Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии
Определение
Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и сторона, а другие стороны образуют прямую.
Внешний угол многоугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.
Утверждение
Для любого действительного (alpha) верно, что
(sinleft(pi – alpharight) = sinalpha),
(cosleft(pi – alpharight) = -cosalpha).
Следствия
Синусы смежных углов равны.
Косинусы смежных углов противоположны.
Следствия
Тангенсы смежных углов либо противоположны, либо оба не существуют (когда смежные углы равны (90^circ)).
Котангенсы смежных углов либо противоположны, либо оба не существуют (когда один из смежных углов развёрнутый).
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 6 октября 2021 года; проверки требуют 5 правок.
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол, а сумма их угловых величин смежных всегда равна 
градусов.
Таким образом, величина угла, являющимся смежным для угла величиной 
градусов, будет равна 
градусов.
Так, например, для угла карп 
градусов смежный угол составляет 
градусов (см. рисунок).
Тригонометрические соотношения[править | править код]
Синусы смежных углов равны. Их косинусы и тангенсы равны по величине, но имеют противоположные знаки (за исключением неопределённых значений).
См. также[править | править код]
- Угол
- Прилежащие углы
- Дополнительные углы
- Треугольник
Ссылки[править | править код]
- Никитин Н. Н. Геометрия. Смежные углы.
- Animated demonstration
- Angle definition pages
Что такое смежные углы: определение, теорема, свойства
В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют смежные углы, приведем формулировку теоремы касательно них (в т.ч. следствия из нее), а также перечислим тригонометрические свойства смежных углов.
Определение смежных углов
Два прилежащих угла, внешними сторонами образующие прямую, называется смежными. На рисунке ниже это углы α и β.
Если два угла имеют одну общую вершину и сторону, они являются прилежащими. При этом внутренние области этих углов не должны пересекаться.
Принцип построения смежного угла
Одну из сторон угла протягиваем через вершину дальше, в результате чего образуется новый угол, смежный с исходным.
Теорема о смежных углах
Сумма градусов смежных углов равняется 180°.
Смежн. угол 1 + Смежн. угол 2 = 180°
Пример 1
Один из смежных углов равняется 92°, чему равен второй?
Решение, согласно рассмотренной выше теореме, очевидно:
Смежн. угол 2 = 180° – Смежн. угол 1 = 180° – 92° = 88°.
Следствия из теоремы:
Пример 2
Допустим, у нас есть угол, смежный с 75°. Он должен быть больше 90°. Давайте проверим это.
Воспользовавшись теоремой, находим значение второго угла:
180° – 75° = 105°.
105° > 90°, следовательно угол является тупым.
Тригонометрические свойства смежных углов
Источник
Углы. Смежные углы.
Какие углы называются смежными?
Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной
общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг
другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным
будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным
является угол (180 – x) градусов.
Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.
При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать
только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Чему равна сумма смежных углов?
Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.
Следствия из теоремы о смежных углах.
Тригонометрические соотношения.
противоположные знаки (исключение неопределенные значения).
Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?
Как найти смежный угол?
Решение. Из теоремы о смежных углах находим:
Источник
Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии
Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.
Задания, в которых школьникам необходимо найти внешние углы многоугольника, в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Правильно решать подобные задачи должны уметь выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень аттестационного испытания. Школьники, которые освоили задания из раздела «Работа с внешними углами многоугольника», смогут справиться с ЕГЭ и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам его прохождения.
Как подготовиться к экзамену?
Перед решением задач на нахождение внешних углов многоугольника в ЕГЭ стоит освежить в памяти определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике. Кроме того, для некоторых заданий могут потребоваться формулы основных тригонометрических тождеств.
Восполнить пробелы в знаниях, например, по теме «Вычисление синуса угла треугольника» и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами на нахождение внешних углов треугольника в ЕГЭ, мы предоставляем возможность повторить определения и основные правила. Весь необходимый базовый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты подобрали соответствующую информацию.
Для закрепления теоретического материала мы предлагаем выполнить упражнения по теме «Работа с внешними углами многоугольника». Подборка простых и сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Наши специалисты регулярно обновляют и дополняют упражнения.
Попрактиковаться в решении задач на нахождение внешних углов многоугольника, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
Источник
Синус, косинус, тангенс и котангенс
Острые углы в прямоугольном треугольнике.
В геометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса мы изучаем на примере острых углов в прямоугольном треугольнике.
Возьмем прямоугольный треугольник АВС и распишем для него формулы для нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов α и β.
Острые углы прямоугольного треугольника обладают очень интересными сверхспособностями, которые могут пригодится при решении геометрических задач.
Во-первых, их сумма равна 90°.
Смежные углы.
Теперь немного отстранимся от прямоугольных треугольников. Есть еще очень клевые формулы, но они подходят для смежных углов.
Пусть даны смежные углы α и β (напомню, что сумма смежных углов равна 180°).
Формулы приведения.
| Функции | Углы | ||||||||
| -α | 90°-α | 90°+α | 180°-α | 180°+α | 270°-α | 270°+α | 360°-α | 360°+α | |
| sin | -sinα | +cosα | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα |
| cos | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα | +cosα | +cosα |
| tg | -tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα |
| ctg | -ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα |
Таблица значений тригонометрических функций для «прекрасных» углов.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π | ||
| sinα | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | -1 | |||
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | -1 | 1 | ||
| tgα | √3/3 | 1 | √3 | — | — | |||
| ctgα | — | √3 | 1 | √3/3 | — | — |
Осталось это всё запомнить и научиться применять на практике)
Вообще, достаточно запомнить информацию только про синусы и косинусы, а уже через них выводить значения тангенса и котангенса.
Еще рекомендую к прочтению статью про тригонометрические тождества.
Источник
Смежные углы и их свойства
Смежные углы и их свойства.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой.
Смежные углы (понятие и определение):
Рис. 1. Смежные углы
В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.
Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.
Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.
Свойства смежных углов:
1. Сумма величин смежных углов равна 180 градусам.
2. При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов.
Рис. 2. Смежные углы
Рис. 3. Смежные углы
4. В паре смежных углов один угол всегда тупой, а другой – острый либо оба угла являются прямыми.
5. Синусы смежных углов равны.
6. Косинусы и тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Источник
Синус, косинус, тангенс и котангенс
Острые углы в прямоугольном треугольнике.
В геометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса мы изучаем на примере острых углов в прямоугольном треугольнике.
Вот и они:
Возьмем прямоугольный треугольник АВС и распишем для него формулы для нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов α и β.
Острые углы прямоугольного треугольника обладают очень интересными сверхспособностями, которые могут пригодится при решении геометрических задач.
Во-первых, их сумма равна 90°.
Во-вторых, верны будут следующие равенства (доказать их верность очень легко – смотри предыдущие 8 формул):
Смежные углы.
Теперь немного отстранимся от прямоугольных треугольников. Есть еще очень клевые формулы, но они подходят для смежных углов.
Пусть даны смежные углы α и β (напомню, что сумма смежных углов равна 180°).
Для них будут верны следующие равенства (доказываются через формулы приведения, т.к. α = 180° – β):
Формулы приведения.
| Функции | Углы | ||||||||
| -α | 90°-α | 90°+α | 180°-α | 180°+α | 270°-α | 270°+α | 360°-α | 360°+α | |
| sin | -sinα | +cosα | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα |
| cos | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα | +cosα | +cosα |
| tg | -tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα |
| ctg | -ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα |
Таблица значений тригонометрических функций для “прекрасных” углов.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π | |
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tgα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | – | 0 | – | 0 |
| ctgα | – | √3 | 1 | √3/3 | 0 | – | 0 | – |
Осталось это всё запомнить и научиться применять на практике)
Вообще, достаточно запомнить информацию только про синусы и косинусы, а уже через них выводить значения тангенса и котангенса.
Еще рекомендую к прочтению статью про тригонометрические тождества.
Успехов в подготовке!
С уважением, Васильева Анна.
math-public:opredelenie_i_svojstva_kosinusa
Содержание
Общее определение
-
Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.
-
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.
-
Косинус прямого угла равен нулю.
-
Косинус развернутого угла равен минус единице.
Корректность определения косинуса
Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.
Доказательство
Первый способ.
Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.
Второй способ.
Следует из подобия треугольников.
Свойства косинуса
-
Косинус любого угла не больше $1$ и не меньше $-1$.
-
$cos{(180^circ-alpha)}=-cos{alpha}$.
-
При возрастании угла от $0^circ$ до $180^circ$ косинус убывает от 1 до -1.
-
Косинус однозначно определяет угол.
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.
Докажем второй пункт теоремы.
Второе свойство следует из того, что углы $180^circ-alpha$ и
$alpha$ являются смежными.
Докажем третий пункт теоремы.
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.
Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.
Проведем радиус $AB$ и получим угол $a BAE$ некоторой величины $alpha$.
Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.
Тогда $cos{alpha}=AC$ при $alphaleqslant 90^circ$ и $cos{alpha}=-AC$ при $alpha>90^circ$.
Это означает, что $cos{alpha}$ равен координате точки $C$ на оси
$AE$.
Когда $alpha$ возрастает $0^circ$ до $180^circ$ (то есть,
когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$),
точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.
При этом координата точки $C$, то есть $cos{alpha}$, убывает от $1$ до
$-1$.
Докажем четвертый пункт теоремы.
Пусть $cos{alpha}=cos{beta}$.
Докажем, что тогда $alpha=beta$.
Действительно, возможно три случая:
-
$alpha>beta$. Тогда по пункту 3 $cos{alpha}<cos{beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
-
$alpha<beta$. Тогда по пункту 3 $cos{alpha}>cos{beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
-
Следовательно, остаётся только третья возможность: $alpha=beta$.
· Последнее изменение: 2016/04/08 23:20 —
labreslav
