Как найти центр эллипса через уравнение - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Эллипс, его фокусы и главные оси

Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса с эксцентриситетом e=0 . Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Определение[править | править код]

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

${displaystyle |F_{1}M|+|F_{2}M|=2cdot a}$

, причём ${displaystyle |F_{1}F_{2}|<2cdot a.}$

Другие определения[править | править код]

Эллипс также можно определить как:

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружности на плоскость
пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Связанные определения[править | править код]

Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
Расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
Расстояние $c={frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$ называется фокальным расстоянием.
Величина $e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ называется эксцентриситетом.
Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле $r={frac {ab}{sqrt {b^{2}cos ^{2}varphi +a^{2}sin ^{2}varphi }}}={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}$ , где — угол между радиусом и большой полуосью.
Фокальным параметром $p={frac {b^{2}}{a}}$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: ${displaystyle k={frac {b}{a}}}$ . Величина, равная $(1-k)={frac {a-b}{a}},$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением ${displaystyle k^{2}=1-e^{2}.}$
Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как ${displaystyle x=pm {frac {p}{eleft(1-e^{2}right)}}}$ для фокусов ${displaystyle left(pm {frac {pe}{1-e^{2}}},,0right)}$ соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно ${displaystyle {frac {p}{e}}}$ .

Соотношения между элементами эллипса[править | править код]

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

— большая полуось;
— малая полуось;
— фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
— фокальный параметр;
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}$ — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}$ — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2};}$

${displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1);}$

${displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}.}$

					${displaystyle {boldsymbol {r_{p}}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r_{a}}}}$
— большая полуось		${displaystyle a={frac {b}{sqrt {1-e^{2}}}}}$	${displaystyle a={frac {c}{e}}}$	${displaystyle a={frac {p}{1-e^{2}}}}$	${displaystyle a={frac {r_{p}}{1-e}}}$	${displaystyle a={frac {r_{a}}{1+e}}}$
— малая полуось	${displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}}}$		${displaystyle b={frac {c~{sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$	${displaystyle b={frac {p}{sqrt {1-e^{2}}}}}$	${displaystyle b=r_{p}{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}$	${displaystyle b=r_{a}{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}$
— фокальное расстояние		${displaystyle c={frac {be}{sqrt {1-e^{2}}}}}$		${displaystyle c={frac {pe}{1-e^{2}}}}$	${displaystyle c={frac {r_{p}e}{1-e}}}$	${displaystyle c={frac {r_{a}e}{1+e}}}$
— фокальный параметр	${displaystyle p=a(1-e^{2})}$	${displaystyle p=b~{sqrt {1-e^{2}}}}$	${displaystyle p=c~{frac {1-e^{2}}{e}}}$		${displaystyle p=r_{p}(1+e)}$	${displaystyle p=r_{a}(1-e)}$
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}$ — перифокусное расстояние	${displaystyle r_{p}=a(1-e)}$	${displaystyle r_{p}=b~{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}$	${displaystyle r_{p}=c~{frac {1-e}{e}}}$	${displaystyle r_{p}={frac {p}{1+e}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}$	${displaystyle r_{p}=r_{a}{frac {1-e}{1+e}}}$
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}$ — апофокусное расстояние	${displaystyle r_{a}=a(1+e)}$	${displaystyle r_{a}=b~{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}$	${displaystyle r_{a}=c~{frac {1+e}{e}}}$	${displaystyle r_{a}={frac {p}{1-e}}}$	${displaystyle r_{a}=r_{p}~{frac {1+e}{1-e}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}$

Координатное представление[править | править код]

Эллипс как кривая второго порядка[править | править код]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

${displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

при инвариантах D>0 и , где:

$Delta ={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{12}&a_{22}&a_{23}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{vmatrix}},$

$D={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},$

${displaystyle I=operatorname {tr} {begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.}$

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и $a_{{33}}=-1$ ):

${displaystyle Delta =-{frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},}$

${displaystyle D={frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},}$

${displaystyle I={frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}.}$

Соотношения

Если переписать общее уравнение в виде

$AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,$

то координаты центра эллипса:

$h={frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},$

угол вращения определяется из выражения

$tg(2Theta )={frac {B}{A-C}}.$

Направления векторов осей:

${displaystyle {begin{pmatrix}B&(C-A+{sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}})end{pmatrix}},{begin{pmatrix}B&(C-A-{sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}})end{pmatrix}},}$

отсюда

${displaystyle operatorname {tg} Theta ={frac {C-Apm {sqrt {(C-A)^{2}+B^{2}}}}{B}}.}$

Длины полуосей определяются выражениями

${displaystyle a={sqrt {frac {2F'({sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}+A+C)}{4AC-B^{2}}}},}$

${displaystyle b={sqrt {{frac {2F'}{{sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}}$

Обратное соотношение — коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса — можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку ${displaystyle (x_{c},,y_{c})}$ :

${displaystyle {frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,}$

${displaystyle x'=(x-x_{c})cos Theta +(y-y_{c})sin Theta ,}$

${displaystyle y'=-(x-x_{c})sin Theta +(y-y_{c})cos Theta .}$

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

${displaystyle A=a^{2}sin ^{2}Theta +b^{2}cos ^{2}Theta ,}$

${displaystyle B=2(b^{2}-a^{2})sin Theta cos Theta ,}$

${displaystyle C=a^{2}cos ^{2}Theta +b^{2}sin ^{2}Theta ,}$

${displaystyle D=-2Ax_{c}-By_{c},}$

${displaystyle E=-Bx_{c}-2Cy_{c},}$

${displaystyle F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.}$

Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то

${displaystyle F=-a^{2}b^{2}.}$

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в декартовой системе координат, коэффициенты (или, что то же самое, ${displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33}}$ ) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, то есть приведённая выше запись и

${displaystyle AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,}$

где являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение

$1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck$

будет выполняться при любом .

Соотношение между инвариантой и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

${displaystyle {frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}={frac {A+C}{Fcdot (Acdot h^{2}+Bcdot hcdot k+Ccdot k^{2}-1)}}={frac {I}{F'}},}$

где $F'=Fcdot (Acdot h^{2}+Bcdot hcdot k+Ccdot k^{2}-1)$ — коэффициент при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

${displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.}$

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

${displaystyle -{frac {Delta }{F'^{3}}}={frac {D}{F'^{2}}}={frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}}.}$

Каноническое уравнение[править | править код]

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат^{[Комм. 1]}.

Соотношения[править | править код]

Для определённости положим, что
В этом случае величины и — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса, можно вычислить:

его фокальное расстояние и эксцентриситет ${displaystyle left|F_{1}F_{2}right|=2{sqrt {a^{2}-b^{2}}},;;;e={frac {sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,}$
координаты фокусов эллипса

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

$x={frac {a}{e}},;;;x=-{frac {a}{e}}.$

Фокальный параметр (то есть половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

$p={frac {b^{2}}{a}}.$

Фокальные радиусы, то есть расстояния от фокусов до произвольной точки кривой :

$r_{1}=a+ex,;;;r_{2}=a-ex.$

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :

$y=-{frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.$

Уравнение касательной к эллипсу в точке $(x_{0},y_{0})$ имеет вид:

${frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.$

Условие касания прямой y=mx+k и эллипса ${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ записывается в виде соотношения ${displaystyle k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.}$

Уравнение касательных, проходящих через точку :

${displaystyle {frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={frac {-x_{1}y_{1}pm {sqrt {b^{2}x_{1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}}}.}$

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :

${displaystyle y=kxpm {sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}},}$

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным ):

$x=mp {frac {ka^{2}}{sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=pm {frac {b^{2}}{sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.$

Уравнение нормали в точке $left(x_{1},y_{1}right):$

${frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.$

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация)

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

${begin{cases}x=a,cos t\y=b,sin tend{cases}};;;0leqslant tleqslant 2pi ,$

где — параметр.

Только в случае окружности (то есть при a=b ) параметр является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах[править | править код]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

$rho ={frac {p}{1pm ecos varphi }},$

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.
Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Вывод уравнения[править | править код]

Пусть r₁ и r₂ — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.
Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол varphi отсчитывается от направления на второй фокус.
Тогда из определения эллипса следует, что

${displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

Отсюда ${displaystyle r_{2}^{2}=left(2a-r_{1}right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2}}$ .
С другой стороны, из теоремы косинусов

$r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}ccos varphi .$

Исключая $r_{2}$ из последних двух уравнений, получаем

${displaystyle r_{1}={frac {a^{2}-c^{2}}{a-ccos varphi }}={frac {a(1-c^{2}/a^{2})}{1-c/acos varphi }}.}$

Учитывая, что ${displaystyle p=a(1-e^{2})}$ и $e=frac{c}{a}$ , получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

$rho ={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}={frac {ab}{sqrt {a^{2}sin ^{2}varphi +b^{2}cos ^{2}varphi }}}.$

Длина дуги эллипса (

s) в зависимости от его параметра (

θ)

Длина дуги эллипса[править | править код]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

$l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {left({frac {dx}{dt}}right)^{2}+left({frac {dy}{dt}}right)^{2}}},dt.$

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

$l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {a^{2}sin ^{2}t+b^{2}cos ^{2}t}},dt.$

После замены $b^{2}=a^{2}left(1-e^{2}right)$ выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

$l=aint limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt,;;;e<1.$

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

${displaystyle L=4aint limits _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt=4aE(e),}$

где — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[править | править код]

$Lapprox 4{frac {pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.$

Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей ).
Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
$Lapprox 4cdot left(a^{x}+b^{x}right)^{left(1/xright)}$ , где $x={frac {ln 2}{ln {frac {pi }{2}}}}.$
Максимальная погрешность этой формулы при эксцентриситете эллипса (соотношение осей )
Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса (соотношение осей ) погрешность составляет .
Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:
${displaystyle Lapprox pi (a+b)left[1+{frac {3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}{10+{sqrt {4-3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}}}}right].}$

Точные формулы для периметра[править | править код]

Джеймс Айвори^[1] и Фридрих Бессель^[2] независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

${displaystyle L=pi (a+b)left[1+sum limits _{n=1}^{infty }left[{frac {(2n-1)!!}{(2n-1)cdot 2^{n}cdot n!}}left({frac {a-b}{a+b}}right)^{n}right]^{2}right].}$

Альтернативная формула

${displaystyle L={frac {2pi aN(1-e^{2})}{M({sqrt {1-e^{2}}})}},}$

где M(x) — арифметико-геометрическое среднее 1 и ,
а N(x) — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года^[3].

Площадь эллипса и его сегмента[править | править код]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой^[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки и можно определить по формуле^[4]:

$S={frac {pi ab}{2}}-{frac {b}{a}}left(x,{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}arcsin {frac {x}{a}}right).$

Если эллипс задан уравнением
$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$ , то площадь можно определить по формуле

${displaystyle S={frac {2pi }{sqrt {4AC-B^{2}}}}.}$

Другие свойства[править | править код]

Оптические
- Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
- Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Если $F_{1}$ и $F_{2}$ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой $(F_{1}X)$ равен углу между этой касательной и прямой $(F_{2}X)$ .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
- Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Эксцентриситет эллипса, то есть отношение $e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1),$ характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
- Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: $F_{1}F_{2}=0$ ), то эллипс вырождается в окружность.
Экстремальные свойства^[5]

где

обозначает площадь фигуры

Более того, равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.

Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.

Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение^[6]

${frac {{overline {PA}}cdot {overline {QA}}}{{overline {CA}}cdot {overline {AB}}}}+{frac {{overline {PB}}cdot {overline {QB}}}{{overline {AB}}cdot {overline {BC}}}}+{frac {{overline {PC}}cdot {overline {QC}}}{{overline {BC}}cdot {overline {CA}}}}=1.$

Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше^[⇦] эллипсографе.

Касательная, проходящая через точку $(x_{0},y_{0})$ , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

${displaystyle {frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.}$

Построение эллипса[править | править код]

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша

Инструментами для рисования эллипса являются:

эллипсограф
две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом. Способ был придуман Джеймсом Максвеллом в возрасте 14 лет и при запросе его отца в Эдинбургское королевское общество оказался ранее неизвестным^[7].

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником[править | править код]

Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
Эллипс Мандарта
Эллипс Штейнера

См. также[править | править код]

Кривая второго порядка
Парабола
Каустика
Эллипсоид
Эллипсограф
Гипербола
Окружность Аполлония
Овал Кассини

Комментарии[править | править код]

↑ Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$

описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

Примечания[править | править код]

↑ Ivory J. A new series for the rectification of the ellipsis (англ.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1798. — Vol. 4. — P. 177—190. — doi:10.1017/s0080456800030817.
↑ Bessel F. W. Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (нем.) // Astron. Nachr.. — 1825. — Bd. 4. — S. 241—254. — doi:10.1002/asna.18260041601. — Bibcode: 1825AN……4..241B. В англ. переводе: Bessel F. W. The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825) (англ.) // Astron. Nachr.. — 2010. — Vol. 331. — P. 852—861. — doi:10.1002/asna.201011352. — arXiv:0908.1824.
↑ Adlaj S. An eloquent formula for the perimeter of an ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 76, iss. 8. — P. 1094—1099. — doi:10.1090/noti879.
↑ Корн, 1978, с. 68.
↑ Фейеш Тот Л. Глава II, §§ 4, 6 // Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. — М.: Физматгиз, 1958. — 364 с.
↑ Allaire P. R., Zhou J., Yao H. Proving a nineteenth century ellipse identity (англ.) // Mathematical Gazette. — 2012. — Vol. 96, no. 535. — P. 161—165.
↑ Карцев В. П. Максвелл. — М.: Молодая гвардия, 1974. (Серия «Жизнь замечательных людей»). С. 26—28.

Литература[править | править код]

Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
Селиванов Д. Ф. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Ссылки[править | править код]

S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae (англ.)
Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers) (англ.), 2000—2005. — 20 c.
Видео: Как нарисовать эллипс

Источник

Эллипс – определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства – вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b – малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина – в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Эллипсоиды

Определение эллипсоида

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

где — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам .

Если точка принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям , имеют длины соответственно. Если b>c” png;base64,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” />, то число называется большой полуосью, число — средней полуосью, число — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям , то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств .

Плоские сечения эллипсоида

Подставляя в уравнение (4.46), получаем уравнение линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.

Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем

При c” png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==” style=”vertical-align: middle;” /> уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает эллипсоид. При уравнение (4.47) имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются эллипсоида в его вершинах . При , разделив обе части уравнения (4.47) на 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGMAAAAwBAMAAAD3D9n/AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAmv2BWBABQTDA2LEhcNbL+n8AAAGvSURBVEjHY2CgJughWUeg9VRStQgyrCZVixCDFAmqWcvB1G4StDhpgUgODVJsUQSRUQ0kaGFRAenbwUKCFkYdIMHtXkiClqxlxwMYhJQUSdASNFtag6G9vIaUEFvKpkhqLDawKpOmg21VAjjMSIsWRlXStACtSNrgSpIWYLQ4uS0jSQvnAganQgd8KngC0AQSHRiYp2BXGw5OdxlGBeghlobLdObFO4Hms2lOKiA69J0CGEF+TDAioIXlKpy5moEdHGGEtKR5mUJZHMrQrERIC1ualwzUPmWgP4jRwsDGVgnRwwzSkkCMFiCo3A7TooSwxdkYBEDBHigIB8JwPYUzoFq0EojVcnAGzC9EO2w6SGWGMgOPNlHeZ4B5n00bGi9CDoS0wAKZwSiAcSlQp5KS0gRs6i7CI93LBp4tlgg1gGMqAZuOxFYpaApPMUWINuPLeUwXgqAOZksgMtUmNjBdILkaczpAqg7WJaSpb29g4G4gSUfn5I0MEhyk+IVDmU0pcbNlAQlaghaw7T05cyYp3r9EevBOaiBdSwLJWoQSGKJJ1BIl2ruCRC2p1iJ4ZAESoVYyhvDZkwAAAABJRU5ErkJggg==” style=”vertical-align: middle;” />, получаем уравнение эллипса полуосями . Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью при представляет собой эллипс.

Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).

Эллипсоиды вращения

Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом ). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если , то линии (4.47) при являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси эллипс заданный в плоскости (рис.4.41,а).

Если , то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями при эллипс (рис.4.41,б).

Если все полуоси эллипсоида равны , то он представляет собой сферу радиуса , которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.

Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны b>c)” png;base64,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” style=”vertical-align: middle;” />, называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.

2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.

3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.

В самом деле, если точка принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).

Как найти центр эллипсоида по уравнению

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c – сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), – двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q – положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), – гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М – произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , – основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть – точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z ) – произвольная точка сферы

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и – некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L – направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ellipsoid

http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_46.htm

[/spoiler]

Источник

Построить такой график можно здесь: https://www.desmos.com/

Что мы знаем со школы про эллипс? К сожалению, исходя из своей практики работы с учениками, многие вплоть до 11 класса не сталкиваются с такой замечательной плоской фигурой, впрочем как и с её частным случаем – окружностью. Некоторые знают только примерный вид уравнения…

Кстати, какое оно? Каноническим уравнением эллипса считается следующее уравнение:

Каноническое уравнение эллипса

Почему оно именно такое? Что ж, это можно вывести из определения. Поэтому давайте его напишем.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Давайте сделаем рисунок и попробуем вывести каноническое уравнение из определения эллипса.

Математика эллипса: всё, что нужно знать

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса M(x; y) до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. а > c.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат OXY так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали а оси OX, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F₁(-c; 0) и F₂(+c; 0).

Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:

Мы вывели каноническое уравнение эллипса и доказали, что оно эквивалентно начальному уравнению из определения.

Эллипс – кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.

1. Каноническое уравнение содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей координат Ox и Oy, а также точки O(0; 0), которая является центром эллипса.

2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a;0), в которых ось Ox пересекает эллипс. Положив в уравнении x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0; b) и B₂(0; -b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Также из канонического уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.

4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |x| возрастает, то |y| уменьшается и наоборот.

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения b/a. При a = b = R эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x² + y² = R². Однако, в качестве характеристики формы эллипса чаще используется отношение c/a.

Отношение c/a половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:

Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность, быть ближе к ней по форме. Если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точки M.
Очевидно, что r₁ + r₂ = 2a.

Тогда имеют место быть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx

Выведем эти формулы

Прямые x = ±a/ε называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.

Теорема

Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.

Из равенства a² – c² = b² следует, что a > b. Если же a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси OY, а малая ось 2a – лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² – a²).

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Допустим, что перед нами стоит следующая задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

Решение:

Зададим эллипс параметрическими уравнениями:
x = a⋅cos(t) и y = b ⋅ sin(t). Кстати, выразив косинус и синус из каждого, а потом возведя в квадрат оба уравнения, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.

В силу симметричности эллипса относительно начала координат, нам достаточно найти площадь 1/4 части эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий рисунок.

Здесь x изменяется от 0 до a, следовательно параметр t изменяется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса будем искать с помощью интегрирования функции, задающей эллипс в первой четверти координат.

Вывод формулы для площади эллипса

Длина дуги эллипса (периметр эллипса)

Вывод длины дуги эллипса через эллиптический интеграл

Ознакомиться с эллиптическими интегралами

Стоит заметить, что для окружности всё получается гораздо проще, и мы легко выводим формулу, знакомую нам со школы C = 2πR.

Вывод длины дуги окружности

Приближённые формулы для периметра

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

Площадь сегмента эллипса

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой , проходящей через точки (x; y) и (x; -y) можно определить по формуле:

Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, то площадь можно определить по формуле

Физический смысл фокусов

1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.

2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.

3. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательно и прямой F₂M.

4. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

5. Эволютой эллипса является астроида , вытянутая вдоль вертикальной оси. Эволюта плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .

6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).

7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.

Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов – Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.

Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей. Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.

Последнее свойство используется в физике для построение оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещается вдоль одной из фокальных осей зеркально отражающего эллиптического цилиндра, а лазерный стержень располагается вдоль другой фокальной оси. На второй фокальной оси помещают активную среду. А свойства эллиптической поверхности помогают быть уверенными в том, что вся энергия лампы накачки соберется в области активной среды.

Почитать подробнее здесь

Поместим в одном из фокусов зеркального эллипса лампочку
и проследим за выпущенными из неё лучами света. Отразившись от эллипса, они соберутся в другом фокусе. Причём окажутся там одновременно:

Зрительно напомним геометрическое определение эллипса: эллипс есть множество точек M плоскости, сумма расстояний от которых до данных точек A и B постоянна:

Решим вспомогательную задачу. Даны две точки по одну сторону от прямой. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l.

Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке M надо набирать воду, чтобы общий путь имел минимальную длину?

Рассмотрим точку B’, симметричную точке B. Тогда XB = XB’. Длина AX+XB = AX+XB’ минимальна, когда ломаная AXB’ превращается в прямую.

Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке набирать воду? Ответ: в точке пересечения l с AB’ (где B’ симметрична B относительно l). Заодно мы доказали равенство углов. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. Где набирать воду?
Ответ 1: в точке пересечения l с AB’.
Ответ 2: там, где «угол падения равен углу отражения».

Принцип Ферма: свет выбирает кратчайший путь между двумя точками.

Вернемся к доказательству оптического свойства эллипса. На эллипсе сумма AM+MB постоянна. А для точек вне эллипса эта сумма больше, AX+XB > AM+MB.

В частности, если провести в точке M касательную к эллипсу, то для любой другой точки X на этой касательной AX+XB > AM+MB. Значит, по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения».

…по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения». Оптическое свойство эллипса доказано.

Многофокусные эллипсы

N-эллипс — обобщение эллипса , имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами , полиэллипсами, k -эллипсами, эллипсами Чирнхауса . Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.

Пусть на плоскости задано n точек (ui , vi ) (фокусы ), тогда n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d . В виде формулы данное утверждение записывается как

1-эллипс представляет собой окружность , 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.

Эллипс с 4-мя фокусами и фокусным расстоянием d = 7

Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram

Источник

Эллипс:

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b – малой полуосями эллипса.

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Пример:

Решение:

Эллипс в высшей математике

Рассмотрим уравнение

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

или

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

(рис. 206). Отсюда

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

Источник

Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению

(9.7)

где

(9.8)

Уравнение (9.7)
называется
каноническим
уравнением эллипса.

Параметры эллипса

Точки F₁(–c,
0) и F₂(c,
0), где
называютсяфокусами
эллипса,
при этом величина 2c
определяет междуфокусное
расстояние.

Точки А₁(–а,
0), А₂(а,
0), В₁(0,
–b),
B₂(0,
b)
называются вершинами
эллипса
(рис. 9.2), при этом А₁А₂
= 2а
образует большую ось эллипса, а В₁В₂
– малую,
– центр эллипса.

Основные параметры
эллипса, характеризующие его форму:

ε
= с/a
– эксцентриситет
эллипса;

–фокальные
радиусы эллипса
(точка М
принадлежит эллипсу), причем r₁
= a
+ εx,
r₂
= a
– εx;

–директрисы
эллипса.

Рис. 9.2

Для эллипса
справедливо:
директрисы не пересекают границу и
внутреннюю область эллипса, а также
обладают свойством

Эксцентриситет
эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b
> a
> 0, то
эллипс задается уравнением (9.7), для
которого вместо условия (9.8) выполняется
условие

.
(9.9)

Тогда 2а
– малая ось, 2b
– большая ось,
– фокусы (рис. 9.3). При этомr₁
+ r₂
= 2b,

ε
= c/b,
директрисы определяются уравнениями:

Рис. 9.3

При
условии
имеем (в виде частного случая эллипса)окружность
радиуса R
= a.
При этом с
= 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса
обладают характеристическим
свойством:
сумма расстояний от каждой из них до
фокусов есть величина постоянная, равная
2а
(рис. 9.2).

Для параметрического
задания эллипса
(формула (9.7)) в случаях выполнения условий
(9.8) и (9.9) в качестве параметра t
может быть взята величина угла между
радиус-вектором точки, лежащей на
эллипсе, и положительным направлением
оси Ox:

где

Если центр эллипса
с полуосями
находится в точкето его уравнение имеет вид:

(9.10)

Пример 1.
Привести уравнение эллипса x²
+ 4y²
= 16 к каноническому виду и определить
его параметры. Изобразить эллипс.

Решение.
Разделим уравнение x² + 4y² = 16
на 16, после чего получим:

По виду полученного
уравнения заключаем, что это каноническое
уравнение эллипса (формула (9.7)), где а
= 4 – большая полуось, b
= 2 – малая полуось. Значит, вершинами
эллипса являются точки A₁(–4, 0),
A₂(4, 0),
B₁(0, –2),
B₂(0, 2).
Так как
– половина междуфокусного расстояния,
то точкиявляются фокусами эллипса. Вычислим
эксцентриситет:

Директрисы D₁,
D₂
описываются уравнениями:

Изображаем эллипс
(рис. 9.4).

Рис. 9.4

Пример 2.
Определить параметры эллипса

Решение.
Сравним данное уравнение с каноническим
уравнением эллипса
со смещенным центром. Находим центр
эллипсаС:
Большая полуосьмалая полуосьпрямые– главные оси. Половина междуфокусного
расстоянияа значит, фокусыЭксцентриситетДиректрисыD₁
и D₂
могут быть описаны с помощью уравнений:
(рис. 9.5).

Рис. 9.5

Пример 3.
Определить, какая кривая задается
уравнением, изобразить ее:

1) x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0; 2) x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 6 = 0;

3) x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0; 4) x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 17 = 0;

Решение.
1) Приведем уравнение к каноническому
виду методом выделения полного квадрата
двучлена:

x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0;

(x²
+ 4x)
+ (y²
– 2y)
+ 4 = 0;

(x²
+ 4x
+ 4) – 4 + (y²
– 2y
+ 1) – 1 + 4 = 0;

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= 1.

Таким образом,
уравнение может быть приведено к виду

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= 1.

Это уравнение
окружности с центром в точке (–2, 1) и
радиусом R = 1
(рис. 9.6).

Рис. 9.6

2)
Выделяем полные квадраты двучленов в
левой части уравнения и получаем:

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= –1.

Это уравнение не
имеет смысла на множестве действительных
чисел, так как левая часть неотрицательна
при любых действительных значениях
переменных x
и y,
а правая – отрицательна. Поэтому говорят,
что это уравнение «мнимой окружности»
или оно задает пустое множество точек
плоскости.

3) Выделяем полные
квадраты:

x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0;

(x²
– 2x
+ 1) – 1 + 4(y²
+ 4y
+ 4) – 16 + 1 = 0;

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
– 16 = 0;

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
= 16.

Значит, уравнение
имеет вид:

или

Полученное
уравнение, а следовательно, и исходное
задают эллипс. Центр эллипса находится
в точке О₁(1,
–2), главные оси задаются уравнениями
y
= –2, x
= 1, причем большая полуось а
= 4, малая полуось b
= 2 (рис. 9.7).

Рис. 9.7

4) После выделения
полных квадратов имеем:

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
– 17 + 17 = 0 или (x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
= 0.

Полученное уравнение
задает единственную точку плоскости с
координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение
к каноническому виду:

Очевидно, оно
задает эллипс, центр которого находится
в точке
главные оси задаются уравнениямипричем большая полуосьмалая полуось(рис. 9.8).

Рис. 9.8

Пример 4.
Записать уравнение касательной к
окружности радиуса 2 с центром в
правом фокусе эллипса x²
+ 4y²
= 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение.
Уравнение эллипса приведем к каноническому
виду (9.7):

Значит,
и правый фокус –Поэтому, искомое уравнение окружности
радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность
пересекает ось ординат в точках,
координаты которых определяются из
системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N
(0; –1) и М
(0; 1). Значит, можно построить две
касательные, обозначим их Т₁
и Т₂.
По известному свойству касательная
перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.

Пусть
Тогда
уравнение касательнойТ₁
примет вид:

значит,
илиТ₁:

Тогда уравнение
касательной Т₂
примет вид:

значит,
илиТ₂:

Рис. 9.9

Пример 5.
Записать уравнение окружности, проходящей
через точку М(1,
–2) и точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x²
+ y²
– 2x
+ 4y
– 20 = 0.

Решение.
Найдем точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x²
+ y²
– 2x
+ 4y
– 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим х
из первого уравнения системы:

x
= 7y
– 10.

Затем подставим
во второе:

(7y
– 10)²
+ y²
– 2(7y
– 10) + 4y
– 20 = 0.

Оно равносильно
уравнению

y²
– 3y
+ 2 = 0.

Используя формулы
корней квадратного уравнения, найдем
y₁
= 1, y₂
= 2, откуда x₁
= –3, x₂
= 4.

Итак, имеем три
точки, лежащие на окружности: M(1,
–2), M₁(4,
2) и M₂(–3,
1). Пусть О₁(x₀,
y₀)
– центр окружности. Тогда
гдеR
– радиус окружности.

Найдем координаты
векторов:

Значит,

что равносильно
системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю
систему, получаем ответ:

Таким образом,
центр окружности находится в точке
(0,5; 1,5), ее радиус

Тогда каноническое
уравнение искомой окружности имеет
вид:

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

Источник

Определение[править | править код]

Другие определения[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Соотношения между элементами эллипса[править | править код]

Координатное представление[править | править код]

Эллипс как кривая второго порядка[править | править код]

Каноническое уравнение[править | править код]

Соотношения[править | править код]

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

В полярных координатах[править | править код]

Вывод уравнения[править | править код]

Длина дуги эллипса[править | править код]

Приближённые формулы для периметра[править | править код]

Точные формулы для периметра[править | править код]

Площадь эллипса и его сегмента[править | править код]

Другие свойства[править | править код]

Построение эллипса[править | править код]

Эллипсы, связанные с треугольником[править | править код]

См. также[править | править код]

Комментарии[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Эллипс – определение и вычисление с примерами решения

Эллипс в высшей математике

Уравнение эллипсоида

Эллипсоиды

Определение эллипсоида

Плоские сечения эллипсоида

Эллипсоиды вращения

Как найти центр эллипсоида по уравнению

Глава 46. Поверхности второго порядка

Исследование формы эллипса по его уравнению

Дополнительные сведения об эллипсе

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Длина дуги эллипса (периметр эллипса)

Площадь сегмента эллипса

Физический смысл фокусов

Многофокусные эллипсы

Эллипс в высшей математике

Уравнение эллипсоида

Вам также может понравиться

Как найти зеленый фон

Как мужу найти хорошую работу молитва

Как спрятать убитого чтобы его не нашли

Добавить комментарий Отменить ответ