Как найти целые числа системы неравенств

x −2 » и « 0 ».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства .

Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.

Знаки сравнения (« » или « ≤ ») в двойном неравенстве всегда смотрят влево .

Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.

5(x + 1) − x > 2x + 2

4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x

5x + 5 − x > 2x + 2

4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

5x − x + 5 > 2x + 2

4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

4x + 5 > 2x + 2

4x + 2 ≤ 3x + 2

4x − 2x > 2 − 5

4x − 3x ≤ 2 − 2

Ответ: −1

При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.

Источник

Математика по полочкам

Готовимся к экзамену по математике за период обучения на II ступени общего среднего образования

13. Системы неравенств

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти пересечение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.

Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.

Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти объединение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Пример:
Решить совокупность неравенств:

Источник

Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

2x + 2\ 1 — 3x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

2 — 12\ — 3x + 5x

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>знак неравенства не меняется:

— 10___left| <:5 >0> right.\ 2x 0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

— 2\ x

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

4x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.\ frac<<7>>> <2>+ <3^<backslash 2>> > 4>___left| < cdot 2 >0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

8x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

— 6 end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

0> right.\ — x > — 6___left| <:( – 1)

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x Рубрика: Неравенства | Комментарии

Источник

Найти целые цешения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

7x — 5\ 5 — x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

— 5 — 3\ — x + 6x

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

— 8___left| <:2 >0> right.\ 5x 0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

— 4\ x

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

17 — 4x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

17 — 37 end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

0> right.\ — 4x > — 20___left| <:( – 4)

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.

Множество решений системы состоит из единственного элемента — <2>. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

Источник

Adblock
detector

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

7x – 5\ 5 – x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на . При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

Title=”Rendered by QuickLaTeX.com”>

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

Неравенство
это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x – 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений
. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами
.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств

Для любых вещественных чисел a, b,
и c
:
Принцип прибавления неравенств
: Если a
Принцип умножения для неравенств
: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами
.

Пример 1
Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x – 5
b) 13 – 7x ≥ 10x – 4
Решение

Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x

Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x – 5 и y 2 = 6 – 2x. Тогда отсюда видно, что для x

Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и
, или
, тогда формируется двойное неравенство
.
Двойное неравенство, как
-3
и
2x + 5 ≤ 7
называется соединённым
, потому что в нём использовано и
. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2
Решите -3
Решение
У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или
x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения
или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x – 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или
x > 3}, y 1 ≤ y 2 или
y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или
y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4
Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 – 2x| ≥ 1

Решение

a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3

b) |5 – 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или
x ≥ 3}, или (-∞, 2] .

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Ответ:
x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется – 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число – 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .

Ответ:
z < 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решить неравенство – 5 · x – 15 22 ≤ 0 .

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется – 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь – 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести – 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на – 5 , изменить знак неравенства:

5 · x ≤ 15 22 ; – 5 · x: – 5 ≥ 15 22: – 5 x ≥ – 3 22

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: – 5 = – 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число – 15 22: 5 = – 15 22 · 1 5 = – 15 · 1 22 · 5 = – 3 22 .

Ответ:
x ≥ – 3 22 и [ – 3 22 + ∞) .

Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :

Определение 5

Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

Решение

Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ
: промежуток (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

Ответ:
решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ
: неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

• введение функции y = a · x + b ;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .

Ответ
: (− ∞ , 4) или x < 4 .

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

• решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
• решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.

Определение 8

Построение графика функции y = a · x + b производится:

• во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
• во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
• во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство – 5 · x – 3 > 0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции – 5 · x – 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х – 5 · x – 3 > 0 получим значение – 3 5 . Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч – ∞ , – 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки – 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.

Ответ
: – ∞ , – 3 5 или x < – 3 5 .

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

Ответ
: второе неравенство имеет решение при любом значении x .

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x – 3 5 – 2 · x + 1 > 2 7 · x .

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x .

Пример 9

Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ
: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1
является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
    Решение:
          .
    Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств  
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

    Решение:
        
    Ответ: 

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

        

        

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0. 
    Решение:
          
    Ответ: . 

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где   .
    Решение:
        Область определения неравенства: .
        С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

        

        Решаем методом интервалов.

        
        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:
             
        

        

        Методом интервалов:

        

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1. 
    Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:    
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

    Решение:

        Область определения .

        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе . 

        Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

    Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

    Решение:

        Область определения:  

        Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства –  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.

        

        

         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

    Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

    Решение:

        Раскрываем знак модуля.

        
        Объединим решения систем 1) и 2): .

    Ответ: . 

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА. Плохо обработанные заметки, и не уверен, что скоро вернусь к ним…

Найти двузначные натуральные числа, удовлетворяющие уравнению $ 17, x+ 20, y+45, z =4111 $.

Решение. Выражаем $ x_<> $: $$ x=241-y-2,z+frac<14-3,y-11,z> <17> . $$ Полагаем $$ 17, t_1 =14-3,y-11,z quad iff quad 17, t_1 + 3,y+11,z=14 . $$ Выражаем $ y_<> $: $$ y=4-3,z-5,t_1+frac<2-2,z-2,t_1> <3> . $$ Полагаем $$ 3, t_2=2-2,z-2,t_1 quad iff quad 3, t_2+2,z+2,t_1=2 . $$ Выражаем $ z_<> $: $$ z=1-t_1-t_2-frac <2> . $$ Полагаем $$ t_2=2,t_3 . $$ Теперь выражаем неизвестные $ x,y,z_<> $: $$ z=1-t_1-3,t_3, y=1-2, t_1 +11, t_3, x=238+5, t_1- 5, t_3 . $$ При любых значениях параметров $ subset mathbb Z $ последние формулы дадут решение уравнения. Для того, чтобы удовлетворить дополнительным ограничениям на решения, параметры должны подчиняться условиям: $$ 9 t_3>-18 , $$ (здесь мы снова воспользовались целочисленностью параметра). Умножим теперь первое неравенство на $ 2_<> $ и прибавим ко второму: $$-84 ☞ ЗДЕСЬ схеме. Если это уравнение разрешимо в целых числах, то множество его решений записывается в виде соотношений $$ x_1=beta_<11>t_1+dots+beta_<1,n-1>t_ + gamma_1,dots x_n=beta_t_1+dots+beta_t_ + gamma_n, $$ при некоторых фиксированных целочисленных $ <beta_>, <gamma_j>$ и произвольном выборе целочисленных параметров $ t_1,dots,t_ $. Подставляем полученные соотношения в оставшиеся уравнения системы, переписываем их в новую систему — относительно новых неизвестных $ t_1,dots,t_ $. Число уравнений и число неизвестных уменьшились на единицу. Продолжаем процесс.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ left< begin x_1& & – x_3 & +4,x_4 &=3, \ 2,x_1 &- x_2 & & & =3, \ 3,x_1 &-2,x_2 & & -x_4 & =1. end right. $$

Решение. Из второго уравнения выражаем $ x_ <2>$: $$x_2=-3+2, x_1=t_1 quad Rightarrow quad x_1=frac<3+t_1>2=1+frac2 . $$ Обозначим $$t_2=frac2 quad Rightarrow quad x_1=1+t_2, quad Rightarrow quad x_2=-1+2,t_2 . $$ Подставляем в третье: $$ x_4=4-t_2 , $$ теперь все получившиеся выражения для $ x_1,x_2,x_4 $ подставляем в первое уравнение: $$ x_3=14-3,t_2 . $$

Ответ. $ x_1 = 1+t_2, x_2 =-1+2,t_2, x_3=14-3,t_2, x_4=4-t_2 $ при $ t_2 in mathbb Z $.

Решим теперь более сложный пример.

Пример. Решить систему линейных уравнений в целых числах $$ left< begin 5,x_1& + 7, x_2 & +8,x_3 &=11, \ 2,x_1 &- 3,x_2 & +6,x_3 & =5. end right. $$

Решение. Имеем из первого уравнения: $$ x_1=frac<11-7,x_2-8,x_3><5>=2-x_2-x_3+frac<1-2,x_2-3,x_3> <5>quad Rightarrow quad t_1=frac<1-2,x_2-3,x_3> <5> . $$ Далее, $$ 2,x_2+3,x_3+5,t_1=1 quad Rightarrow quad x_2=frac<1-3,x_3-5,t_1><2>=-x_3-2,t_1+ frac<1-x_3-t_1> <2>quad Rightarrow quad t_2=frac<1-x_3-t_1> <2> . $$ Получаем выражение для $ x_ <3>$: $$ x_3=1-t_1-2,t_2 , $$ подставляем его в выражение для $ x_ <2>$: $$ x_2=-x_3-2,t_1+t_2=-t_1=3,t_2-1 . $$ Теперь $$ x_1=2-x_2-x_3+t_1=2+3,t_1-t_2 . $$ Все три получившиеся формулы подставляем во второе уравнение системы: $$ 3,t_1-23,t_2=-8 . $$ Решаем это уравнение в той же технике, получаем: $$t_1=23,u_2+5, t_2=3, u_2+1 . $$ И возвращаемся к выражениям для $ x_1,x_2,x_3 $.

Ответ. $ x_1=16+66, u_2, x_2=-3-14, u_2, x_3=-6-29, u_2 $ при $ u_2 in mathbb Z $.

Если бы мы решали предыдущую систему в рациональных или вещественных числах, то получили бы аналогичный вид решения: $$ x_1=x_<10>+66, t, x_2=x_<20>-14, t, x_3=x_<30>-29, t quad npu quad t in mathbb R . $$ Можно проверить, что сомножители при $ t_<> $ — это величины миноров системы уравнений, т.е. $$ left| begin a_ <12>& a_ <13>\ a_ <22>& a_ <23>end right| , quad -left| begin a_ <11>& a_ <13>\ a_ <21>& a_ <23>end right| , quad left| begin a_ <11>& a_ <12>\ a_ <21>& a_ <22>end right| $$ соответственно. См. упражнение ☞ ЗДЕСЬ. Геометрически: направляющий вектор прямой, соответствующей пересечению двух плоскостей, всегда можно выбрать целочисленным. Таким образом, если система имеет целочисленное решение, то вхождения параметра в формулы, описывающие все множество этих решений, можно оценить с помощью методов линейной алгебры (см. теорию ☞ ЗДЕСЬ ). Проблема заключается в поиске хотя бы одного частного целочисленного решения $ x_<10>,x_<20>,x_ <30>$. Вот оно может и не существовать. К примеру, система $$ left< begin 2,x_1& + x_2 & -x_3 &=1, \ x_1 &+ 2,x_2 & + x_3 & =1 end right. $$ не имеет решений в $ mathbb Z_<> $.

Решение системы линейных уравнений в целых числах возможно еще симплекс-методом, но с этим я еще не разбирался. И следующий результат тоже выкладываю в надежде когда-нибудь разобраться…

Теорема [Минковский]. Рассмотрим систему вещественных линейных неравенств относительно неизвестных $ x_<1>,dots,x_n $ $$ left< begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ ldots&+a_<1n>x_n &le b_1,\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ ldots&+a_<2n>x_n &le b_2,\ dots & & & dots & \ a_x_1 &+a_x_2&+ ldots&+a_x_n & le b_n. end right. $$ при $ b_1>0,b_2>0,dots,b_n>0 $. Пусть определитель коэффициентов левых ее частей отличен от нуля: $$ det [a_]_^n ne 0 . $$ Тогда система имеет целочисленное решение если произведение правых ее частей не меньше абсолютной величины этого определителя: $$ prod_^n b_j ge left| det [a_]_^n right| . $$

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Найти целые решения системы неравенств

В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

7x – 5\ 5 – x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

– 5 – 3\ – x + 6x

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

– 8___left| <:2 >0> right.\ 5x 0> right. end right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

– 4\ x

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

17 – 4x end right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

17 – 37 end right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

0> right.\ – 4x > – 20___left| <:( – 4)

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

Целые решения на промежутке [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

0> right. end right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

0> right. end right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.

Множество решений системы состоит из единственного элемента — <2>. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

[spoiler title=”источники:”]

http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html

[/spoiler]