Как найти целые решения неравенства примеры

Как найти целые решения неравенства примеры

    При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы. 
    Напомним свойства числовых неравенств.
    1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
    2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
    3. Если а > b, то а + c > b+ c (и  а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
    4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
    5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
    6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и  , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
    Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
    7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

    8. Если а > b, где а, b > 0, то  и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
    Решение:
          .
    Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств  
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств 

    Решение:
        
    Ответ: 

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.
    Решение:
        х2 > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

        

        

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0. 
    Решение:
          
    Ответ: . 

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где   .
    Решение:
        Область определения неравенства: .
        С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству

        

        Решаем методом интервалов.

        
        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:
             
        

        

        Методом интервалов:

        

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1. 
    Ответ:  – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:    
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

    Решение:

        Область определения .

        – быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе . 

        Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

    Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

    Решение:

        Область определения:  

        Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства –  положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное  исходному.

        

        

         т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

    Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

    Решение:

        Раскрываем знак модуля.

        
        Объединим решения систем 1) и 2): .

    Ответ: . 

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

    Решение:

                      .

    Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

    Решение:

        .

    Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

    Решение:

        

    Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

    Решение:

        
    Ответ: .    

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

 Целые неравенства и системы неравенств

    1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

    2) Решите неравенство – 5х > 0,25. 

    3) Решите неравенство .

    4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

    5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

    6) Решите неравенство 
 .

    7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

    8) Решить систему неравенств  

    9) Найдите целочисленные решения системы неравенств . 

    10) Решить систему неравенств .

    11) Решить систему неравенств  

    12) Найти наименьшее целое решение неравенства  

    13) Решите неравенство .

    14) Решите неравенство .

    15) Решите неравенство .

    16) Решите неравенство .

    17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

    18) Решить систему неравенств  

    19) Найти все целые решения системы  

Рациональные неравенства и системы неравенств

    20) Решите неравенство .

    21) Решите неравенство .

    22) Определите число целых решений неравенства .

    23) Определите число целых решений неравенства .

    24) Решите неравенство .

    25) Решите неравенство 2x<16 .

    26) Решите неравенство .

    27) Решите неравенство .

    28) Решите неравенство .

    29) Найдите сумму целых решений неравенства  на отрезке [– 7, 7].

    30) Решите неравенство .

    31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

    32) Решите неравенство .

    33) Решите неравенство 

    34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

    35) Решите неравенство .

    36) Решите неравенство .

    37) Решите неравенство .

    38) Решите неравенство .

    39) Решите неравенство .

    40) Решите неравенство 49∙7х < 73х + 3.

    41) Найдите все целые решения неравенства .

    42) Решите неравенство .

    43) Решите неравенство .

    44) Решите неравенство 7x+1-7x<42 .

    45) Решите неравенство log3(2x2+x-1)>log32 .

    46) Решите неравенство log0,5(2x+3)>0 .

    47) Решите неравенство .

    48) Решите неравенство .

    49) Решите неравенство .

    50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .

    51) Решите неравенство logx9<2.

    52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

    53) Решите неравенство |x-3|>2x.

    54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

    55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

    56) Решить систему неравенств  

    57) Решить систему неравенств .

    58) Решите неравенство .

    59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .

    60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; 8) (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5;               11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5; 

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17);                                           28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35);   36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1;                           45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0;            51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60) 

.

Источник

Найти целые решения системы неравенств




В алгебре часто требуется не просто решить систему неравенств, но выбрать из полученного множества решений решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Найти целые решения системы неравенств — одно из заданий такого рода.

1) Найти целые решения системы неравенств:

    [left{ begin{array}{l} 9x + 3 > 7x - 5\ 5 - x < 15 - 6x end{array} right.]

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    [left{ begin{array}{l} 9x - 7x > - 5 - 3\ - x + 6x < 15 - 5 end{array} right.]

После упрощения разделим обе части каждого неравенства на     [left{ begin{array}{l} 2x > - 8___left| {:2 > 0} right.\ 5x < 10___left| {:5 > 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} x > - 4\ x < 2 end{array} right.]

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Решением системы является пересечение решений (то есть та часть, где штриховка есть на обеих прямых).

Оба неравенства строгие, поэтому -4 и 2 изображаются выколотыми точками и в решение не входят:

najti-celye-cesheniya-sistemy-neravenstv

Из промежутка (-4;2) выбираем целые решения.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

2) Какие целые решения имеет система неравенств?

    [left{ begin{array}{l} 4x + 1 ge x - 5\ 37 - 8x > 17 - 4x end{array} right.]

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком

    [left{ begin{array}{l} 4x - x ge - 5 - 1\ - 8x + 4x > 17 - 37 end{array} right.]

Упрощаем и делим обе части на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется, второе — на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный:

    [left{ begin{array}{l} 3x ge - 6___left| {:3 > 0} right.\ - 4x > - 20___left| {:( - 4) < 0} right. end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} x ge - 2\ x < 5 end{array} right.]

Отмечаем решения неравенств на числовых прямых. Первое неравенство нестрогое, поэтому -2 изображаем закрашенной точкой. Второе неравенство нестрогое, соответственно, 5 изображается выколотой точкой:

celye-cesheniya-sistemy-neravenstv

Целые решения на промежутке  [-2;5) — это -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

В некоторых примерах не требуется перечислять целые решения, нужно лишь указать их количество.

3) Сколько целых решений имеет система неравенств?

    [left{ begin{array}{l} 3x - 4 ge 5x + 3\ 11x - 2 le 15 + x end{array} right.]

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую:

    [left{ begin{array}{l} 3x - 5x ge 3 + 4\ 11x - x le 15 + 2 end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} - 2x le 7___left| {:( - 2) < 0} right.\ 10x le 17___left| {:10 > 0} right. end{array} right.]

Обе части первого неравенства делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Обе части второго неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не меняется:

    [left{ begin{array}{l} x ge - 3,5\ x le 1,7 end{array} right.]

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых. Оба неравенства нестрогие, поэтому -3,5 и 1,7 изображаем закрашенными точками:

skolko-celyh-ceshenij-imeet-sistema-neravenstv

Решением системы является промежуток [-3,5; 1,7]. Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

Ответ: 5.

4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

    [left{ begin{array}{l} 12 - 3x ge 5x - 4\ 5x - 5 ge 17 - 6x end{array} right.]

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

    [left{ begin{array}{l} - 3x - 5x ge - 4 - 12\ 5x + 6x ge 17 + 5 end{array} right.]

    [left{ begin{array}{l} - 8x ge - 16___left| {:( - 8) < 0} right.\ 11x ge 22___left| {:11 > 0} right. end{array} right.]

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется, при делении на отрицательное число — меняется на противоположный:

    [left{ begin{array}{l} x le 2\ x ge 2 end{array} right.]

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых.najti-kolichestvo-celyh-ceshenij-sistemy-neravenstv

Множество решений системы состоит из единственного элемента — {2}. 2 — целое число, следовательно, решением данной системы является одно целое число.

Ответ: 1.

Источник

План урока:

Целые неравенства

Неравенства первой степени

Неравенства второй степени

Метод интервалов

Неравенства высоких степеней

Дробно-рациональные неравенства

Целые неравенства

Неравенства по своей сути очень похожи на уравнения. Аналогично понятию целого уравнения существует понятие целого неравенства. Так называют то нер-во, в котором используются сложение и умножение, вычитание и деление, возведение в степень, но в котором нет деления на выражения с переменной. Другими словами, ни в одном знаменателе в целом нер-ве не должно быть переменных величин.

Приведем примеры целых нер-в:

14х4 + 13х2⩽ 91х3 + 2

у3 – 7 > 1/5

(z + 1)/8 <z15 + 4z9

Если бы переменная могла быть в знаменателе, то знаменатель мог бы обращаться в ноль при некоторых ее значениях, что недопустимо в математике.Но так как в целых нер-вах переменная не находиться в знаменателе, то она может принимать любое значение.

Любое целое нер-во можно преобразовать так, чтобы в одной его части (обычно правой) стоял ноль, а в другой части – некоторый многочлен Р(х).

Пример. Преобразуйте нер-во

(х3 + 7)(2х – 3) >4х(х2 – 5х + 9)

к виду Р(х) > 0, где Р(х) – это многочлен.

Решение. Раскроем скобки в каждой части нер-ва:

(х3 + 7)(2х – 3) >4х(х2 – 5х + 9)

2х4 – 3х3 + 14х – 21 > 4x3– 20х2 + 36х

Перенесем слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х4 – 3х3 + 14х – 21 – 4x3+ 20х2 – 36х > 0

2х4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 > 0

Ответ:2х4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 > 0

Как и в случае с уравнениями, у нер-в есть степени. Она равна степени многочлена, стоящего в одной из его частей. Так, степень неравенства в рассмотренном только что примере равна 4, ведь степень полинома 2х4 – 7х3 + 20х2 – 22х – 21 равна 4.

Неравенства первой степени

В общем виде неравенства первой степени выглядит так:

ах + b> 0

где а и b– некоторые числа, а х – переменная.

Естественно, вместо знака «>»могут стоять знаки «<», «⩾» и«⩽». Приведем примеры нер-в первой степени:

5х – 12 > 0

– 4,52у + 63 ⩾ 0

34z+ 9 < 0

Для решения такого нер-ва свободный член (коэффициент b) переносят в другую часть нер-ва, а потом делят нер-во на коэффициент а. Здесь важно помнить, что при делении нер-ва на отрицательное число оно меняет знак!

Пример. Решите нер-во

5х – 15 > 0

Решение:

5х – 15 > 0

5х > 15

х > 15/5

х > 3

Напомним, что решения нер-в традиционно записывают в виде числовых промежутков. Запись х > 3 аналогична записи х∈(3; + ∞). На числовой прямой этот промежуток выглядит так (отмечен штриховкой):

1gfdg

Для наглядности построим график функции у = 5х – 15 и отметим промежуток, на котором она больше нуля:

2hgfh

Заметим, что неравенство строгое, а потому само число 3 в его решение не входит. Из-за этого в записи (3; + ∞) первая скобка – круглая.

Ответ:(3; + ∞)

Пример. Решите нер-во

– 3х – 9 ⩾0

Решение:

– 3х – 9 ⩾0

– 3х ⩾9

х ⩽ 9/(– 3) (обратите внимание, из-за деления на отрицательное число изменился знак нер-ва!)

х ⩽ – 3

х∈(– ∞; – 3]

3trert

Также построим график у = – 3х – 9 и убедимся, что мы не ошиблись:

4fdsdf

Неравенство нестрогое, и число – 3 входит в ответ, поэтому поле него в промежутке стоит квадратная скобка.

Ответ:(– ∞; – 3]

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени в общем виде записываются так:

ах2 + bx + c> 0

Примерами таких нер-в являются

5х2 – 3х + 19 > 0

– 12у2 + 1,23у + 64 ⩾ 0

462z2 + 3z– 54 < 0

В левой части такого нер-ва стоит квадратичная функция. Вспомним два важных момента:

  1. Ветви параболы у = ах2 + bx + c смотрят вверх, если коэффициент а > 0, и смотрят вниз, если а < 0.
  2. Чтобы найти нули функции у = ах2 + bx + c, надо решить квадратное ур-ние ах2 + bx + c = 0. Если его дискриминант (D) больше нуля, то есть два нуля. Если D = 0, то есть только один ноль. Если D< 0, то парабола не пересекает ось Ох.

В соответствии с этим возможно 6 случаев расположения графика квадратичной функции на координатной плоскости, в зависимости от значений старшего коэффициента a и дискриминанта D:

5gfdfg

При решении нер-в 2-ой степени обязательно возникает один из этих случаев. Поэтому для решения нер-ва

ах2 + bx + c> 0

надо решить ур-ние ах2 + bx + c = 0 и проанализировать положение графика квадратичной функции относительно оси Ох.

Пример. Найдите промежуток, на котором справедливо нер-во

2х2 – 5х + 2 < 0

Решение. Найдем корни ур-ния 2х2 – 5х + 2 = 0.

D = b2– 4ас = (– 5)2 – 4•2•2 = 25 – 16 = 9

х1 = (5 – 3)/4 = 0,5

х2 = (5 + 3)/4 = 2

Коэффициент а параболы положителен, поэтому ее ветви смотрят вверх. Сам график будет выглядеть так:

6gfdgf

Однако нам достаточно и схематичного изображения параболы и ее нулей на координатной прямой:

7hgfgh

Нули функции разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак квадратичной функции неизменен. Отметим эти знаки:

8ghfgh

В нер-ве стоит знак «<». Значит, нам нужен промежуток от 0,5 до 2, на котором ф-ция отрицательна (парабола ниже оси Ох). Нер-во строгое, а потому сами числа 0,5 и 2 не входят в промежуток. Такие «выколотые точки» обозначают белыми кружочками:

9hgfh

Ответ: (0,5; 2)

Пример. Решите нер-во

– 2х2 + 9х – 9 ≤ 0

Решение. Сначала находим нули параболы, решая ур-ние

– 2х2 + 9х – 9 = 0

D = b2– 4ас = 92 – 4•(– 2)•(– 9) = 81 – 72 = 9

х1 = (– 9 – 3)/ (– 4) = 3

х2 = (– 9 + 3)/ (– 4) = 1,5

Коэффициент а параболы отрицательный, поэтому ее ветви смотрят вниз. Отметим на координатной прямой нули ф-ции и схематично график параболы, а также промежуток, на котором она неположительна:

10gfghfgh

Так как нер-во нестрогое, то сами нули ф-ции входят в ответ, а потому скобки рядом с нулями – квадратные. В итоге х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 1,5]∪[3; + ∞).

Пример Решите нер-во

х2 – 2х + 1 > 0

Решение. Решим квадратное ур-ние

х2 – 2х + 1 = 0

D = b2– 4ас = (– 2)2 – 4•1•1 = 4 – 4 = 0

Дискриминант равен нулю, поэтому у ур-ния лишь 1 корень.

х1 = – b/2a = – (– 2)/2 = 1

Парабола будет касаться прямой Ох в единственной точке, при этом ветви параболы должны смотреть вверх:

11fdsfdf

Получается, что ф-ция положительна на всей координатной прямой, кроме точки х = 1, где она обращается в ноль. Соответственно, в ответе надо указать объединение промежутков: х∊(– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Ответ: (– ∞; 1)∪(1; + ∞).

Пример. Найдите решение нер-ва

– 5х2 + х – 100 < 0

Решение. Попытаемся найти корни ур-ния

– 5х2 + х – 100 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•(– 5)•(– 100) = 1 – 2000 = – 2001

Дискриминант меньше нуля, поэтому корней не будет. Вся парабола будет находиться ниже оси Ох, так как ее ветви должны смотреть вниз из-за отрицательного коэффициента а = – 5.

12gfdgdfg

Видно, что при любых значениях х левая часть нер-ва меньше нуля, то есть нер-во справедливо при х∊(– ∞; + ∞).

Ответ: (– ∞; + ∞).

Метод интервалов

Ясно, что знак произведения зависит от знаков множителей. Так, если мы перемножаем три отрицательных числа и два положительных, то мы получим отрицательное произведение:

(– 1)•(– 2)•(– 3)•4•5 = – 120

Если же отрицательных множителей два или четыре, то итоговое произведение получится положительным:

(– 1)•(– 2)•3•4•5 = 120

(– 1)•(– 2)•(– 3)•(–4)•5 = 120

Вообще можно заметить, что если в произведении находится нечетное количество множителей (1, 3, 5, 7…), то и всё произведение отрицательно. Если же количество отрицательных множителей четно (0, 2, 4, 6, 8…), то произведение положительно. Дело в том, что при умножении отрицательных чисел действует правило «минус на минус дает плюс», то есть два минуса как бы «самоуничтожаются». Поэтому при перемножении четного количества отрицательных чисел все минусы попарно сократятся. Из этого правила есть одно исключение – если хотя бы один множитель равен нулю, то и всё произведение равно нулю, независимо от количества отрицательных сомножителей.

13gffdg

Пример. Справедливо ли нер-во

(– 12)•453•62,36•725•(– 975)•(– 812,99) < 0

Решение. Для ответа на вопрос нет смысла вычислять значение выражения слева. Оно представляет собой произведение, в котором 3 отрицательных множителя. 3 – это нечетное число, а потому и всё произведение отрицательно. Значит, нер-во справедливо.

Ответ: справедливо.

Далее рассмотрим нер-во, где слева стоит произведение скобок. В каждой из скобок записано выражение вида (х – а), например:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) < 0

Произведение слева отрицательно, если отрицательна либо одна, либо три скобки. Определим, какие знаки принимают выражения в скобках при разных значениях х. В первой скобке записано выражение х – 1, поэтому рассмотрим нер-во

х – 1 > 0

Перенеся единицу вправо, получим, что

х > 1

Графически это можно показать так:

14gfdgf

Аналогично, рассматривая нер-ва

х – 2 > 0

x – 3 > 0

х – 4 > 0

можно показать, какие значения принимает каждая из скобок при различных х:

15gfdg

Видно, что скобки (х – 1), (х – 2), (х – 3) и (х – 4) изменяют знаки с «–» на «+» при «перескоке» через точки 1, 2, 3 и 4. Отметим их все вместе на одной прямой и укажем знаки скобок на каждом из образовавшихся промежутков:

16hgfgh

Получили 5 промежутков. Если выражение выделено красным, то оно отрицательно на промежутке, а если синим – то положительно. Напомним, что произведение отрицательно, если в его состав входит нечетное количество (1, 3, 5…) отрицательных множителей. На рисунке видно, что на промежутке (1; 2) отрицательны 3 множителя, а на промежутке (3; 4) – один множитель. Следовательно, именно на них всё произведение

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)

оказывается отрицательным. Соответственно на других промежутках произведение положительно. Это можно отметить так:

17hgfgh

Штриховкой отмечены промежутки, где произведение отрицательно. Получается, что решением нер-ва является объединение промежутков (1; 2)∪(3; 4). Сами точки 1, 2, 3 и 4 исключены из решения, так как нер-во строгое. Если бы нер-во было нестрогим, то на рисунке точки были бы закрашены, а скобки в промежутке были бы квадратными.

Убедимся в верности этого решения, выбрав произвольное число из каждого промежутка и подставив его в произведение.

Из промежутка (– ∞; 1) возьмем значение х = 0:

(0 – 1)(0 – 2)(0 – 3)(0 – 4) = (– 1)•(– 2)(– 3)•(– 4) = 24 > 0

Из следующего промежутка возьмем х = 1,5:

(1,5 – 1)(1,5 – 2)(1,5 – 3)(1,5 – 4) = 0,5•(– 0,5)•(– 1,5)•(– 2,5) < 0

Примечание. Здесь мы не стали вычислять точное значение произведения, а просто посчитали, что в нем 3 отрицательных множителя. Следовательно, всё произведение отрицательно, то есть меньше нуля.

Из интервала (2; 3) возьмем число 2,5:

(2,5 – 1)(2,5 – 2)(2,5 – 3)(2,5 – 4) = 1,5•0,5•(– 0,5)•(– 1,5) > 0

Из промежутка (3; 4) выберем х = 3,5:

(3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4) = 3,5•1,5•0,5•(– 0,5) < 0

Наконец, из последнего интервала (4; + ∞) возьмем число 5:

(5 – 1)(5 – 2)(5 – 3)(5 – 4) = 4•3•2•1 > 0

Для решения нер-ва мы просто нашли, при каких значениях выражение слева принимает нулевые значения, а потом расставили знаки в полученных интервалах. Данный способ называется методом интервалов.

Пример. Решите неравенство методом интервалов:

(у – 5)(– 2у + 6)(у + 4) ≥0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель (– 2):

(у – 5)(– 2)(у – 3)(у + 4) ≥ 0

Поделим нер-во на число (– 2). Напомним, что при делении нер-ва на отрицательную величину его знак меняется на противоположный:

(у – 5)(у – 3)(у + 4) ≤ 0

Используем метод интервалов. Отметим на координатной прямой точки, при которых каждая скобка обращается в ноль (это 5, 3 и (– 4)), и расставим знаки над получившимися промежутками:

18hgfh

Определить эти знаки можно, просто выбрав произвольное число из промежутка и подставив его в левую часть. Так, выберем из промежутка (– ∞; – 4) число (– 5) и получим:

(– 5 – 5)(– 5 – 3)(– 5 + 4) = (– 10)•(– 8)•(– 1) < 0

Из промежутка (–4; 3) выберем число 0:

(0 – 5)(0 – 3)(0 + 4) = (– 5)•(– 3)•(4) > 0

Из промежутка (3; 5) возьмем число 4:

(4 – 5)(4 – 3)(4 + 4) = (– 1)•1•8 < 0

Из множества (5; + ∞) возьмем шестерку:

(6 – 5)(6 – 3)(6 + 4) = 1•3•10 > 0

Итак, выражение слева меньше или равно нулю при у∊(– ∞; – 4]∪[3; 5].

Ответ: (– ∞; – 4]∪[3; 5].

Обратим внимание, что в рассмотренных примерах знаки на промежутках чередовались. Это значит, что достаточно было определить знак на одном промежутке, а дальше просто менять их при переходе через отмеченные точки. Есть один частный случай, когда такое чередование НЕ происходит. Такое возможно, если в двух скобках находится одинаковые выражения.

Пример. Решите нер-во

(z – 5)(3z – 15)(7 – z) ≤ 0

Решение. Вынесем из второй скобки множитель 3, а из третьей – (– 1):

(z – 5)•3•(z – 5)•(– 1)•(z – 7) ≤ 0

Делим нер-во на (– 3):

(z – 5)(z – 5)(z – 7) ≥ 0

Обратите внимание – мы получили две одинаковые скобки (z – 5). Отметим на прямой нули левого выражения (это числа 5 и 7), а также знаки промежутков:

19hgfgh

Для расстановки знаков подставим в выражение слева числа:

при z = 4 (4 – 5)(4 – 5)(4 – 7) = (– 1)•(– 1)•(– 3) < 0

при z = 6 (6 – 5)(6 – 5)(6 – 7) = 1•1•(– 1) < 0

при z = 8 (8 – 5)(6 – 5)(8 – 7) = 3•3•1> 0

Получилось, что на соседних интервалах (– ∞; 5) и (5; 7) знаки совпадают, а не чередуются. Так произошло из-за того, что при переходе через точку z = 5 знак поменяла не одна, а сразу 2 скобки (х – 5).

При записи ответа надо учесть, что в задании дано нестрогое нер-во. Поэтому в ответ надо включить как промежуток [7; + ∞), так и число 5, которое обращает в ноль произведение в левой части.

Ответ: 5∪[7; + ∞).

Неравенства высоких степеней

Напомним, что если некоторое число а – корень многочлена Р(х) (то есть оно является корнем ур-ния Р(х) = 0), то этот многочлен можно представить как произведение двучлена (х – а) и какого-то другого многочлена Р1(х). Другими словами, зная корни многочлена, можно разложить его на множители. За счет этого можно решать нер-ва высоких степеней.

Пример. Решите нер-во

х3 – 3х2 – х + 3 < 0

Решение. Найдем корни многочлена, стоящего в левой части, то есть решим ур-ние

х3 – 3х2 – х + 3 = 0

Попробуем подобрать корни, начав с целых чисел. Напомним, что все целые корни должны быть делителем свободного члена, то есть в данном случае числа 3. Поэтому «кандидатами» являются числа 1, (– 1), 3 и (– 3). Подставляя их в ур-ние, находим, что оно имеет три корня: 1, (– 1) и 3:

13 – 3•12 – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0

(– 1)3 – 3•(– 1)2 – (– 1) + 3 = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0

33 – 3•32 – 3 + 3 = 27 – 27 – 3 + 3 = 0

Число (– 3) не подходит, ведь при его подстановке в левую часть ноль не получается:

(– 3)3 – 3•(– 3)2 – (– 3) + (– 3) = – 27 +27 + 3 + 3 = 6

Напомним, что у ур-ния 3-ей степени не может быть более 3 корней, поэтому других корней у ур-ния нет.

Зная корни, мы можем разложить многочлен на множители:

х3 – 3х2 – х + 3 = (х – 1)(х + 1)(х – 3).

В справедливости такого разложения можно убедиться, раскрыв скобки в правой части этого равенства. Теперь можно переписать исходное нер-во

х3 – 3х2 – х + 3 < 0

(х – 1)(х + 1)(х – 3) < 0

Найдем его решение методом интервалов:

20gfdfg

Убедимся в том, что мы правильно расставили знаки, подставляя в нер-во произвольные числа из промежутков:

при х = – 2 имеем (– 2 – 1)(– 2 + 1)(– 2 – 3) = (– 3)•(– 1)•(– 5) < 0

при х = 0 получится (0 – 1)(0 + 1)(0 – 3) = (– 1)•1•(– 3) > 0

при х = 2 имеем (2 – 1)(2 + 1)(2 – 3) = 1•3•(– 1) < 0

при х = 4 получится (4 – 1)(4 + 1)(4 – 3) = 3•5•1 > 0

Получаем, что левая часть отрицательна при х∊(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Ответ:(– ∞; – 1)∪(1; 3).

Пример. Решите нер-во

х3 + 2х – 3 > 0

Решение. Рассмотрим ур-ние

х3 + 2х – 3 = 0

Подбором можно определить лишь один его корень – единицу:

13 + 2•1 – 3 = 0

Поделим исходный многочлен на (х – 1):

21fdsf

Подробнее в уроке 2

Получили, что х3 + 2х – 3 = (х – 1)(х2 + 2х + 3)

Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен х2 + 2х + 3? Попытаемся решить ур-ние

х2 + 2х + 3 = 0

D = b2– 4ас = 42 – 4•2•3 = 16 – 24 = – 8

Получили, что корней нет. Это значит, что функция у = х2 + 2х + 3 не пересекает ось Ох, и, так как коэффициент а этого трехчлена положителен, то выражение х2 + 2х + 3 больше нулю при любом х.

Это можно показать и иначе, если выделить полный квадрат из трехчлена:

х2 + 2х + 3 = х2 + 2х + 1 + 2 = (х + 1)2 + 2

Перепишем исходное нер-во с учетом разложения многочлена на множители:

х3 + 2х + 3 > 0

(х – 1)(х2 + 2х + 3) > 0

Так как выражение х2 + 2х + 3 положительно при любом значении х, то мы можем поделить неравенство на него:

х – 1 > 0

Отсюда получаем, что х∊(1; + ∞).

Ответ: (1; + ∞).

Пример. Укажите наименьшее целое решение неравенства

4х3 + 4х2 – 7х + 2 > 0

Решение. Попытаемся найти корень многочлена 4х3 + 4х2 – 7х + 2. Целый корень должен быть делителем двойки (свободного члена), то есть возможны варианты 1 и (–1), 2 и (– 2). Из них подходит только – 2:

4•(– 2)3 + 4•(– 2)2 – 7•(– 2) + 2 = – 32 + 16 + 14 + 2 = 0

Значит, можно поделить исходный многочлен на х + 2:

22fdsdf

Подробнее в уроке 2

Можно записать, что 4х3 + 4х2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х2 – 4х + 1).

Далее разложим получившийся при делении квадратный трехчлен на множители, для чего приравняем его к нулю:

4х2 – 4х + 1 = 0

D = b2– 4ас = (– 4)2 – 4•4•1 = 16 – 16 = 0

Получается, что есть лишь один корень.

х = – b/(2a) = – (– 4)/(2•4) = 0,5

Если у квадратного трехчлена дискриминант равен нулю, то это значит, что он является полным квадратом какого-то выражения. Действительно:

4х2 – 4х + 1 = (2х)2 – 2•2х•1 + 12 = (2х – 1)2

Тогда можно записать:

4х3 + 4х2 – 7х + 2 = (х + 2)(4х2 – 4х + 1) = (х + 2)(2х – 1)2 =

= (х + 2)(2х – 1)(2х – 1)

Перепишем с учетом этого исходное нер-во:

4х3 + 4х2 – 7х + 2 > 0

(х + 2)(2х – 1)(2х – 1) > 0

Вынесем множитель 2 из двух последних скобок и поделим нер-во на них:

(х + 2)•2•(х – 0,5)•2•(х – 0,5) > 0

(х + 2)(х – 0,5)(х – 0,5) > 0

Решим его методом интервалов:

23gfdg

Снова из-за двух одинаковых скобок (х – 0,5) на соседних промежутках (– 2; 0,5) и (0,5; 2) получили один и тот же знак. Функция положительна на них, однако она равна нулю при х = 0,5, поэтому это число из решения неравенства исключается. Получаем, что х∈(– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞).

Нам надо указать наименьшее целое решение. Самым малым целым числом из множества (– 2; 0,5)∪(0,5; + ∞) является (– 1).

Ответ: (– 1).

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

24gfdgfg

Любое такое нер-во можно представить в виде

25gfdfg

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

26gdfh

Перенесем все слагаемые влево:

27gfdg

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

28hgfh

Осталось раскрыть скобки:

29gfdfg

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Рассмотрим нер-ва

а/b>0 и ab> 0

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

  1. И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

10•5 = 50 > 0

10/5 = 2 > 0

  1. Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

(– 10)•(– 5) = 50 > 0

(– 10)/(– 5) = 2 > 0

  1. Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50< 0

(– 10):5 = – 2 < 0

  1. Число a равно нулю. Тогда выражения ab и a/b также равны нулю, а потому рассматриваемые нер-ва неверны:

0•5 = 0

0/5 = 0

  1. Число b равно нулю. Тогда произведение ab равно нулю, а дробь а/b не имеет смысла (из-за нуля в знаменателе). То есть нер-ва а/b> 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

30gfdfg

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

Пример. Решите нер-во

31fdsdf

Решение:

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

32gfdfgdfg

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Ответ: (1; 2)∪(3; 4).

Пример. Решите нер-во

33gfdg

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

х2 – 9х + 14 = 0

D = b2– 4ас = (– 9)2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

х1 = (9 – 5)/2 = 2

х2 = (9 + 5)/2 = 7

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х2 – 14х + 45 = 0

D = b2– 4ас = (– 14)2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х1 = (14 – 4)/2 = 5

х2 = (14 + 4)/2 = 9

х2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

34fgfgdfg

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

35gfdfg

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»). В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение. Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель.

Пример. Решите нер-во

36hgfh

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

37hgfgh

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Ответ: (– ∞; – 7)∪[– 2; 4]∪(8; – ∞).

Источник

Bogdan1202

что такое целое решение неравенства? Приведите, пожалуйста, примеры. Спасибо

Эксперт5

Светило науки – 4132 ответа – 19496 раз оказано помощи

Целое решение неравенства – это целое число, входящее в область решений неравенства.
Пример 1:
x-3<5
x<5+3
x<8
Решением этого неравенства является интервал (-∞;8)
В этот интервал входят, например, целые числа -6; 0; 1; 5; 7 и т.д.
Эти числа и будут называться целыми решениями неравенства.
Пример 2:
4< x < 8
Решением является открытый интервал (4;8).
В этот интервал входят целые числа 5; 6 и 7. Они и будут являться целыми решениями неравенства.
Пример 3:
4≤ х ≤ 8
Решением неравенства является закрытый интервал [4:8].
В этот интервал входят целые числа 4; 5; 6; 7 и 8. Они и будут являться целыми решениями неравенства.

Источник

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

  1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

  1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x – x1) (x – x2) > 0 (< 0).

  1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
  2. Определить знак a (x – x1) (x – x2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

  • Решить неравенство. x2 + x – 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x – 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x – 6)2 > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

  1. 1 + х – 2х² < 0.                              Ответ:
  2. 3х² – 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
  3. 3х² – 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
  4. 2х² – 12х + 18 > 0.          Ответ:
  5. При каких значениях a неравенство

      x² – ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

  1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

an (x – x1) (x – x2) ·…· (x – xn) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x4 – 6x3 + 11x2 – 6x < 0.

Решение:

x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = x (x3 – 6x2 + 11x -6) = x (x3 – x2 – 5x2 + 5x +6x – 6) =x (x – 1)( x2 -5x + 6) =

x (x – 1) (x – 2) (x – 3). Итак, x (x – 1) (x – 2) (x – 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)5 (x + 2) (x – ½)7 (2x + 1)4 <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = – ½.

В точке х = – ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)4 не меняет знак при переходе через точку х = – ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х2 (х + 2) (х – 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

  1. (5х – 1) (2 – 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
  2. x3 + 5x2 +3x – 9 ≤ 0. Ответ:
  3. (x – 3) (x – 1)² (3x – 6 – x²) < 0. Ответ:
  4. (x² -x)² + 3 (x² – x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

  1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
  2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

  1. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
  2. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
  3. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
  4. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.

Источник

Добавить комментарий