Как найти cos2a формула

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2α, используя тригонометрические функции угла α. Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид nα записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin nαимеет то же значение, что и sin (nα). При обозначении sinn α имеем аналогичную запись(sin α)n. Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n.

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2α=2·sin α·cos αcos 2α=cos2 α-sin2 α,   cos 2α=1-2·sin2 α, cos 2α=2·cos2 α-1tg 2α=2·tg α1-tg2 αctg 2α-ctg2 α-12·ctg α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α, где tg 2α имеет смысл, то есть α≠π4+π2·z, z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α, где ctg 2α определен на α≠π2·z.

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin (α+β)=sin α ·cos β+cos α·sin βи косинуса суммы cos (α+β)=cos α ·cos β-sin α·sin β. Предположим, что β=α, тогда получим, что

sin (α+α)=sin α ·cos α+cos α·sin α=2·sin α·cos α и cos (α+α)=cos α ·cos α-sin α·sin α=cos2α-sin2α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2α= 2·sin α·cos α и cos 2α=cos2α-sin2α.

Остальные формулы cos 2α=1-2·sin2 α и cos 2α=2·cos2 α-1 приводят к виду cos 2α=cos 2α=cos2 α-sin2 α, при замене 1 на сумму квадратов по основному тождествуsin2 α+cos2 α=1. Получаем, что sin2 α+cos2 α=1.  Так 1-2·sin2 α=sin2 α+cos2 α-2·sin2 α=cos2 α-sin2 α и 2·cos2 α-1=2·cos2 α-(sin2 α+ cos2 α)=cos2 α-sin2 α.

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства tg 2α=sin 2αcos 2α и ctg 2α=cos 2αsin 2α. После преобразования получим, что tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α и ctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos α. Разделим выражение на cos2 α, где cos2 α≠0 с любым значением α, когда tg α определен. Другое выражение поделим на sin2 α, где sin2 α≠0 с любыми значениями α, когда ctg 2α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α=2·sin α·cos αcos2 αcos2 α-sin2 αcos2 α=2·sin2 αcos2 α1-sin2 αcos2 α=2·tg α1-tg2 αctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos=cos2 α-sin2 αsin2 α2·sin α·cos αsin2 α=cos2 αsin2 α-12·cos αsin α=ctg2 α-12·ctg α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2α для α=30°, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α=30°, тогда 2α=60°. Проверим значения sin 60°=2·sin 30°·cos 30°, cos 60°=cos2 30°-sin2 30°.

Подставив значения, получим tg 60°= 2·tg 30°1-tg2 30° и ctg 60°=ctg230°-12·ctg 30°..

Известно, что sin 30°=12, cos 30°=32, tg 30°=33, ctg 30°=3 и

sin 60°=32, cos 60°=12, tg 60°=3, ctg 60°=33, тогда отсюда видим, что

2·sin 30°·cos 30°=2·12·32=32, cos230°-sin230°=(32)2-(12)2=12,2·tg 30°1-tg230°=2·321-(33)=3 

и  ctg230°-12·ctg 30°=(3)2-12·3=33

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α=30° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2α. В примере допускается применение формулы двойного угла 3π5. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α=3π5:2=3π10. Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь видcos3π5=cos23π10-sin23π10.

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3α=sin(2α+α)=sin 2α·cos α+cos 2α·sin α=2·sin α·cosα·cos α+ (cos2 α-sin2α)·sin α==3·sin α·cos2α-sin3 α

При замене cos2α на 1-sin2α из формулы sin 3α=3·sin α·cos2α-sin3α, она будет иметь вид sin 3α=3·sin α-4·sin3 α.

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3α=cos (2α+α)=cos 2α·cos α-sin 2α·sin α==(cos2 α-sin2 α)·cos α-2·sin α·cos α·sin α=cos3α-3·sin2α·cos α

При замене sin2 α на 1-cos2 α получим формулу вида cos 3α=-3·cos α+4·cos3 α.

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

tg 3α=sin 3αcos 3α=3·sin α·cos2 α-sin3 αcos3α-3·sin2α·cos α=3·sin α·cos2α-sin3αcos3αcos3α-3·sin2α·cos αcos3α==3·sin αcos α-sin3αcos3α1-3·sin2 αcos2 α=3·tg α-tg3α1-3·tg2α;ctg 3α=cos 3αsin 3α=cos3 α-3·sin2α·cosα3·sin α·cos2α-sin3α=cos3α-3·sin2α·cosαsin3α3·sin α·cos2α-sin3αsin3α==cos3αsin3α-3·cos αsin α3·cos2αsin2α-1=ctg3α-3·ctgα3·ctg2α-1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4α как 2·2α, тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5α в виде 3α+2α, что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

$$sin^2x+cos^2x=1$$

---

$$tgx= frac{sinx}{cosx}$$

---

$$ctgx= frac{cosx}{sinx}$$

---

$$tgxctgx=1$$

---

$$tg^2x+1= frac{1}{cos^2x}$$

---

$$ctg^2x+1= frac{1}{sin^2x}$$

Формулы двойного аргумента (угла)

$$sin2x=2cosxsinx$$

---

begin{align}
sin2x &=frac{2tgx}{1+tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\
&= frac{2}{tgx+ctgx}
end{align}

---

begin{align}
cos2x & = cos^2x-sin^2x\
&= 2cos^2x-1\
&= 1-2sin^2x
end{align}

---

begin{align}
cos2x & = frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\
&= frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\
&= frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx}
end{align}

---

begin{align}
tg2x & = frac{2tgx}{1-tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{2}{ctgx-tgx}
end{align}

---

begin{align}
ctg2x & = frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{ctgx-tgx}{2}
end{align}

Формулы тройного аргумента (угла)

$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$

---

$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$

---

$$tg3x= frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$

---

$$ctg3x= frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$

Формулы половинного аргумента (угла)

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

---

begin{align}
tg frac{x}{2} & = frac{1-cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1+cosx}
end{align}

---

begin{align}
ctg frac{x}{2} & = frac{1+cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1-cosx}
end{align}

Формулы квадратов тригонометрических функций

$$sin^2x= frac{1-cos2x}{2}$$

---

$$cos^2x= frac{1+cos2x}{2}$$

---

$$tg^2x= frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$

---

$$ctg^2x= frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$

---

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

Формулы кубов тригонометрических функций

$$sin^3x= frac{3sinx-sin3x}{4}$$

---

$$cos^3x= frac{3cosx+cos3x}{4}$$

---

$$tg^3x= frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$

---

$$ctg^3x= frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

$$sin^4x= frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$

---

$$cos^4x= frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$$

---

$$cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta$$

---

$$tg(alpha + beta)= frac{tg alpha + tg beta}{1 – tg alpha tg beta}$$

---

$$ctg(alpha + beta)= frac{ctg alpha ctg beta -1}{ctg alpha + ctg beta}$$

---

$$sin(alpha – beta) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta$$

---

$$cos(alpha – beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$$

---

$$tg(alpha – beta)= frac{tg alpha – tg beta}{1 + tg alpha tg beta}$$

---

$$ctg(alpha – beta)= frac{ctg alpha ctg beta +1}{ctg alpha – ctg beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sinalpha + sinbeta = 2sin frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha – beta }{2}$$

---

$$cosalpha + cosbeta = 2cos frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha – beta }{2}$$

---

$$tgalpha + tgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$ctgalpha + ctgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1+sin2alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sinalpha – sinbeta = 2sin frac{alpha – beta }{2} cdot cos frac{alpha + beta }{2}$$

---

$$cosalpha – cosbeta = -2sin frac{alpha + beta }{2} cdot sin frac{alpha – beta }{2}$$

---

$$tgalpha – tgbeta = frac{sin(alpha – beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$ctgalpha – ctgbeta = – frac{sin(alpha – beta) }{sin alpha sin beta}$$

---

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1-sin2alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sinalpha cdot sinbeta = frac{cos(alpha – beta)-cos(alpha + beta)}{2}$$

---

$$sinalpha cdot cosbeta = frac{sin(alpha – beta)+sin(alpha + beta)}{2}$$

---

$$cosalpha cdot cosbeta = frac{cos(alpha – beta)+cos(alpha + beta)}{2}$$

---

begin{align}
tgalpha cdot tgbeta & = frac{cos(alpha – beta)-cos(alpha + beta)}{cos(alpha – beta)+cos(alpha + beta)}\
&= frac{tgalpha + tgbeta}{ctgalpha + ctgbeta}
end{align}

---

begin{align}
ctgalpha cdot ctgbeta & = frac{cos(alpha – beta)+cos(alpha + beta)}{cos(alpha – beta)-cos(alpha + beta)}\
&= frac{ctgalpha + ctgbeta}{tgalpha + tgbeta}
end{align}

---

$$tgalpha cdot ctgbeta = frac{sin(alpha – beta)+sin(alpha + beta)}{sin(alpha + beta)-sin(alpha – beta)}$$

На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

tg alpha = dfrac {sin alpha}{ cos alpha} = dfrac{1}{ctg alpha}

---

ctg alpha = dfrac {cos alpha}{ sin alpha} = dfrac{1}{tg alpha}

---

sin ^2 alpha + cos ^2 alpha = 1

---

1+tg^2alpha=dfrac{1}{cos^2alpha}

---

1+ctg^2alpha=dfrac{1}{sin^2alpha}

---

tgalpha cdot ctgalpha=1

Формулы двойного угла (аргумента)

sin(2alpha)=2 cdot cos alpha cdot sin alpha

---

sin(2alpha)=dfrac{2 cdot tg alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{1+ctg ^2 alpha}=dfrac{2}{tg alpha + ctg alpha}

---

cos(2alpha)=cos ^2 alpha- sin ^2 alpha = 2 cdot cos ^2 alpha- 1 = 1- 2 cdot sin ^2 alpha

---

cos(2alpha)=dfrac{1 -tg ^2 alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{ctg ^2 alpha- 1}{ctg ^2 alpha +1}=dfrac{ctg alpha-tg alpha}{ctg alpha + tg alpha}

---

tg(2alpha) = dfrac{2 cdot tg alpha}{1-tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{ctg ^2 alpha- 1}=dfrac{2}{ctg alpha- tg alpha}

---

ctg(2alpha) = dfrac{ctg ^2 alpha-1}{2 cdot ctg alpha}=dfrac{ctg alpha- tg alpha}{2}

Формулы тройного угла (аргумента)

sin(3alpha)=3 cdot sin alpha- 4 cdot sin ^3 alpha

---

cos(3alpha)= 4 cdot cos ^3 alpha- 3 cdot cos alpha

---

tg(3alpha)= dfrac{3 cdot tg alpha- tg ^3 alpha}{1-3 cdot tg ^2 alpha}

---

ctg(3alpha)= dfrac{ctg ^3 alpha- 3 cdot ctg alpha}{3 cdot ctg ^2 alpha -1}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень

sin ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{2}

---

cos ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{2}

---

tg ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{1+cos(2alpha)}

---

ctg ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{1-cos(2alpha)}

---

(sin alpha- cos alpha)^2=1-sin(2 alpha)

---

(sin alpha+ cos alpha)^2=1+sin(2 alpha)

Третья степень

sin ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin(alpha)-sin(3 alpha)}{4}

---

cos ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos(alpha)+cos(3 alpha)}{4}

---

tg ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}

---

ctg ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}

Четвёртая степень

sin ^4 alpha = dfrac{3-4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}

---

cos ^4 alpha = dfrac{3+4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}

---

Пятая степень

sin ^5 alpha = dfrac{10 cdot sin(alpha)-5 cdot sin(3 alpha)+sin(5 alpha)}{16}

---

cos ^5 alpha = dfrac{10 cdot cos(alpha)+5 cdot cos(3 alpha)+cos(5 alpha)}{16}

Формулы половинного угла (аргумента)

sin Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1-cos alpha}{2}}

---

cos Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1+cos alpha}{2}}

---

tg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1-cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1+cos alpha}

---

ctg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1-cos alpha}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

sin ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{2}

---

cos ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{2}

---

tg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{1+cos alpha}

---

ctg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{1-cos alpha}

Формулы сложения аргументов

sin(alpha + beta)=sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta

---

cos(alpha + beta)=cos alpha cdot cos beta- sin alpha cdot sin beta

---

tg(alpha + beta)= dfrac{tg alpha + tg beta}{1-tg alpha cdot tg beta}

---

ctg(alpha + beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta-1}{ctg alpha + ctg beta}

Формулы вычитания аргументов

sin(alpha- beta)=sin alpha cdot cos beta- cos alpha cdot sin beta

---

cos(alpha- beta)=cos alpha cdot cos beta+ sin alpha cdot sin beta

---

tg(alpha- beta)= dfrac{tg alpha- tg beta}{1+tg alpha cdot tg beta}

---

ctg(alpha- beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta+1}{ctg beta – ctg alpha}

Формулы суммы тригонометрических функций

sin alpha+ sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

cos alpha+ cos beta=2 cdot cos big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

tg alpha + tg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

ctg alpha + ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

sin (alpha)+cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha+ dfrac{pi}{4} Big)

Формулы разности тригонометрических функций

sin alpha- sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha+ beta}{2} big)

---

cos alpha- cos beta=-2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

tg alpha- tg beta = dfrac{sin(alpha- beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

ctg alpha- ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{sin alpha cdot sin beta}

---

sin (alpha)-cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha- dfrac{pi}{4} Big)

Формулы произведения тригонометрических функций

sin alpha cdot sin beta = dfrac{cos (alpha- beta)-cos(alpha + beta)}{2}

---

sin alpha cdot cos beta = dfrac{sin (alpha- beta)+sin(alpha + beta)}{2}

---

cos alpha cdot cos beta = dfrac{cos (alpha- beta)+cos(alpha + beta)}{2}

---

tg alpha cdot tg beta = dfrac{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}=dfrac{tg alpha + tg beta}{ctg alpha + ctg beta}

---

ctg alpha cdot ctg beta = dfrac{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}=dfrac{ctg alpha + ctg beta}{tg alpha + tg beta}

---

tg alpha cdot ctg beta = dfrac{sin(alpha- beta)+ sin(alpha+beta)}{sin(alpha+ beta)- sin(alpha-beta)}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

sin ^2 (alpha) cdot cos ^2 (alpha) = dfrac{1-cos(4 alpha)}{8}

---

sin ^3 (alpha) cdot cos ^3 (alpha) = dfrac{3 cdot sin(2 alpha)- sin(6 alpha)}{32}

---

sin ^4 (alpha) cdot cos ^4 (alpha) = dfrac{3-4 cdot cos(4 alpha)+ cos(8 alpha)}{128}

---

sin ^5 (alpha) cdot cos ^5 (alpha) = dfrac{10 cdot sin (2 alpha)-5 cdot sin(6 alpha)+sin (10 alpha)}{512}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Лидеры категории

М.И.

Искусственный Интеллект

Y.Nine

Искусственный Интеллект

•••