Как найти cosb по теореме косинусов

Как найти cosb по теореме косинусов

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне a,
справедливо соотношение:

{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Theorem of cosin.svg

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD=bcos alpha ,

откуда

DB=c-bcos alpha .

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)
h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}

или

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha .

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma .

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}
Так как
cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1 (основное тригонометрическое тождество), то
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
{displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}
В частности,
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2),
a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2).

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2),
1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2).

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

{displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }
{displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

{displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}
{displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}
{displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
  • Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
  • Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
    AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть leftVert {vec {a}}rightVert ={sqrt {({vec {a}},{vec {a}})}}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество {overline {AD}}={overline {AB}}+{overline {BC}}+{overline {CD}} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C, где omega  — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
{displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами {displaystyle alpha ,gamma } и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

{displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

{displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_{i} и S_{j}, S_{i} -грань, находящаяся против вершины i,d_{ij}– расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

  • Решение треугольников
  • Скалярное произведение
  • Соотношение Бретшнайдера
  • Теорема косинусов для трёхгранного угла
  • Теорема о проекциях
  • Теорема Пифагора
  • Сферическая теорема косинусов
  • Теорема котангенсов
  • Теорема синусов
  • Теорема тангенсов
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. ↑ 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.
Источник

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса:

  • a² = b² + c² – 2b.c.cosα
  • b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
  • c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Теорема косинусов, Треугольник ABC, углы α, β, γ у соответствующих точек Формула косинуса пример

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = – 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

cos(A)=(b² + c² -a²)/2bc

Либо

cos(B)=(c² + a² -b²)/2ca

Либо

cos(C)=(a² + b² -c²)/2ab

Например:

Теорема косинусов, Треугольник ABC, углы α, β, γ у соответствующих точек, стороны AB - 6см, AC - 7см, BC - 8см

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos(B)=(c² + a² -b²)/2ca

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

  • b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
  • b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
  • b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Доказательство теоремы косинусов, Треугольник ABC, из B проведена линия до AC, показано точкой D, так, что угол D прямой

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки “a²”: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

  • две его стороны равны;
  • углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Теорема косинусов, равнобедренный Треугольник ABC, ∠B = 140º, стороны AB = BC = 8см, AC-?

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

(a/sinα)=(b/sinβ)=(c/sinγ)

Теорема косинусов, Треугольник ABC, углы α, β, γ у соответствующих точек, Теорема синусов

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Источник

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

  • Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 – (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 – (b × cos α) 2 = a 2 – (c – b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 – 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 – 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Косинус b решение треугольников

Ключевые слова: треугольник, угол, косинус, прямоугольный треугольник, теорема косинусов, теорема синусов, решение треугольников

Решение прямоугольных треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем

Решение произвольных треугольников

Для решения произвольных треугольников существует теорема косинусов и теорема синусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

См. также:
Площадь треугольника, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник

Решение треугольников

Корзина

Треугольник ΔABC,
a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,

A = CAB, B = ABC, C = BCA − углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле “Текст с картинки”. Нажмите “Решить”.

Теоретический урок для решения задач по теме “Решение треугольников”. Бесплатное обучение.

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:

  • – задачи 76 – 77 представлены с примерами решений и ответами;
  • – онлайн задания, как найти решение треугольника через синус и косинус угла, рассматриваются в тестах 78 – 81;
  • – решения, как найти угол, сторону треугольника, объясняются на данном уроке в контрольных работах 82 – 85.

Задача 76.

Дано:

стороны треугольника a=10, b=7

Угол A = 60°

Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника B, C, сторону c

, получаем выражение

Sin B = = = = ≈ 0,6062

Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” Владимира Модестовича Брадиса)

B = 37°19’

Тогда C = 180° – (60° + 37°19’) = 82°41’

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с= ≈ 11

Ответ: B = 37°19’; C = 82°41’; c ≈ 11

Задача 77.

Треугольник ΔABC, стороны треугольника

C = 54°

Найти: Угол по сторонам треугольника A, B, сторону c

Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC – равнобедренный.

Тогда A = B = (180° – 54°): 2 = 63°

Используя теорему синусов

, получаем равенство

с = = ≈ 5,7

Ответ: A = B = 63°; с ≈ 5,7

Решение треугольников через синус и косинус угла

Задача 78.

A = 60°

B = 40°

Найти: угол треугольника C, стороны a,b

C = 180° – (40° + 60°) = 80°

Используя теорему синусов

, получаем выражение

a = ≈ 12

b = ≈ 9

Ответ: C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9

Задача 79.

Дано:

Найти: углы треугольника A, B, C по сторонам

, находим косинус угла B

Cos B = = = = ≈ 0,0998263

Используя тригонометрические таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” В. М. Брадиса), находим значение угла B

B = 84°16’

Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C

Cos C = = =

= ≈ 0,7562785

Используя тригонометрические таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” В. М. Брадиса), находим значение угла C

C = 40°52’

Тогда угол A равен A =180° – (40°52’ + 84°16’) = 54°52’

Ответ: A = 54°52’ ; C = 40°52’ ; B = 84°16’

Задача 80.

A = 30°

C = 75°

Найти: угол B, стороны треугольника a,c

B = 180° – (30° + 75°) = 75°

Т.к. два угла в треугольнике равны B = C = 75°, тогда треугольник ΔABC – равнобедренный.

Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5

Используя теорему синусов

,

находим сторону BC=a

a = ≈ 2,3

Ответ: B = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5

Задача 81.

Треугольник ΔABC, длины трех его сторон

1) a=5 , b=c=4

Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным

1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC – равнобедренный, и, значит, остроугольный.

2) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла A

Cos A = = =0

Тогда угол A равен A = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC – прямоугольный.

3) Используя формулу теоремы косинусов

, находим косинус угла B

Cos B = = = – Дано:

Треугольник ΔABC, два угла и сторона

A = 45°

C = 30°

Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?

Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий угол B = 180° – (30° + 45°) = 105°

Найдем угол DAB и рассмотрим ΔADC

DAB = 180° – (90° + 45 + 30°) = 15°

DAC = 15° + 45° = 60°

Используя теорему синусов

, находим сторону AC

AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)

Используя теорему синусов

, находим сторону AB

AB = ≈ 3 (м)

Используя теорему синусов

, находим сторону BC

BC = ≈ 4 (м)

Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.

Задача 83.

Три стороны a = 14, b = 18,

все углы треугольника ΔABC = ?

Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов

Cos C = , находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,24

Используя тригонометрические таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 76°07’

Используя формулу теоремы косинусов

Cos B = , находим косинус угла B

Cos B = = = ≈ 0,4857

Используя тригонометрические таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B

B ≈ 60,941 ≈ 60°57’

Следовательно, A = 180° – (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’

Ответ: A ≈ 42°56’ ; B ≈ 60°57’ ; C ≈ 76°07’

Задача 84.

Треугольник ΔEKP, сторона и два угла

P = 40°

K = 25°

Найти: сторону треугольника PK = ?

Используя теорему синусов

, находим сторону PK

E = 180° – (40° + 25°) =115°

Sin 115° = Sin (180° – 65°) = Sin 65°

Тогда

PK = ≈ 1,61

Задача 85.

Треугольник ΔABC, две стороны и угол

A = 50°

Найти: решить треугольник – определить значение стороны и двух углов

(a, B, C ) = ?

Используя формулу теоремы косинусов

, получаем

a = = ≈ 13,8

Используя формулу теоремы косинусов

Cos C = , находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,7457

Используя тригонометрические таблицы (“Четырехзначные математические таблицы” В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

C ≈ 41°47’

Следовательно, B = 180° – (50° + 41°47’) ≈ 88°13’

Ответ: a ≈ 13,8 ; B ≈ 88°13’ ; C ≈ 41°47’

[spoiler title=”источники:”]

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=75

http://www.petrovskov.ru/uchebniki/geometriya-9/reshenie-treugolnikov.html

[/spoiler]

Источник

Содержание:

  • Формула теоремы косинусов
  • Следствие из теоремы косинусов
  • Примеры решения задач

Формула теоремы косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c cos alpha$

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги “Начал” древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 – 1476), назвав её “теоремой Альбатегния” (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 – 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

  1. Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

    $$cos alpha=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$$

  2. Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, то угол $alpha$ – острый;

    Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, то угол $alpha$ – прямой;

    Если $b^{2}+c^{2}-a^{2} lt 0$, то угол $alpha$ – тупой.

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

$$cos angle A C B=frac{A C^{2}+B C^{2}-A B^{2}}{2 cdot A C cdot B C}=frac{3^{2}+5^{2}-6^{2}}{2 cdot 3 cdot 5}=$$

$$=frac{9+25-36}{30}=-frac{2}{30}=-frac{1}{15}$$

Тогда

$$angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$$

Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^{circ}$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

$$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$

$$=17^{2}+14^{2}-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^{circ}=289+196-238=24$$

Тогда

$$A B=sqrt{247}$$

Ответ. $A B=sqrt{247}$

Источник

Учебник

Геометрия, 9 класс

Теорема косинусов

Теорема косинусов    

Если в треугольнике даны   две стороны и угол между ними, то такой треугольник один, единственный.   Т.е. любой другой треугольник с такими данными будет в точности равен ему, по   2-му признаку равенства   треугольников.    Ну, раз единственный и неповторимый, то его третья   сторона   должна   быть однозначно   определяема.

_____________________________________________________________________________________

Теорема косинусов    Квадрат стороны треугольника      равен     сумме квадратов двух
   
других сторон минус     удвоенное произведение этих сторон   на    косинус угла между ними.
      
$AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos ACB$

_____________________________________________________________________________________

Факты:

  • Теорема косинусов позволяет найти косинус любого угла по трем известным сторонам, а значит,   и сам угол.
  • Если из трех сторон и одного   угла известны три величины, то четвертое неизвестное можно   всегда вычислить.
  • Теорема косинусов   дает возможность   вычислять   медианы треугольника,   применяя теорему к малым треугольникам.
  • Для прямоугольного треугольника теорема косинусов    “упрощается”   до теоремы Пифагора       $AB^2=AC^2+BC^2$.

       

А если угол тупой? Что означает тригонометрия больших углов?

$cos130=-cos50$,    $sin115=sin65$ ,   $tg135=-tg45$.    

Связь   тригонометрии   тупых   углов    $90 < alpha < 180$    с    тригонометрией    острых     выражается   формулами:      
     $sinalpha=sinleft(180-alpharight)$           $cosalpha=-cosleft(180-alpharight)$        $tgalpha=-tgleft(180-alpharight)$        $ctgalpha=-ctgleft(180-alpharight)$

Если $b^2+c^2-a^2>0$, то $alpha$ – острый;     если $b^2+c^2-a^2=0$, то   $alpha$ – прямой;    если   $b^2+c^2-a^2<0$ , то угол $alpha$ – тупой.

Расчет треугольников по теореме косинусов    

Задача 1:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $7sqrt{3}$ см,   сторона   $BC$ равна $1$ см ,   угол $C$ = $150^o$ .          Найти   длину стороны   $AB$.

  • Решение:          Применим   теорему косинусов      $AB^2=left(7sqrt{3}right)^2+1-14sqrt{3}cos150$ .
  • Тупой     угол    в $150^o$      выразим     через     острый :       $cos150=cosleft(180-30right)=-cos30=-frac{sqrt{3}}{2}$.         $Rightarrow$      
  • $AB^2=147+1-28sqrt{3}left(-frac{sqrt{3}}{2}right)$      ,         $AB^2= 148 + 21 = 169$           $Rightarrow$                             Ответ:     $AB = 13$

Задача 2:        В треугольнике   $ABC$   сторона   $AC$ равна   $17$ см,   сторона   $BC$ равна $14$ см ,   угол $ACB$ = $60^o$ .
                          Найти   длину третьей стороны   .

  • Решение:          Из   теоремы косинусов для угла    $angle ACB$ :     $Rightarrow$             $AB^2=17^2+14^2-2cdot17cdot14cdotcos60$                 $Rightarrow$   
  • квадрат стороны      $AB^2= 289+196-238 = 247$           $Rightarrow$           Ответ:     $AB = sqrt{247}$

Задача 3:        В   $bigtriangleup ABC$   известны   $AC=3$   , $BC=5$ см,    $AB=6$ .
     Найти   косинус   угла   $C$   и медиану    $BM$   .

  • Решение:          Из   теоремы   косинусов    для стороны    $AB$ выразим косинус требуемого угла $ACB$:   
  • $cos ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=frac{9+25-36}{30}=-frac{1}{15}$   .      Отрицательное значение косинуса говорит о том, что это тупой   угол $>90^o$
  • Для нахождения    медианы   $ВМ$    распишем     еще раз теорему косинусов, но уже для треугольника     $ВМС$   от угла $С$:
  • $BM^2=BC^2+MC^2-2cdot BCcdot MCcdotcos C$    учтем,   что     медиана   делит сторону   пополам    $MC=frac{AC}{2}=1,5$
  • Подставим     $BM^2=25+2,25-2cdot5cdot1.5cdotleft(-frac{1}{15}right)=27,25+1=28,25$,     получим      $BM=sqrt{28,25}=0,5sqrt{113}$    
  • Ответ:          $cos ACB=-frac{1}{15}$        ,    $BM=0,5sqrt{113}$     .

Задача 4:        В прямоугольном   $bigtriangleup ABC$   известны   $AB=9$ , $BC=3$ см ;    $M$ делит   $AB$ :      $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$.
                          Найти    $CM$   .

  • Решение:         По свойству     аддитивности    отрезка     $AM + MB = 9$ ,   по условию      $frac{AM}{MB}=frac{1}{2}$      $Rightarrow$    $AM = 3$ ,    $MB = 6$
  • Из прямоугольного   $bigtriangleup ABC$    по определению косинуса угла:       $cos B=frac{BC}{AB}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$    .
  • Из     $bigtriangleup CMB$       по теореме косинусов найдем   $CM$ :    $CM^2=CB^2+MB^2-2cdot CBcdot MBcdotcos B$       , подставим   числа
  • $CM^2=3^2+6^2-2cdot3cdot6cdotfrac{1}{3}=33$      $Rightarrow$    требуемый   отрезок     $CM=sqrt{33}$      .             Ответ:          $CM=sqrt{33}$

Задача 5:        Одна из сторон треугольника   больше   другой   на   $8$    см, а угол между ними $120^o$ .
                          Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны    $28$ см   .

  • Решение:     Метод введения неизвестного:    Обозначим   одну   из   сторон   треугольника как   $x$ ,
  • выразим нужные величины через х и составим уравнение:    величина   другой стороны будет равна    $x+8$ см.
  • По теореме косинусов:    $28^2=x^2+left(x+8right)^2-2xcdotleft(x+8right)cdotcos120$ ,   где      $cos120=cosleft(180-60right)=-cosleft(60right)=-0,5$,
  • Итак, составили уравнение    $784=x^2+x^2+16x+64-2xleft(x+8right)left(-0,5right)$               $Rightarrow$          $3x^2+24x+720=0$
  • решим   квадратное уравнение : один корень отрицательный – не нужен ,    другой     $x=frac{-24+96}{6}=12$        
  • Периметр    $P=12+left(12+8right)+28=60$.             Ответ:           $60$.

Задача 6:       В     $bigtriangleup ABC$   известны   стороны    $a=15$ , $b=18$,   $c=25$ .          Найти:   углы   $α$,    $β$,    $γ$   (приближённо) .

  • Решение:         Углы    $α$    и    $β$     найдём по теореме косинусов для соответствующих углов.            
  • $cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , вычисляем      $cosalpha=frac{18^2+25^2-15^2}{2cdot18cdot25}approx0,8$   ,   привлекаем калькулятор: $alphaapprox36,4^o$    ;
  • $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ , вычисляем      $cosbeta=frac{15^2+25^2-18^2}{2cdot15cdot25}approx0,7$   ,   …. калькулятор: $betaapprox45,3^o$       .
  • Найдём   $γ$    по теореме о 180 = сумма углов:    $gamma=180-left(alpha+betaright)$    и    $gammaapprox180-left(36,4+45,3right)approx98,3$   .
  • Ответ:                 $alphaapprox36,4^o$     ,      $betaapprox45,3^o$       ,      $gammaapprox98,3$

          

Задача 7:         В     $bigtriangleup ABC$        $AB=c=3$ м,      $AC = b = 6$ м.   ,    $alpha=60$   .       Найти:   сторону    $a = BC$   ,     углы     $β$,    $γ$    .

  • Решение:           Треугольник   задан    двумя   сторонами   и   углом между ними,    следовательно,   он задан полностью.               
  • По   теореме   косинусов      $a^2=b^2+c^2-2bccdotcosalpha$          найдём сторону     $a$:      
  • $a^2=6^2+3^2-2cdot6cdot3cdotcos60=36+9-36cdotfrac{1}{2}=27$          $Rightarrow$     $a=3sqrt{3}$ .
  • По теореме   косинусов   найдем и    угол    $β$ :     $cosbeta=frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$      ,     $cosbeta=frac{27+9-36}{18sqrt{3}}=0$     $Rightarrow$      $β=90$ .
  • Значит $bigtriangleup ABC$   –    прямоугольный   ,      тогда угол    $γ=90-α$     .          Ответ:    $a=3sqrt{3}$   ,    $β = 90$     ,    $γ=30$   .

Задача 8:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти биссектрису, проведенную к стороне, равной 12.

  • дано: $AB=11$   ,     $BC=12$    ,   $AC=13$               Найти биссектрису      $AK=?$ .
  • Решение:     Найдем косинус угла из теоремы косинусов :     $AB^2=AC^2+BC^2-2cdot ACcdot BCcdotcos angle ACB$                     
  • Выразим косинус       $cos angle ACB=frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}$ ,    $cos angle ACB=frac{13^2+12^2-11^2}{2cdot 13cdot 12}=frac{19}{39}$
  • Найдем отрезки   $BK$ ,   $KC$    на которые биссектриса делит сторону … по теореме биссектрис         $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$
  • Система уравнений: $frac{BK}{KC}=frac{11}{13}$ и аддитивность $BK+KC=BC=12$. Получаем    $BK=5,5$ ,    $BK=6,5$
  • Теперь, для нахождения биссектрисы   $AK$   еще раз     используем теорему косинусов для треугольника     $bigtriangleup AKC$
  • $AK^2=AC^2+KC^2-2cdot ACcdot KCcdotcos angle ACB$    подставим значения    $AK^2=13^2+6,5^2-2cdot 13cdot 6,5cdot frac{11}{13}=frac{429}{4}$.
  • Ответ:         $AK=frac{sqrt429}{2}$.

Задача 9:         Стороны треугольника равны   $11$   ,    $12$    и     $13$ .    Найти медиану, проведенную к большей стороне.

  • Решение:         Воспользуемся формулой для длины медианы:        $m_c=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$                     
  • Подставим   значения   $m_c=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot12^2-13^2}=frac{1}{2}sqrt{242+288-169}=frac{1}{2}sqrt{361}=frac{19}{2}=9,5$     Ответ:       $m_c=9,5$

Задача 10:         В треугольнике     $ABC$     $AB=11$   ,     $AC=23$    ,    медиана      $AK=10$ .           Найти     $BC$ .

  • Решение:          Воспользуемся   формулой   для   длины    медианы      и   подставим    в   неё   данные   из условия:                  
  • $AK=frac{1}{2}sqrt{2cdot11^2+2cdot23^2-BC}$        $Rightarrow$      $100=frac{1}{4}left(242+1058-BC^2right)$         $Rightarrow$   $BC^2=900$          Ответ:           $BC=30$        .    

Упражнения:

Источник

Добавить комментарий