Как найти cos от arctg

С помощью определения косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике, а также определения арктангенса и теоремы Пифагора найти косинус арктангенса  cos (arctg x) можно быстро, не  привлекая  дополнительные тригонометрические формулы.

   По определению арктангенса,  arctg x — это такое число альфа, что

   

Тангенс угла альфа в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   

Нам нужно найти косинус этого же угла альфа. Поскольку косинус альфа равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

   

остается найти гипотенузу. По теореме Пифагора

   

а значит

   

где

   

Примеры.

1) Найти cos (artg (3/4)).

   

Поскольку тангенс альфа — это отношение противолежащего катета к прилежащему, то противолежащий катет b=3, прилежащий катет a=4. Нам нужно найти косинус этого же угла альфа. Так как косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, находим по теореме Пифагора гипотенузу

   

и получаем искомое значение:

   

2) Вычислить

   

   

   

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]

[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]

Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],

[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],

[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],

[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

[-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha]	[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]	[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]	[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha]	[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}]	[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}]	[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha]

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

[begin{aligned} &arcsin a=left{begin{array}{l} arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ -arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \ &arcsin a=left{begin{array}{l} operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0 end{array}right. end{aligned}]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

[begin{aligned} &arccos a=left{begin{array}{l} arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=left{begin{array}{l} operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 end{aligned}]

Выражения для арктангенса:

[begin{aligned} &operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l} arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ -arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

[begin{aligned} &operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l} arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]

Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].

Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций – косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог – формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

1. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что arctgα1-α2 – это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Задания, связанные с обратными
тригонометрическими функциями, часто
предлагаются на школьных выпускных экзаменах и
на вступительных экзаменах в некоторых ВУЗах.
Подробное изучение этой темы может быть
достигнуто только на факультативных занятиях
или на элективных курсах. Предлагаемый курс
призван как можно полнее развить способности
каждого ученика, повысить его математическую
подготовку.

Курс рассчитан на 10 часов:

1.Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ч.).

2.Операции над обратными тригонометрическими
функциями (4 ч.).

3.Обратные тригонометрические операции над
тригонометрическими функциями (2 ч.).

Урок 1 (2 ч.) Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x.

Цель: полное освещение данного вопроса.

1.Функция y = arcsin х.

а) Для функции y = sin x на отрезке
существует обратная (однозначная) функция,
которую условились называть арксинусом и
обозначать так: y = arcsin x. График обратной функции
симметричен с графиком основной функции
относительно биссектрисы I – III координатных
углов.

<Рисунок1>

Свойства функции y = arcsin x .

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область изменения: отрезок ;

3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = – arcsin x;

4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;

5)График пересекает оси Ох, Оу в начале
координат.

Пример 1. Найти a = arcsin . Данный пример подробно
можно сформулировать так: найти такой аргумент a ,
лежащий в пределах от до , синус которого равен .

Решение. Существует бесчисленное
множество аргументов, синус которых равен ,
например: и т.д. Но нас интересует только тот
аргумент, который находится на отрезке . Таким
аргументом будет . Итак, .

Пример 2. Найти .Решение. Рассуждая так же, как
и в примере 1, получим .

б) устные упражнения. Найти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0.
Образец ответа: , т.к. . Имеют ли смысл выражения: ; arcsin 1,5; ?

в) Расположите в порядке возрастания: arcsin, arcsin (-0,3),
arcsin 0,9.

II. Функции y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогично).

Урок 2 ( 2 ч) Тема: Обратные
тригонометрические функции, их графики.

Цель: на данном уроке необходимо
отработать навыки в определении значений
тригонометрических функций, в построении
графиков обратных тригонометрических функций с
использованием Д (у), Е (у) и необходимых
преобразований.

На данном уроке выполнить упражнения,
включающие нахождение области определения,
области значения функций типа: y = arcsin , y = arccos
(x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Следует построить графики функций: а) y
= arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin ;

г) y = arcsin ; д) y = arcsin ; е) y = arcsin ; ж) y = |
arcsin | .

Пример. Построим график y = arccos

1. Д (у):
   <= 1 или х² >= 1, т.е.
2. Е (у): ,
   т.к. .
3. Функция четная, т.к. у (-х) = у (х).
4. Точки пересечения: с ОУ (х = 0) график не может
   пересекаться, т.к. функция определена только при |
   х | >= 1; с ОХ (у = 0) график пересекается в (-1; 0) и (1; 0),
   т.к. = 1
   лишь при х = ± 1.
5. В силу четности достаточно ее исследовать для х
   >= 1.

Если х = 1, то у(1) = arccos 1 = 0. Если х –> + , то –> 0 ( > 0).

Значит, arccos –> , причем arccos < наименьшее у = 0 при х = ± 1,
наибольшего нет.

6. Функция в области определения неотрицательна,
   т.е. arccos >= 0.
7. Дополнительные точки ;

<Рисунок2>

В домашнее задание можно включить
следующие упражнения: построить графики функций:
y = arccos ,
y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графики   обратных функций

<Рисунок3>

Урок № 3 (2 ч.) Тема: Операции над
обратными тригонометрическими функциями.

Цель: расширить математические
познания (это важно для поступающих на
специальности с повышенными требованиями к
математической подготовке) путем введения
основных соотношений для обратных
тригонометрических функций.

Материал для урока.

Некоторые простейшие
тригонометрические операции над обратными
тригонометрическими функциями: sin (arcsin x) = x , i xi ?
1; cos (arсcos x) = x , i xi ? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x
I R.

Упражнения.

а) tg (1,5
+ arctg 5) = – ctg (arctg 5 ) = .

ctg (arctg x ) = ; tg (arcctg x ) = .

б) cos ( +
arcsin 0,6) = – cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = a , sin a = 0,6;

– cos a =

cos (arcsin x ) = ; sin (arccos x) = .

Замечание: берем перед корнем знак “+”
потому, что a = arcsin x удовлетворяет .

в) sin (1,5
+ arcsin ).Ответ:
;

г) ctg ( +
arctg 3).Ответ: ;

д) tg ( –
arcctg 4).Ответ: .

е) cos (0,5
+ arccos ) .
Ответ: .

Вычислить:

a) sin (2 arctg 5) .

Пусть arctg 5 = a , тогда sin 2 a = или sin (2 arctg 5) = ;

б) cos ( + 2
arcsin 0,8).Ответ: 0,28.

в) arctg
+ arctg .

Пусть a = arctg , b = arctg ,

тогда tg (a + b ) = .

г) sin (arcsin + arcsin ).

д) Доказать, что для всех x I [-1; 1] верно arcsin x + arccos x
= .

Доказательство:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x ) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x )

x = x

Для самостоятельного решения: sin
(arccos ),
cos (arcsin )
, cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Для домашнего решения: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0 ); 2) arcsin
+ arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6 ); 4)
cos (2 arcctg 5 ) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8 ); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Урок № 4 (2ч.) Тема: Операции над
обратными тригонометрическими функциями.

Цель: на данном уроке показать использование
соотношений в преобразовании более сложных
выражений.

Материал для урока.

УСТНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

г) tg (arccos ), ctg (arccos()).

ПИСЬМЕННО:

1) cos ( arcsin + arcsin + arcsin ).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin
(arccos 0,8) =

=

3) tg ( –
arcsin 0,6 ) = – tg (arcsin 0,6 ) =

4)

Самостоятельная работа поможет выявить
уровень усвоения материала

Для домашнего задания можно
предложить:

1) ctg (arctg + arctg + arctg ); 2) sin² (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2
arctg + tg
( arcsin )); 4) sin (2
arctg ); 5)
tg ( (arcsin
))

Урок № 5 (2ч) Тема: Обратные
тригонометрические операции над
тригонометрическими функциями.

Цель: сформировать представление учащихся об
обратных тригонометрических операциях над
тригонометрическими функциями, основное
внимание уделить повышению осмысленности
изучаемой теории.

При изучении данной темы предполагается
ограничение объема теоретического материала,
подлежащего запоминанию.

Материал для урока:

Изучение нового материала можно начать с
исследования функции y = arcsin (sin x) и построения ее
графика.

1. ОДЗ: R

2. Е(y): .

3. Каждому x I R ставится в соответствие y I , т.е. <= y <= такое,
что sin y = sin x.

4. Функция нечетна: sin(-x) = – sin x ; arcsin(sin(-x)) = – arcsin(sin
x).

5. T = 2

6. График y = arcsin (sin x) на [0; ]:

a) 0 <= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)
<= x <=
получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( – x) = – x, ибо

sin y = sin (
– x) = sinx , 0 <= – x <= .

Итак,

<Рисунок4>

Построив y = arcsin (sin x) на [0; ],
продолжим симметрично относительно начала
координат на [- ; 0], учитывая нечетность этой функции.
Используя периодичность, продолжим на всю
числовую ось.

Затем записать некоторые соотношения: arcsin
(sin a ) = a , если <= a <= ; arccos (cos a ) = a , если 0 <= a <= ; arctg (tg a ) =
a , если
< a < ;
arcctg (ctg a ) = a , если 0 < a < .

И выполнить следующие упражнения:a) arccos(sin
2).Ответ: 2 – ; б) arcsin (cos 0,6).Ответ: – 0,1 ; в) arctg (tg 2).Ответ: 2 – ;

г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 ; д) arccos (cos ( – 2)).Ответ:2 – ; е) аrcsin
(sin ( –
0,6)). Ответ: – 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 – )). Ответ:2 – ; з) аrcctg (tg
0,6). Ответ: – 0,6;

и) аrcsin (cos (2 arctg ( + 1))). Ответ:.

Для самостоятельного решения можно предложить
аналогичные задания:

arccos (sin 0,5); arctg (ctg ); arcsin (sin 1); arcsin (sin3); arcsin (sin4); arcsin (sin5);

arcsin (sin6); построить график y = arctg (tg x).

<Рисунок5>

Домашнее задание. Предложить любые задания
из приложения.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

I.(1) Найти область определения: а) y=arcsin ; б)y= arctg 2x;
в)y= arctg
; г)y= arccos ; д)y=arctg ; е)y= arcctg ; ж) y= .

I.(2) Построить графики функций: a) y = arccos 2x; б) y = 2
arccos x; в) y = arccos (cosx); г) y = arctg (ctgx).

I.(3) В каких границах заключены дуги: а) 2 arcsin x; б) 2
arccos х; в) arctg x; г) – arctg x; д) arccos ; е) arctg x² – .

I.(4) Построить: а) arctg (- 0,3); б) arccos ; в) arcsin ; г) arcctg
(-1,5).

II.(1) Вычислить: а) arccos (sin 2);б) sin ; в) arcsin + arcsin ; г) sin ( + 2 arcsin ); д) arctg + arctg ; е) arctg – arctg3; ж)
tg ( – arcsin ); з) arctg + arccos .

II.(2) Вычислить: а) cos (2 arcsin ); б) tg (arccos ); в) sin
(arcctg );
г) ctg (arctg(-1)); д) cos (2 arcsin ()); е) sin (arcsin + arccos ); ж) cos (arccos () + arcsin );

II.(3) Вычислить: а) sin(2 arctg ) + tg ( arcsin ); б) – cos² ( – arcsin); в) tg (2
arcsin –
arccos );
г) arcctg (tg (arcctg + arcctg )).

III. Вычислить: 1) arcsin (sin 70⁰); 2) arcsin (sin 210⁰);
3) arcsin (sin ); 4) arccos (cos 170⁰); 5) arccos (cos 6 ); 6) arctg (tg ).