0$ ), то комплексное число
называется чисто мнимым.

Например. $z=-2 i$

Мнимая единица

Величина $i$ называется мнимой единицей и
удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и
$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называются равными, если равны их
действительные и мнимые части соответственно:

$z_{1}=z_{2} Leftrightarrow a_{1}=a_{2} wedge b_{1}=b_{2}$

Пример

Задание. Определить при каких значениях
$x$ и
$y$ числа
$z_{1}=2-x i$ и
$z_{2}=y+2 i$ будут равными.

Решение. Согласно определению $z_{1}=z_{2}$ тогда и только тогда, когда

$2=y wedge-x=2 Rightarrow y=2, x=-2$

Ответ. $x=-2, y=2$

Число $overline{z}=a-b i$ называется
комплексно сопряженным числом к числу
$z=a+b i$ .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа
$z_{1}=2+3 i$ комплексно сопряженным есть число
$overline{z}_{1}=2-3 i$ ; для
$z_{2}=i$ комплексно сопряженное
$overline{z}_{2}=-i$ и для
$z_{3}=-2$ имеем, что
$overline{z}_{3}=-2$ .

Комплексное число
 $-z=-a-b i$  называется противоположным к комплексному числу
$z=a+b i$ .

Например. Противоположным к числу
$z=2+i$ есть число:
$-z=-(2+i)=-2-i$ .

Читать дальше: геометрическая интерпретация комплексного числа.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Добавить комментарий