Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 – a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
-
Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.
- Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a | = | b | = | c | = 2R |
sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p – a ) b + c
lb = 2√ acp ( p – b ) a + c
lc = 2√ abp ( p – c ) a + b
где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Формулы площади треугольника
Формула Герона
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k – коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/
[/spoiler]
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс
18 мая 2022
Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.
Содержание:
- Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
- Почему эти значения зависят только от углов?
- Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
- Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
- Тригонометрия на координатной сетке.
Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!
1. Ключевые определения
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:
Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.
1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс
Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.
Тогда:
Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]
Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]
Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]
Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:
[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]
Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).
Рассмотрим пару примеров.
Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.
Имеем:
[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]
Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.
Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:
[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]
Но об этом чуть позже.
Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:
[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]
Теперь найдём синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)
1.2. Задачи для тренировки
Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.
Задача 3. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]
Задача 4. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]
Задача 5. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]
Задача 6. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?
2. Теорема о единственности
Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.
Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.
2.1. Формулировка теоремы
Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.
2.2. Доказательство
Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:
А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:
А можно и вот так — это не имеет никакого значения:
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:
[Delta ABCsim Delta AMN]
Из подобия треугольников следует двойное равенство
[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Выпишем второе равенство — получим пропорцию
[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому
[BCcdot AN=MNcdot AC]
Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:
[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]
Однако по определению синуса имеем:
[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]
Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.
То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.
3. Стандартные углы
Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.
Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:
- Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
- Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.
Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.
3.1. Три стандартных угла
Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:
[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]
Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:
Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:
[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Это именно те значения, которые указаны в таблице!
Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:
Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.
Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:
Разберёмся с углом 60°:
[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]
И с углом 30°:
[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!
Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.
Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?
3.2. Что с другими углами?
Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:
Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]
Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)
Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.
Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:
- Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
- Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.
Ещё раз:
Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.
Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)
И наоборот:
Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.
Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).
С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.
4. Свойства синуса, косинуса, тангенса
Мы разберём три ключевых свойства:
- Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
- Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
- Основное тригонометрическое тождество.
Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.
4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Выразим синус, косинус:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
А теперь выразим тангенс и заметим, что
[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]
Точно так же можно выразить и котангенс:
[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]
Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:
[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]
Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:
Основные формулы тригонометрии:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]
Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.
4.2. Связь между острыми углами
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:
Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]
То же самое и с косинусами:
[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]
И даже с тангенсами и котангенсами:
[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]
Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:
[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]
Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.
4.3. Основное тригонометрическое тождество
Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
Далее заметим, что
[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]
В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]
Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.
Основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.
С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.
Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.
Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:
[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]
Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:
[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]
Вот и всё! Ответ: 8.
В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.
Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]
Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно
[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]
Найдём $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]
Окончательный ответ:
[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]
Ответ: 42.
Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.
Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.
Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.
Задача 9. ►
Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.
Решение. Найдём $cos alpha $:
[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]
Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого
[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]
Ответ: 48.
Задача 10. ►
Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]
Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем
[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]
Считаем $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]
Откуда
[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]
Ответ: 11.
5. Тригонометрия на координатной сетке
Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.
Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.
Звучит страшно, но на практике всё легко.:)
Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]
Это и есть искомый тангенс.
Ответ: 0,75.
Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:
Задача 12. ►
Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]
Ответ: 0,5.
Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.
Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.
Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.
Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.
Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.
Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Ответ: 0,5.
Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:
Задача 14. ►
Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: отрезок $DH$.
Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.
Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:
[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]
Ответ: 1.
Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.
К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:
И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):
Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)
Смотрите также:
- Радианная и градусная мера угла
- Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
- Сложные логарифмические неравенства
- Сложные выражения с дробями. Порядок действий
- Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
- Обход точек в стереометрии — 2
Как найти косинус угла в равностороннем треугольнике?
Косинусом ( c o s ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Теорема синусов. = 2 R , где R – радиус описанной около треугольника окружности.
Как найти косинус угла в равнобедренном треугольнике?
cosα= b/2a Одним из его катетов (b) будет половина длины основания равнобедренного треугольника, другим катетом (а) — высота равнобедренного треугольника.
Какие углы могут быть в равнобедренном треугольнике?
Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
Какие углы равны в равнобедренном треугольнике?
Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой.
Почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны?
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Каким свойством обладают углы равностороннего треугольника?
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и высотой. 2. Углы треугольника, лежащие против равных сторон, равны. … Все углы равностороннего треугольника равны.
Каким свойством обладает Медиана равнобедренного треугольника?
Свойства медиан равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
Чему равна биссектриса в равнобедренном треугольнике?
Свойство 1 В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой. AB = BC, т.
Чему равна медиана в равнобедренном треугольнике?
Свойство 1 Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена. BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
Как пересекаются высоты в равнобедренном треугольнике?
Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Как найти площадь равнобедренного треугольника по двум сторонам?
Формула площади равнобедренного треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его сторону и основание. …
- Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними – это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами
Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
Формула косинуса:
- a² = b² + c² – 2b.c.cosα
- b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
- c² = a² + b² – 2a.b.cosγ
Например:
Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.
Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:
b = 12 см
c = 8 см
cos α = cos 120º = – 1/2 (это значение можно найти в таблицах)
a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)
a² = 144 + 64 – (–96)
a² = 304
a = √304
a ≈ 17,436
Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.
Следствия
Следствие косинуса угла треугольника
При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.
Формула:
Либо
Либо
Например:
сторона c = 6
сторона b = 7
сторона a = 8
Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.
Решение:
Будем использовать эту версию формулы:
cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8
= (36 + 64 − 49) / 96
= 51 / 96
= 0,53125
= cos¯¹(0,53125)
≈ 57,9°
Следствие верхней части формулы cos α
Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):
- b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
- b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
- b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.
Доказательство теоремы косинусов
Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C
1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.
2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:
DA = b − a.cosC
3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:
sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.
4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²
5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²
6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C
6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC
7. Выносим за скобки “a²”: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC
8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C
Q.E.D.
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике:
- две его стороны равны;
- углы при основании равны.
Рассмотрим пример:
Используем формулу теоремы косинусов
a² = b² + c² – 2b.c.cosα
Подставляем все известные:
x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º
x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)
x² ≈ √226,048
x ≈ 15,035.
Теорема синусов
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:
Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.
Стандартные обозначения углов и сторон треугольника
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Формулировка[править | править код]
Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне ,
справедливо соотношение:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]
Доказательства[править | править код]
Классическое доказательство
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:
- ,
откуда
- .
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
или
- .
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Выражения для сторон b и c:
- .
Доказательство через координаты
Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.
Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
Так как
(основное тригонометрическое тождество), то
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.
Доказательство через векторы
Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
где a, b, c — длины соответствующих векторов
Следствия[править | править код]
- Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
- В частности,
- Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
- ,
- .
Доказательство
Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:
- ,
- .
Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.
Для других углов[править | править код]
Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:
Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:
История[править | править код]
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.
Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.
В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Вариации и обобщения[править | править код]
- Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
- Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
- Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]
Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:
Теорема.
Для четырёхугольников[править | править код]
Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:
- , где — угол между прямыми AB и CD.
Или иначе:
- Формула справедлива и для тетраэдра, под подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
- С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами и зная все ребра тетраэдра:
- Где и , и пары скрещивающихся ребер тетраэдра.
Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]
Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:
Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:
- Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
- Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.
Симплексы[править | править код]
при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится или .
A — угол между гранями и , -грань, находящаяся против вершины i,– расстояние между вершинами i и j.
См. также[править | править код]
- Решение треугольников
- Скалярное произведение
- Соотношение Бретшнайдера
- Теорема косинусов для трёхгранного угла
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Сферическая теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема синусов
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
Примечания[править | править код]
- ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
- ↑ 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
- ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991
Литература[править | править код]
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.