Как найти cos угла между плоскостями - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.

(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):

Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);

Шаг 2: проведем (FGperp pi);

Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);

Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).

Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).

Задание
1

#2875

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).

Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]

Ответ: -2

Задание
2

#2876

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).

Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).

Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]

Ответ: 0,2

Задание
3

#2877

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).

Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]

Ответ: 3

Задание
4

#2910

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).

Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]

Ответ: 1,25

Задание
5

#2911

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.

Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.

Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]

Ответ: 60

Задание
6

#1854

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).

Ответ: 45

Задание
7

#1855

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Угол между плоскостями.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Формула для вычисления угла между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	\|A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂\|
√A₁² + B₁² + C₁²√A₂² + B₂² + C₂²

Примеры задач на вычисление угла между плоскостями

Пример 1.

Найти угол между плоскостями 2x + 4y – 4z – 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

cos α =

|2·4 + 4·3 + (-4)·0|√2² + 4² + (-4)²√4² + 3² + 0²

|8 + 12|√36√25

2030

Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α = 23.

Источник

Угол между плоскостями. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти угол между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между плоскостями, введите элементы уравнения плоскостей в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Угол между плоскостями − теория

Пусть заданы две плоскости α и β общими уравнениями

Угол между этими плоскостями сводится к определению угла φ между нормальными векторами n₁=(A₁, B₁, C₁) и n₂=(A₂, B₂, C₂) этих плоскостей.

Из определения скалярного произведения, имеем

Тогда из (3) можно найти косинус угла между нормальными векторами n₁ и n₂:

Учитывая, что (n₁, n₂)=A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂ и длины векторов |n₁|= и |n₂|=выражение (4) можно записать так:

Таким образом косинус угла между нормальными векторами и, следовательно, косинус угла между плоскостями α и β определяется формулой (5). Далее можно найти угол φ с помощью функции arccos.

Отметим, что пересекающиеся плоскости образую два угла. Другой угол можно найти так: φ‘=180−φ.

Угол между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти угол между плоскостями

Решение.

Нормальный вектор плоскости (6) равен n₁=(A₁, B₁, C₁)=(1, 2, -6), нормальный вектор плоскости (7) равен n₂=(A₂, B₂, C₂)=(-2, 6, 5).

Подставим значения A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ в (5):

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между плоскостями. Для этого вычтем этот угол из 180:

Пример 2. Найти угол между плоскостями

Решение.

Нормальный вектор плоскости (9) равен n₁=(A₁, B₁, C₁)=(1, 2, 8), нормальный вектор плоскости (10) равен n₂=(A₂, B₂, C₂)=(2, 4, 16).

Подставим значения A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ в (5):

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Угол между этими плоскостями равен нулю. Следовательно эти плоскости параллельны.

Источник

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Как найти угол между двумя плоскостями?

Пусть заданы уравнениями две плоскости $$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$$ $$A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$$

Запишем нормальные векторы этих плоскостей, каждая координата которых равна соответствующим коэффициентам в уравнениях плоскостей $$overline{n}_1 = (A_1,B_1,C_1)$$$$overline{n}_2 = (A_2,B_2,C_2)$$

Угол между плоскостями – это угол между двумя нормальными векторами этих плоскостей, вычисляемый по формуле: $$cos varphi = frac{(overline{n}_1,overline{n}_2)}{|overline{n}_2| cdot |overline{n}_2|}$$

В числителе формулы стоит скалярное произведение векторов, вычисляемое путем суммирования произведений соответствующих координат

$$(overline{n}_1,overline{n}_2) = A_1 cdot A_2 + B_1 cdot B_2 + C_1 cdot C_2$$

В знаменателе расположено произведение длин векторов, вычисляемых извлечением квадратного корня из суммы квадратов соответствующих координат векторов

$$|overline{n}_1| = sqrt{A_1 ^2 + B_1 ^2 + C_1 ^2}$$

$$|overline{n}_2| = sqrt{A_2 ^2 + B_2 ^2 + C_2 ^2}$$

Вычисляем скалярное произведение нормальных векторов $(overline{n}_1,overline{n}_2)$
Находим произведение модулей нормальных векторов $ |overline{n}_1| cdot |overline{n}_2| $
Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла между плоскостями $ cos varphi $

Примеры решений

Пример 1

Найти угол между плоскостями $3x-y+3=0$ и $x-2y+5z-10=0$

Решение

Записываем нормальные векторы каждой из плоскостей. В качестве координат векторов подставляем коэффициенты из уравнений плоскостей

$$ overline{n}_1 = (3,-1,0) $$ $$ overline{n}_2 = (1,-2,5) $$

Вычисляем скалярное произведение, полученных векторов $overline{n}_1$ и $ overline{n}_2$. Выполняем сложение произведений соответствующих координат

$$(overline{n}_1,overline{n}_2) = 3cdot 1 + (-1)cdot (-2) + 0cdot 5 = 5$$

Находим модули каждого из векторов. Извлекаем квадратный корень из суммы квадратов соответствующих координат

$$|overline{n}_1| = sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2} = sqrt{10}$$

$$|overline{n}_2| = sqrt{1^2+(-2)^2+5^2} = sqrt{30}$$

Подставляем полученные значения в формулу нахождения угла между плоскостями

$$cos varphi = frac{5}{sqrt{10} cdot sqrt{30}} = frac{1}{sqrt{12}}$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$varphi = arccosfrac{1}{sqrt{12}}$$

Источник

Угол между плоскостями.

₁


0

Угол
между двумя плоскостями в пространстве

связан с углом между нормалями к этим
плоскостям ₁
соотношением: 
= ₁
или 
= 180⁰
– ₁,
т.е.

cos
= cos₁.

Определим
угол ₁.
Известно, что плоскости могут быть
заданы соотношениями:

,
где

(A₁,
B₁,
C₁),

(A₂,
B₂,
C₂).
Угол между векторами нормали найдем из
их скалярного произведения:

Таким
образом, угол между плоскостями находится
по формуле:

Выбор
знака косинуса зависит от того, какой
угол между плоскостями следует найти
– острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

плоскостей.

На
основе полученной выше формулы для
нахождения угла между плоскостями можно
найти условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.

Для
того, чтобы плоскости были перпендикулярны
необходимо и достаточно, чтобы косинус
угла между плоскостями равнялся нулю.
Это условие выполняется, если:

Плоскости
параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
.Это
условие выполняется, если:
.

Угол между
прямыми в пространстве.

Пусть
в пространстве заданы две прямые. Их
параметрические уравнения:

l₁:

l₂:

Угол
между прямыми 
и угол между направляющими векторами

этих прямых связаны соотношением: 
= ₁
или 
= 180⁰
– ₁.
Угол между направляющими векторами
находится из скалярного произведения.
Таким образом:

Условия параллельности
и перпендикулярности

прямых
в пространстве.

Чтобы
две прямые были параллельны необходимо
и достаточно, чтобы направляющие векторы
этих прямых были коллинеарны, т.е. их
соответствующие координаты были
пропорциональны.

Чтобы две прямые были
перпендикулярны необходимо и достаточно,
чтобы направляющие векторы этих прямых
были перпендикулярны, т.е. косинус угла
между ними равен нулю.

Угол между
прямой и плоскостью.

Определение.
Углом между прямой и плоскостью называется
любой угол между прямой и ее проекцией
на эту плоскость.





Пусть
плоскость задана уравнением
,
а прямая –.
Из геометрических соображений (см. рис.)
видно, что искомый угол
= 90⁰
– ,
где 
– угол между векторами
и.
Этот угол может быть найден по формуле:

В
координатной форме:

Условия параллельности и перпендикулярности

прямой
и плоскости в пространстве.

Для
того, чтобы прямая и плоскость были
параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы вектор нормали к плоскости и
направляющий вектор прямой были
перпендикулярны. Для этого необходимо,
чтобы их скалярное произведение было
равно нулю.

Для
того, чтобы прямая и плоскость были
перпендикулярны, необходимо и достаточно,
чтобы вектор нормали к плоскости и
направляющий вектор прямой были
коллинеарны. Это условие выполняется,
если векторное произведение этих
векторов было равно нулю.

Поверхности
второго порядка.

Определение.
Поверхности второго порядка – это
поверхности, уравнения которых в
прямоугольной системе координат являются
уравнениями второго порядка.

Цилиндрические
поверхности.

Определение.
Цилиндрическими поверхностями называются
поверхности, образованные линиями,
параллельными какой- либо фиксированной
прямой.

Рассмотрим
поверхности, в уравнении которых
отсутствует составляющая z,
т.е. направляющие параллельны оси Оz.
Тип линии на плоскости ХOY
(эта линия называется направляющей
поверхности) определяет характер
цилиндрической поверхности. Рассмотрим
некоторые частные случаи в зависимости
от уравнения направляющих: