Как найти целые части чисел

Как найти целые части чисел

График функции «пол» (целая часть числа)

В математике, целая часть вещественного числа x — округление x до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление x до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры[править | править код]

Впервые квадратные скобки ([x]) для обозначения целой части числа x использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил[3][4][5] округление числа x до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» x и обозначать lfloor xrfloor и lceil xrceil соответственно.

В современной математике используются оба обозначения[6], [x] и lfloor xrfloor , однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, [x]equiv lfloor xrfloor =-3, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

{displaystyle {begin{matrix}lfloor 2{,}7rfloor =2,&lfloor -2{,}7rfloor =-3,\lceil 2{,}7rceil =3,&lceil -2{,}7rceil =-2.end{matrix}}}

Определения[править | править код]

Функция «пол» lfloor cdot rfloor colon xmapsto lfloor xrfloor определяется как наибольшее целое, меньшее или равное x:

{displaystyle lfloor xrfloor =max{nin mathbb {Z} mid nleqslant x}.}

Функция «потолок» lceil ,cdot ,rceil colon xmapsto lceil xrceil — это наименьшее целое, большее или равное x:

{displaystyle lceil xrceil =min{nin mathbb {Z} mid ngeqslant x}.}

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[7]

{displaystyle {begin{matrix}lfloor xrfloor =n&Longleftrightarrow &nleqslant x<n+1&Longleftrightarrow &x-1<nleqslant x,\lceil xrceil =n&Longleftrightarrow &n-1<xleqslant n&Longleftrightarrow &xleqslant n<x+1.end{matrix}}}

Свойства[править | править код]

В формулах, записанных ниже, буквами x и y обозначены вещественные числа, а буквами n и m — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной[править | править код]

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

lfloor ,cdot ,rfloor colon {mathbb {R}}to {mathbb {Z}},quad lceil ,cdot ,rceil colon {mathbb {R}}to {mathbb {Z}},quad

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

  • полунепрерывной сверху и
  • непрерывной справа.

Функция потолок является:

  • полунепрерывной снизу и
  • непрерывной слева.

Связь функций пол и потолок[править | править код]

Для произвольного числа x верно неравенство[8]

lfloor xrfloor leqslant xleqslant lceil xrceil

Для целого x пол и потолок совпадают:

lfloor xrfloor =xquad Longleftrightarrow quad xin {mathbb {Z}}quad Longleftrightarrow quad lceil xrceil =x

Если x — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

lceil xrceil -lfloor xrfloor ={begin{cases}1,&xnotin {mathbb {Z}}\0,&xin {mathbb {Z}}end{cases}}

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

lfloor -xrfloor =-lceil xrceil ,quad lceil -xrceil =-lfloor xrfloor

Пол/потолок: неравенства[править | править код]

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами
[7]:

{begin{matrix}nleqslant x&Longleftrightarrow &nleqslant lfloor xrfloor &qquad xleqslant n&Longleftrightarrow &lceil xrceil leqslant n\n<x&Longleftrightarrow &n<lceil xrceil &qquad x<n&Longleftrightarrow &lfloor xrfloor <nend{matrix}}

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

xleqslant yRightarrow lfloor xrfloor leqslant lfloor yrfloor ,quad xleqslant yRightarrow lceil xrceil leqslant lceil yrceil

Пол/потолок: сложение[править | править код]

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
[9]:

lfloor x+nrfloor =lfloor xrfloor +n,quad lceil x+nrceil =lceil xrceil +n

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

lfloor xrfloor +lfloor yrfloor leqslant lfloor x+yrfloor leqslant lfloor xrfloor +lfloor yrfloor +1,quad lceil xrceil +lceil yrceil -1leqslant lceil x+yrceil leqslant lceil xrceil +lceil yrceil

Пол/потолок под знаком функции[править | править код]

Имеет место следующее предложение:[10]

Пусть f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

f(x)in {mathbb {Z}}Rightarrow xin {mathbb {Z}}

Тогда

lfloor f(x)rfloor =lfloor f(lfloor xrfloor )rfloor ,quad lceil f(x)rceil =lceil f(lceil xrceil )rceil

всякий раз, когда определены f(x),f(lfloor xrfloor ),f(lceil xrceil ).

В частности,

leftlfloor {frac {x+m}{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {leftlfloor xrightrfloor +m}{n}}rightrfloor ,quad leftlceil {frac {x+m}{n}}rightrceil =leftlceil {frac {leftlceil xrightrceil +m}{n}}rightrceil

если m и n — целые числа, и n>0.

Пол/потолок: суммы[править | править код]

Если m,n — целые числа, m>0, то
[11]

n=leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n+1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {n+m-1}{m}}rightrfloor

Вообще, если x — произвольное вещественное число, а m — целое положительное, то

lfloor mxrfloor =leftlfloor xrightrfloor +leftlfloor x+{frac {1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor x+{frac {m-1}{m}}rightrfloor

Имеет место более общее соотношение
[12]:

sum _{{0leqslant k<m}}leftlfloor {frac {nk+x}{m}}rightrfloor =dleftlfloor {frac {x}{d}}rightrfloor +{frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{frac {d-1}{2}},quad d=(m,n)

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно m и n, то справедлив следующий закон взаимности:

sum _{{0leqslant k<m}}leftlfloor {frac {nk+x}{m}}rightrfloor =sum _{{0leqslant k<n}}leftlfloor {frac {mk+x}{n}}rightrfloor ,quad m,n>0

Разложимость в ряд[править | править код]

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

{displaystyle [x]=sum _{n=-infty }^{+infty }nleft(theta (x-n)-theta (x-n-1)right),}

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

{displaystyle sum _{n=-infty }^{+infty }theta left(x-nright),}

который расходится.

Применение[править | править код]

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа[править | править код]

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно
[13]

lfloor log _{{b}}nrfloor +1

Округление[править | править код]

Ближайшее к x целое число может быть определено по формуле

(x)=lfloor x+0{,}5rfloor

Бинарная операция mod[править | править код]

Операция «остаток по модулю», обозначаемая {displaystyle x{bmod {y}}}, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если x,y — произвольные вещественные числа, и yneq 0, то неполное частное от деления x на y равно

lfloor x/yrfloor ,

а остаток

x,{bmod ,}y=x-ylfloor x/yrfloor

Дробная часть[править | править код]

Дробная часть вещественного числа x по определению равна

{x}=x,{bmod ,}1=x-lfloor xrfloor

Количество целых точек промежутка[править | править код]

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами alpha и beta , то есть количество целых чисел n, удовлетворяющий неравенству

alpha leqslant nleqslant beta

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

lceil alpha rceil leqslant nleqslant lfloor beta rfloor .

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами lceil alpha rceil и lfloor beta rfloor , равное lfloor beta rfloor -lceil alpha rceil +1.

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже
[14].

#{nin {mathbb {Z}}colon alpha leqslant nleqslant beta }=lfloor beta rfloor -lceil alpha rceil +1
#{nin {mathbb {Z}}colon alpha leqslant n<beta }=lceil beta rceil -lceil alpha rceil
#{nin {mathbb {Z}}colon alpha <nleqslant beta }=lfloor beta rfloor -lfloor alpha rfloor
#{nin {mathbb {Z}}colon alpha <n<beta }=lceil beta rceil -lfloor alpha rfloor -1

(Через #M обозначена мощность множества M).

Первые три результата справедливы при всех alpha leqslant beta , а четвёртый — только при alpha <beta .

Теорема Рэлея о спектре[править | править код]

Пусть alpha и beta  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением
[15]

{frac {1}{alpha }}+{frac {1}{beta }}=1.

Тогда в ряду чисел

lfloor alpha rfloor ,lfloor beta rfloor ,lfloor 2alpha rfloor ,lfloor 2beta rfloor ,ldots ,lfloor malpha rfloor ,lfloor mbeta rfloor ,ldots

каждое натуральное nin mathbb {N} встречается в точности один раз.
Иными словами, последовательности

{malpha mid min {mathbb {N}}} и {mbeta mid min {mathbb {N}}},

называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.[16]

В информатике[править | править код]

В языках программирования[править | править код]

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки[править | править код]

В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка lfloor , rfloor , lceil , rceil существуют специальные команды: lfloor, rfloor, lceil, rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. ↑ Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. ↑ Iverson, p. 12.
  4. ↑ Higham, p. 25.
  5. ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. ↑ Weisstein, Eric W. Floor Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. ↑ А. Баабабов. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

См. также[править | править код]

  • Дробная часть
  • Округление
  • Десятичный разделитель

Литература[править | править код]

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.
Источник

Как найти целую часть

Сегодня существует несколько основных форм записи рациональных чисел. В основном они представляются в виде различных (десятичных, обыкновенных правильных, неправильных и смешанных) дробей. Для того чтобы найти целую часть рационального числа, удобно использовать метод, зависящий от формы записи.

Как найти целую часть

Инструкция

Освойте основное правило, требующееся при нахождении целых частей чисел. Оно вытекает из самого определения целой части, указывающего на то, что она не может быть больше исходного числа. Иными словами, абсолютные значения целых частей положительных чисел должны сохраняться, а отрицательных – уменьшаться на единицу после их выделения.

Найдите целую часть рационального числа, записанного в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Для этого сначала отбросьте дробную часть, которая расположена после знака десятичного разделителя (в большинстве стран это запятая, в некоторых англоязычных странах – точка). Затем воспользуйтесь правилом нахождения целых частей, описанным в предыдущем шаге. Так, целой частью положительного числа 34,567 будет являться 34. Для отрицательного -23.45 целая часть будет равно -24.

Порядок действий при нахождении целой части рационального числа, представленного в виде смешанной дроби (имеющей часть, состоящую из целого числа и правильной дроби), аналогичен тому, что был описан в предыдущем пункте для десятичных дробей. Сначала также отбросьте дробную часть, а потом примените правило из первого шага. Так, целая часть числа 3¼ будет равна 3, а числа -3¾ – -4.

У обыкновенных правильных дробей модуль числителя меньше модуля знаменателя. Поэтому, представляя их в виде неправильной дроби и применяя подход, описанный в предыдущем шаге, можно придти к выводу, что для нахождения их целой части стоит применять простое правило. Если правильная дробь положительна, то целая часть равна нулю. Если же отрицательна, то -1.

Для нахождения целой части не смешанных неправильных дробей сначала приведите их к или десятичным. Для этого просто разделите числитель на знаменатель. Затем выполните действия, описанные во втором шаге.

Видео по теме

Полезный совет

Применяйте операции нахождения целой части при использовании инженерных калькуляторов или программного обеспечения для осуществления вычислений.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Целое и часть

Нахождение части по целому

Целое и часть

Для того чтобы найти некоторую часть числа, это число умножают на дробь, которое выражает эту часть.

По уставу сообщества, для того чтобы отчетное собрание являлось полномочным, присутствие на нем должно составлять, как правило, не менее двух третьих от общего числа персонала компании. В организации, проводящей данное собрание, общее число работающих в ней сотрудников составляет 120 человек. Требуется установить, при каком числе пришедших допускается проведение собрания?

Количество участников должно составить восемьдесят человек, что является двумя третями от ста двадцати человек:

Нахождение целого по части

Чтобы, найти целое число по значению данной его части, эту величину делят на дробь, которая выражает её часть.

Вес обработанной туши животного составляет три пятых общего живого веса. Нужно определить какой должен быть живой вес животного, чтобы его заготовленная туша весила 420 кг?

Живой вес животного составляет семьсот килограмм по отношению к туше:

Выражение части в долях целого

Чтобы выразить необходимую часть в долях целого, эту часть делят на исходное целое.

Чтобы узнать, какая часть сотрудников отсутствует, если известно, что четыре человека находятся вне расположения предприятия, а общее их число составляет 30, нужно разделить четыре на тридцать:

4 : 30 =

4

30

 =

2

15
Источник

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти часть от целого числа n, которая представлена дробью, нужно умножить эту дробь (например, a/b) на данное число n.

Дробь от числа = n ⋅a / b

 =  n ⋅ a / b

 Пример 1

Найдем5 / 12

от числа 24.

 Решение

5 / 12

⋅ 24 =5 ⋅ 24 / 12

=120 / 12

= 10

 Пример 2

Найдем4 / 9

от числа 7.

 Решение

4 / 9

⋅ 7 =4 ⋅ 7 / 9

=28 / 9

=31 / 9

  Таким образом, результат нахождения дроби числа не всегда бывает целым числом.

Примечание: если дробь является смешанной, сперва ее следует представить в виде неправильной и только потом выполнять умножение.

Видео

Нахождение дроби от числа

Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:

Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.

Задача 1. Было  600  рублей,  Решение: Чтобы найти    от  600&nbs  этой суммы истратили. Сколько денег истратили?

Решение: Чтобы найти  600 : 4 = 150 (р.).  от  600  рублей, надо эту сумму разделить на  4  части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:

600 : 4 = 150 (р.).

Ответ: Истратили  150  рублей.

Задача 2. Было  1000  рублей,  Решение: Из условия задачи мы знаем, что  100  этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?

Решение: Из условия задачи мы знаем, что  1000  рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от  1000,  а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:

1) 1000 : 5 = 200 (р.)  — одна пятая часть.

2) 200 · 2 = 400 (р.)  — две пятых части.

Эти два действия можно объединить:

1000 : 5 · 2 = 400 (р.).

Ответ: Было истрачено  400  рублей.

Второй способ нахождения части целого:

Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.

Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее  Решение:  членов организации. В кооперативе  120  членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?

Решение:

Ответ: Отчётное собрание может состояться при нали

Ответ: Отчётное собрание может состояться при наличии  80  членов организации.

Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.

А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если Требуется найти длину всей линейки по дроби . Изве длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби Требуется найти длину всей линейки по дроби . Изве. Давайте решим эту задачу.

Требуется найти длину всей линейки по дроби Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Им. Известно, что Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Им длины всей линейки составляют 6 см.

Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узн это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узн это число 2.

Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

Если две части длины линейки составляют 6 см, то н

Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

6 см : 2 = 3 см

Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или 3 см × 5 = 15  длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5

3 см × 5 = 15

Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.

Видно, что пять частей из пяти или  составляют пят

Видно, что пять частей из пяти или Чтобы легче было находить число по его дроби, можн составляют пятнадцать сантиметров.

Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.

Пример 2. Число 20 это Знаменатель дроби  показывает, что число, которое  от всего числа. Найдите это число.

Знаменатель дроби 20 : 4 = 5  показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если 20 : 4 = 5  этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти 20 : 4 = 5  (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби 20 : 4 = 5

20 : 4 = 5

Мы нашли 5 × 5 = 25  от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби 5 × 5 = 25

5 × 5 = 25

Мы нашли Пример 3. Десять минут это  времени приготовления  от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.

Пример 3. Десять минут это Знаменатель дроби  показывает, что общее время при времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби 10 мин : 2 = 5 мин  показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если 10 мин : 2 = 5 мин  времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти 10 мин : 2 = 5 мин  времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби 10 мин : 2 = 5 мин

10 мин : 2 = 5 мин

Мы нашли 5 мин × 3 = 15 мин  времени приготовления каши. 5 мин × 3 = 15 мин  времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби 5 мин × 3 = 15 мин

5 мин × 3 = 15 мин

Мы нашли Пример 4.     массы мешка цемента составляет 30 кг времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.

Пример 4.   Знаменатель дроби показывает, что общая масса меш  массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби 30кг : 2 = 15кг показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если 30кг : 2 = 15кг массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти 30кг : 2 = 15кг массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби 30кг : 2 = 15кг.

30кг : 2 = 15кг

Мы нашли 15кг × 4 = 60кг массы мешка. 15кг × 4 = 60кг массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби 15кг × 4 = 60кг

15кг × 4 = 60кг

Мы нашли массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.

Нахождение целого по части

Чтобы, найти целое число по значению данной его части, эту величину делят на дробь, которая выражает её часть.

Вес обработанной туши животного составляет три пятых общего живого веса. Нужно определить какой должен быть живой вес животного, чтобы его заготовленная туша весила 420 кг?

Живой вес животного составляет семьсот килограмм по отношению к туше:

Регистрация

Ваше имя

E-mail

Пароль

Хочу получать рассылку рекламных и информационных сообщений.

Нажимая на кнопку «Регистрация», вы подтверждаете свое согласие сусловиями предоставления услуг (пользовательское соглашение) и условиями обработки персональных данных

Теги

Источник

Математика

5 класс

Урок № 67

Нахождение части целого и целого по его части

Перечень рассматриваемых вопросов

– нахождение целого по его части;

– нахождение части целого;

– моделирование условий задачи с помощью рисунка.

Тезаурус

Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Частное дробей – это дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже рассмотрели, как выполняют умножение и деление дробей. Сегодня с помощью этих действий мы будем решать задачи.

Рассмотрим две задачи.

Теперь определим, какие условия в задачах одинаковы, а какие различаются.

Общее:

  1. в задачах одинаковые числовые данные;
  2. за целое принята длина всей ленты.

Разное:

  1. в первой задаче целое известно (длина ленты – 18 м);
  2. во второй задаче целое нужно найти.

Значит, в первой задаче нужно найти часть отрезанной ленты, то есть часть от целого; а во второй задаче нужно найти всю длину ленты, то есть целое по его части.

Подобные задачи решаются в соответствие с известными правилами.

  1. Чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части.
  2. Чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую дробь.

Если вы затрудняетесь определить тип задачи, обратите внимание на союз «что» и указательное местоимение «это». Они встречаются в задачах на нахождение целого по его части.

Решение.

Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.

После этого мы увидим, что длина целой ленты известна, а длину части следует вычислить. Значит, мы будем находить часть от целого. Используем для этого соответствующее правило. Чтобы найти часть числа, нужно число умножить на дробь. Получим:

Решение.

Опять смоделируем условие задачи с помощью рисунка.

Таким образом, мы увидим, что длина целой ленты неизвестна, а длина части указана в условии. Значит, нам надо вычислить целое по его части. Для этого мы используем подходящее правило. Чтобы найти целое, нужно число, соответствующее части, разделить на дробь.

Получится:

Итак, сегодня на уроке мы научились:

    • моделировать условие задачи с помощью рисунка;
    • устанавливать соответствие между математическим выражением и его текстовым описанием;
    • решать задачи на нахождение части целого и целого по его части.

Рассмотрим старинную индийскую задачу XII века.

Из множества лотосов были подарены: богу Шиве – треть всех цветов, богу Вишну – пятая часть, а Солнцу – шестая, четвёртую долю получила богиня Бхавани, а остальные шесть частей – уважаемый учитель. Сколько было всего лотосов?

Сегодня мы с вами научимся решать такие задачи с применением действий умножения и деления, изученных ранее.

Решение.

Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.

Общее количество лотосов обозначим за единицу. Также укажем части (лотосы), которые распределялись между всеми, кто указан в задании.

Известно, что часть, доставшаяся учителю, равна шести лотосам. Значит, если мы будем знать, какая это доля от общего количества лотосов, то придём ко второму типу задачи – вычислению целого по его части.

Итак, найдём, какая часть от общего количества цветков досталась учителю.

Для этого вычислим сначала, сколько составляют все остальные части. Сложим все дроби, соответствующие частям, приведя их к общему знаменателю 60.

Ответ: 120 цветков.

Тренировочные задания

№ 1. Какие части изображены на рисунках?

Правильные ответы:

№ 2. Подставьте в текст нужные слова:

При решении задач на ___ сначала нужно определить ___ задачи, а потом применить соответствующее правило.

Типы задач:

  1. нахождение ___ от целого;
  2. нахождение целого по его ___.

Варианты слов для подстановки в текст: части; тип; целого.

Правильный ответ: при решении задач на части сначала нужно определить тип задачи, а потом применить соответствующее правило.

Типы задач:

  1. нахождение части от целого;
  2. нахождение целого по его части.
Источник

Добавить комментарий