Как найти целую часть десятичной дроби

Десятичные дроби — для чайников

Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.

Все это здесь.

Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.

Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))

3. Свойства десятичных дробей

• Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
• Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
• Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
• Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

• Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
• Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Деление десятичных дробей друг на друга

• Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
• Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

( displaystyle frac{8}{10}=0,8)

( displaystyle frac{13}{100}=0,13)

( displaystyle frac{49}{1000}=0,049)

Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

1. Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
2. Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».

А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:

• ( 0,05;)
• ( 0,4;)
• ( 0,27;)
• ( 0,245)

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.

Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.

В общем, смотри:

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Попробуй перевести:

• ( 0,136)
• ( 0,2436)
• ( 0,0456)
• ( 0,21)

Сравним ответы:

• ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
• ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
• ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
• ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

• ( displaystyle frac{2}{10})
• ( displaystyle frac{3}{100})
• ( displaystyle frac{4}{1000})
• ( displaystyle frac{4562}{100})

А вот и ответы:

• ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
• ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
• ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

1. Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
2. После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
3. Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

• ( displaystyle frac{26}{10})
• ( displaystyle frac{43}{100})
• ( displaystyle frac{99}{1000})
• ( displaystyle frac{3562}{100})

А теперь ответы:

• ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
• ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
• ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
• ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)

Виды десятичных дробей

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).

Поговорим сначала о конечных дробях.

Конечная десятичная дробь

Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:

( displaystyle frac{1}{4}=frac{1cdot 25}{4cdot 25}=frac{25}{100}=0,25)

То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.

Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

• ( displaystyle frac{1}{5})
• ( displaystyle frac{1}{8})
• ( displaystyle frac{3}{5})
• ( displaystyle frac{1}{16})

Сравним наши ответы:

• ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
• ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
• ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)

Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.

Бесконечная десятичная дробь

Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )

Таким образом:

Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).

Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:

( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)

Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.

Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?

( displaystyle frac{1}{3}=0,333333333….)

Чтобы не повторять число ( 3) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:

Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.

Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:

( displaystyle frac{1}{3}=0,underbrace{3}_{период}33333333….=0,left( 3 right))

( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))

Важно, что период не может начинаться слева от запятой:

( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).

Свойства десятичных дробей

Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули

( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:

( 0,014330000=0,01433)

ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!

( 0,014330000ne 0,1433)

3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:

( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)

4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:

( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)

Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.

Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.

Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.

Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.

Как складывать десятичные дроби

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Разберемся на примере:

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.

Решим наш пример, учтя все правила:

Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:

• ( 0,0125+0,141)
• ( 2,4225+0,34)
• ( 122,4355+1,34)
• ( 2,435+12,3)

Сравним ответы:

• ( 0,0125+0,141=0,1535)
• ( 2,4225+0,34=2,7625)
• ( 122,4355+1,34=123,7755)
• ( 2,435+12,3=14,735)

Как вычитать десятичные дроби

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.

Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.

Посмотрим подробно на примере:

Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:

• ( 0,0125-0,141)
• ( 2,4225-0,34)
• ( 122,4355-1,34)
• ( 12,435-12,3)

Сравним полученные ответы:

• ( 0,0125-0,141=-0,1285)
• ( 2,4225-0,34=2,0825)
• ( 122,4355-1,34=121,0955)
• ( 12,435-12,3=0,135)

Как умножать десятичные дроби

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.

Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.

Непонятно? Смотри:

Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.

Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.

Не веришь? Смотри:

Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.

Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).

Проиллюстрируем данное правило:

Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.

Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).

А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.

Как делить десятичные дроби

Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.

Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.

Итак. Мы рассмотрим два вида деления:

• деление десятичной дроби на натуральное число;
• деление десятичной дроби на десятичную дробь.

Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.

Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Важно!!!

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?

Рассмотрим на конкретном примере:

Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:

• ( 135,2:5)
• ( 16,4:2)
• ( 158,14:4)
• ( 2,456:2)
• ( 0,626:2)

Сравним наши ответы:

• ( 135,2:5=27,04)
• ( 16,4:2=8,2)
• ( 158,14:4=39,535)
• ( 2,456:2=1,228)
• ( 0,626:2=0,313)

Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.

Например: ( 135,2:10=13,52).

А теперь попробуй самостоятельно:

• ( 135,2:100)
• ( 16,4:10)
• ( 158,14:1000)
• ( 2,456:10)

Перенес? Смотри, что у меня получилось:

• ( 135,2:100=1,352)
• ( 16,4:10=1,64)
• ( 158,14:1000=0,15814)
• ( 2,456:10=0,2456)

Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.

Деление десятичных дробей друг на друга

Итак, для того чтобы это делать существует три правила:

1. Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
2. Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
3. Делим числа как натуральные.

ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.

Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)

В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!

Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).

Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)

Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).

А теперь делим в столбик:

Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.

Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!

Как сравнивать десятичные дроби

Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.

Способ первый – поразрядно.

Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)

1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)

Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)

2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.

Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:

( 5,365 > 5,360)

Способ второй – с помощью умножения.

Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:

( 5,365cdot 1000 V 5,36cdot 1000)

( 5365 V 5360)

Эти числа ты сравнишь без проблем:

( 5365 > 5360)

Заметь, результат получился одинаковый. Теперь попробуй сравнить дроби самостоятельно любым наиболее удобным для тебя способом:

• ( 21,34 V 20,34)
• ( 0,34 V 0,341)
• ( 120,15 V 1210,16)
• ( 10,565 V 10,465)

Справился? Смотри что вышло:

• ( 21,34 > 20,34)
• ( 0,34 < 0,341)
• ( 120,15 < 1210,16)
• ( 10,565 > 10,465)

Вот теперь ты усвоил дроби полностью!

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Начнем с довольно простой, но в то же время интересной темы, в которой школьники зачастую делают ошибки – нахождение дроби от числа.

Что такое часть от целого? Если у нас есть некоторое значение и нам необходимо вычислить некоторую долю или дробь от этого значения. Например, зная вес пиццы, найти вес нескольких ее кусочков.

При этом нужная доля может быть выражена как в виде обыкновенной дроби, так и в виде десятичной дроби или процентов. Для нахождения процента от числа стоит предварительно перевести проценты в десятичную дробь, просто разделив на 100. Например, 28 % = 0,28.

Для того, чтобы найти, сколько весят x кусочков пиццы, порезанной на равные y кусков, нужно общий вес пиццы разделить на y и умножить на x. Допустим, пицца весит Q грамм. То есть нам необходимо найти вес x/y части пиццы.

Немного парадоксальная ситуация: нужно найти часть, а мы умножаем, а не делим. Но на самом деле никакого парадокса в этом нет, если вспомнить, что дробь, вернее, горизонтальная черта дроби – это деление.

Да и при умножении на десятичную дробь меньше 1 мы тоже получим значение меньшее, чем исходное.

Немного запутать может ситуация, когда целая часть выражена в виде обыкновенной или десятичной дроби. Не стоит обращать на это внимание. Алгоритм действий точно такой же.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Для закрепления материала предлагаем несколько примеров для самостоятельного решения. Ответы размещайте в комментариях.

Надеемся, эта тема была вам интересна. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Завтра разберемся, как найти число, если нам известна только его часть.

Ставим лайки, подписываемся, в комментариях пишем темы, которые вам хотелось бы разобрать, задаем вопросы.

До скорой встречи!

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

где

 — знак дроби: либо , либо ,

 — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ)^[1],

 — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

Значением десятичной дроби является действительное число

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби[править | править код]

Конечные дроби[править | править код]

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

В соответствии с определением эта дробь представляет число

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида , знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида , где  — целое, а  — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид . Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью знаменатель не имеет простых делителей, отличных от и .

Бесконечные дроби[править | править код]

Бесконечная десятичная дробь

представляет, согласно определению, действительное число

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное и десятичные цифры . Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Представление действительных чисел десятичными дробями[править | править код]

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь[править | править код]

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок , который содержит точку ; в частном случае, когда точка является концом двух соседних отрезков, в качестве выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка , через , то можно записать:

На следующем шаге разделим отрезок на десять равных частей точками

и рассмотрим тот из отрезков длины , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок . Он имеет вид:

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки .

На очередном шаге, имея отрезок , содержащий точку , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок , на котором лежит точка ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков вида

где  — целое неотрицательное, а  — целые числа, удовлетворяющие неравенству .

Построенная последовательность отрезков обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга:
• Длина отрезков
• Точка принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при , а точка есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

при

Это значит, что ряд

сходится к числу , и таким образом, десятичная дробь

является представлением числа . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

нулевые слагаемые, получим, что число также может быть представлено конечной десятичной дробью

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного . В случае отрицательного , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда[править | править код]

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое , такое, что действительное число находится между и следующим целым :

Однако существование такого целого числа надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое , всегда имеет место неравенство . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число , всегда найдётся целое такое, что . Теперь среди чисел возьмём наименьшее, обладающее свойством . Тогда

Искомое число найдено: .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности :

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число , последовательность натуральных чисел превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого имеет место неравенство

то последовательность также превзойдёт , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что .

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби[править | править код]

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

Согласно определению, эта дробь является представлением числа . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби . В самом деле, вещественные числа различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими Но между и никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

и

где , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей и .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число , не представимое в виде , где  — целое,  — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на . Число может быть представлено дробями вида , а также дробями вида .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность[править | править код]

Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления^[2]. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005.
Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Периодические десятичные дроби[править | править код]

Определение и свойства[править | править код]

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

Такую дробь принято кратко записывать в виде

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь является чистой периодической, а дробь  — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби знаменатель не имеет простых делителей и , а также рациональным числам , у которых знаменатель имеет только простые делители и . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям , знаменатель которых имеет как простые делители или , так и отличные от них.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную[править | править код]

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь с периодом 4. Заметим, что домножив её на , получим большую дробь с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь ()^[3]:

Произношение десятичных дробей[править | править код]

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи.
Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде.
Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

История[править | править код]

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную^[4].

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше^[5].

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)^[6].

См. также[править | править код]

• Десятичный разделитель
• Десятичная система счисления
• Обыкновенная дробь
• Непрерывная дробь

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• ЕГЭ математика. Периодическая дробь
• Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
• Семёнова Л. Периодические дроби.

Десятичные дроби и действия с ними

Десятичная дробь – это дробь, имеющая в знаменателе 10, 100, 1000 и т.д.

Такие дроби принято записывать в строчку, а не как обыкновенную дробь.

ЗАПИСЬ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:

1. Сначала выделяют целую часть, ставят запятую, а потом записывают числитель дробной части.

Например:

(7frac{38}{100} = 7,38)

1. Если дробь правильная, то целая часть равна 0:

Например:

(frac{6}{10} = 0,6)

1. После запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей стоит после единицы в знаменателе дроби. Например, если в знаменателе 10, то после запятой будет одна цифра.

2. Если в знаменателе 1000, то после запятой должно быть три цифры. Если в числителе дроби цифр меньше, чем нулей в знаменателе, тогда после запятой ставят нужное количество нулей, а уже потом записывают числитель:

Например:

(frac{56}{1000})

в знаменателе три нуля, а в числителе только две цифры. Чтобы уравнять количество цифр и нулей, представим дробь как

(frac{056}{1000})

Ноль в начале числителя никак на него не влияет, но помогает нам записать дробь в виде десятичной. Получается, что:

(frac{56}{1000} = frac{056}{1000} = 0,056)

ЧТЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ:

1. Читают десятичные дроби в соответствии с количеством цифр после запятой. Если цифра одна, то знаменатель соответствует числу 10. Тогда мы говорим, что доля десятичная. Если цифры две, то знаменатель соответствует числу 100, доля такой дроби – сотая. Так же называют тысячную долю, десятитысячную, миллионную и так далее.

Например:

(19frac{32}{100} = 19,32) – девятнадцать целых, 32 сотых;

(2frac{9}{1000} = 2frac{009}{1000} = 2,009) – две целых, 9 тысячных;

(frac{3}{10} = 0,3) – три десятых.

1. Если приписать или убрать ноль в конце дроби, то она не изменится.

Например:

(0,80 = 0,8) (80 сотых = 8 десятых);

(0,0780 = 0,078) (780 десятитысячных = 78 тысячных).

СРАВНЕНИЕ ДСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Чтобы сравнить дроби, их нужно привести к одинаковому количеству знаков после запятой.

Например:

Сравним 0,07 и 0,5.

У первой дроби после запятой две цифры, у второй только одна. Значит второй дроби нужно ее добавить так, чтобы дробь не изменилась. Мы можем приписать ноль в конце дроби.

Получим 0,07 и 0,50. Теперь мы сравниваем две дроби со знаменателем 100. Становится понятно, что 7<50, значит 0,07<0,50, значит 0,07<0,5.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Сложим две десятичные дроби:

(1,8 + 3,062)

СПОСОБ 1:

1. Чтобы найти сумму или разность десятичных дробей, можно представить их как обыкновенные.

(1frac{8}{10} + 3frac{62}{1000})

1. Если дроби имеют разные знаменатели, приведем их к одному. Проще всего приписать к одной дроби (и к числителю, и к знаменателю) одинаковое количество недостающих нулей:

(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000})

1. Теперь сложим дроби как смешанные:

(1frac{800}{1000} + 3frac{62}{1000} = 4frac{800 + 62}{1000} = 4frac{862}{1000})

1. Переведем дробь обратно в десятичную:

(4frac{862}{1000} = 4,862)

СПОСОБ 2:

1. Сумму или разность десятичных дробей можно найти столбиком. Запишем одно число под другим так, чтобы запятая одной дроби находилась по запятой другой:

1. Уравняем количество знаков (чисел) после запятой:

1. Сложим числа в столбик не обращая внимание на запятую.

1. Поставим запятую суммы под запятыми слагаемых:

СПОСОБ 3:

Можно воспользоваться тем фактом, что число состоит из целой и дробной частей и сложить сначала одно, потом другое.

1. Представим дроби в ином виде:

(1,8 = 1 + 0,8)

(3,062 = 3 + 0,062)

1. Сложим целые части:

(1 + 3 = 4)

1. Сложим дробные части:

(0,8 + 0,062 = 0,862)

1. Сложим полученные значения:

(4 + 0,862 = 4,862)

УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Умножение десятичной дроби на натуральное число:

Например:

(1,81 bullet 3)

1. Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:

2. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько отделено у дроби:

Умножение десятичной дроби на десятичную дробь:

Например:

(1,81 bullet 0,03)

1. Чтобы умножить десятичную дробь на десятичную, нужно найти их произведение в столбик, не обращая внимания на запятую:

1. В полученном произведении отделить запятой столько знаков справа, сколько в сумме отделено у множителей:

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

(2,34 bullet 10 = 23,4)

(0,687 bullet 1000 = 687)

(7,095 bullet 100 = 709,5)

Умножение десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:

Чтобы умножить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе:

(183,7 bullet 0,01 = 1,837)

(0,22 bullet 0,1 = 0,022)

(619 bullet 0,001 = 0,619)

ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ:

Деление десятичной дроби на число:

Например:

(2,52 : 4)

1. Найдем частное в столбик, не обращая внимание на запятую:

1. В полученном частном отделим запятой столько знаков справа, сколько отделяется в делимом:

Деление десятичной дроби на десятичную дробь:

Например:

(0,252 : 0,4)

1. В делителе и делимом перенести вправо запятую на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.

(0,252 : 0,4 = 2,52 : 4)

1. Выполнить деление на натуральное число.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков влево, сколько знаков отделяет запятая в множителе.

• Разделить на 10 = умножить на 0,1

• Разделить на 100 = умножить на 0,01

• Разделить на 1000 = умножить на 0,001

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.:

Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, нужно в десятичной дроби перенести запятую на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

• Разделить на (0,1 =) умножить на 10

• Разделить на( 0,01 =) умножить 100

• Разделить на (0,001 = )умножить на 1000