Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Приветствую Вас дорогие учащиеся.
Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?
Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:
Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?
Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.
Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;
Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
Аналогично рассуждаем относительно угла B.
Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
Пример:
Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
Котангенс в прямоугольном треугольнике
Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Например, в треугольнике ABC для угла A
Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
прилежащий катет — BC,
Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению BC к AC:
Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.
Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.
Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.
Например,
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла ( sin α ) – отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла ( cos α ) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла ( t g α ) – отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла ( c t g α ) – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от – ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α – это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y
Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х
Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x
Котангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , – 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )
При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α “. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности – точка A c координатами ( 1 , 0 ).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens/
[/spoiler]
Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.
В случае с рисунком, описанным выше: ctgα=bactgalpha=frac{b}{a}
ctgα=cosαsinαctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}
Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.
Решение
sinα=0.20sinalpha=0.20
cosα=0.98cosalpha=0.98
ctgα=cosαsinα=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9
Ответ
4.94.9
После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:
tgα⋅ctgα=1tgalphacdotctgalpha=1
Вывод его прост:
tgα⋅ctgα=sinαcosα⋅cosαsinα=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1
Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.
Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?
Решение
ctgα=4.5ctgalpha=4.5
tgα⋅ctgα=1tgalphacdotctgalpha=1
tgα⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1
tgα=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}
tgα≈0.22tgalphaapprox0.22
Ответ
0.220.22
Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:
1+ctg2α=1sin2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}
Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.
Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.
Решение
sin2α=0.49sin^2alpha=0.49
1+ctg2α=1sin2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}
1+ctg2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}
1+ctg2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04
ctg2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04
ctgα≈1.02ctgalphaapprox1.02
Ответ
1.021.02
Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!
Тест по теме «Вычисление котангенса»
Котангенс угла. Таблица котангенсов.
Котангенс угла через градусы, минуты и секунды
Котангенс угла через десятичную запись угла
Определение котангенса
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
tg(α) = cos(α)/sin(α)
сtg(α) = 1/tg(α)
Таблица котангенсов в радианах
ctg(0°) = ∞ctg(π/12) = ctg(15°) = 3.732050808ctg(π/6) = ctg(30°) = 1.732050808ctg(π/4) = ctg(45°) = 1ctg(π/3) = ctg(60°) = 0.577350269ctg(5π/12) = ctg(75°) = 0.2679491924ctg(π/2) = ctg(90°) = 0ctg(7π/12) = ctg(105°) = -0.2679491924ctg(2π/3) = ctg(120°) = -0.577350269ctg(3π/4) = ctg(135°) = -1ctg(5π/6) = ctg(150°) = -1.732050808ctg(11π/12) = ctg(165°) = -3.732050808ctg(π) = ctg(180°) = ∞ctg(13π/12) = ctg(195°) = 3.732050808ctg(7π/6) = ctg(210°) = 1.732050808ctg(5π/4) = ctg(225°) = 1ctg(4π/3) = ctg(240°) = 0.577350269ctg(17π/12) = ctg(255°) = 0.2679491924ctg(3π/2) = ctg(270°) = 0ctg(19π/12) = ctg(285°) = -0.2679491924ctg(5π/3) = ctg(300°) = -0.577350269ctg(7π/4) = ctg(315°) = -1ctg(11π/6) = ctg(330°) = -1.732050808ctg(23π/12) = ctg(345°) = -3.732050808
Таблица Брадиса котангенсы
ctg(0) = ∞ | ctg(120) = -0.577350269 | ctg(240) = 0.577350269 |
ctg(1) = 57.28996162 | ctg(121) = -0.6008606192 | ctg(241) = 0.5543090515 |
ctg(2) = 28.63625328 | ctg(122) = -0.6248693519 | ctg(242) = 0.5317094318 |
ctg(3) = 19.08113669 | ctg(123) = -0.6494075931 | ctg(243) = 0.5095254494 |
ctg(4) = 14.30066626 | ctg(124) = -0.6745085166 | ctg(244) = 0.4877325885 |
ctg(5) = 11.4300523 | ctg(125) = -0.7002075381 | ctg(245) = 0.466307658 |
ctg(6) = 9.514364451 | ctg(126) = -0.7265425283 | ctg(246) = 0.4452286853 |
ctg(7) = 8.144346428 | ctg(127) = -0.7535540499 | ctg(247) = 0.4244748162 |
ctg(8) = 7.115369723 | ctg(128) = -0.7812856266 | ctg(248) = 0.4040262259 |
ctg(9) = 6.313751516 | ctg(129) = -0.8097840329 | ctg(249) = 0.383864035 |
ctg(10) = 5.67128182 | ctg(130) = -0.8390996309 | ctg(250) = 0.3639702343 |
ctg(11) = 5.144554017 | ctg(131) = -0.869286738 | ctg(251) = 0.3443276133 |
ctg(12) = 4.704630109 | ctg(132) = -0.9004040442 | ctg(252) = 0.3249196963 |
ctg(13) = 4.331475875 | ctg(133) = -0.9325150862 | ctg(253) = 0.3057306815 |
ctg(14) = 4.010780934 | ctg(134) = -0.9656887746 | ctg(254) = 0.2867453857 |
ctg(15) = 3.732050808 | ctg(135) = -1 | ctg(255) = 0.2679491924 |
ctg(16) = 3.487414443 | ctg(136) = -1.035530314 | ctg(256) = 0.2493280028 |
ctg(17) = 3.270852618 | ctg(137) = -1.07236871 | ctg(257) = 0.2308681911 |
ctg(18) = 3.077683537 | ctg(138) = -1.110612515 | ctg(258) = 0.2125565617 |
ctg(19) = 2.904210878 | ctg(139) = -1.150368407 | ctg(259) = 0.1943803091 |
ctg(20) = 2.747477419 | ctg(140) = -1.191753593 | ctg(260) = 0.1763269807 |
ctg(21) = 2.605089065 | ctg(141) = -1.234897157 | ctg(261) = 0.1583844403 |
ctg(22) = 2.475086854 | ctg(142) = -1.279941632 | ctg(262) = 0.1405408347 |
ctg(23) = 2.355852366 | ctg(143) = -1.327044822 | ctg(263) = 0.1227845609 |
ctg(24) = 2.246036774 | ctg(144) = -1.37638192 | ctg(264) = 0.1051042353 |
ctg(25) = 2.14450692 | ctg(145) = -1.428148007 | ctg(265) = 0.08748866355 |
ctg(26) = 2.050303841 | ctg(146) = -1.482560969 | ctg(266) = 0.06992681193 |
ctg(27) = 1.962610505 | ctg(147) = -1.539864964 | ctg(267) = 0.05240777928 |
ctg(28) = 1.880726465 | ctg(148) = -1.600334529 | ctg(268) = 0.0349207695 |
ctg(29) = 1.804047755 | ctg(149) = -1.664279482 | ctg(269) = 0.01745506493 |
ctg(30) = 1.732050808 | ctg(150) = -1.732050808 | ctg(270) = 0 |
ctg(31) = 1.664279482 | ctg(151) = -1.804047755 | ctg(271) = -0.01745506493 |
ctg(32) = 1.600334529 | ctg(152) = -1.880726465 | ctg(272) = -0.0349207695 |
ctg(33) = 1.539864964 | ctg(153) = -1.962610505 | ctg(273) = -0.05240777928 |
ctg(34) = 1.482560969 | ctg(154) = -2.050303841 | ctg(274) = -0.06992681193 |
ctg(35) = 1.428148007 | ctg(155) = -2.14450692 | ctg(275) = -0.08748866355 |
ctg(36) = 1.37638192 | ctg(156) = -2.246036774 | ctg(276) = -0.1051042353 |
ctg(37) = 1.327044822 | ctg(157) = -2.355852366 | ctg(277) = -0.1227845609 |
ctg(38) = 1.279941632 | ctg(158) = -2.475086854 | ctg(278) = -0.1405408347 |
ctg(39) = 1.234897157 | ctg(159) = -2.605089065 | ctg(279) = -0.1583844403 |
ctg(40) = 1.191753593 | ctg(160) = -2.747477419 | ctg(280) = -0.1763269807 |
ctg(41) = 1.150368407 | ctg(161) = -2.904210878 | ctg(281) = -0.1943803091 |
ctg(42) = 1.110612515 | ctg(162) = -3.077683537 | ctg(282) = -0.2125565617 |
ctg(43) = 1.07236871 | ctg(163) = -3.270852618 | ctg(283) = -0.2308681911 |
ctg(44) = 1.035530314 | ctg(164) = -3.487414443 | ctg(284) = -0.2493280028 |
ctg(45) = 1 | ctg(165) = -3.732050808 | ctg(285) = -0.2679491924 |
ctg(46) = 0.9656887746 | ctg(166) = -4.010780934 | ctg(286) = -0.2867453857 |
ctg(47) = 0.9325150862 | ctg(167) = -4.331475875 | ctg(287) = -0.3057306815 |
ctg(48) = 0.9004040442 | ctg(168) = -4.704630109 | ctg(288) = -0.3249196963 |
ctg(49) = 0.869286738 | ctg(169) = -5.144554017 | ctg(289) = -0.3443276133 |
ctg(50) = 0.8390996309 | ctg(170) = -5.67128182 | ctg(290) = -0.3639702343 |
ctg(51) = 0.8097840329 | ctg(171) = -6.313751516 | ctg(291) = -0.383864035 |
ctg(52) = 0.7812856266 | ctg(172) = -7.115369723 | ctg(292) = -0.4040262259 |
ctg(53) = 0.7535540499 | ctg(173) = -8.144346428 | ctg(293) = -0.4244748162 |
ctg(54) = 0.7265425283 | ctg(174) = -9.514364451 | ctg(294) = -0.4452286853 |
ctg(55) = 0.7002075381 | ctg(175) = -11.4300523 | ctg(295) = -0.466307658 |
ctg(56) = 0.6745085166 | ctg(176) = -14.30066626 | ctg(296) = -0.4877325885 |
ctg(57) = 0.6494075931 | ctg(177) = -19.08113669 | ctg(297) = -0.5095254494 |
ctg(58) = 0.6248693519 | ctg(178) = -28.63625328 | ctg(298) = -0.5317094318 |
ctg(59) = 0.6008606192 | ctg(179) = -57.28996162 | ctg(299) = -0.5543090515 |
ctg(60) = 0.577350269 | ctg(180) = ∞ | ctg(300) = -0.577350269 |
ctg(61) = 0.5543090515 | ctg(181) = 57.28996162 | ctg(301) = -0.6008606192 |
ctg(62) = 0.5317094318 | ctg(182) = 28.63625328 | ctg(302) = -0.6248693519 |
ctg(63) = 0.5095254494 | ctg(183) = 19.08113669 | ctg(303) = -0.6494075931 |
ctg(64) = 0.4877325885 | ctg(184) = 14.30066626 | ctg(304) = -0.6745085166 |
ctg(65) = 0.466307658 | ctg(185) = 11.4300523 | ctg(305) = -0.7002075381 |
ctg(66) = 0.4452286853 | ctg(186) = 9.514364451 | ctg(306) = -0.7265425283 |
ctg(67) = 0.4244748162 | ctg(187) = 8.144346428 | ctg(307) = -0.7535540499 |
ctg(68) = 0.4040262259 | ctg(188) = 7.115369723 | ctg(308) = -0.7812856266 |
ctg(69) = 0.383864035 | ctg(189) = 6.313751516 | ctg(309) = -0.8097840329 |
ctg(70) = 0.3639702343 | ctg(190) = 5.67128182 | ctg(310) = -0.8390996309 |
ctg(71) = 0.3443276133 | ctg(191) = 5.144554017 | ctg(311) = -0.869286738 |
ctg(72) = 0.3249196963 | ctg(192) = 4.704630109 | ctg(312) = -0.9004040442 |
ctg(73) = 0.3057306815 | ctg(193) = 4.331475875 | ctg(313) = -0.9325150862 |
ctg(74) = 0.2867453857 | ctg(194) = 4.010780934 | ctg(314) = -0.9656887746 |
ctg(75) = 0.2679491924 | ctg(195) = 3.732050808 | ctg(315) = -1 |
ctg(76) = 0.2493280028 | ctg(196) = 3.487414443 | ctg(316) = -1.035530314 |
ctg(77) = 0.2308681911 | ctg(197) = 3.270852618 | ctg(317) = -1.07236871 |
ctg(78) = 0.2125565617 | ctg(198) = 3.077683537 | ctg(318) = -1.110612515 |
ctg(79) = 0.1943803091 | ctg(199) = 2.904210878 | ctg(319) = -1.150368407 |
ctg(80) = 0.1763269807 | ctg(200) = 2.747477419 | ctg(320) = -1.191753593 |
ctg(81) = 0.1583844403 | ctg(201) = 2.605089065 | ctg(321) = -1.234897157 |
ctg(82) = 0.1405408347 | ctg(202) = 2.475086854 | ctg(322) = -1.279941632 |
ctg(83) = 0.1227845609 | ctg(203) = 2.355852366 | ctg(323) = -1.327044822 |
ctg(84) = 0.1051042353 | ctg(204) = 2.246036774 | ctg(324) = -1.37638192 |
ctg(85) = 0.08748866355 | ctg(205) = 2.14450692 | ctg(325) = -1.428148007 |
ctg(86) = 0.06992681193 | ctg(206) = 2.050303841 | ctg(326) = -1.482560969 |
ctg(87) = 0.05240777928 | ctg(207) = 1.962610505 | ctg(327) = -1.539864964 |
ctg(88) = 0.0349207695 | ctg(208) = 1.880726465 | ctg(328) = -1.600334529 |
ctg(89) = 0.01745506493 | ctg(209) = 1.804047755 | ctg(329) = -1.664279482 |
ctg(90) = 0 | ctg(210) = 1.732050808 | ctg(330) = -1.732050808 |
ctg(91) = -0.01745506493 | ctg(211) = 1.664279482 | ctg(331) = -1.804047755 |
ctg(92) = -0.0349207695 | ctg(212) = 1.600334529 | ctg(332) = -1.880726465 |
ctg(93) = -0.05240777928 | ctg(213) = 1.539864964 | ctg(333) = -1.962610505 |
ctg(94) = -0.06992681193 | ctg(214) = 1.482560969 | ctg(334) = -2.050303841 |
ctg(95) = -0.08748866355 | ctg(215) = 1.428148007 | ctg(335) = -2.14450692 |
ctg(96) = -0.1051042353 | ctg(216) = 1.37638192 | ctg(336) = -2.246036774 |
ctg(97) = -0.1227845609 | ctg(217) = 1.327044822 | ctg(337) = -2.355852366 |
ctg(98) = -0.1405408347 | ctg(218) = 1.279941632 | ctg(338) = -2.475086854 |
ctg(99) = -0.1583844403 | ctg(219) = 1.234897157 | ctg(339) = -2.605089065 |
ctg(100) = -0.1763269807 | ctg(220) = 1.191753593 | ctg(340) = -2.747477419 |
ctg(101) = -0.1943803091 | ctg(221) = 1.150368407 | ctg(341) = -2.904210878 |
ctg(102) = -0.2125565617 | ctg(222) = 1.110612515 | ctg(342) = -3.077683537 |
ctg(103) = -0.2308681911 | ctg(223) = 1.07236871 | ctg(343) = -3.270852618 |
ctg(104) = -0.2493280028 | ctg(224) = 1.035530314 | ctg(344) = -3.487414443 |
ctg(105) = -0.2679491924 | ctg(225) = 1 | ctg(345) = -3.732050808 |
ctg(106) = -0.2867453857 | ctg(226) = 0.9656887746 | ctg(346) = -4.010780934 |
ctg(107) = -0.3057306815 | ctg(227) = 0.9325150862 | ctg(347) = -4.331475875 |
ctg(108) = -0.3249196963 | ctg(228) = 0.9004040442 | ctg(348) = -4.704630109 |
ctg(109) = -0.3443276133 | ctg(229) = 0.869286738 | ctg(349) = -5.144554017 |
ctg(110) = -0.3639702343 | ctg(230) = 0.8390996309 | ctg(350) = -5.67128182 |
ctg(111) = -0.383864035 | ctg(231) = 0.8097840329 | ctg(351) = -6.313751516 |
ctg(112) = -0.4040262259 | ctg(232) = 0.7812856266 | ctg(352) = -7.115369723 |
ctg(113) = -0.4244748162 | ctg(233) = 0.7535540499 | ctg(353) = -8.144346428 |
ctg(114) = -0.4452286853 | ctg(234) = 0.7265425283 | ctg(354) = -9.514364451 |
ctg(115) = -0.466307658 | ctg(235) = 0.7002075381 | ctg(355) = -11.4300523 |
ctg(116) = -0.4877325885 | ctg(236) = 0.6745085166 | ctg(356) = -14.30066626 |
ctg(117) = -0.5095254494 | ctg(237) = 0.6494075931 | ctg(357) = -19.08113669 |
ctg(118) = -0.5317094318 | ctg(238) = 0.6248693519 | ctg(358) = -28.63625328 |
ctg(119) = -0.5543090515 | ctg(239) = 0.6008606192 | ctg(359) = -57.28996162 |
Похожие калькуляторы
Котангенс угла
Определение и формула котангенса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету.
Котангенс угла (
alpha
) обозначается (
operatorname{ctg} alpha
)
Рис.1
Рассмотрим прямоугольный треугольник (
mathrm{ABC}
) с (
angle C=90^{circ}
), (
angle A=alpha
), (
angle B=beta
) , гипотенузой (
A B=c
) и катетами (
A C=b
) и (
mathrm{BC}=mathrm{a}
) (рис.1). Тогда
(
operatorname{ctg} beta=frac{B C}{A C}=frac{a}{b}
), (
operatorname{ctg} alpha=frac{A C}{B C}=frac{b}{a}
)
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Выберем произвольный угол (
alpha
) , которому на окружности соответствует точка (
Aleft(x_{0}, y_{0}right)
)
Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда
(
operatorname{ctg} alpha=frac{O B}{A B}=frac{x_{0}}{y_{0}}
)
т.е. котангенсом угла есть отношение абсциссы точки (
mathrm{A}
) к ее ординате. Так как синус угла равен значению ординаты точки (
mathrm{A}
), а косинус угла равен значению абсциссы, то
(
operatorname{ctg} alpha=frac{x_{0}}{y_{0}}=frac{cos alpha}{sin alpha}
)
Функция (
y=operatorname{ctg} x
) является периодической с периодом (
T=pi
) , т.е.
(
operatorname{ctg}(pi+alpha)=operatorname{ctg} alpha
)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
В прямоугольном треугольнике (
A B C
) с катетами (
A B=3 mathrm{см}
) и (
A C=5 mathrm{см}
) найти котангенсы углов (
B
) и (
C
)
Так как котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то можем записать, что
(
operatorname{ctg} angle B=frac{A B}{A C}=frac{3}{5}
), (
operatorname{ctg} angle C=frac{A C}{A B}=frac{5}{3}
)
(
operatorname{ctg} angle B=frac{3}{5}
), (
operatorname{ctg} angle C=frac{5}{3}
)
ПРИМЕР 2
Найти (
operatorname{ctg} alpha
) , если
(
frac{4 sin alpha+cos alpha}{cos alpha-2 sin alpha}=3
)
Преобразуем заданное выражение следующим образом:
(
4 sin alpha+cos alpha=3(cos alpha-2 sin alpha)
)
или
(
-2 cos alpha=-10 sin alpha Rightarrow frac{cos alpha}{sin alpha}=frac{10}{2}=5
)
Так как (
operatorname{ctg} alpha=frac{cos alpha}{sin alpha}
) , то имеем, что
(
operatorname{ctg} alpha=5
)
(
operatorname{ctg} alpha=5
)
Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?
Определение
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Например, в треугольнике ABC для угла A
прилежащий катет — АC,
противолежащий катет — BC.
Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
прилежащий катет — BC,
противолежащий — AC.
Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению BC к AC:
Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.
Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.
Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.
Например,
в треугольнике ABC ∠B=30º,
в треугольнике MNK ∠M=30º.