Как найти целые точки в отрицательной производной

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задания Д2 № 6423

Задания Д2 № 6871

Задания Д2 № 6873

Задания Д2 № 6875

Задания Д2 № 6881

Задания Д2 № 6897

Задания Д2 № 6899

Задания Д2 № 6903

Задания Д2 № 6907

Задания Д2 № 6909

Задания Д2 № 6919

Задания Д2 № 6927

Задания Д2 № 6931

Задания Д2 № 6933

Задания Д2 № 6937

Задания Д2 № 6939

Задания Д2 № 6943

Задания Д2 № 6949

Задания Д2 № 6955

Задания Д2 № 6957

Задания Д2 № 6959

Задания Д2 № 6963

Задания Д2 № 6967

Задания Д2 № 6969

Задания Д2 № 6973

Задания Д2 № 6977

Задания Д2 № 6983

Задания Д2 № 6989

Задания Д2 № 6991

Задания Д2 № 6993

Задания Д2 № 6995

Задания Д2 № 7003

Задания Д2 № 7005

Задания Д2 № 7011

Задания Д2 № 7017

Задания Д2 № 7019

Задания Д2 № 7021

Задания Д2 № 7025

Задания Д2 № 7029

Задания Д2 № 7031

Задания Д2 № 7037

Задания Д2 № 7039

Задания Д2 № 7041

Задания Д2 № 7043

Задания Д2 № 7047

Задания Д2 № 7049

Задания Д2 № 7059

Задания Д2 № 7061

Задания Д2 № 7063

Задания Д2 № 7067

Задания Д2 № 7073

 Cледующая таблица  будет весьма полезна при работе с данной темой.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае не интересуют нас в принципе!

Задача 1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

Решение: + показать

Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:+ показать

Задача 3. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции   параллельна прямой   или совпадает с ней.

Решение: + показать

Задача 4. На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции   равна 0.

Решение: + показать

Задача 5. На рисунке изображён график функции  и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение: + показать

Задача 6. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение: + показать

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать

Задача 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: + показать

Задача 9. На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале . В какой точке отрезка    принимает наибольшее значение.

Решение: + показать

Задача 10. На рисунке изображен график   — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

 Решение: + показать

Задача 11. На рисунке изображен график функции   и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение: + показать

Задача 12. Функция   определена на промежутке На рисунке изображен график её производной. Найдите точку  в которой функция   принимает наименьшее значение, если

Решение: + показать

Задача 13. Функция  определена и непрерывна на полуинтервале  На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»

Взаимосвязи графика функции и графика ее производной

Приближенное и точное определение производной функции   

Приближенным значением производной функции    в точке $x_{0}$ со сдвигом 0,01 называется значение

$f’left(x_0right)approx frac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{left(x_0+0,01right)-left(x_0right)}$               $f’left(aright)approx frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{left(a+hright)-left(aright)}$         Точное:        $f’left(aright)=lim frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{left(a+hright)-left(aright)}$     при $lim h=0$

• Производная в точке – это   отношение:   (приращение самой функции) / (малое приращение аргумента в этой точке).
• Физический смысл – производная функции показывает скорость изменения функции: роста или убывания функции.
• Геометрический смысл – производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к ее графику.

Пример 1:      Дана функция   $fleft(xright)=x^3-3x+2$ . Вычислить приближенное производную $f’left(x_0right)$

• в точке $x_0=1,2$ со сдвигом $h=0,2$ ?        $Rightarrow$           $f’left(1,2right)approx frac{bigtriangleup fleft(xright)}{bigtriangleup x}approx frac{fleft(1,2+0,2right)-fleft(1,2right)}{1,4-1,2}=frac{1,4^3-3cdot 1,4+2-left(1,2^3-3cdot 1,2+2right)}{0,2}=1,555$
• В реальности мы получили тангенс угла наклона секущей, проходящей в точках графика $left(1,2;fleft(1,2right)right)$ и $left(1,4;fleft(1,4right)right)$
• в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ?        $Rightarrow$         $f’left(0,4right)approx frac{fleft(0,4+hright)-fleft(0,4right)}{left(0,4+hright)-0,4}=frac{left(0,4+hright)^3-3cdot left(0,4+hright)+2-left(0,4^3-3cdot 0,4+2right)}{h}=frac{left(0,4+hright)^3-0,4^3}{h}-frac{3cdot left(0,4+hright)-3cdot 0,4}{h}=frac{0,4^3+3cdot 0,4^2cdot h+3cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=left(3cdot 0,4^2-3right)+hcdot left(3cdot 0,4+hright)approx 2,5201$
• точное производное     $f’left(0,4right)=3cdot 0,4^2-3=2,52$      при        $hsim 0$   !
• в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ?        $Rightarrow$        $f’left(0,4right)approx frac{fleft(0,4+hright)-fleft(0,4right)}{left(0,4+hright)-0,4}=frac{left(0,4+hright)^3-3cdot left(0,4+hright)+2-left(0,4^3-3cdot 0,4+2right)}{h}=frac{left(0,4+hright)^3-0,4^3}{h}-frac{3cdot left(0,4+hright)-3cdot 0,4}{h}=frac{0,4^3+3cdot 0,4^2cdot h+3cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=left(3cdot 0,4^2-3right)+hcdot left(3cdot 0,4+hright)approx 2,5201$
• точное производное       $f’left(0,4right)=3cdot 0,4^2-3=2,52$          при        $hsim 0$   !
• $f’left(-0,6right)$ “На глаз по графику” ?    $Rightarrow$ значения $fleft(-0,6right)approx 3,6$ и в сдвинутой $fleft(-0,4right)approx 3,1$.   скорость изменения, наклон $f’left(-0,6right)approx frac{fleft(-0,4right)-fleft(-0,6right)}{-0,4-left(-0,6right)}approx frac{3,1-3,6}{0,2}=-2,5$

• Секущая графика функции – прямая, проходящая в точках графика    $left(x_1;fleft(x_1right)right) и left(x_2;fleft(x_2right)right)$.
• Наклон секущей – тангенс угла наклона секущей к х – оси, равен   $tg s=frac{fleft(x_2right)-fleft(x_1right)}{x_2-x_1}$.
• Касательной к графику в точке х = а – предел секущих в точках $left(a;fleft(aright)right) и left(a+h;fleft(a+hright)right)$ при h стремящемся к нулю.
• Наклон касательной – тангенс угла    $k=frac{fleft(x+0,000001right)-fleft(xright)}{x+0,000001-x}$ .    Точнее, “примерно равен”.    Точнее: при малом h !.
• ….еще точнее “в пределе равен”.      lim $frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{h}$.           Точка   (a+h; f(a+h)) сближается с точкой (a; f(a)) при малом h !.
• Производная f'(a) равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции f в точке    (a, f(a)).

Пример 2:       По графику функции найти производную – наклон касательной   в указанной точке.

• Смотрим на касательную в точке х = 3. Для нахождения тангенса наклона надо “увидеть” прямоугольный треугольник с катетами вдоль х- и у- осей и с гипотенузой вдоль касательной.    
• Считаем по клеткам: f'(3) = – 1 : 3    1 клетка по у – оси вниз (-),    3 клетки по х – оси вправо (+) .
• На 2-м рисунке:      g'(5) = 2 : 2        2 клетки по у – оси вверх (+),    2 клетки по х – оси вправо (+) .

Уравнение касательной     к графику функции $y=fleft(xright)$ в точке $x=x_0$ :   $y=fleft(x_0right)+f’left(x_0right)cdotleft(x-x_0right)$     – касательная, прямая

• Функция $y=fleft(xright)$ и её касательная $y=ax+b$ в точке касания $x=x_0$ имеют одинаковые значения, наклон, производные.
• Наклон касательной = производное функции    $a=f’left(x_0right)$ определяет как “течет” график: растет, убывает?
• Наклон положительный – касательная справа-налево – производная положительна – функция растет – график функции “течет” вверх.
• Наклон отрицательный – касательная слево-направо – производная отрицательна – функция убывает – график функции “течет” вниз, по склону.

Производная – как детектор поведения функции   

Вопрос:      Как влияет на поведение функции    $fleft(x_0right)$   около точки   $x=x_0$ значение производной   $f’left(x_0right)$ ?

• Из определения производной в точке    $x=x_0$   $Rightarrow$    $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0+0,01-x_0}$    
• выразим значение функции чуть правее точки     $x_0$ :       $fleft(x_0+0,01right)approx fleft(x_0right)+0,01f’left(x_0right)$.   Значит,   функция будет иметь большее значение правее   от    $x_0$   , если только        $f’left(x_0right) > 0$.
• Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее.    Из     $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0-0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0-0,01-x_0}$        $Rightarrow$        $fleft(x_0-0,01right)approx fleft(x_0right)-0,01cdot f’left(x_0right)$        $Leftrightarrow$     понятно почему    поведение функции   левее      $x_0$       зависит от знака производной   в точке $x_0$.
• Сформулирует ответы на вопрос о влиянии знака производной в данной точке:
• если   $f’left(x_0right) > 0$ то    $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$       $Rightarrow $      функция растет (см. слева направо).
• если   $f’left(x_0right) < 0$ то    $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$       $Rightarrow $      функция убывает, график идет вниз.
• если   $f’left(x_0right)=0$ то ситуации более запутанные:   при   $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция “выше”, чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
  В случае       $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$,    $x=x_0$ – точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.

Пример 2:     Каково взаимовлияние графика    $fleft(xright)=6cosfrac{pi}{9}x$    и графике ее производной   $f’left(xright)=-frac{2pi}{3}sinfrac{pi}{9}x$

• Производная от какой-то функции – это некая, связанная с ней функция, характеризующая поведение самой функции
• Рассмотрим точку      $x_1=-3$ . В нем сама функция равна    $fleft(-3right)=6cosfrac{pi}{9}(-3)=3$ ,     а ее производная – $f’left(-3right)=-frac{2pi}{3}sinfrac{pi}{9}(-3)approx1,77$,
• График график проходит в   точке $(-3;3)$.         Каково   поведение графика около этой точки?          Растет или убывает?
• Насколько быстро растет или убывает?      На все эти вопросы ответы дает производная. Производная здесь $(-3;3)$ положительна, поэтому растет!
• Около точки   $x_1=-3$   функция приближенно    $fleft(xright)approx 3+1,77cdot(x+7)$
• Т.к. производная равна $1$,   то тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику нашей функции в данной точке   ($-3; 3$)   равен $1$.
• Значит, касательная направлена под углом $45$   градусов,   ведь   $tg45=1$.   
• Значит, функция   около   этой точки      растет   “умеренно”,    примерно под   углом 45 градусов.

            Значение производной     $f’left(x_0right)$      в какой-либо точке указывает на рост или убывание исходной функции      $fleft(xright)$      около этой точки      $x_0$.    Зная числовое значение производной, можно определить как ведет себя функция:    стоит ли на месте,   растет или убывает   и как быстро изменяется.      Производная от функции помогает узнать в каждой точке характер скорости изменений, поведения графика самой функции.

1. В тех точках, где функция растет – график поднимается вверх (если смотреть слева направо) – касательная к графику в этой точке наклонена вправо – – тангенс наклона положительный – производная в этой точке имеет положительное значение.

2. В тех точках, где функция убывает – график опускается вниз (если смотреть слева направо) – касательная к графику в этой точке наклонена влево – – тангенс наклона отрицательный, тупой угол – производная в этой точке имеет отрицательное значение.

3. Производная = 0 функция “остановилась”, “касательная горизонтальна” точка экстремума: минимум, максимум или перегиб.

4. Вторая производная в точке x показывает скорость изменения скорости, т.е. ускорение в этой точке. Вторая производная = 0 означает “ускорение обнулилось”. больше нуля – выпоукло вниз (min), меньше нуля – вверх (max).

Пример 3:     Указать интервалы монотонности функции   $fleft(xright)=x^3-3x+2$ . ;

• $f’left(xright)=left(x^3-3x+2right)’=3x^2-3$                  находим производную от нашей функции
• $f’left(xright)>0$   $3x^2-3>0$      $left(-infty ;-1right) left(1;infty right)$            интервалы возрастания, неравенство больше
• $f’left(xright)<0$   $3x^2-3<0$      $left(-1;1right)$                  интервалы убывания, производное минус
• $M_f$       области монотонности              $ left(-infty ;-1right)+left(-1;1right)+left(1;infty right)$         

Точки экстремумов функции.   min-max

Из       $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0+0,01-x_0}$      выразим значение функции чуть правее точки     $x_0$ :       $fleft(x_0+0,01right)approx fleft(x_0right)+0,01f’left(x_0right)$.
Значит,   функция будет иметь большее значение правее   от    $x_0$   , если только        $f’left(x_0right) > 0$.

Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее.    Из     $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0-0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0-0,01-x_0}$        $Rightarrow$        $fleft(x_0-0,01right)approx fleft(x_0right)-0,01cdot f’left(x_0right)$        $Leftrightarrow$     понятно почему    поведение функции   левее      $x_0$       зависит от знака производной   в точке $x_0$.

Итак:

• если   $f’left(x_0right) > 0$ то    $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$       $Rightarrow $      функция растет (см. слева направо).

• если   $f’left(x_0right) < 0$ то    $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$       $Rightarrow $      функция убывает, график идет вниз.

• если   $f’left(x_0right)=0$ то ситуации более запутанные:   при   $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция “выше”, чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
  В случае       $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$,    $x=x_0$ – точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.

Определение:      Точка, в которой производная обнуляется, называется экстремумом   (минимум, максимум, перегиб).
                               В этой точке наклон графика равен нулю, т.е. касательная к графику горизонтальна.

Точка максимума     –    если функция   растет,   “застывает” в       $x_0$”   , затем убывает.
                                      Производная функции больше нуля,   в     $x_0$     обнуляется,    затем отрицательна.

Точка минимума      наоборот     –     если функция    убывает,   “застывает”   в $x_0$” , затем растет.
                                      Производная меньше нуля, равна нулю в $x_0$”, затем положительна.

Нахождение точки минимума (максимума) функции       $y=fleft(xright)$:    

Точка минимума –   это   $x$ – число, в котором производная равна нулю, а сама исходная функция от убывания переходит к возрастанию. Надо    “взять”    производную    исходной функции и составить уравнение экстремума    “производная равна нулю”.     Среди точек экстремума найти     точку минимума.

Есть три способа:

• по поведению “рост / убывание” исходной функции ;
• либо поведение “отрицательности / положительности” производной;
• либо знак второй производной в этой точке; если 2-ая производная (“производная от производной”) в точке   $x_0$     положительна, то это минимум.

min:    $f’left(x_0right)=0$ ,      $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$   ,      $f’left(x_0-0.01right) < 0$   ,      $f’left(x_0+0.01right) > 0$ ;     $f”left(x_0right) > 0$.

max:    $f’left(x_0right)=0$ ,      $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$   ,      $f’left(x_0-0.01right) > 0$   ,      $f’left(x_0+0.01right) < 0$ ;      $f”left(x_0right) < 0$.

Обозначения множеств, областей

$D_f$                     область определения функции

$Z_f$                     область знакопостоянства, интервалы положительности, отрицательности

$M_f$                     области монотонности функции, интервалы возрастания, убывания

$X_f$                     экстремумы функции, перечисление х – точек

$T_f$                     уравнение касательной к функции в указанной х – точке

$E_f$                     области значений функции, все у – значений

Упражнения: