Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
| arccos(1) = 0° | arccos(-0.5) = 120° | arccos(-0.5) = 240° |
| arccos(0.9998476952) = 1° | arccos(-0.5150380749) = 121° | arccos(-0.4848096202) = 241° |
| arccos(0.999390827) = 2° | arccos(-0.5299192642) = 122° | arccos(-0.4694715628) = 242° |
| arccos(0.9986295348) = 3° | arccos(-0.544639035) = 123° | arccos(-0.4539904997) = 243° |
| arccos(0.9975640503) = 4° | arccos(-0.5591929035) = 124° | arccos(-0.4383711468) = 244° |
| arccos(0.9961946981) = 5° | arccos(-0.5735764364) = 125° | arccos(-0.4226182617) = 245° |
| arccos(0.9945218954) = 6° | arccos(-0.5877852523) = 126° | arccos(-0.4067366431) = 246° |
| arccos(0.9925461516) = 7° | arccos(-0.6018150232) = 127° | arccos(-0.3907311285) = 247° |
| arccos(0.9902680687) = 8° | arccos(-0.6156614753) = 128° | arccos(-0.3746065934) = 248° |
| arccos(0.9876883406) = 9° | arccos(-0.629320391) = 129° | arccos(-0.3583679495) = 249° |
| arccos(0.984807753) = 10° | arccos(-0.6427876097) = 130° | arccos(-0.3420201433) = 250° |
| arccos(0.9816271834) = 11° | arccos(-0.656059029) = 131° | arccos(-0.3255681545) = 251° |
| arccos(0.9781476007) = 12° | arccos(-0.6691306064) = 132° | arccos(-0.3090169944) = 252° |
| arccos(0.9743700648) = 13° | arccos(-0.6819983601) = 133° | arccos(-0.2923717047) = 253° |
| arccos(0.9702957263) = 14° | arccos(-0.6946583705) = 134° | arccos(-0.2756373558) = 254° |
| arccos(0.9659258263) = 15° | arccos(-0.7071067812) = 135° | arccos(-0.2588190451) = 255° |
| arccos(0.9612616959) = 16° | arccos(-0.7193398003) = 136° | arccos(-0.2419218956) = 256° |
| arccos(0.956304756) = 17° | arccos(-0.7313537016) = 137° | arccos(-0.2249510543) = 257° |
| arccos(0.9510565163) = 18° | arccos(-0.7431448255) = 138° | arccos(-0.2079116908) = 258° |
| arccos(0.9455185756) = 19° | arccos(-0.7547095802) = 139° | arccos(-0.1908089954) = 259° |
| arccos(0.9396926208) = 20° | arccos(-0.7660444431) = 140° | arccos(-0.1736481777) = 260° |
| arccos(0.9335804265) = 21° | arccos(-0.7771459615) = 141° | arccos(-0.156434465) = 261° |
| arccos(0.9271838546) = 22° | arccos(-0.7880107536) = 142° | arccos(-0.139173101) = 262° |
| arccos(0.9205048535) = 23° | arccos(-0.79863551) = 143° | arccos(-0.1218693434) = 263° |
| arccos(0.9135454576) = 24° | arccos(-0.8090169944) = 144° | arccos(-0.1045284633) = 264° |
| arccos(0.906307787) = 25° | arccos(-0.8191520443) = 145° | arccos(-0.08715574275) = 265° |
| arccos(0.8987940463) = 26° | arccos(-0.8290375726) = 146° | arccos(-0.06975647374) = 266° |
| arccos(0.8910065242) = 27° | arccos(-0.8386705679) = 147° | arccos(-0.05233595624) = 267° |
| arccos(0.8829475929) = 28° | arccos(-0.8480480962) = 148° | arccos(-0.0348994967) = 268° |
| arccos(0.8746197071) = 29° | arccos(-0.8571673007) = 149° | arccos(-0.01745240644) = 269° |
| arccos(0.8660254038) = 30° | arccos(-0.8660254038) = 150° | arccos(0) = 270° |
| arccos(0.8571673007) = 31° | arccos(-0.8746197071) = 151° | arccos(0.01745240644) = 271° |
| arccos(0.8480480962) = 32° | arccos(-0.8829475929) = 152° | arccos(0.0348994967) = 272° |
| arccos(0.8386705679) = 33° | arccos(-0.8910065242) = 153° | arccos(0.05233595624) = 273° |
| arccos(0.8290375726) = 34° | arccos(-0.8987940463) = 154° | arccos(0.06975647374) = 274° |
| arccos(0.8191520443) = 35° | arccos(-0.906307787) = 155° | arccos(0.08715574275) = 275° |
| arccos(0.8090169944) = 36° | arccos(-0.9135454576) = 156° | arccos(0.1045284633) = 276° |
| arccos(0.79863551) = 37° | arccos(-0.9205048535) = 157° | arccos(0.1218693434) = 277° |
| arccos(0.7880107536) = 38° | arccos(-0.9271838546) = 158° | arccos(0.139173101) = 278° |
| arccos(0.7771459615) = 39° | arccos(-0.9335804265) = 159° | arccos(0.156434465) = 279° |
| arccos(0.7660444431) = 40° | arccos(-0.9396926208) = 160° | arccos(0.1736481777) = 280° |
| arccos(0.7547095802) = 41° | arccos(-0.9455185756) = 161° | arccos(0.1908089954) = 281° |
| arccos(0.7431448255) = 42° | arccos(-0.9510565163) = 162° | arccos(0.2079116908) = 282° |
| arccos(0.7313537016) = 43° | arccos(-0.956304756) = 163° | arccos(0.2249510543) = 283° |
| arccos(0.7193398003) = 44° | arccos(-0.9612616959) = 164° | arccos(0.2419218956) = 284° |
| arccos(0.7071067812) = 45° | arccos(-0.9659258263) = 165° | arccos(0.2588190451) = 285° |
| arccos(0.6946583705) = 46° | arccos(-0.9702957263) = 166° | arccos(0.2756373558) = 286° |
| arccos(0.6819983601) = 47° | arccos(-0.9743700648) = 167° | arccos(0.2923717047) = 287° |
| arccos(0.6691306064) = 48° | arccos(-0.9781476007) = 168° | arccos(0.3090169944) = 288° |
| arccos(0.656059029) = 49° | arccos(-0.9816271834) = 169° | arccos(0.3255681545) = 289° |
| arccos(0.6427876097) = 50° | arccos(-0.984807753) = 170° | arccos(0.3420201433) = 290° |
| arccos(0.629320391) = 51° | arccos(-0.9876883406) = 171° | arccos(0.3583679495) = 291° |
| arccos(0.6156614753) = 52° | arccos(-0.9902680687) = 172° | arccos(0.3746065934) = 292° |
| arccos(0.6018150232) = 53° | arccos(-0.9925461516) = 173° | arccos(0.3907311285) = 293° |
| arccos(0.5877852523) = 54° | arccos(-0.9945218954) = 174° | arccos(0.4067366431) = 294° |
| arccos(0.5735764364) = 55° | arccos(-0.9961946981) = 175° | arccos(0.4226182617) = 295° |
| arccos(0.5591929035) = 56° | arccos(-0.9975640503) = 176° | arccos(0.4383711468) = 296° |
| arccos(0.544639035) = 57° | arccos(-0.9986295348) = 177° | arccos(0.4539904997) = 297° |
| arccos(0.5299192642) = 58° | arccos(-0.999390827) = 178° | arccos(0.4694715628) = 298° |
| arccos(0.5150380749) = 59° | arccos(-0.9998476952) = 179° | arccos(0.4848096202) = 299° |
| arccos(0.5) = 60° | arccos(-1) = 180° | arccos(0.5) = 300° |
| arccos(0.4848096202) = 61° | arccos(-0.9998476952) = 181° | arccos(0.5150380749) = 301° |
| arccos(0.4694715628) = 62° | arccos(-0.999390827) = 182° | arccos(0.5299192642) = 302° |
| arccos(0.4539904997) = 63° | arccos(-0.9986295348) = 183° | arccos(0.544639035) = 303° |
| arccos(0.4383711468) = 64° | arccos(-0.9975640503) = 184° | arccos(0.5591929035) = 304° |
| arccos(0.4226182617) = 65° | arccos(-0.9961946981) = 185° | arccos(0.5735764364) = 305° |
| arccos(0.4067366431) = 66° | arccos(-0.9945218954) = 186° | arccos(0.5877852523) = 306° |
| arccos(0.3907311285) = 67° | arccos(-0.9925461516) = 187° | arccos(0.6018150232) = 307° |
| arccos(0.3746065934) = 68° | arccos(-0.9902680687) = 188° | arccos(0.6156614753) = 308° |
| arccos(0.3583679495) = 69° | arccos(-0.9876883406) = 189° | arccos(0.629320391) = 309° |
| arccos(0.3420201433) = 70° | arccos(-0.984807753) = 190° | arccos(0.6427876097) = 310° |
| arccos(0.3255681545) = 71° | arccos(-0.9816271834) = 191° | arccos(0.656059029) = 311° |
| arccos(0.3090169944) = 72° | arccos(-0.9781476007) = 192° | arccos(0.6691306064) = 312° |
| arccos(0.2923717047) = 73° | arccos(-0.9743700648) = 193° | arccos(0.6819983601) = 313° |
| arccos(0.2756373558) = 74° | arccos(-0.9702957263) = 194° | arccos(0.6946583705) = 314° |
| arccos(0.2588190451) = 75° | arccos(-0.9659258263) = 195° | arccos(0.7071067812) = 315° |
| arccos(0.2419218956) = 76° | arccos(-0.9612616959) = 196° | arccos(0.7193398003) = 316° |
| arccos(0.2249510543) = 77° | arccos(-0.956304756) = 197° | arccos(0.7313537016) = 317° |
| arccos(0.2079116908) = 78° | arccos(-0.9510565163) = 198° | arccos(0.7431448255) = 318° |
| arccos(0.1908089954) = 79° | arccos(-0.9455185756) = 199° | arccos(0.7547095802) = 319° |
| arccos(0.1736481777) = 80° | arccos(-0.9396926208) = 200° | arccos(0.7660444431) = 320° |
| arccos(0.156434465) = 81° | arccos(-0.9335804265) = 201° | arccos(0.7771459615) = 321° |
| arccos(0.139173101) = 82° | arccos(-0.9271838546) = 202° | arccos(0.7880107536) = 322° |
| arccos(0.1218693434) = 83° | arccos(-0.9205048535) = 203° | arccos(0.79863551) = 323° |
| arccos(0.1045284633) = 84° | arccos(-0.9135454576) = 204° | arccos(0.8090169944) = 324° |
| arccos(0.08715574275) = 85° | arccos(-0.906307787) = 205° | arccos(0.8191520443) = 325° |
| arccos(0.06975647374) = 86° | arccos(-0.8987940463) = 206° | arccos(0.8290375726) = 326° |
| arccos(0.05233595624) = 87° | arccos(-0.8910065242) = 207° | arccos(0.8386705679) = 327° |
| arccos(0.0348994967) = 88° | arccos(-0.8829475929) = 208° | arccos(0.8480480962) = 328° |
| arccos(0.01745240644) = 89° | arccos(-0.8746197071) = 209° | arccos(0.8571673007) = 329° |
| arccos(0) = 90° | arccos(-0.8660254038) = 210° | arccos(0.8660254038) = 330° |
| arccos(-0.01745240644) = 91° | arccos(-0.8571673007) = 211° | arccos(0.8746197071) = 331° |
| arccos(-0.0348994967) = 92° | arccos(-0.8480480962) = 212° | arccos(0.8829475929) = 332° |
| arccos(-0.05233595624) = 93° | arccos(-0.8386705679) = 213° | arccos(0.8910065242) = 333° |
| arccos(-0.06975647374) = 94° | arccos(-0.8290375726) = 214° | arccos(0.8987940463) = 334° |
| arccos(-0.08715574275) = 95° | arccos(-0.8191520443) = 215° | arccos(0.906307787) = 335° |
| arccos(-0.1045284633) = 96° | arccos(-0.8090169944) = 216° | arccos(0.9135454576) = 336° |
| arccos(-0.1218693434) = 97° | arccos(-0.79863551) = 217° | arccos(0.9205048535) = 337° |
| arccos(-0.139173101) = 98° | arccos(-0.7880107536) = 218° | arccos(0.9271838546) = 338° |
| arccos(-0.156434465) = 99° | arccos(-0.7771459615) = 219° | arccos(0.9335804265) = 339° |
| arccos(-0.1736481777) = 100° | arccos(-0.7660444431) = 220° | arccos(0.9396926208) = 340° |
| arccos(-0.1908089954) = 101° | arccos(-0.7547095802) = 221° | arccos(0.9455185756) = 341° |
| arccos(-0.2079116908) = 102° | arccos(-0.7431448255) = 222° | arccos(0.9510565163) = 342° |
| arccos(-0.2249510543) = 103° | arccos(-0.7313537016) = 223° | arccos(0.956304756) = 343° |
| arccos(-0.2419218956) = 104° | arccos(-0.7193398003) = 224° | arccos(0.9612616959) = 344° |
| arccos(-0.2588190451) = 105° | arccos(-0.7071067812) = 225° | arccos(0.9659258263) = 345° |
| arccos(-0.2756373558) = 106° | arccos(-0.6946583705) = 226° | arccos(0.9702957263) = 346° |
| arccos(-0.2923717047) = 107° | arccos(-0.6819983601) = 227° | arccos(0.9743700648) = 347° |
| arccos(-0.3090169944) = 108° | arccos(-0.6691306064) = 228° | arccos(0.9781476007) = 348° |
| arccos(-0.3255681545) = 109° | arccos(-0.656059029) = 229° | arccos(0.9816271834) = 349° |
| arccos(-0.3420201433) = 110° | arccos(-0.6427876097) = 230° | arccos(0.984807753) = 350° |
| arccos(-0.3583679495) = 111° | arccos(-0.629320391) = 231° | arccos(0.9876883406) = 351° |
| arccos(-0.3746065934) = 112° | arccos(-0.6156614753) = 232° | arccos(0.9902680687) = 352° |
| arccos(-0.3907311285) = 113° | arccos(-0.6018150232) = 233° | arccos(0.9925461516) = 353° |
| arccos(-0.4067366431) = 114° | arccos(-0.5877852523) = 234° | arccos(0.9945218954) = 354° |
| arccos(-0.4226182617) = 115° | arccos(-0.5735764364) = 235° | arccos(0.9961946981) = 355° |
| arccos(-0.4383711468) = 116° | arccos(-0.5591929035) = 236° | arccos(0.9975640503) = 356° |
| arccos(-0.4539904997) = 117° | arccos(-0.544639035) = 237° | arccos(0.9986295348) = 357° |
| arccos(-0.4694715628) = 118° | arccos(-0.5299192642) = 238° | arccos(0.999390827) = 358° |
| arccos(-0.4848096202) = 119° | arccos(-0.5150380749) = 239° | arccos(0.9998476952) = 359° |
Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.
Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.
Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.
для α∈-1, 1 sin(arccis α)=α, cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞) tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α
Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.
Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
для -π2≤α≤π2 arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α
Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.
Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:
Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.
для α∈-1, 1 arccis (-α)=-arcsin α, arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞) arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α
Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.
Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
Они выглядят следующим образом:
для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞) arctg α+arcctg α=π2
Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.
Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.
| -1≤α≤1,sin (arcsin α)=α | -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 | -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 | -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2 |
| -1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 | -1≤α≤1,cos (arccos α)=α | -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 | -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2 |
| -1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 | α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α | -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α | α≠0 ,tg (arcctg α)=1α |
| α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α | -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 | α≠0,ctg (arctg α)=1α | -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α |
Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.
Вычислите косинус арктангенса из 5.
Решение
У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2
Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26
Вычислить синус арккосинуса 12.
Решение
Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2
Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32
Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32
Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.
Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций – косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:
sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α
Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:
sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π
У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.
Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог – формула синуса арккосинуса.
Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.
Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.
Все наши расчеты можно сформулировать более емко:
- sinα=1-cos2α, 0≤α≤π
Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2
- sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,
Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2
- sinα=11+ctg2α, 0<α<π
Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.
Их мы выведем по имеющемуся шаблону:
- Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что
cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2
- Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
- Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2
Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
- Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем
tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).
- Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.
Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:
ctgα=1tgα
Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.
Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.
Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:
arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0
А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:
arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1
Формула выражения арктангенса:
arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0
Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:
arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0
Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.
Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.
Мы знаем, что arctgα1-α2 – это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:
sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α
Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.
Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1
Прочие формулы доказываются по аналогии.
В завершение разберем один пример применения формул на практике.
Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.
Решение
Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π
В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Прочие формулы с обратными функциями
Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.
Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:
sin2α2=1-cosα2
Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:
sinα2=1-cosα2
Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:
sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2
Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:
arccosα2=arcsin1-α2
Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.
В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.
| 0 | |||
| AC | +/- | ÷ | |
| 7 | 8 | 9 | × |
| 4 | 5 | 6 | – |
| 1 | 2 | 3 | + |
| 0 | 00 | , | = |
Арккосинус онлайн калькулятор
Данный калькулятор вычислит арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс и определит значение угла как в градусной, так и в радианной мере.
Что такое арккосинус угла
Арккосинусом (arccos x) числа x, является угол α заданный в радианной мере, такой, что cos α = x.
Вычислить арккосинус, означает найти угол α, косинус которого равен числу x.
Область значений (определяющее неравенства угла α в радианной и градусной мерах):
0 ≤ α ≤ π
0° ≤ α ≤ 180°
Область определения (определяющее неравенство числа x):
−1 ≤ x ≤ 1
| Вам могут также быть полезны следующие сервисы |
| Калькуляторы (тригонометрия) |
| Калькулятор синуса угла |
| Калькулятор косинуса угла |
| Калькулятор тангенса угла |
| Калькулятор котангенса угла |
| Калькулятор секанса угла |
| Калькулятор косеканса угла |
| Калькулятор арксинуса угла |
| Калькулятор арккосинуса угла |
| Калькулятор арктангенса угла |
| Калькулятор арккотангенса угла |
| Калькулятор арксеканса угла |
| Калькулятор арккосеканса угла |
| Калькулятор нахождения наименьшего угла |
| Калькулятор определения вида угла |
| Калькулятор смежных углов |
| Калькуляторы площади геометрических фигур |
| Площадь квадрата |
| Площадь прямоугольника |
| КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ |
| Калькуляторы (Теория чисел) |
| Калькулятор выражений |
| Калькулятор упрощения выражений |
| Калькулятор со скобками |
| Калькулятор уравнений |
| Калькулятор суммы |
| Калькулятор пределов функций |
| Калькулятор разложения числа на простые множители |
| Калькулятор НОД и НОК |
| Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида |
| Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел |
| Калькулятор делителей числа |
| Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых |
| Калькулятор деления числа в данном отношении |
| Калькулятор процентов |
| Калькулятор перевода числа с Е в десятичное |
| Калькулятор экспоненциальной записи чисел |
| Калькулятор нахождения факториала числа |
| Калькулятор нахождения логарифма числа |
| Калькулятор квадратных уравнений |
| Калькулятор остатка от деления |
| Калькулятор корней с решением |
| Калькулятор нахождения периода десятичной дроби |
| Калькулятор больших чисел |
| Калькулятор округления числа |
| Калькулятор свойств корней и степеней |
| Калькулятор комплексных чисел |
| Калькулятор среднего арифметического |
| Калькулятор арифметической прогрессии |
| Калькулятор геометрической прогрессии |
| Калькулятор модуля числа |
| Калькулятор абсолютной погрешности приближения |
| Калькулятор абсолютной погрешности |
| Калькулятор относительной погрешности |
| Дроби |
| Калькулятор интервальных повторений |
| Учим дроби наглядно |
| Калькулятор сокращения дробей |
| Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную |
| Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей |
| Калькулятор возведения дроби в степень |
| Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную |
| Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную |
| Калькулятор сравнения дробей |
| Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю |
| Калькуляторы систем счисления |
| Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские |
| Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел |
| Системы счисления теория |
| N2 | Двоичная система счисления |
| N3 | Троичная система счисления |
| N4 | Четырехичная система счисления |
| N5 | Пятеричная система счисления |
| N6 | Шестеричная система счисления |
| N7 | Семеричная система счисления |
| N8 | Восьмеричная система счисления |
| N9 | Девятеричная система счисления |
| N11 | Одиннадцатиричная система счисления |
| N12 | Двенадцатеричная система счисления |
| N13 | Тринадцатеричная система счисления |
| N14 | Четырнадцатеричная система счисления |
| N15 | Пятнадцатеричная система счисления |
| N16 | Шестнадцатеричная система счисления |
| N17 | Семнадцатеричная система счисления |
| N18 | Восемнадцатеричная система счисления |
| N19 | Девятнадцатеричная система счисления |
| N20 | Двадцатеричная система счисления |
| N21 | Двадцатиодноричная система счисления |
| N22 | Двадцатидвухричная система счисления |
| N23 | Двадцатитрехричная система счисления |
| N24 | Двадцатичетырехричная система счисления |
| N25 | Двадцатипятеричная система счисления |
| N26 | Двадцатишестеричная система счисления |
| N27 | Двадцатисемеричная система счисления |
| N28 | Двадцативосьмеричная система счисления |
| N29 | Двадцатидевятиричная система счисления |
| N30 | Тридцатиричная система счисления |
| N31 | Тридцатиодноричная система счисления |
| N32 | Тридцатидвухричная система счисления |
| N33 | Тридцатитрехричная система счисления |
| N34 | Тридцатичетырехричная система счисления |
| N35 | Тридцатипятиричная система счисления |
| N36 | Тридцатишестиричная система счисления |
| Калькуляторы (Комбинаторика) |
| Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов |
| Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия |
| Калькулятор сложения и вычитания матриц |
| Калькулятор умножения матриц |
| Калькулятор транспонирование матрицы |
| Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы |
| Калькулятор нахождения обратной матрицы |
| Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками |
| Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам |
| Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора |
| Калькулятор сложения и вычитания векторов |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор векторного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор смешанного произведения векторов |
| Калькулятор умножения вектора на число |
| Калькулятор нахождения угла между векторами |
| Калькулятор проверки коллинеарности векторов |
| Калькулятор проверки компланарности векторов |
| Генератор Pdf с примерами |
| Тренажёры решения примеров |
| Тренажер по математике |
| Тренажёр таблицы умножения |
| Тренажер счета для дошкольников |
| Тренажер счета на внимательность для дошкольников |
| Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. |
| Тренажер решения примеров с разными действиями |
| Тренажёры решения столбиком |
| Тренажёр сложения столбиком |
| Тренажёр вычитания столбиком |
| Тренажёр умножения столбиком |
| Тренажёр деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы решения столбиком |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком |
| Калькулятор деления столбиком с остатком |
| Конвертеры величин |
| Конвертер единиц длины |
| Конвертер единиц скорости |
| Конвертер единиц ускорения |
| Цифры в текст |
| Калькуляторы (физика) |
|
Механика |
| Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния |
| Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения |
| Калькулятор вычисления времени движения |
| Калькулятор времени |
| Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. |
| Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. |
| Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости |
| Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. |
| Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения |
|
Оптика |
| Калькулятор отражения и преломления света |
|
Электричество и магнетизм |
| Калькулятор Закона Ома |
| Калькулятор Закона Кулона |
| Калькулятор напряженности E электрического поля |
| Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q |
| Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q |
| Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля |
| Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы |
|
Конденсаторы |
| Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькуляторы по астрономии |
| Вес тела на других планетах |
| Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках |
| Генераторы |
| Генератор примеров по математике |
| Генератор случайных чисел |
| Генератор паролей |
Сферы применения правил обратных тригонометрических функций
Определение
Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.
Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.
Обратные функции тригонометрии
Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.
Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,
формула арксинуса возможна при:
[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]
[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]
и так далее.
Формулы с обратными функциями тригонометрии
Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.
В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.
Группировка основных понятий
Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.
Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]
Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].
Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.
Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы
[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],
[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],
[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],
[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].
В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.
Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел
Рассмотрим важное определение:
Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.
[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]
[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]
Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.
Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg
Правила суммы выглядят так:
Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],
Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].
Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.
Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями
Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.
| [-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha] |
[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] |
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha] |
[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
| [alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] |
[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}] |
[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha] |
Примеры 1 — 2
Нужно найти косинус арктангенса из 5.
Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]
Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]
Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]
Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]
Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.
Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.
Доказательство формул 1
Используя тождества получим:
[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]
[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]
Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно
[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]
[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]
[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]
Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.
В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.
Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.
В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)
В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.
Доказательство формул 2
- Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
- Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)]. - Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].
Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:
[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]
Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.
Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.
В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:
[begin{aligned} &arcsin a=left{begin{array}{l} arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ -arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \ &arcsin a=left{begin{array}{l} operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0 end{array}right. end{aligned}]
Для арккосинуса также есть свои формулы:
[begin{aligned} &arccos a=left{begin{array}{l} arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=left{begin{array}{l} operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 end{aligned}]
Выражения для арктангенса:
[begin{aligned} &operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l} arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ -arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]
Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:
[begin{aligned} &operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l} arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]
Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.
Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.
Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:
[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]
Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].
Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].
Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.
Рассмотрим пример применения полученных истин.
Пример 3
Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]
Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].
Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]
Можно использовать и следующую формулу:
[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]
Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии
Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.
Пример 4
Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:
[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]
Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:
[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]
[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]
Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:
[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]
В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.
Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.
Лучший ответ
Вадим Мансуров
Мудрец
(12284)
10 лет назад
арккосинус (0,9586)=16,54427 градусов
косинус (16,54427)=0,9586
Чего тут сложного?
Остальные ответы
EreminD
Ученик
(191)
10 лет назад
Переводи в аркосинус, потом в коссинус
Mikhail Levin
Искусственный Интеллект
(614570)
10 лет назад
арккосинус угла? Сильно!
Сначала разберись, что такое косинус и арккосинус
А пока не разобрался – возьми два раза косинус.
Jurijus Zaksas
Искусственный Интеллект
(392927)
10 лет назад
cos(cos(arccos(a)))
