Учебник
Геометрия, 9 класс
Теорема косинусов
Теорема косинусов
Если в треугольнике даны две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный. Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по 2-му признаку равенства треугольников. Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья сторона должна быть однозначно определяема.
_____________________________________________________________________________________
Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$
_____________________________________________________________________________________
Факты:
- Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит, и сам угол.
- Если из трех сторон и одного угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно всегда вычислить.
- Теорема косинусов дает возможность вычислять медианы треугольника, применяя теорему к малым треугольникам.
- Для прямоугольного треугольника теорема косинусов “упрощается” до теоремы Пифагора $AB^2=AC^2+BC^2$.
А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?
$cos130=-cos50$, $sin115=sin65$ , $tg135=-tg45$.
Связь тригонометрии тупых углов $90 < alpha < 180$ с тригонометрией острых выражается формулами:
$sinalpha=sinleft(180-alpharight)$ $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$ $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$ $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$
Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ – острый; если $b^2+c^2-a^2=0$, то $alpha$ – прямой; если $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ – тупой.
Расчет треугольников по теореме косинусов
Задача 1: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $7sqrt{3}$ см, сторона $BC$ равна $1$ см , угол $C$ = $150^o$ . Найти длину стороны $AB$.
- Решение: Применим теорему косинусов $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
- Тупой угол в $150^o$ выразим через острый : $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$. $Rightarrow$
- $AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$ , $AB^2= 148 + 21 = 169$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = 13$
Задача 2: В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $17$ см, сторона $BC$ равна $14$ см , угол $ACB$ = $60^o$ .
Найти длину третьей стороны .
- Решение: Из теоремы косинусов для угла $angle ACB$ : $Rightarrow$ $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$ $Rightarrow$
- квадрат стороны $AB^2= 289+196-238 = 247$ $Rightarrow$ Ответ: $AB = sqrt{247}$
Задача 3: В $bigtriangleup ABC$ известны $AC=3$ , $BC=5$ см, $AB=6$ .
Найти косинус угла $C$ и медиану $BM$ .
- Решение: Из теоремы косинусов для стороны $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:
- $cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$ . Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой угол $>90^o$
- Для нахождения медианы $ВМ$ распишем еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника $ВМС$ от угла $С$:
- $BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$ учтем, что медиана делит сторону пополам $MC=frac{AC}{2}=1,5$
- Подставим $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$, получим $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$
- Ответ: $cos ACB=-frac{1}{15}$ , $BM=0,5sqrt{113}$ .
Задача 4: В прямоугольном $bigtriangleup ABC$ известны $AB=9$ , $BC=3$ см ; $M$ делит $AB$ : $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
Найти $CM$ .
- Решение: По свойству аддитивности отрезка $AM + MB = 9$ , по условию $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$ $Rightarrow$ $AM = 3$ , $MB = 6$
- Из прямоугольного $bigtriangleup ABC$ по определению косинуса угла: $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$ .
- Из $bigtriangleup CMB$ по теореме косинусов найдем $CM$ : $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$ , подставим числа
- $CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$ $Rightarrow$ требуемый отрезок $CM=sqrt{33}$ . Ответ: $CM=sqrt{33}$
Задача 5: Одна из сторон треугольника больше другой на $8$ см, а угол между ними $120^o$ .
Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны $28$ см .
- Решение: Метод введения неизвестного: Обозначим одну из сторон треугольника как $x$ ,
- выразим нужные величины через х и составим уравнение: величина другой стороны будет равна $x+8$ см.
- По теореме косинусов: $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ , где $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
- Итак, составили уравнение $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$ $Rightarrow$ $3x^2+24x+720=0$
- решим квадратное уравнение : один корень отрицательный – не нужен , другой $x=frac{-24+96}{6}=12$
- Периметр $P=12+left(12+8right)+28=60$. Ответ: $60$.
Задача 6: В $bigtriangleup ABC$ известны стороны $a=15$ , $b=18$, $c=25$ . Найти: углы $α$, $β$, $γ$ (приближённо) .
- Решение: Углы $α$ и $β$ найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.
- $cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$ , привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$ ;
- $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$ , …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$ .
- Найдём $γ$ по теореме о 180 = сумма углов: $gamma=180-left(alpha+betaright)$ и $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$ .
- Ответ: $alphaapprox36,4^o$ , $betaapprox45,3^o$ , $gammaapprox98,3$
Задача 7: В $bigtriangleup ABC$ $AB=c=3$ м, $AC = b = 6$ м. , $alpha=60$ . Найти: сторону $a = BC$ , углы $β$, $γ$ .
- Решение: Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью.
- По теореме косинусов $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$ найдём сторону $a$:
- $a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$ $Rightarrow$ $a=3sqrt{3}$ .
- По теореме косинусов найдем и угол $β$ : $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$ $Rightarrow$ $β=90$ .
- Значит $bigtriangleup ABC$ – прямоугольный , тогда угол $γ=90-α$ . Ответ: $a=3sqrt{3}$ , $β = 90$ , $γ=30$ .
Задача 8: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.
- дано: $AB=11$ , $BC=12$ , $AC=13$ Найти биссектрису $AK=?$ .
- Решение: Найдем косинус угла из теоремы косинусов : $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$
- Выразим косинус $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ , $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
- Найдем отрезки $BK$ , $KC$ на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
- Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем $BK=5,5$ , $BK=6,5$
- Теперь, для нахождения биссектрисы $AK$ еще раз используем теорему косинусов для треугольника $bigtriangleup AKC$
- $AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$ подставим значения $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
- Ответ: $AK=frac{sqrt429}{2}$.
Задача 9: Стороны треугольника равны $11$ , $12$ и $13$ . Найти медиану, проведенную к большей стороне.
- Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$
- Подставим значения $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$ Ответ: $m_c=9,5$
Задача 10: В треугольнике $ABC$ $AB=11$ , $AC=23$ , медиана $AK=10$ . Найти $BC$ .
- Решение: Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:
- $AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$ $Rightarrow$ $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$ $Rightarrow$ $BC^2=900$ Ответ: $BC=30$ .
Упражнения:
Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Если у нас есть треугольник (ABC), рисунок выше, для которого (С)– прямой угол, то сторонами (BC) и (AC) будут катеты, а сторона (AB) – гипотенуза. Следовательно, по определению, синус угла (ABC) равен отношению катета (АС) к гипотенузе: синус угла (ABC=frac{AC}{AB}) и синус угла (BAC=frac{BC}{AB}).
косинус угла (ABC=frac{BC}{AB}) и косинус угла (BAC=frac{AC}{AB}).
Чаще всего известно лишь часть данных, например катет и угол, нужно выразить неизвестную величину. Подумайте, как это сделать.
Вычислим синус по двум катетам.
Берем тот же треугольник (ACB) с прямым углом (С) в котором мы знаем катеты: (BC = 3), (AC = 4). Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: (sin ∠BAC = frac{BC} { AB}).
Гипотенузу вычислим из теоремы Пифагора: (AC^2+BC^2=AB^2) (9+16=25) (AB=5) откуда синус равен:
(sin ∠ BAC = frac{3}{5})
. Вычислим синус угла (ABC) по углу( BAC ) 30° градусов в прямоугольном треугольнике (ACB).
Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °.Найдем угол (ABC):
(180)° (-30)° (-90)°(=60)°.
(sin) (60)° возьмем из табличного значения: (frac{ sqrt{3}} { 2})
Табличные значения (sin) и (cos):
Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат ((y)) линия синуса, ось абсцисс ((x)) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса (90) и (180) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит (x), на втором (y) ((x,y));
Теорема синусов:
Теорема косинусов:
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
-
Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.
- Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.
Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.
Теорема косинусов:
Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:
Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Следствие из теоремы косинусов.
- Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:
h 2 = a 2 – (c – b cos α) 2 (2)
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):
b 2 – (b cos α) 2 = a 2 – (c – b cos α) 2
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α.
Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определить стороны b и c:
Решение №2303 В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 10, высота AH равна √51.
В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC = BC = 10, высота AH равна √51. Найдите косинус угла ACB.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
В прямоугольном ΔАНС по теореме Пифагора найдём катет НС:
Косинусы смежных углов равны по модулю, противоположны по знаку:
cos ∠ACB = –cos ∠ACH
Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Найдём cos∠ACH:
Найдём косинус искомого угла АСВ:
cos∠ACB = –cos∠ACH = –0,7
[spoiler title=”источники:”]
http://www.calc.ru/Teorema-Kosinusov-Dokazatelstvo-Teoremy-Kosinusov.html
[/spoiler]
Теоремы косинусов и синусов для треугольника
Для нахождения элементов в произвольном треугольнике в геометрии используется теоремы синусов и косинусов.
Определение
Теорема синусов звучит следующим образом: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около данной фигуры окружности.
(frac a{sin;alpha}=frac b{sin;beta}=frac c{sin;gamma}=2R)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
(frac a{sin;alpha}=frac b{sin;beta}=frac c{sin;gamma})
ТС можно применять для расчета:
-
неизвестных сторон, если даны два угла и одна сторона;
-
неизвестных углов, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Так как один из углов может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения:
(sin;left(180^circ-alpharight)=sin;alpha)
Частые значения углов для тупоугольных треугольников:
- (sin;120^circ=sin;left(180^circ-60^circright)=sin;60^circ=frac{sqrt3}2)
- (sin;150^circ=sin;left(180^circ-30^circright)=sin;30^circ=frac12)
- (sin;135^circ=sin;left(180^circ-45^circright)=sin;45^circ=frac{sqrt2}2)
R в формуле для вычисления синусов означает радиус вписанной окружности. Если мы выразим его, то получим:
(R=frac a{2;sin;alpha}=frac b{2;sin;beta}=frac c{2;sin;gamma})
Определение
Теорема косинусов выглядит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
(a^2=b^2+c^2-2bctimescosangleleft(b,cright))
Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно 2-ух данных величин (две стороны или сторона и угол). Для вычисления частей произвольного треугольника необходимо хотя бы 3-и данных величины.
ТК используется для вычисления:
-
неизвестной стороны, если даны две стороны и угол между ними;
-
косинуса неизвестного угла, если даны все стороны треугольника.
Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения:
(cos;left(180^circ-aright)=-cos;a)
Часто используемые значения:
- (cos;120^circ=cos;left(180^circ-60^circright)=-cos;60^circ=-frac12)
- (cos;150^circ=cos;left(180^circ-30^circright)=-cos;30^circ=-frac{sqrt3}2)
- (cos;135^circ=cos;left(180^circ-45^circright)=-cos;45^circ=-frac{sqrt2}2)
Если необходим вывод приблизительного значения синуса или косинуса другого угла или вычисление угла по найденному С/К, то используется таблица Брадиса или калькулятор.
Формулы с доказательством, как найти угол
Докажем приведенную выше формулу для нахождения синуса.
Рассмотрим ∆АВС со сторонами a, b, c и противолежащими углами α, β, γ.
Докажем, что (frac a{sin;alpha}=frac b{sin;beta}=frac c{sin;gamma}.)
Из вершины С треугольника АВС проходит высота CD.
Из прямоугольного ∆АСD, если α — острый угол, получаем:
(CD=beta;sin;alpha.)
Если α — тупой угол, то:
(CD=beta;sin;left(180^circ-alpharight)=beta;sin;alpha)
Аналогично из прямоугольного ∆BCD получаем:
(CD=alpha;sin;beta)
Таким образом:
(alpha;sin;beta=beta;sin;alpha,) т.е. ( frac a{sin;alpha}=frac b{sin;beta})
Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А, аналогично имеем:
(frac b{sin;beta}=frac c{sin;gamma})
Итак, (frac a{sin;alpha}=frac b{sin;beta}=frac c{sin;gamma}.)
Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.
Теперь приведем доказательство формулы для нахождения значения косинуса.
Дан ∆АВС.
Рассмотрим векторы (Aoversetrightharpoonup B,;Boversetrightharpoonup C,;Aoversetrightharpoonup C.)
Очевидно, (Boversetrightharpoonup C=Aoversetrightharpoonup C-Aoversetrightharpoonup B.)
Возведем это равенство скалярно в квадрат:
(Boverrightarrow C^2=Boversetrightharpoonup Ctimes Boversetrightharpoonup C=left(Aoversetrightharpoonup C-Aoversetrightharpoonup Bright)timesleft(Aoversetrightharpoonup C-Aoversetrightharpoonup Bright)=Aoversetrightharpoonup C^2-Aoversetrightharpoonup Btimes Aoversetrightharpoonup B-Aoversetrightharpoonup Btimes Aoversetrightharpoonup C+Aoversetrightharpoonup B^2=Aoversetrightharpoonup C^2-2Aoversetrightharpoonup Btimes Aoversetrightharpoonup C+Aoversetrightharpoonup B^2.)
Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем:
(BC^2=AB^2+AC^2-2ABtimes ACtimescos;A)
где ( AB=left|Aoversetrightharpoonup Bright|,;AC=left|Aoversetrightharpoonup Cright|,;BC=left|Boversetrightharpoonup Cright| ) — длины сторон ∆АВС, ∠A — угол между сторонами АВ и АС.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача 1
В треугольнике (ABC) сторона (AB=10), (BC=12). (∠В=26°.)
Найти (АС.)
Решение
(b^2=a^2+c^2-2ac;cos;beta)
Из этого ( b^2=12^2+10^2-2times12times10;cos;26;fracpi{180}=144+100-240(0.90)=28)
Преобразуем ( sqrt{28}=2sqrt7.)
Ответ: (2sqrt7.)
Задача 2
В треугольнике (ABC),( AC=3), (BC=5), (AB=6.)
Найти (cos ∠ACB.)
Решение
(AB^2=AC^2+BC^2-2ACtimes BCtimescos;angle ACB)
Переставим члены уравнения и получим:
(2ACtimes BCtimescos;angle ACB=AC^2+BC^2-AB^2)
Поделим обе стороны 2ACtimes BC и получаем cos ∠ACB:
(frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2ACtimes BC}=frac{3^2+5^2-6^2}{2times3times5}=frac{9+25-36}{30}=frac{-2}{30}=-frac1{15})
Ответ: (-frac1{15}.)
Задача 3
В треугольнике (ABC BC=sqrt3),( AC=2). (∠ABC=60°).
Найти (sin ∠BAC).
Решение
(frac{BC}{sin;angle BAC}=2R=frac{AC}{sin;angle ABC})
Произведем перекрестное умножение:
(sin;angle BAC=frac{BC}{AC}sin;angle ABC=frac{sqrt3}2timesfrac{displaystylesqrt3}{displaystyle2}=frac34)
Ответ: (frac34.)
Задача 4
В остроугольном треугольнике (ABC) (BC=2sqrt3), (AC=2). (∠ABC=30°.)
Найти (∠BAC) в градусах.
Решение
(frac{BC}{sin;angle BAC}=2R=frac{AC}{sin;angle ABC})
Произведем перекрестное умножение:
(sin;angle BAC=frac{BC}{AC}sin;angle ABC=frac{2sqrt3}2timesfrac{displaystyle1}{displaystyle2}=frac{sqrt3}2)
В градусах получим: (∠BAC=120°) либо (∠BAC=60°).
Так как (ABC) остроугольный треугольник, то (∠BAC<90°).
Тогда единственное решение: (∠BAC=60°).
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.
В случае с рисунком, описанным выше: cosα=bccosalpha=frac{b}{c}
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.
Решение
Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
62+b2=1026^2+b^2=10^2
36+b2=10036+b^2=100
b2=64b^2=64
b=8b=8
Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:
cosα=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8
Ответ
0.8
Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.
Решение
Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:
P=a+b+cP=a+b+c
25=9+4+c25=9+4+c
c=12c=12
При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:
cosα=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82
Ответ
0.820.82
Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!
