Как найти cosa через tga

Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)

(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения , заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите (5sin⁡,α), если (cos,⁡α=frac>) и (α∈(frac;2π)).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

Подставим вместо косинуса его значение:

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt) и (x_2=-sqrt). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac) , а может (-) (frac) . И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac;2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac;2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sin,⁡α=-frac) т.е. (5sin,⁡α=5cdot(-frac)=-1).

Пример.Найдите (tg,α), если (cos,⁡α=) (frac>) и (α∈(frac;2π)).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=) (frac) ;
— сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=) (frac) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Пример. Известно, что (tg,α=-frac) и (frac<α<π). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла (α).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac;π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,⁡α=-) (frac) .

Осталось найти синус:

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=) (frac) :

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение (frac) (-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.

Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.

Здравствуйте!
Помогите разобраться как найти cos, tg и ctg, если известен только sin.
Спасибо!

Разберемся, как найти cos, tg и ctg, если известен только sin.
Начнем с косинуса.
Синус и косинус связывает много тригонометрических тождеств, но наиболее часто используется и является зачастую самым удобным основное тригонометрическое тождество. С его помощью можно найти квадрат косинуса или сам косинус. Приведем вариант тождества для вычисления косинуса через синус:

Так можно найти квадрат косинуса:

Так можно найти косинус:

Рассмотрим тангенс.
Поскольку тангенс можно найти через отношение синуса на косинус, а косинус можно выразить через синус, то получим следующую формулу:

с котангенсом ситуация похожа на тангенс, только котангенс равен отношению косинуса к синусу, поскольку котангенс является обратной функцией к тангенсу. Получим соответственно обратную формулу и для его нахождения по сравнению с тангенсом:

Есть, конечно же, и другие формулы для вычисления значений заданных функций через синус, но представленные выше являются основными, тем более их можно не заучивать наизусть, а при необходимости вывести самостоятельно. Как видите, для этого достаточно знать только одну формулу и основное свойство функций тангенс и котангенс.

Как найти синус и косинус через тангенс?

Для того, чтобы найти значение косинуса по известному тангенсу, нужно воспользоваться одним из тригонометрических тождеств.

Сумма квадрата тангенса и единицы равна отношению единицы и квадрата косинуса.

Отсюда можно выразить косинус:

Наличие знака ± связано с тем, что в одних четвертях косинус угла может быть положительным, а в других — отрицательным.

То есть в условии задачи должна оговариваться четверть, в которой находится угол.

tgα = 1/√3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём косинус: cosα = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Итак, если тангенс равен 1/√3, то косинус равен √3/2.

Нетрудно догадаться, что мы имели дело с углом 30°.

Синус через тангенс

Здесь также понадобятся тригонометрические тождества.

Можно пойти двумя путями:

1) Выразить котангенс через тангенс и найти синус по котангенсу.

2) Найти косинус по тангенсу, а затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

tgα = √3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём котангенс: ctga = 1 / tgα = 1 / √3.

Теперь найдём синус: sina = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

cosa = √ ( 1 / (1 + 3)) = √ (1/4) = 1/2.

sina = √ (1 — 1/4) = √ (3/4) = √3/2.

Таким образом, если тангенс равен √3, то синус равен √3/2.

Здесь также понятно, что это угол 60°.

В алгебре и геометрии очень часто при решении задач используются тригонометрические формулы, которые чаще называют тригонометрическими тождествами. Из любого тригонометрического тождества несложно вывести новую формулу, необходимую для нахождения одной из величин, входящих в его состав.

Для того, чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, возьмем тригонометрическое тождество:

Из данного тождества выводим новую формулу для вычисления косинуса:

Не забываем, что косинус может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от четверти нахождения угла.

Для вычисления синуса угла через его тангенс можно действовать по-разному.

Например, вычислить по выведенной выше формуле косинус угла, а затем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством и вывести из него формулу для вычисления синуса угла:

довольно часто при решении уравнений и упрощении тригонометрических выражений требуется найти синус или косинус через тангенс.

Для этого существуют специальные формулы. Итак, для нахождения косинуса нужно извлечь квадратный корень из дроби в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

А вот для того, чтобы найти синус нужно извлечь квадратный корень из выражения один минус дробь

в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

Но нужно обратить на знак синуса и косинуса, в зависимости от того в какой четверти находится угол. И если синус находим, то в 3 и 4 четвертях он будет отрицателен, а если косинус, то во второй и третьей.