Ответ:
Значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73, равно 1.
Объяснение:
Требуется найти косинус угла между плоскостями BCE и DEC.
В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.
Дано: ABCD – квадрат;
DC = √2;
AC ∩ BD = O; OE ⊥ ABCD; OE = 6;
Найти: косинус угла между плоскостями BCE и DEC.
Решение:
- Угол между двумя пересекающимися плоскостями – это двугранный угол.
- Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
⇒ Искомый угол BHD.
Соединим Е с вершинами квадрата и получим правильную пирамиду.
В основании лежит квадрат, а грани – равные равнобедренные треугольники.
1. Рассмотрим ΔDBC – прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем BD:
BD² = BC² + CD² = 2 + 2 = 4
BD = √4 = 2
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
⇒ OD = 2 : 2 = 1
2. Рассмотрим ΔOED – прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем DE:
DE² = DO² + OE² = 1 + 36 = 37
DE = √37
3. Рассмотрим ΔDEC – равнобедренный.
DH – высота.
Пусть СН = х, тогда НЕ = √37 – х
По теореме Пифагора:
из ΔDHC
DH² = DC² – HC² = 2 – x² (1)
из ΔDEH
DH² = DE² – EH² = 37 – (√37 – x)² = 37 – 37 + 2√37x – x² = 2√37x – x² (2)
Приравняем (1) и (2) и найдем х:
2 – x² = 2√37x – x²
2 = 2√37x
тогда
4. Рассмотрим ΔDHC и ΔBHC – прямоугольные.
BC = CD; HC – общая.
⇒ ΔDHC и ΔBHC ( по гипотенузе и катету)
BH = HD.
5. Рассмотрим ΔВНD – равнобедренный.
- Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
⇒ BD² = BH² + HD² – 2 · BD · HD · cosα
В ответе надо указать значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.
По формуле приведения:
cos (180° – α) = – cos α
⇒ cos (180 – α) = 1/73
Ответ: 1.
Ответ:
Объяснение:
- Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, точка О равноудалена от вершин квадрата. О – проекция точки Е на плоскость квадрата, значит, точка Е так же равноудалена от вершин квадрата, то есть ЕА = ЕВ = ЕС = ED.
Тогда ΔВЕС = ΔDEC по трем сторонам, ⇒ ∠ВСН = ∠DCH.
Плоскости (ВСЕ) и (DCE) пересекаются по прямой CE.
Проведем DH⊥CE и соединим точки Н и В.
ΔDCH = ΔBCH по двум сторонам и углу между ними:
- DC = BC как стороны квадрата;
- СН – общая сторона;
- ∠ВСН = ∠DCH.
Следовательно, ∠ВНС = ∠DHC = 90°, то есть DH⊥СЕ, тогда ∠BHD – линейный угол двугранного угла между плоскостями (ВСЕ) и (DCE) – искомый.
BD = AD√2 = √2 · √2 = 2 как диагональ квадрата.
ΔЕОD: ∠ЕОD = 90°, по теореме Пифагора
ЕD = √(EO² + OD²) = √(6² + 1) = √37
ЕС = ED = √37
Проведем ЕК – высоту равнобедренного треугольника ECD (значит, ЕК и медиана)
ΔEDK: ∠EKD = 90°, по теореме Пифагора
Площадь ΔDEC:
По теореме косинусов из треугольника BHD:
Косинус острого угла между плоскостями:
Приложения:
Дано :
Четырёхугольник ABCD — квадрат.
AD = 1 (ед).
BD — диагональ = √2 (ед).
Найти :
соs(∠BDA) = ?
Решение :
Квадрат — четырёхугольник, всё стороны которого равны, а все углы прямые.
Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В нашем случае катет, прилежащий к ∠BDA — AD, а гипотенуза — BD (так как лежит против прямого угла).
То есть —
cos(∠BDA) = AD/BD
cos(∠BDA) = 1 (ед) / √2 (ед)
cos(∠BDA) = 1/√2
Или —
cos(∠BDA) = (√2)/2 (одно и тоже).
Ответ :
(√2)/2.
Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)
Уравнения разложения тригонометрических функций:
квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.
sin в квадрате
cos в квадрате
tg в квадрате
ctg в квадрате
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 17 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
lamendrfuim310
В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .
Правильное условие задачи:
Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.
Решение. (см. рисунок 1)
Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).
Искомый угол – угол между высотой МН правильного треугольника АМН и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине АВ.
МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3
Расстояние от точки до прямой – длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ – ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов
cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)
cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16
* * *
Решение по данному в вопросе условию:
Если диагональ квадрата равна 4 см, то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°, его сторона равна 4•sin45°=2√2.
Искомый угол – угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.
АВ – общая для квадрата и равностороннего треугольника, и
МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6
Расстояние от точки до прямой – длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
Т.к. КН ⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МК⊥CD, ⇒ МК=5.
По т.косинусов из ∆ МКН
cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)
cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)
cos ∠MKH= -11/8√3= – 0,7939 Это косинус тупого угла.
По данному решению рисунок в приложении 2.
