Как найти центр группы

Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами^[1]:

.

Группа является абелевой в том и только в том случае, когда она совпадает со своим центром: ; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости» (коммутативности).

Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента. Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.

Свойства[править | править код]

Центр группы является её подгруппой, причем нормальной. Кроме того, эта подгруппа является характеристической, однако не обязательно вполне характеристической^[en].

Если факторгруппа является циклической, то является абелевой. В этом случае выполняется равенство , поэтому факторгруппа тривиальна.

Классы сопряжённости и централизаторы[править | править код]

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.

Внутренние автоморфизмы[править | править код]

Функция , сопоставляющая элементу внутренний автоморфизм , заданный формулой

,

является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с центром группы , а образ — с группой внутренних автоморфизмов. Таким образом, согласно первой теореме об изоморфизме, факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов:

.

Коядро гомоморфизма совпадает с группой внешних автоморфизмов^[en] группы . Таким образом, имеет место точная последовательность:

.

Примеры[править | править код]

• Центр абелевой группы совпадает с самой группой.
• Центром группы Гейзенберга G являются матрицы вида

Центральные ряды[править | править код]

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом^[en]:

Ядро отображения  — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются . Конкретно, -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром^[en][2].

Возрастающая последовательность подгрупп:

стабилизируется на (что означает, ) тогда и только тогда, когда не имеет центра.

Например, для группы без центра все члены центрального ряда тривиальны. Или, что то же самое,

Лемма Грюна[править | править код]

Если центры группы и факторгруппы нетривиальны, то существует нетривиальный гомоморфизм ^[3].

В частности, если группа является каиновой, то центр группы тривиален. Или, что то же самое, .

См. также[править | править код]

• Центр (алгебра)^[en]
• Норма (теория групп)

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Michiel Hazewinkel. Centre of a group, Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2011. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• И. М. Виноградов. Центр // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• Курош, А. Г. Теория групп. — 3. — М.: Наука, 1967. — 648 с.

From Wikipedia, the free encyclopedia

Cayley table for D₄ showing elements of the center, {e, a²}, commute with all other elements (this can be seen by noticing that all occurrences of a given center element are arranged symmetrically about the center diagonal or by noticing that the row and column starting with a given center element are transposes of each other).

∘	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
e	e	b	a	a2	a3	ab	a2b	a3b
b	b	e	a3b	a2b	ab	a3	a2	a
a	a	ab	a2	a3	e	a2b	a3b	b
a2	a2	a2b	a3	e	a	a3b	b	ab
a3	a3	a3b	e	a	a2	b	ab	a2b
ab	ab	a	b	a3b	a2b	e	a3	a2
a2b	a2b	a2	ab	b	a3b	a	e	a3
a3b	a3b	a3	a2b	ab	b	a2	a	e

In abstract algebra, the center of a group, G, is the set of elements that commute with every element of G. It is denoted Z(G), from German Zentrum, meaning center. In set-builder notation,

Z(G) = {z ∈ G | ∀g ∈ G, zg = gz}.

The center is a normal subgroup, Z(G) ⊲ G. As a subgroup, it is always characteristic, but is not necessarily fully characteristic. The quotient group, G / Z(G), is isomorphic to the inner automorphism group, Inn(G).

A group G is abelian if and only if Z(G) = G. At the other extreme, a group is said to be centerless if Z(G) is trivial; i.e., consists only of the identity element.

The elements of the center are sometimes called central.

As a subgroup[edit]

The center of G is always a subgroup of G. In particular:

1. Z(G) contains the identity element of G, because it commutes with every element of g, by definition: eg = g = ge, where e is the identity;
2. If x and y are in Z(G), then so is xy, by associativity: (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) for each g ∈ G; i.e., Z(G) is closed;
3. If x is in Z(G), then so is x⁻¹ as, for all g in G, x⁻¹ commutes with g: (gx = xg) ⇒ (x⁻¹gxx⁻¹ = x⁻¹xgx⁻¹) ⇒ (x⁻¹g = gx⁻¹).

Furthermore, the center of G is always a normal subgroup of G. Since all elements of Z(G) commute, it is closed under conjugation.

Note that a homomorphism f: G → H between groups generally does not restrict to a homomorphism between their centers. Although f (Z (G)) commutes with f ( G ), unless f is surjective f (Z (G)) need not commute with all of H and therefore need not be a subset of Z ( H ). Put another way, there is no “center” functor between categories Grp and Ab. Even though we can map objects, we cannot map arrows.

Conjugacy classes and centralizers[edit]

By definition, the center is the set of elements for which the conjugacy class of each element is the element itself; i.e., Cl(g) = {g}.

The center is also the intersection of all the centralizers of each element of G. As centralizers are subgroups, this again shows that the center is a subgroup.

Conjugation[edit]

Consider the map, f: G → Aut(G), from G to the automorphism group of G defined by f(g) = ϕ_g, where ϕ_g is the automorphism of G defined by

f(g)(h) = ϕ_g(h) = ghg⁻¹.

The function, f is a group homomorphism, and its kernel is precisely the center of G, and its image is called the inner automorphism group of G, denoted Inn(G). By the first isomorphism theorem we get,

G/Z(G) ≃ Inn(G).

The cokernel of this map is the group Out(G) of outer automorphisms, and these form the exact sequence

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1.

Examples[edit]

• The center of an abelian group, G, is all of G.
• The center of the Heisenberg group, H, is the set of matrices of the form:

  

• The center of a nonabelian simple group is trivial.
• The center of the dihedral group, D_n, is trivial for odd n ≥ 3. For even n ≥ 4, the center consists of the identity element together with the 180° rotation of the polygon.
• The center of the quaternion group, Q₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, is {1, −1}.
• The center of the symmetric group, S_n, is trivial for n ≥ 3.
• The center of the alternating group, A_n, is trivial for n ≥ 4.
• The center of the general linear group over a field F, GL_n(F), is the collection of scalar matrices, { sI_n ∣ s ∈ F {0} }.
• The center of the orthogonal group, O_n(F) is {I_n, −I_n}.
• The center of the special orthogonal group, SO(n) is the whole group when n = 2, and otherwise {I_n, −I_n} when n is even, and trivial when n is odd.
• The center of the unitary group, is .
• The center of the special unitary group, is .
• The center of the multiplicative group of non-zero quaternions is the multiplicative group of non-zero real numbers.
• Using the class equation, one can prove that the center of any non-trivial finite p-group is non-trivial.
• If the quotient group G/Z(G) is cyclic, G is abelian (and hence G = Z(G), so G/Z(G) is trivial).
• The center of the megaminx group is a cyclic group of order 2, and the center of the kilominx group is trivial.

Higher centers[edit]

Quotienting out by the center of a group yields a sequence of groups called the upper central series:

(G₀ = G) ⟶ (G₁ = G₀/Z(G₀)) ⟶ (G₂ = G₁/Z(G₁)) ⟶ ⋯

The kernel of the map G → G_i is the ith center^[1] of G (second center, third center, etc.) and is denoted Zⁱ(G).^[2] Concretely, the (i + 1)-st center are the terms that commute with all elements up to an element of the ith center. Following this definition, one can define the 0th center of a group to be the identity subgroup. This can be continued to transfinite ordinals by transfinite induction; the union of all the higher centers is called the hypercenter.^{[note 1]}

The ascending chain of subgroups

1 ≤ Z(G) ≤ Z²(G) ≤ ⋯

stabilizes at i (equivalently, Zⁱ(G) = Zⁱ⁺¹(G)) if and only if G_i is centerless.

Examples[edit]

• For a centerless group, all higher centers are zero, which is the case Z⁰(G) = Z¹(G) of stabilization.
• By Grün’s lemma, the quotient of a perfect group by its center is centerless, hence all higher centers equal the center. This is a case of stabilization at Z¹(G) = Z²(G).

See also[edit]

• Center (algebra)
• Center (ring theory)
• Centralizer and normalizer
• Conjugacy class

Notes[edit]

References[edit]

• Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

External links[edit]

• “Centre of a group”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

Центр группы SL(2,3) состоит из скалярных матриц. Доказывается это так же, как и для случая SL(n,R). По главной диагонали числа однинаковые, остальные нули.

Рассмотрим матрицу с элементами a b // c d (по строкам). Она коммутирует с 1 1 // 0 1. Последняя матрица есть сумма единичной и 0 1 // 0 0. Поскольку любая матрица коммутирует с единичной, достаточно проверить случай перестановочности с матрицей, где единица всего одна. Перемножим матрицы в одном и другом порядке. Получим 0 a // 0 c и c d // 0 0 соответственно. Из совпадения этих матриц следует a=d и c=0. Аналогично, рассматривая перестановочность с 0 0 // 1 0, получаем b=0.

Таким образом, матрица из центра имеет вид a 0 / 0 a, то есть aE (единичная матрица, умноженная на скаляр). Такие матрицы коммутируют со всеми, то есть верно обратное включение. Поэтому центр группы равен {E,-E}.

Таблица Кэли из Ди 4, двугранная группа порядка 8. Центр равен {0,7}: строка, начинающаяся с 7, представляет собой транспонирование столбца, начинающегося с 7. Элементы 7 симметричны главной диагонали. (Только для элемента идентичности это верно во всех группах.)

В абстрактной алгебре, центром группы , G, является набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом G. Он обозначается Z (G), от немецкого Zentrum, что означает центр. В нотации создателя множеств ,

Z (G) = {z ∈ G ∣ ∀g ∈ G, zg = gz}.

Центр – это нормальная подгруппа, Z (G) ⊲ G. Как подгруппа, это всегда характеристика, но не обязательно полная характеристика. Фактор-группа, G / Z (G), изоморфна группе внутренних автоморфизмов Inn (G).

Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z (G) = G. С другой стороны, группа называется бесцентровой, если Z (G) тривиальна. ; т.е. состоит только из элемента идентичности.

Элементы центра иногда называют центральным .

Содержание

• 1 Как подгруппа
• 2 Классы сопряженности и централизаторы
• 3 Сопряжение
• 4 Примеры
• 5 Высшие центры
  • 5.1 Примеры
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

В качестве подгруппы

Центром группы G всегда является подгруппа группы G. В частности:

1. Z (G) содержит единичный элемент группы G, потому что он коммутирует с каждым элементом группы g посредством определение: eg = g = ge, где e – тождество;
2. Если x и y находятся в Z (G), то по ассоциативности xy тоже: (xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy) для каждого g ∈ G; т. е. Z (G) замкнуто;
3. Если x находится в Z (G), то так же и x, поскольку для всех g в G x коммутирует с g: (gx = xg) ⇒ (xgxx = xxgx) ⇒ (xg = gx).

Кроме того, центр G всегда является нормальной подгруппой группы G. Поскольку все элементы Z (G) коммутируют, она замкнута относительно сопряжения.

Классы сопряженности и централизаторы

По определению, центр – это набор элементов, для которых классом сопряженности каждого элемента является сам элемент; т.е. Cl (g) = {g}.

Центр также является пересечением всех централизаторов каждого элемента G. Поскольку централизаторы являются подгруппами, это снова показывает, что центр является подгруппой.

Сопряжение

Рассмотрим отображение f: G → Aut (G) из G в группу автоморфизмов группы G, определенную как f (g) = ϕ g, где ϕ g – автоморфизм группы G, определяемый формулой

f (g) (h) = ϕ g (h) = ghg.

Функция f является гомоморфизмом группы , а ее ядро ​​ является в точности центром группы G, и ее образ называется группой внутренних автоморфизмов группы G и обозначается Гостиница (G). По первой теореме об изоморфизме получаем,

G / Z (G) ≃ Inn (G).

коядром этого отображения является группа Out (G) внешних автоморфизмов, и они образуют точную последовательность

1 ⟶ Z (G) ⟶ G ⟶ Aut (G) ⟶ Out (G) ⟶ 1.

Примеры

• Центр абелевой группы, G, является всей группой G.
• Центр группы Гейзенберга, H, является набором матриц вида:

  (1 0 z 0 1 0 0 0 1) { displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 z \ 0 1 0 \ 0 0 1 end {pmatrix}}}

• Центр неабелевского элемента простая группа является тривиальной.
• Центр группы диэдра, D n, тривиален, когда n нечетно. Когда n четно, центр состоит из элемента идентичности вместе с поворотом на 180 ° многоугольника .
• Центр кватернионной группы , Q 8 = { 1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, равно {1, −1}.
• Центр симметрической группы , S n, тривиально для n ≥ 3.
• Центр переменной группы, A n, тривиален для n ≥ 4.
• Центр общей линейной группы над полем F, GL n (F), является набором скалярных матриц, {sI n ∣ s ∈ F {0}}.
• Центр ортогональной группы, O n (F) – это {I n, −I n}.
• Центр специальной ортогональной группы , SO (n) – это вся группа, когда n = 2, иначе {I n, -I n }, когда n четно, и тривиально, когда n нечетно.
• Центр унитарной группы, U (n) { displaystyle U (n)}равно {ei θ ⋅ I n ∣ θ ∈ [0, 2 π)} { displaystyle {e ^ {i тета} cdot I_ {n} mid theta in [0,2 pi) }}.
• Центр специальной унитарной группы, SU (n) { displaystyle SU (n)}равно {ei θ ⋅ I n ∣ θ = 2 k π n, k = 0, 1,…. n – 1} { displaystyle left lbrace e ^ {i theta} cdot I_ {n} mid theta = { frac {2k pi} {n}}, k = 0,1,….n-1 right rbrace}.
• Центр мультипликативной группы ненулевых кватернионов – это мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
• Использование уравнением класса можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
• Если фактор группа G / Z (G) циклическая, G абелева (и, следовательно, G = Z (G), поэтому G / Z (G) тривиальна).

Высшие центры

Выделение по центру группы дает последовательность групп, называемую верхней центральной серией :

(G0= G) ⟶ (G 1 = G 0 / Z (G 0)) ⟶ (G 2 = G 1 / Z (G 1)) ⟶ ⋯

Ядро карты G → G i – это i-й центр G (второй центр, третий центр и т. д.) и обозначается Z (G). Конкретно, (i + 1) -й центр – это члены, которые коммутируют со всеми элементами до элемента i-го центра. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как индивидуальную подгруппу. Это может быть продолжено до трансфинитных ординалов с помощью трансфинитной индукции ; объединение всех высших центров называется гиперцентром.

восходящей цепочкой подгрупп

1 ≤ Z (G) ≤ Z (G) ≤ ⋯

стабилизируется в i (эквивалентно Z (G) = Z (G)) тогда и только тогда, когда Giбесцентрово.

Примеры

• Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю, что является случаем стабилизации Z (G) = Z (G).
• По лемме Грюна, отношение совершенной группы к ее центру не имеет центра, следовательно, все более высокие центры равны центру. Это случай стабилизации при Z (G) = Z (G).

См. Также

• Центр (алгебра)
• центр
• Центратор и нормализатор
• Класс сопряженности

Примечания

Источники

• Фрали, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-02496-7 .

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Стол Кэли за D₄ показаны элементы центра, {e, a²}, расположенные симметрично относительно главной диагонали (демонстрируя, что каждый из них коммутирует со всеми другими элементами)

о	е	б	а	а2	а3	ab	а2б	а3б
е	е	б	а	а2	а3	ab	а2б	а3б
б	б	е	а3б	а2б	ab	а3	а2	а
а	а	ab	а2	а3	е	а2б	а3б	б
а2	а2	а2б	а3	е	а	а3б	б	ab
а3	а3	а3б	е	а	а2	б	ab	а2б
ab	ab	а	б	а3б	а2б	е	а3	а2
а2б	а2б	а2	ab	б	а3б	а	е	а3
а3б	а3б	а3	а2б	ab	б	а2	а	е

В абстрактная алгебра, то центр из группа, грамм, это набор элементов, которые ездить с каждым элементом грамм. Обозначается Z (грамм), с немецкого Zentrum, смысл центр. В обозначение построителя множеств,

Z (грамм) = {z ∈ грамм ∣ ∀грамм ∈ грамм, zg = gz} .

Центр – это нормальная подгруппа, Z (грамм) ⊲ грамм. Как подгруппа это всегда характеристика, но не обязательно полностью характерный. В факторгруппа, грамм / Z (грамм), является изоморфный к внутренний автоморфизм группа, Гостиница(грамм).

Группа грамм абелева тогда и только тогда, когда Z (грамм) = грамм. С другой стороны, группа называется бесцентровый если Z (грамм) является банальный; т.е. состоит только из элемент идентичности.

Элементы центра иногда называют центральный.

Как подгруппа

Центр грамм всегда подгруппа из грамм. Особенно:

1. Z (грамм) содержит элемент идентичности из грамм, потому что он коммутирует с каждым элементом грамм, по определению: например = грамм = ge, куда е это личность;
2. Если Икс и у находятся в Z (грамм), то так ху, по ассоциативности: (ху)грамм = Икс(yg) = Икс(гы) = (xg)у = (gx)у = грамм(ху) для каждого грамм ∈ грамм; т.е. Z (грамм) закрыто;
3. Если Икс в Z (грамм), то так Икс⁻¹ как для всех грамм в грамм, Икс⁻¹ ездит с грамм: (gx = xg) ⇒ (Икс⁻¹gxx⁻¹ = Икс⁻¹xgx⁻¹) ⇒ (Икс⁻¹грамм = gx⁻¹).

Кроме того, центр грамм всегда нормальная подгруппа из грамм. Поскольку все элементы Z (грамм) добираться, он закрыт под спряжение.

Классы сопряженности и централизаторы

По определению, центр – это набор элементов, для которых класс сопряженности каждого элемента – это сам элемент; т.е. Cl (грамм) = {грамм}.

Центр также является пересечение из всех центраторы каждого элемента грамм. Поскольку централизаторы являются подгруппами, это снова показывает, что центр является подгруппой.

Конъюгация

Рассмотрим карту, ж: грамм → Aut (грамм), из грамм к группа автоморфизмов из грамм определяется ж(грамм) = ϕ_грамм, куда ϕ_грамм это автоморфизм грамм определяется

ж(грамм)(час) = ϕ_грамм(час) = ghg⁻¹.

Функция, ж это групповой гомоморфизм, и это ядро это именно центр грамм, а его образ называется группа внутренних автоморфизмов из грамм, обозначенный Гостиница(грамм). Посредством первая теорема об изоморфизме мы получили,

грамм/ Z (грамм) ≃ Гостиница (грамм).

В коядро на этой карте группа Из(грамм) из внешние автоморфизмы, и они образуют точная последовательность

1 ⟶ Z (грамм) ⟶ грамм ⟶ Aut (грамм) ⟶ Out (грамм) ⟶ 1.

Примеры

Высшие центры

Факторизация по центру группы дает последовательность групп, называемую верхний центральный ряд:

(грамм₀ = грамм) ⟶ (грамм₁ = грамм₀/ Z (грамм₀)) ⟶ (грамм₂ = грамм₁/ Z (грамм₁)) ⟶ ⋯

Ядро карты грамм → грамм_я это яй центр^{[нужна цитата ]} из грамм (второй центр, третий центри т. д.) и обозначается Z^я(грамм)^{[нужна цитата ]}. Конкретно (я + 1) -го центра – это члены, которые коммутируют со всеми элементами до элемента я-й центр. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как индивидуальную подгруппу. Это можно продолжить трансфинитные ординалы к трансфинитная индукция; объединение всех высших центров называется гиперцентр.^{[примечание 1]}

В восходящая цепочка подгрупп

1 ≤ Z (грамм) ≤ Z²(грамм)  ≤  ⋯

стабилизируется на я (эквивалентно, Z^я(грамм) = Z^{я + 1}(грамм)) если и только если грамм_я бесцентровый.

Примеры

• Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю, что и имеет место. Z⁰(грамм) = Z¹(грамм) стабилизации.
• К Лемма Грюна, частное идеальная группа по своему центру не имеет центра, поэтому все высшие центры равны центру. Это случай стабилизации на Z¹(грамм) = Z²(грамм).

Смотрите также

• Центр (алгебра)
• центр
• Центратор и нормализатор
• Класс сопряженности

Примечания

Рекомендации

• Фрали, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN  978-1-292-02496-7.

внешняя ссылка

• «Центр группы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]