Как найти целочисленное соотношение

Целочисленное соотношение между набором вещественных чисел — это набор целых чисел , не все из которых равны нулю, таких, что

Алгоритм поиска целочисленных соотношений — это алгоритм поиска целочисленных соотношений между числами. В частности, если заданы вещественные числа с определённой точностью, алгоритм либо находит целочисленное соотношение между ними, либо определяет, что такой связи нет для коэффициентов, абсолютная величина которых меньше некоторой верхней границы^{[en] [1]}.

История[править | править код]

Для случая n = 2 расширение алгоритма Евклида может определить, существует ли целочисленное соотношение между двумя вещественными числами и . Алгоритм образует последовательность элементов разложения в непрерывную дробь. Если существует целочисленная взаимосвязь между числами, то их частное рационально и алгоритм, в конечном счёте, завершится.

• Алгоритм Фергюсона — Форкейда опубликовали в 1979 Фергюсон^[en] и Форкейд^[2]. Хотя в статье идёт речь о любом n, не совсем ясно, решает ли статья полностью задачу, поскольку в ней отсутствуют некоторые детали алгоритма, нет доказательств и точных границ, что существенно для достоверной имплементации.
• Первым алгоритмом с полным доказательством был ЛЛЛ-алгоритм, который разработали Арьен Ленстра, Хендрик Ленстра и Ласло Ловас в 1982^[3].
• Юхан Хостад, Беттина Джаст, Джефри Лагариас и Клаус-Петер Шнорр разработали алгоритм HJLS в 1986^[4][5].
• Фергюсон разработал в 1988 алгоритм PSOS^[6]
• Фергюсон и Бейли разработали алгоритм PSLQ в 1992 и в 1999 в значительной степени упростили (вместе с Арно)^[7][8]. В 2000 Джек Донгарра и Фрэнсис Салливан ^[9] включили алгоритм PSLQ в «Первую десятку алгоритмов столетия», хотя и признано, что большей частью он эквивалентен алгоритму HJLS^[10][11].
• Алгоритм ЛЛЛ улучшали множество авторов. Современная имплементация алгоритма ЛЛЛ может решать задачи поиска целочисленных соотношений с n, большим 500.

Приложения[править | править код]

Алгоритм поиска целочисленных соотношений имеет многочисленные приложения. Первое приложение — определение, не является ли заданное вещественное число x алгебраическим, для чего производится поиск целочисленного соотношения между множеством степеней числа x {1, x, x², …, xⁿ}. Второе приложение — поиск целочисленной связи между вещественным числом x и набором математических констант, таких как e, и ln(2), что приводит к выражению x в виде линейной комбинации этих констант.

Типичным подходом в экспериментальной математике является применение численных методов и арифметики произвольной точности для поиска приближённого значения бесконечного ряда, бесконечного произведения или интеграла с большой точностью (обычно берётся по меньшей мере 100 значащих цифр), а затем используется алгоритм поиска целочисленного соотношения для определения целочисленной связи между этим значением и набором математических констант. Если целочисленное соотношение найдено, оно говорит о возможном выражении в замкнутой форме^[en] исходного ряда, произведения или интеграла. Полученная гипотеза затем может быть проверена с помощью формальных алгебраических методов. Чем выше используемая точность вычислений, тем выше уверенность, что найденное целочисленное соотношение не является просто числовым артефактом^[en].

Заметным успехом такого подхода было использование алгоритма PSLQ для поиска целочисленного соотношения, которое привело к формуле Бэйли — Боруэйна — Плаффа для числа . Алгоритм PSLQ также помог найти новые тождества, в которые входит многомерная дзета-функция^[en], и их появление в квантовой теория поля. Алгоритм PSLQ помог в распознании точек бифуркации логистического отображения. Например, если B₄ является четвёртой точкой бифуркации логистического отображения, константа α=-B₄(B₄-2) является корнем многочлена 120-й степени с максимальным коэффициентом 257^30[12][13]. Алгоритмы поиска целочисленных соотношений комбинируются с таблицами математических констант высокой точности и эвристическими методами поиска, такими как обратный символьный калькулятор^[en] или инвертор Плуффера^[en].

Поиск целочисленных соотношений может быть использован для разложения многочленов высокой степени^[14].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Recognizing Numerical Constants by David H. Bailey and Simon Plouffe
• Ten Problems in Experimental Mathematics Архивная копия от 10 июня 2011 на Wayback Machine by David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor, and Eric W. Weisstein

From Wikipedia, the free encyclopedia

An integer relation between a set of real numbers x₁, x₂, …, x_n is a set of integers a₁, a₂, …, a_n, not all 0, such that

An integer relation algorithm is an algorithm for finding integer relations. Specifically, given a set of real numbers known to a given precision, an integer relation algorithm will either find an integer relation between them, or will determine that no integer relation exists with coefficients whose magnitudes are less than a certain upper bound.^[1]

History[edit]

For the case n = 2, an extension of the Euclidean algorithm can find any integer relation that exists between any two real numbers x₁ and x₂. The algorithm generates successive terms of the continued fraction expansion of x₁/x₂; if there is an integer relation between the numbers, then their ratio is rational and the algorithm eventually terminates.

• The Ferguson–Forcade algorithm was published in 1979 by Helaman Ferguson and R.W. Forcade.^[2] Although the paper treats general n, it is not clear if the paper fully solves the problem because it lacks the detailed steps, proofs, and a precision bound that are crucial for a reliable implementation.
• The first algorithm with complete proofs was the LLL algorithm, developed by Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra and László Lovász in 1982.^[3]
• The HJLS algorithm, developed by Johan Håstad, Bettina Just, Jeffrey Lagarias, and Claus-Peter Schnorr in 1986.^[4][5]
• The PSOS algorithm, developed by Ferguson in 1988.^[6]
• The PSLQ algorithm, developed by Ferguson and Bailey in 1992 and substantially simplified by Ferguson, Bailey, and Arno in 1999.^[7][8] In 2000 the PSLQ algorithm was selected as one of the “Top Ten Algorithms of the Century” by Jack Dongarra and Francis Sullivan^[9] even though it is considered essentially equivalent to HJLS.^[10][11]
• The LLL algorithm has been improved by numerous authors. Modern LLL implementations can solve integer relation problems with n above 500.

Applications[edit]

Integer relation algorithms have numerous applications. The first application is to determine whether a given real number x is likely to be algebraic, by searching for an integer relation between a set of powers of x {1, x, x², …, xⁿ}. The second application is to search for an integer relation between a real number x and a set of mathematical constants such as e, π and ln(2), which will lead to an expression for x as a linear combination of these constants.

A typical approach in experimental mathematics is to use numerical methods and arbitrary precision arithmetic to find an approximate value for an infinite series, infinite product or an integral to a high degree of precision (usually at least 100 significant figures), and then use an integer relation algorithm to search for an integer relation between this value and a set of mathematical constants. If an integer relation is found, this suggests a possible closed-form expression for the original series, product or integral. This conjecture can then be validated by formal algebraic methods. The higher the precision to which the inputs to the algorithm are known, the greater the level of confidence that any integer relation that is found is not just a numerical artifact.

A notable success of this approach was the use of the PSLQ algorithm to find the integer relation that led to the Bailey–Borwein–Plouffe formula for the value of π. PSLQ has also helped find new identities involving multiple zeta functions and their appearance in quantum field theory; and in identifying bifurcation points of the logistic map. For example, where B₄ is the logistic map’s fourth bifurcation point, the constant α = −B₄(B₄ − 2) is a root of a 120th-degree polynomial whose largest coefficient is 257³⁰.^[12][13] Integer relation algorithms are combined with tables of high precision mathematical constants and heuristic search methods in applications such as the Inverse Symbolic Calculator or Plouffe’s Inverter.

Integer relation finding can be used to factor polynomials of high degree.^[14]

References[edit]

External links[edit]

• Recognizing Numerical Constants by David H. Bailey and Simon Plouffe
• Ten Problems in Experimental Mathematics Archived 2011-06-10 at the Wayback Machine by David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor, and Eric W. Weisstein

Добрый день!

В прошлый раз мы выяснили как найти целое число, зная его часть. Представим теперь, что мы знаем и часть, и само число нам тоже известно. Но вот какую долю составляет первое число от второго?

То есть мы хотим узнать, на сколько частей порезан торт, зная вес целого торта и вес кусочка торта. Понятное дело, что кусочки одинаковые, это же математика 🙂

Итак, рассмотрим пример. Кусочек торта весит 240 г, сам торт – 1800 г. Какую часть торта составляет данный кусок?

Для решения задачи вспомним, как мы находили часть от целого. Помните – мы умножали? Обозначим теперь эту дробь как х. Получаем обычное уравнение, которое легко решается.

Главное при вычислении – не запутаться! Мы делим то число, которое составляет часть, на число, которое является целым. При этом, если первое число больше второго, то мы определим во сколько раз первое больше второго (кратное сравнение).

Точно так же можем определить, сколько процентов первое число составляет от второго. Для этого поделим первое число на второе и умножим на 100.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Для закрепления материала предлагаем несколько примеров для самостоятельного решения. Ответы размещайте в комментариях.

Надеемся, эта тема была вам полезна. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Завтра рассмотрим задачи на части, целое, процентное соотношение.

Ставим лайки, подписываемся, в комментариях пишем темы, которые вам хотелось бы разобрать, задаем вопросы.

До скорой встречи!

целочисленное отношение между набором действительных чисел x 1, x 2,…, x n является набором целых чисел a 1, a 2,…, a n, не все 0, такие, что

a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + тревога = 0. { displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n} = 0. ,}

An алгоритм целочисленных отношений – это алгоритм для поиска целочисленных отношений. В частности, при заданном наборе действительных чисел, известных с заданной точностью, алгоритм целочисленных отношений либо найдет целочисленные отношения между ними, либо о r определит, что не существует целочисленного отношения с коэффициентами, величина которых меньше определенной верхней границы.

Содержание

• 1 История
• 2 Приложения
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

История

Для случая n = 2 расширение алгоритма Евклида может найти любое целочисленное отношение, которое существует между любыми двумя действительными числами x 1 и x 2. Алгоритм генерирует последовательные члены непрерывной дроби разложения x 1/x2; если между числами существует целочисленная связь, то их соотношение является рациональным и алгоритм в конечном итоге завершается.

• Алгоритм Фергюсона-Форкейда был опубликован в 1979 году Геламаном Фергюсоном и. Хотя в статье рассматриваются общие n, неясно, полностью ли она решает проблему, поскольку в ней отсутствуют подробные шаги, доказательства и оценка точности, которые имеют решающее значение для надежной реализации.
• Первый алгоритм с полным Доказательством послужил алгоритм LLL, разработанный Арьеном Ленстра, Хендриком Ленстрой и Ласло Ловасом в 1982 году. 25>
• алгоритм HJLS, разработанный Йоханом Хастадом, Беттиной Джаст, Джеффри Лагариасом и Клаусом-Питером Шнорром в 1986 году.
• Алгоритм PSOS, разработан Фергюсоном в 1988 году.
• Алгоритм PSLQ, разработанный Фергюсоном и Бейли в 1992 году и существенно упрощенный Фергюсоном, Бейли и Арно в 1999 году. В 2000 году алгоритм PSLQ был выбран в качестве один из «десяти лучших алгоритмов века» Джека Донгарра и Фрэнсиса Салливана, хотя он считается по существу эквивалентным HJLS.
• Алгоритм LLL был улучшен многими авторами. Современные реализации LLL могут решать проблемы целочисленных отношений с n выше 500.

Приложения

Алгоритмы целочисленных отношений имеют множество приложений. Первое приложение состоит в том, чтобы определить, может ли данное действительное число x быть алгебраическим, путем поиска целочисленного отношения между набором степеней x {1, x, x,…, x}. Второе приложение – поиск целочисленной связи между действительным числом x и набором математических констант, таких как e, π и ln (2), что приведет к выражению для x как линейной комбинации этих констант.

Типичный подход в экспериментальной математике заключается в использовании численных методов и арифметики произвольной точности для нахождения приблизительного значения для бесконечного серия, бесконечное произведение или интеграл с высокой степенью точности (обычно не менее 100 значащих цифр), а затем использовать алгоритм целочисленного отношения для поиска целочисленного отношения между этим значением и набором математических констант. Если найдено целочисленное отношение, это предполагает возможное выражение в закрытой форме для исходной серии, продукта или интеграла. Затем эта гипотеза может быть подтверждена формальными алгебраическими методами. Чем выше точность, с которой известны входные данные для алгоритма, тем выше уровень уверенности в том, что любое найденное целочисленное отношение не является просто числовым артефактом .

Заметным успехом этого подхода стало использование Алгоритм PSLQ для поиска целочисленного отношения, которое привело к формуле Бейли – Борвейна – Плаффа для значения π. PSLQ также помог найти новые идентичности, включающие множественные дзета-функции и их появление в квантовой теории поля ; и в идентификации точек бифуркации логистической карты. Например, где B 4 – четвертая точка бифуркации логистической карты, константа α = −B 4(B4- 2) является корнем многочлена 120-й степени, наибольший коэффициент которого равен 257. Алгоритмы целочисленных соотношений сочетаются с таблицами высокоточных математических констант и эвристических методов поиска в таких приложениях, как калькулятор обратных символов или.

Поиск целочисленных отношений может использоваться для множителей многочленов высокой степени.

Ссылки

Внешние ссылки

Целочисленное отношение между набором действительных чисел x ₁ , x ₂ , …, x _n представляет собой набор целых чисел a ₁ , a ₂ , …, _an , а не все 0, такой, что

Алгоритм целочисленных отношений — это алгоритм нахождения целочисленных отношений. В частности, при заданном наборе действительных чисел, известном с заданной точностью, алгоритм целочисленного отношения либо найдет целочисленное отношение между ними, либо определит, что целочисленное отношение не существует с коэффициентами, величины которых меньше определенной верхней границы . ^[1]

Для случая n = 2 расширение алгоритма Евклида может найти любое целочисленное отношение, существующее между любыми двумя действительными числами x ₁ и x ₂ . Алгоритм генерирует последовательные члены разложения непрерывных дробей x ₁ / x ₂ ; если существует целочисленное отношение между числами, то их отношение рационально и алгоритм в конце концов завершается.

Алгоритмы целочисленных отношений имеют множество приложений. Первое приложение состоит в том, чтобы определить, может ли данное действительное число x быть алгебраическим , путем поиска целочисленного отношения между набором степеней x {1, x , x ² , …, x ⁿ }. Второе приложение заключается в поиске целочисленного отношения между действительным числом x и набором математических констант, таких как e , π и ln(2), что приведет к выражению для x как линейной комбинации этих констант.

Типичный подход в экспериментальной математике состоит в том, чтобы использовать численные методы и арифметику произвольной точности для нахождения приблизительного значения бесконечного ряда , бесконечного произведения или интеграла с высокой степенью точности (обычно не менее 100 значащих цифр), а затем использовать целое число. алгоритм отношения для поиска целочисленного отношения между этим значением и набором математических констант. Если целочисленное отношение найдено, это предполагает возможное выражение в закрытой формедля исходного ряда, произведения или интеграла. Затем эту гипотезу можно проверить с помощью формальных алгебраических методов. Чем выше точность, с которой известны входные данные алгоритма, тем выше уровень уверенности в том, что любое найденное целочисленное отношение не является просто числовым артефактом .

Заметным успехом этого подхода стало использование алгоритма PSLQ для нахождения целочисленного отношения, которое привело к формуле Бейли-Борвейна-Плуффа для значения π . PSLQ также помог найти новые тождества, включающие множественные дзета-функции и их появление в квантовой теории поля ; и в выявлении точек бифуркации логистической карты . Например, где B ₄ является четвертой точкой бифуркации логистической карты, константа α = – B ₄ ( B ₄  – 2) является корнем многочлена 120-й степени, наибольший коэффициент которого равен 257 ³⁰ . ^{[12] [13]}Алгоритмы целочисленных отношений сочетаются с таблицами математических констант высокой точности и эвристическими методами поиска в таких приложениях, как обратный символьный калькулятор или инвертор Плуффа .